Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.012

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2

П. Е. Товстик, В. А. Шеховцов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ МОРСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ ПЛАТФОРМ. ОДИНОЧНАЯ КОНСОЛЬ*

1. Введение. Исследование динамики морских стационарных платформ (МСП) на нерегулярном волнении является одной из необходимых частей при их проектировании. Этому вопросу посвящены многочисленные исследования, обзор которых содержится в работах [1-3]. Теория взаимодействия волн с преградами изложена в монографии [4].

Рис. 1. Типы опорных блоков.

Различные типы опорных блоков схематично представлены на рис. 1. На рис. 1,а показана исследуемая в этой статье одиночная консоль (моноблок), на рис. 1,Ь — ферменная конструкция. Эти конструкции возможно использовать на глубинах порядка сотен метров. На рис. 1,с представлена эстакада, используемая на небольших глубинах порядка десятков метров.

Одиночная консоль моделируется балкой Бернулли—Эйлера, упруго закрепленной на нижнем конце и несущей сосредоточенную массу на верхнем конце. Жидкость (вода) предполагается несжимаемой и глубокой, учитываются присоединенная масса и силы сопротивления. Рассматриваются малые гравитационные волны на поверхности, влияние дна игнорируется.

В данной статье рассматривается ряд факторов, влияющих на колебания конструкции, — переменность высоты смачивания при волнении, случайный характер волнения, демпфирование колебаний при движении стойки в воде, зависимость жесткости на изгиб от высоты стойки, — для стойки трубчатого строения нелинейно упругие свойства ее материалов (стали и бетона).

2. Колебания одиночной консоли постоянной толщины. Рассматривается простейшая конструкция из консольного стержня кругового поперечного сечения с массой то на конце, находящаяся под действием гармонического волнения. Уравнение колебаний имеет вид

д2М д (, , ди\ , д2и _ /д2и в д3и \

а? + &Д + да = '<«■ м = ■Е1 а?+£ ал*

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04.01.00257). © П. Е. Товстик, В. А. Шеховцов, 2005

где x —вертикальная координата (начало координат на дне), u(x,t) —боковое перемещение точек оси стержня.

Стержень 0 < x < Hi имеет постоянное сечение с жесткостью на изгиб EJ и погонной плотностью pi. Плотность р(х) в уравнении (1.1) переменна, ибо при 0 < x < H (H < Hi —глубина, см. рис.2) к плотности pi следует добавить плотность присоединенной массы po:

p(x) = { ppi+ P0' H<<Xx<<HHi, po = (« - C = 2,

где D —диаметр стержня, y — плотность воды.

Через P (х) обозначим переменное осевое сжимающее усилие, состоящее из веса Po = mog верхнего строения и веса вышележащей части стержня:

P(х) = (mo + (Hi — x)pi) g, g = 9.8 м/сек2.

В уравнении (2.1) слагаемое с множителем в учитывает силы внутреннего трения в стержне по модели Фойгхта—Сорокина [5].

В предположении, что нижний конец стержня жестко закреплен, граничные условия записываются в виде

u(0,t) = u'(0,t)=0, M(Hi,t) = 0, M' + Pou' — moU = 0 (при x = Hi). (2.2)

Через f (u,x,t) обозначена отнесенная к единице длины стойки внешняя горизонтальная нагрузка, состоящая из инерционной и скоростной составляющих давления воды:

C^D2 CvlD .

j{u,x,t) = ---Wy н---—\ve\ve, ve = vy-u, (2.3)

где vy и wy — скорость и ускорение воды в горизонтальном направлении, ve — относительная скорость воды, Cv — коэффициент волнового сопротивления (по экспериментальным данным для цилиндра Cv = 1.2). Для плоской гармонической волны высотой 2a, движущейся в направлении OY, уравнение поверхности воды имеет вид Z(t) = a cos(wt — ky) и ее горизонтальная скорость и ускорение при y = 0

vy(x, t) = auje~kh eosurt, wy(x, t) = — aJ1 e~kh sin urt, к = — = —, (2.4)

L g

где L — длина волны, ш — частота волнового воздействия, h — глубина соответствующего слоя воды [4]. Если считать, что глубина отсчитывается от уровня невозмущенной по поверхности, то h = H — x (см. рис.2^). Рекомендуется [1] вести отсчет от возмущенной поверхности, т. е. считать h = H + Z(t) — x (см. рис. 2,b). Ниже будет проведено сравнение результатов по этим двум подходам. Формулы (2.4) записаны для глубокой воды (H > L/2).

