Верхние и нижние оценки вероятности неприема псевдослучайной последовательности на каналах низкого качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информация передается по каналу связи с постоянной скоростью R, вычисляемой с помощью формулы (21):

R = 1956.1 бит/с.

Производительность источника по формуле (22) равна:

I = 5868.3 бит/с.

Результатом работы программы являются графики числа ошибок восстановления информации от параметра п (п,1) - кода и от p01 и p10. При теоретическом расчёте мы предположили, что в канале нет ошибок. Действительно, полученное нулевое значение энтропии H(X/Y) также об этом свидетельствует.

Полученный график говорит о том, что это предположение становится соответствующим действительности, только начиная со значений п, равных 20..25.

Примерный вид полученных графиков приведен на рис. 7 и 8.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1-я, 2-е. изд.— М.: Сов. радио, 1974. - 182 с.

2. Баричев С.Г. Основы современной криптографии: Учебный курс. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Горячая линия-Телеком, 2002. - 175 с.

3. Масленников М. Е. Практическая криптография.-СПб.: БХВ-Петербург, 2003.- 464 с.

4. Ермаков С.М. Статистическое моделирование. — М.: Наука, 1983. - 296 с.

5. Макконнел С. Совершенный код - М.: Microsoft Press. Русская редакция, 2005.-896 с.

6. ЗюкоА.Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи - М.: Связьиздат, 1963. - 320 с.

7. Шеннон К. Математическая теория связи. - М.: ИИЛ, 1963. - 319 с.

Д.Ф. Хисамов

Россия, г. Краснодар, Кубанский институт информзащиты

ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕПРИЕМА ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА КАНАЛАХ НИЗКОГО КАЧЕСТВА

В специальных системах связи при резком возрастании ошибок в канале связи возникает необходимость перехода от дискретных к аналоговым методам приема псевдослучайных последовательностей (ПСП). Оценка вероятности неприема

ПСП на каналах низкого качества затруднена из-за отсутствия приемлемых математических выражений. В работе впервые с использованием границ Чернова, Г а-усса и Буля-Монферрони найдены нижние и верхние оценки для вероятности не-приема ПСП на каналах с произвольным законом распределения ошибок.

1. Вывод строгой верхней границы для вероятности неприема пусковой комбинации с использованием неравенства Чернова

Пусть аналоговая реализация псевдослучайного сигнала с фазовой модуляцией (ПС-ФМ) имеет вид (1) и в канале присутствует аддитивная помеха е(Г) с произ-

2

вольным законом распределения, нулевым средним и дисперсией ст = 0, то ^ (1 )=п(1) ис = соб(юс1 + ф),

= 1, то ^ (1) = (1), 0 < 1 < Т; где :

а : а :

у к

(1)

п(1 )=](-1) , (к- 1)То < 1 <кТо, к = 1,2,3..В

[0 при других 1;

ис - амплитуда сигнала ;

Тс - длительность субэлемент а сигнала ;

Т - длительность элемента сообщения;

у^ =(0,1)- псевдослучайная последовательность, неизвестная противнику, которую для краткости будем именовать гаммой.

Тогда на интервале анализа аналоговые отчеты сигнала будут иметь вид:

У.

* ;= < а(-1) + е • если 1 принадлежит ПС; (2)

если 1 непринадле жит ПС.

где: а -амплитуда сигнала; у, = (0,1) -равновероятные и взаимно независимые случайные величины (СВ);

‘р0 произвольно распределенная СВ с нуле-

е1 = ] е(1)' с°5®с 1^1 вым средним и дисперсией ст2.

(1-1)Т0

Предположим, что ПСП известна на приеме и состоит из N символов: Sl ,Б2 ,...,$к.. На приеме осуществляется автокорреляционный прием по правилу (3), что соответствует схеме, изображенной на рис.1.

N

2 и1+] • 81 >< и0. (3)

Здесь и1,и2,...,Иь принятые из канала L двоичных символов, а 81582,...^ -известная пусковая комбинация, состоящая из N символов.

Требуется определить вероятность неприема ПСП, если известно, что весь отрезок ПСП входит в интервал анализа.

Рассмотрим случай, когда принимаемый и опорный сигналы пересекаются. Тогда можем составить две суммы:

N г N. у. Л у. N у.

