Моделирование аналоговой синхронизации псевдослучайных последовательностей в каналах низкого качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.А Рогозин, Д.Ф. Хисамов,

доктор технических наук, доцент. кандидат технических наук.

Воронежский государственный техниче- Кубанский институт информзащиты

ский университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ АНАЛОГОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В КАНАЛАХ

НИЗКОГО КАЧЕСТВА

SIMULATION OF THE ANALOGICAL SYNCHRONIZATION OF PSEUDORANDOM SEQUENCE IN THE CHANNELS

OF POOR QUALITY

В условиях мощных организованных помех возникает необходимость перехода от дискретных к аналоговым методам синхронизации датчиков псевдослучайных последовательностей (ПСП). Оценка аналоговой синхронизации ПСП затруднена из-за отсутствия приемлемых математических выражений. В данной работе впервые разработаны математические модели для оценки аналоговой синхронизации ПСП на каналах с произвольным законом распределения ошибок с использованием границы Чернова и Гаусса.

On channels of poor quality there is a necessity of a change from discrete to analogical synchronization methods for pseudorandom sequence timers (PST). The estimation of analogue synchronization of PST is hampered due to the lack of acceptable mathematical expressions. The given paper has pioneered the mathematical models for estimation of analogical PST synchronization on channels with the arbitrary law of errors distribution with the usage of Chernoff and Gauss bounds.

Введение

В современных условиях управления войсками оперативности и надежности передачи информации уделяется первостепенное значение. Это обусловлено быстротечностью и размахом современных боевых действий и применением высокоточного оружия. При применении специальных систем связи на каналах низкого качества может возникнуть ситуация, когда модем не в состоянии выделять дискретные посылки сигнала, тогда возникает задача в аналоговой синхронизации датчиков ПСП.

Найдем аналитическую модель для оценки аналоговой синхронизации ПСП на каналах с произвольным законом распределения ошибок с использованием границы Чернова и Гаусса.

Вывод строгой верхней границы для вероятности неприема пусковой комбинации с использованием неравенства Чернова

Пусть реализация пускового ПС-ФМ сигнала при аналоговой синхронизации имеет вид (1) и в канале присутствует аддитивная помеха e(t) с произвольным законом распределения [1], нулевым средним и дисперсией s .

a= 0, то Sl(t) = n(t) Uc = cos(wct + j), a = 1, то S2 (t) = -Si (t), 0 < t < T; где :

n(t )=

gk

(-1) , (k - 1T0 < t < kT0, k = 1,2,3...B

0 при других t ;

Uc - амплитуда сигнала;

Тс - длительность субэлемента сигнала;

T - длительность элемента сообщения;

% = (0,1) - псевдослучайная последовательность, неизвестная

противнику, которую для краткости будем именовать гаммой.

Тогда на интервале анализа аналоговые отчеты сигнала будут иметь вид:

X i =

/Лі

a (-1) +ei апёё i ї'бё^aaёaжё оШ ;

апёё i la ї'бё^aaёaжё о Ш ;

(2)

іє і

где а — амплитуда сигнала;

у( = (0, 1) — равновероятные и взаимно независимые случайные величины;

iT0

Si = coswc tdt — произвольно распределенная случайная величина с

(i-l)T 0

2

нулевым средним и дисперсией s .

Предположим, что пусковая комбинация (ПК) известна на приеме и состоит из N символов: Si ,S2 ,...,Sn.. На приеме осуществляется автокорреляционный прием пускового сигнала по правилу (3), что соответствует схеме, изображенной на рис. 1.

N

2 Ui + j • Si >< U 0,

i =1

(3)

Здесь 2,...,UL — принятые из канала L двоичных символов, а ^1,S2,...,SN

— известная пусковая комбинация, состоящая из N двоичных символов.

Генератор ПК

Рис. 1. Автокорреляционный прием пускового сигнала

Требуется определить вероятность неприема синхропосылки (СП), если известно, что вся пусковая комбинация входит в интервал анализа.

Рассмотрим случай, когда пусковой и опорный сигналы пересекаются. Тогда можем составить две суммы:

N

N

i =1

1)ZXi(-1) i = Z a(-1) i + ei •(-1) i = aN + Ze(-1) i;

i=1 V

N

(4)

i=1

2)2Х,(-1)'= 2 а(->)"Т +е.т •(-1)'+ 2е+Т•(-1) = (5)

2=1 г =1 I- J ' =N-т+1

^т У т

= аЯ(Т)+ 2 (- 1) -£г+т + 2 (- 1) ’ег+т ) ,

г=1 г = N-Т +1

где Я(Т) — автокорреляционная функция АПСП при сдвиге, равном Т.

Очевидно, неприем может произойти только тогда, когда первая сумма будет меньше второй:

Г

Рн = Р

У

У

N ' N-Т ' Т

aN+ £ е [-1) <а - яТ+ I] У е т + £ (-1)

' =1 '=1 '=N-Т +1

У

г=1

Т

a(N-я(т))+ У (-1) ' Ге.-е. +Т) + £ (-1)

'=N -Т+1

е -е г г+Т

г I е'+Т

<0\.