В качестве примера проведем расчеты для данных из работы [1]: длина волны L = 156 м, амплитуда a = 5 м, период т = 2п/ш = 10 сек, глубина H = 100 м, высота стойки Hi = 112 м, масса верхнего строения mo = 2.04 • 106 кг, масса стойки mi = 1.02 • 106 кг, коэффициент сопротивления в = 0.1. Рассмотрены три значения диаметра стойки D = 0.25; 1.0; 10 (м).

Рис. 2. Эквивалентная стойка (Б — с учетом переменной высоты смачивания).

Первую частоту свободных колебаний и соответствующую форму колебаний п\(х) находим из уравнения

ЕЗи!"' + (Р(х)п[)' - р(х)и>2щ = 0 (2.5)

и граничных условий (2.2).

Вычисления показали, что для рассматриваемых значений параметров влияние сжатия осевой силой Р(х) не превосходит 1% (в работе [1] оно не учитывается). Рассматривается ряд значений жесткости на изгиб (EJ) и ряд значений диаметра (О). В табл. 1 приведены значения Т/т без учета осевого сжатия, где Т = 2п/ш\ — период свободных колебаний.

Таблица 1. Сравнение периодов свободных колебаний

ЕЛ/ 10Г6н-м2 [1] И = 0 В = 1 В = 10

4.22 0.10 0.100 0.100 0.126

0.478 0.30 0.297 0.298 0.373

0.178 0.50 0.487 0.488 0.611

0.0961 0.70 0.662 0.664 0.831

0.0522 1.00 0.899 0.901 1.128

0.0370 1.25 1.068 1.071 1.340

В первом столбце таблицы приведены некоторые значения EJ, взятые в [1] (стр. 176, табл. 4.2), а во втором — значения Т/т из той же таблицы. В трех последующих столбцах приведены полученные нами значения Т/т при О = 0 (что соответствует игнорированию присоединенной массы воды) и при двух значениях О = 1 ми О = 10 м (в этих случаях присоединенная масса учитывается, одновременно увеличивается и период свободных колебаний). Из результатов таблицы 1 следует, что для стержня большого диаметра учет присоединенной массы обязателен.

3. Одномодовое приближение. Решение уравнения (2.1) ищем в виде п(х,€) = П(х)д(£), где п\(х) —первая форма колебаний, нормированная условием п(И\) = 1. Тогда неизвестная функция д(€) суть горизонтальное перемещение верхнего строения. Эта функция удовлетворяет уравнению

Мд + с(д+^=/^,д). (3.1)

Здесь М, с и / (Ь, д) —приведенные масса и жесткость системы и внешняя нагрузка

г-Н 1 г-Н 1

М = то + / р(х)и\(х) йх, с = Е^ и\(х) йх, /(Ь, д) = / /(и,х,Ь)и\(х)йх, ■1 о ./о ./о

(3.2)

где верхний предел £ в интегралах (3.2) равен £ = Н + £(Ь) или £ = Н в зависимости от того, учитывается или не учитывается изменение высоты смачивания (рис.2).

Влияние изменения высоты смачивания проведем при вычислении статического прогиба дст по формуле

1

(3.3)

дст = — тах /(£, 0).

Таблица 2. Сравнение статических прогибов

В = 1 В = 10

[1] 5 = я + с ? = я [1] ? = я + С ? = Я

0.1780 0.0522 0.0370 0.0207 0.0151 0.0139 0.0826 0.0515 0.0475 0.1290 0.0727 0.0671 1.29 1.15 1.14 5.12 3.91 3.89 7.96 5.52 5.49

В табл. 2 для двух значений диаметра стойки Б и трех значений Е.1 приведены значения максимального статического прогиба (в метрах). В столбцах [1] приведены значения из работы [1]. В следующих двух столбцах приведены значения, найденные при £ = Н + £(Ь) и при £ = Н. Видим, что для диаметра Б = 10 м различие столбцов £ = Н + £(Ь) и £ = Н незначительное. Для диаметра Б =1 м замена £ = Н + £(Ь) на £ = Н ведет к заметному уменьшению статического прогиба. Дело в том, что в первом случае (Б = 10) в момент максимального значения силы /(Ь, 0) высота воды у стойки по сравнению с нейтральным уровнем равна £ = 0.63 м, а во втором (Б = 1)—£ = 4.05 м, что связано с различием соотношений инерционной и скоростной составляющих давления воды в этих случаях.

Уравнение (3.1) интегрируем численно вплоть до получения периодического движения. Амплитуду вынужденных колебаний стойки при различных частотах возбуждения представим, используя коэффициент динамичности п, равный отношению максимального динамического прогиба к статическому прогибу

1

■п = — тах я и .