1)2*‘(-1) ‘ =2(а(-1) 1 + е, )•(-1) 1 = аМ +]Те,(-1) 1 ; (4)

‘=1 ‘=1 ^ ' ‘=1

у ^Тг У

чЧ ж—, , чу |+т

2* 1 (-1) ■ = £а(-1)

2)

+ 8

1+Т

г Т

(- 1)1 + 2 8 1+т •(- 1) =

1=Ы-Т+1

(5)

= аК (т)+^(- 1)

81+Т +

2(- 1) -81+Т )

1=1

1=^Т+1

Г енератор ПК

Рис. 1. Автокорреляционный прием ПСП

Где Я(Т) -автокорреляционная функция ПСП при сдвиге равном “Т”.

Неприем может произойти только тогда, когда первая сумма будет меньше второй:

у у у } (6)

N , ,1 м Х-Т I Т I ,

р = р\аХ + 2 е. (-1) <а-ЩГ)+ 2 (-1) •е,-+Т + 2 (-1) е.

н 1=1 1=1 I=Х-Т+1 '

+Т

у у

= р. а(х-Я(т))+ 2 (-1) 1 (е -е+Т ]+ 2 (-1) 1 [е -е+Т

I=1 у ; 1=х-Т+1 1' +Т

<01

Учитывая, что под обоими знаками суммы в правой части неравенства (6) стоят случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями равными 2ст2 формулу (6) можем переписать как:

где:

Рн = р|а(К - Я(Т)) + 2(-1)У1 • Ц < о|

(81 - 81+т ) при 1 = 1,2Д...Л - Т;

(81 -81+т )

(7)

при 1 = 1,2,3,...,М

Учитывая слабую коррелированность помехи на интервале субэлемента сигнала, предполагается взаимная независимость отсчетов ц и поэтому для оценки

(7) используем границу Чернова в виде

( л -В1

р{х < Ь}< g(t) • е , 1 < 0,

где

g(t ) = м

(8)

N

1=1

1=1

У

е

N У 1

Полагая в (8) х = а • [N - Я(Т)] + 2 (-1) • 'П ;

1=1

цу для вероятности неприема ПСП в виде: р н < ming(t), при 1 <0,

где :

и В = 0, получим грани-

(9)

§(1) = м

■ (Н-Я (Т ))+^(-1)

N У

1+У(-1) -л

І=1

математическое ожидание вычисляется относительно у и л; і = 1,2,3,...Д

м-

, о N -1У і

аГ ^Я Г Т ||+х -л і

1 ^ І=1

1-а[К-К(1)] N е

2 - П -

І=1

1лІ -1ЛІ

+ е

(10)

1-а[К-Я(1)] N ,

з -П сЬ|^ 1 -л |< е

9 N

1-а[ґ1)]+12 N л?

2І=ГІ

Найдем математическое ожидание относительно у. , где последнее неравен-

ство (10) получено из условия сИ(х) < е 2 . Учитывая, что л І центрированная величина (10), можем переписать как

Е(1) < е*-^-^* -ш\ (11)

Легко показать, что показатель степени в (11) минимизируется при 1 - а -И - Я(Т)]

2N -ст2

тогда окончательно имеем:

а2 [N-Я(Т)]2 а2 [N-Я(Т)]2 Н2 ^-Я(Т)]2

Рн < ш^(1) = е 1 <0

о

г2 а

§2 -2N

4N

(12)

где Н = —- - отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемника ст

к спектральной плотности помехи.

Для оценки вероятности неприема ПСП на всем интервале анализа L используем аддитивную границу Буля [1], тогда окончательно получим

Н2 ^ ^ Н2 ^-Я(Т)]2

РН < (Ь - 2N) • е 4 +2е 4N • (13)

1=1

Неравенство (13) дает строгую верхнюю границу для вероятности неприема ПСП при произвольных помехах в канале. Представляет интерес рассмотреть некоторые частные случаи, например, когда помеха в канале типа белого гауссовского шума (БГШ).

2. Вывод точной формулы для вероятности неприема ПК в условиях гауссовских помех

е

е

2

X

2

В частном случае, когда помеха гауссовская с нулевым средним и с дисперсией 52, легко получить точную формулу. Для этого (7) представим как

Рн = р{£(-1) -Л1 > а^ - Я(Т)]| = Р{л > а^ - Я(Т)}, (14)

N у

где = 2 (-1) 1 •^ гауссовская величина с нулевым средним и дисперсией

1=1

равной 2№2.