(6)

Учитывая, что под обоими знаками суммы в правой части неравенства (6) стоят случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями, равными

2

26 , формулу (6) можем переписать как:

PH = Р

N

(7)

где Щ= ■

а (N - Я (Т)) + 2 (-1) Щ < 0

г =1

(ег - ег +Т) при г = 1,2,3,..., N - Т;

(ег- - е+Т) при г = 1,2,3,..., N.

Учитывая слабую коррелированность помехи на интервале субэлемента сигнала, предположим взаимную независимость отсчетов Щ ^ и поэтому для оценки (7) исполь-

зуе м границу Чернова [2]:

Р{х < ь}< g (?) -е

- БГ

где g ( ) = М \е

(8)

Полагая в (8) х = а[^ -Я(Т)] + 2 (-1) -Щ [ е В =0, получим границу для ве-

1=1

роятности неприема СП в виде: р( < тп g (1), 1бе г <0,

3.3.3.

g (г ) = М'

N УI а (М -Я (Т))+ Е (-1) -Щ

1=1

Г

У

г

е

математическое ожидание вычисляется относительно у. и Г).; і = 1,2,3,...,N.

* г -1у

м <

і-а |^-Я(і)] * = е - П

Т

-*і

іі

е +е

і =1

2

і- а [-^-Я(і)] N

2 N

і-а[N-Я(і )]+^ %Т}2

Пск\1 * /< е і =1 і

Найдем математическое ожидание относительно уг, где последнее неравенство

(10) получено из условия еЬ(х) < е 2 .

Учитывая, что * і центрированная величина можем переписать (10) как: g(0 < е*а^-Я(Т)]+і2 -^2.

Легко показать, что показатель степени в (11) минимизируется при:

- а - N - Я(Т)]

^отп,„ _ _ г

2 N -а

тогда окончательно имеем:

2

(11)

а2 N -Я (Т )]2 + а 2[N -Я(Т )]2 Н2 [N - Я(Т )]2

Ян < тіп g (і) = е

і <0

,2

£>2- 2 N

81 - 4 N

= е

4 N

(12)

е/2 а

где Н =------- — отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемника к

62

спектральной плотности помехи.

Для оценки вероятности неприема ПК на всем интервале анализа L используем аддитивную границу Буля [2], тогда окончательно получим:

Н2- N N-1 Н2 N - Я(Т )]2

РН < (Ь -2N)-е 4 + ^е 4ж . (13)

г =1

Неравенство (13) дает строгую верхнюю границу для вероятности неприема ПС при произвольных помехах в канале. Представляет интерес рассмотреть некоторые частные случаи, например, когда помеха в канале типа белого гауссовского шума (БГШ).

е

=е

2

х

Вывод точной формулы для вероятности неприема ПК в условиях гауссовских помех

В частном случае, когда помеха гауссовская с нулевым средним и с дисперсией ё2 легко получить точную формулу. Для этого (7) представим как:

PH = P'

N

2 (-1) i hi > a[N - R(T)]

i =1

P{jj > a[N - R(T)},

(14)

~ N gi

где ~ ^(-1) h i — гауссовская величина с нулевым средним и дисперсией,

i=1

равной 2Nd.

Тогда для (14) можем получить точную формулу в виде [3]:

Ph = P{h > a[N - R(T)]}= J

1

= 1 - F

a[N - R(T)

,2

s4in

a[ N- R(T)] Л f

= 1 - F

2S^PN

•е 4nd dx =

у

H[N - R(T)]/ '

/ V 2 N >

где F ( x) =

X t__

е 2 dt — интеграл вероятности.

(15)

Для определения вероятности неприема пускового сигнала на интервале анализа опять воспользуемся аддитивной границей и получим окончательное выражение в виде:

PH < (L - 2 N) •

1 - F

:HfN'

N-1 + 2

T=1

1 - F

rH [ N - R (T )]Л

■JlN

(1б)

Известно, что в классе помех с произвольным законом распределения, гауссовская помеха всегда дает нижнюю границу для вероятности ошибки [2]. Поэтому выражение (16) можно рассматривать как нижнюю границу вероятности неприема ПК в случае произвольных помех в канале. На рис .2 приведены нижняя

и верхняя границы вероятности неприема ПК Рн = ^(н2) для различных N при аналоговом запуске и произвольных помехах в канале, рассчитанные по (13) и (16) соответственно.

X

--------- Граница Чернова

--------- Точная формула при БГШ

Рис. 2. Нижняя и верхняя границы вероятности неприема ПСП при аналоговом запуске: 1 — при N=30; 2 — при N=63; 3 — при N=127

Вывод

Из анализа кривых, приведенных на графике, видно, что верхняя граница (13), полученная с использованием неравенства Чернова, дает достаточно плотные результаты (кривые 1 и 2) и, следовательно, будет хорошей оценкой вероятности неприема Рн при произвольных слабо коррелированных помехах в канале.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коржик В. И., Финк Л.М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. — М.: Связь, 1975.

2. Хисамов Д.Ф. Граничные оценки вероятности синхронизации псевдослучайной последовательности на каналах с произвольным распределением ошибок // Математика в XXI веке: материалы международного конгресса 25—28 июня 2003 г. — Новосибирск: Академгородок, 2003. — ЦЯЬ: http://www.sbras.ru/ws/MMF-21/