дст «

(3.4)

На рис. 3 показана зависимость п от отношения ш* = Т/т = ш/ш\ (частоты возбуждения ш к частоте свободных колебаний и о) для двух значений диаметра стойки в случае, когда эпюра волновой нагрузки берется согласно рис. 2Ь. Результаты качественно совпадают с полученными в [1]. Максимальные значения коэффициента динамичности при резонансе при Б = 10 ми при Б = 1 м соответственно равны п = 8.50 и п = 4.13. В случае волновой нагрузки согласно рис. 2a коэффициент динамичности несколько больше (п = 9.59 и п = 4.15). В обоих случаях имеется небольшой максимум на частоте ш* = 1/3, соответствующий резонансу на обертоне возмущающей силы, ибо имеет место разложение в ряд Фурье:

| 8т(шЬ)| вт(шЬ) = 0.849 вт(шЬ) - 0.170 вт(3шЬ)

(3.5)

О 0,5 1,0 1,5 и*

Рис. 3. Коэффициент дина- Рис. 4■ Композитный опорный блок.

мичности

(1 — В = 10м, 2 — В = 1 м).

При и* < 0.4 колебания субгармонические — на одном периоде имеется несколько максимумов и минимумов кривой #(£).

4. Стойка переменной толщины. Нелинейная жесткость на изгиб. Здесь рассматривается динамика МСП с опорным блоком переменного по высоте кольцевого сечения на вязкоупругом грунте (см. рис.4).

Имеем трехслойную кольцевую трубу, наружный и внутренний слои которой стальные, а средний слой бетонный. Примем следующие зависимости между напряжениями 6 и деформациями а (в вертикальном направлении, пренебрегая остальными деформациями и напряжениями): для стали

I 6тс при 6 ^^ 6тс ,

а = Ес { 6 при 6 < 6тс, атс — Ес 6тс (4.1)

{ 6тс при 6 > 6тс ,

и для бетона

а = Еб

6тб 0

при при при

6 < — 6тб, — бтб < 6 < 0, 6 > 6тб,

атб = Еб 6тб.

(4.2)

Здесь Ес и Еб — модули Юнга стали и бетона, 6тс — предел текучести стали, который предполагается одинаковым при растяжении и при сжатии, 6тб — предел текучести бетона при сжатии. Формулы (4.1) и (4.2) соответствуют модели Прандтля, причем формула (4.2) фиксирует предположение, что бетон совсем не сопротивляется растяжению.

Предполагается, что в данном сечении стержень сжат осевой силой Р и изогнут моментом М. Нашей целью является найти зависимость М(к) между изгибающим моментом и кривизной оси стержня к. Предполагается, что выполнена гипотеза плоских сечений, в силу которой деформация волокна, отстоящего на расстоянии £ от прямой, проходящей через ось стержня (см. рис. 4), равна 6 = 60 + кг.

Если сталь и бетон работают в упругой стадии, то

P = -Ke0, K = ^ (Ec(r22 - г?) + Еб(г2 - г2) + Ec(г2 - г2)),

M = Jk, J=-a (Ec(r\ ~ rf) + E6(r43 - 4) + Ec(ri - rf))

(4.3)

4

где т —радиусы слоев (см. рис.4). Пусть при сжатии Р > 0 (ео < 0). Предположим, что —ео < етс и —ео < етб. Тогда при достаточно малой кривизне к при изгибе оба материала работают в линейно упругой стадии и справедливы формулы (4.3). При

ео + етс ео + етб —ео

о тс о тб — о Ы > к* = пш1 <-, -, - > (4.4)

[ Т4 тз тз )

один или оба материала переходят в нелинейную область и формулы (4.3) нуждаются в корректировке:

Р = у а(ео) йв, М = у а(ео)гйв, (4.5)

где интегрирование распространяется на кольцевую область, занятую материалами, а напряжение а(ео) вычисляется по формуле (4.1) или (4.2). При этом, считая заданной кривизну к и сжимающую силу Р, по первой из формул (4.5) находим ео, после чего по второй из формул (4.5) вычисляем момент М. Заметим, что указанные вычисления могут быть выполнены лишь численно. Ниже эти вычисления приводятся для конкретных значений параметров.

Примем следующие значения параметров (в паскалях): Ес = 2.06 • 1011, Еб = 0.27 • 1011, атс = 2.77 • 108, <гтб = 0.42 • 108. Тогда безразмерные величины будут равны етс = 1.343 • 10~3, етб = 1.558 • 10~3, пе = етб/етс = 1.16, па = отб/отс = 0.152, пе = Еб/Ес = 0.131. Возьмем следующие радиусы слоев (в метрах): Т1 = 3.8, т2 = 3.9, тз = 4.9, т5 = 5.0.