Н2

Г раница Чернова Точная формула при БГШ

Рис. 2. Нижняя и верхняя границы вероятности неприема ПСП P^ = ф(Н

Тогда для (14) можем получить точную формулу в виде [2]:

х2

28/^

Ph = P{n > a[N — R(T)]}= J

- e 4nS dx =

a[N—R(T)] '

(15)

= 1 -р| а[М-Я(Т)/ ] = 1 -р(Н[М-Я(Т)]/

У АТш) у А/ш

X 12

где Б(х) = У-ТгЛе-2Л - интеграл вероятности.

-ад

Для определения вероятности неприема ПСП на интервале анализа опять воспользуемся аддитивной границей и получим окончательное выражение в виде

( ГТТЛ"

PH < (L — 2N) -

1 — F

H#

N—1 + Е T=1

1 — F

( H[N — R(T)] ^

V2N

(1б)

Известно, что в классе помех с произвольным законом распределения, гауссовская помеха всегда дает нижнюю границу для вероятности ошибки [1]. Поэтому выражение (16) можно рассматривать как нижнюю границу вероятности неприема ПСП в случае произвольных помех в канале. На рис.2 приведены нижняя и 162

Р

Н

верхняя границы вероятности неприема ПСП РН = ф(н2 ) для различных N при аналоговом запуске и произвольных помехах в канале, рассчитанные по (13) и (16) соответственно. Из анализа кривых, приведенных на графике видно, что верхняя граница (13), полученная с использованием неравенства Чернова, дает достаточно плотные результаты (кривые 1 и 2) и, следовательно, будет хорошей оценкой вероятности неприема Рн при произвольных слабо коррелированных помехах в канале связи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Коржик В.И., Финк Л.М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой - М.: Связь, 1975.

2. Хисамов Д.Ф. Граничные оценки вероятности синхронизации псевдослучайной последовательности на каналах с произвольным распределением ошибок // Материалы Международного конгресса «Математика в XXI веке»// 25-28 июня 2003 г. - Новосибирск: Академгородок, 2003 г. М1р://ц'шцг.8Ьга8.ш/цг8/ММР-21/ .

О.М. Лепешкин, В.А. Артамонов

Россия, г. Ставрополь, СГУ

ОБНАРУЖЕНИЕ АНОМАЛИЙ ТРАФИКА КАНАЛА СВЯЗИ ПО КОРОТКИМ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Существующие системы обнаружения вторжений достаточно своевременно обнаруживают известные атаки. Развертыванию системы обнаружения атак должно предшествовать несколько шагов, позволяющих собрать дополнительную информацию, внести изменения в настройки сети. Современные системы автоматизируют многие этапы этого процесса. При внедрении систем обнаружения атак обычно необходимо решить две проблемы:

- система обнаружения атак должна соответствовать структуре сети;

- система должна быть настроена таким образом, чтобы она обнаруживала атаки и распределяла их по приоритетам с учетом специфики сетевой инфраструктуры.

При помощи систем обнаружения атак возможно получить полную информацию о том, что происходит в сети. Они также позволяют собирать данные о том, что поступает в сеть из удаленных источников, и использовать эти данные для эффективного применения средств защиты информации. Современные системы обнаружения атак значительно уменьшают вероятность угроз, но не могут полностью защитить от неизвестных или модифицированных атак. Проблема обнаружения новых атак, неизвестных до того момента, как атака была выполнена, является достаточно трудной и граничит с областью искусственного интеллекта и экспертных систем. Современные исследования сосредотачивают свое внимание на обнаружении атак конкретных типов, а не на выработке обобщенного подхода к обнаружению аномалий. Выработка этого подхода - это область активных исследований в ближайшее время [1]. Цель данной работы - применить методы исследования нелинейных динамических систем для выявления аномалий в трафике канала подключения к сети Интернет. В настоящее время существуют два основных направления построения систем обнаружения атак. Анализ пакетов, передаваемых по сети, и анализ журналов регистрации операционной системы или приложений. Эти подходы имеют свои сильные и слабые стороны. Сетевой подход к обнаружению атак является более эффективным по двум причинам: реагирование в реальном масштабе времени и более низкая стоимость операций. Системы обнаружения атак, основанные на анализе сетевых пакетов, позволяют среагировать на нападение до того, как атакующий завершит его, тем самым обеспечивая защиту в реаль-