По формулам (4.3) находим величины К и .1:

К = 1.885 • 1012 (н), . = 1.886 • 1013 (нм2).

Пусть сжимающее усилие Р = 2 • 108 (н) ~ 20000 (т). Оно порождает деформацию ео = —Р/К = —0.000106, которая существенно меньше величины етс, соответствующей началу пластических деформаций. В силу формулы (4.4) к* = —ео/тз = 0.0000216 м-1, что соответствует появлению растягивающих деформаций в бетоне. Пластические деформации в стали и в бетоне наступают при существенно больших значениях кривизны (соответственно при к = 0.000246 м-1 и при к = 0.000297м-1).

Для грубой оценки возможности отклонения от линейных формул (4.3) рассмотрим пример. Пусть длина стойки Н1 = 250 м и пусть ее кривизна постоянна. Тогда горизонтальное смещение д верхнего строения, связанное только с изгибом стойки без учета податливости фундамента, может быть найдено по формуле

Согласно этой формуле растягивающие деформации в бетоне появляются при д > 0.675 м, пластическое деформирование стали начинается при д > 7.7 м, пластическое деформирование бетона — при д > 9.3 м. Учет податливости фундамента приводит к

увеличению прогиба д, а учет реального распределения кривизны по высоте стойки может уменьшить прогиб д в 1.5 раза.

Вес стойки около 106 н/м ~ 100 т/м, поэтому для стойки длиной Н = 250 м сжимающее усилие в нижней части Р = 4.5 • 108 (н) ~ 45000 (т). Следовательно, в нижней части растягивающие деформации в бетоне появятся при больших значениях кривизны оси к> к* = 0.000486 м-1.

5. Уравнение движения и граничные условия. Здесь в отличие от п. 2 считаем, что верхнее строение имеет не только массу, но и момент инерции относительно горизонтальной оси. Фундамент (с массой и моментом инерции) нелинейно вязко-упруго связан с грунтом, нелинейное поведение материалов кольцевой стойки описано в п. 4, волнение является случайным. При сделанных предположениях уравнение движения оси стойки принимает вид

д2М ,,, , ,д2и „ т. . / . в дк\ д2и

-^г + (Р(х)и'У + р(х)— = /(и,х,г), М = ЕТ(х)иф(к,х) + ^—\,

Х Ш (5.1)

где изгибающий момент М записан с учетом нелинейных вязко-упругих свойств сечения (при ф =1 имеем линейную вязкоупругость), р(х) —переменная по высоте плотность стержня (вместе с присоединенной массой воды).

Граничные условия на дне (х = 0) и на верхнем конце (х = I = Н.) возьмем в виде

Т0ф0 = м (0, г) + Ь^(0, г) + Ьо + (Но - н* уо (г) = у(0, г),

дМ

Теф(£,г) = -М(£,г) + + 6тед + Ье(г), 0{х,г) = —

(5.2)

(5.3)

где сила ^о и момент Ьо взаимодействия фундамента с грунтом определены по формулам

^о = -сии*фи{и*) - ~~ (1 + Хии1), и* = и(0,£) - о, ш

Ро = -Сффофф&о) - ^ Ууо(1 + -Ч^2), ш

фи(и*) = (1 + \и*/иКр\ти )-1/т , ф^* ) = (1 + \у*/фкРГ* у1/т .

Здесь то, То — масса и момент инерции фундамента, т,£, Те — масса и момент инерции верхнего строения относительно центра тяжести, 5 — горизонтальный эксцентриситет центра тяжести верхнего строения, си и с^ — линейная (горизонтальная) и угловая жесткости фундамента, нелинейная функция фи(и*), учитывающая пластические свойства грунта, введена в работе [6].

После отбрасывания нелинейных слагаемых, сил сопротивления и разделения переменных приходим к краевой задаче для определения частот и форм малых свободных колебаний

(ЕТ(х)и")" - р(х)ш2и = 0, (5.5)

(EJ(x)u'' )' = mow2Mo — cuu*,

EJ(x)u'' = — Jo&2u' + homou>2uo + cvu' — h*cu

(EJ(x)u'' )' = — m£u2u£, EJ(x)u'' = J£u!2u' + h£m,£u!2u£,

где

uo = u(0) — hou' (0), u* = u(0) — h*u'(0), u£ = u(^) + h(v![i).

Решая численно задачу (5.5), находим частоты и формы u^(x) малых свободных колебаний. Формы нормируем условием uk(i) = 1.

Рассматриваемая конструкция может служить основой для расчета реально проектируемой конструкции, поэтому приводится подробный анализ ее динамики.

Фиксированными считаем следующие параметры: высоту стойки Hi = 250 м, глубину спокойной воды H = 235 м. Поперечное сечение имеет наружный диаметр наверху 10 м, внизу—12 м. Сечение трехслойное, наружный и внутренний слои стальные и имеют постоянную толщину 0.05 м. Средний слой бетонный и имеет толщину 1м. Зависимость радиусов слоев (см. рис.4) от высоты x, отсчитываемой от дна, линейная. Параметры стали и бетона те же, что и в п. 4.

6. Анализ частот свободных колебаний. Найдем частоты свободных колебаний и исследуем их зависимость от параметров конструкции. В качестве основных значений параметров примем параметры фундамента mo = 107, Jo = 15 mo, ho = 3, hz = 3, cu = 107, cv = 1012, массу стойки 2.32 • 107, параметры верхнего строения m£ = 107, J£ = 10 m£, h£ = 3 (все параметры в системе единиц СИ).

При этих значениях параметров первые три частоты свободных колебаний суть

ш1 = 0.256, ш2 = 0.687, ш3 = 3.115. (6.1)

При этом первой и второй частотам соответствуют формы колебаний, при которых конструкция смещается почти без деформаций. Влияние осевого сжатия на первые две частоты колебаний существенно. Без учета сжатия вместо значений (6.1) имеем

ш1 = 0.280, ш2 =0.741, ш3 = 3.179.

Влияние жесткости грунта на первую частоту свободных колебаний представлено в таблице 3. В левом верхнем углу помещена частота, соответствующая жесткой заделке стойки. Левый столбец соответствует жесткой заделке по отношению к горизонтальному перемещению фундамента, а верхняя строка — по отношению к его повороту. В связи с тем, что упругость грунта может меняться в широких пределах, а конструкция фундамента может быть различной, в табл. 3 представлены значения частоты при изменении линейной cu и угловой cv жесткостей фундамента в широком диапазоне. При cv < 1.1 • 1011 стойка теряет устойчивость при продольном сжатии, ибо при cv ~ 1.1 • 1011 частота ш обращается в нуль.

Влияние массы верхнего строения оценим в предположении, что момент инерции верхнего строения равен J£ = 5m£. Тогда зависимость первых трех частот колебаний от массы m£ такова:

m£

0.5-107 107 1.5 107 2 107 2.5-107

ш1 = 0.306 0.256 0.205 0.153 0.092 ш2 = 0.756 0.687 0.646 0.620 0.601 ш3 = 3.351 3.115 2.992 2.915 2.861

u

x

Таблица 3. Зависимость первой частоты свободных колебаний от линейной и угловой жесткостей грунта

с,р Си = 1012 10» 3 • 10у Ю1' 3 • 10ь 10ь

10 0.374 0.364 0.341 0.284 0.188 0.115

ю13 0.367 0.357 0.335 0.281 0.188 0.115

3 ю12 0.350 0.342 0.323 0.275 0.187 0.115

ю12 0.310 0.304 0.291 0.256 0.182 0.115

3 ю11 0.210 0.208 0.205 0.194 0.163 0.114

2 ю11 0.158 0.158 0.156 0.153 0.142 0.114

1.5 ю11 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111 0.111

1.2 ю11 0.059 0.059 0.059 0.059 0.059 0.059

1.1 ю11 0.006 0.006 0.006 0.006 0.006 0.006

Видим, что зависимость сравнительно слабая в связи с большой массой стойки (вместе с присоединенной массой воды). В то же время с возрастанием массы т£ одновременно растет и осевая сжимающая сила, и для принятых значений жесткости фундамента стойка потеряет устойчивость при т£ = 2.83 • 107.

Влияние массы фундамента на частоты колебаний незначительно в связи с относительно небольшими смещениями фундамента.

7. Одномодовое приближение. При анализе вынужденных колебаний МСП ограничимся одномодовым приближением. Решение уравнения (5.1) ищем в виде

и(х,Ь) = П1{х)ц{Ь). (7.1)

где и\(х) —первая собственная функция. С учетом значений частот (6.1) область применимости приближения (7.1) ограничена длинными волнамм (Ь > 150 м), ибо для более коротких волн возможно возбуждение второй резонансной частоты. Применяя метод Бубнова—Галеркина, получаем уравнение для ц(Ь) в виде

тд = Q(упр) + д(фунд) + Q(волн), (7.2)

где т — обобщенная масса, а обобщенные силы Q(упр), Q(фунд) и Q(волн) учитывают соответственно вязко-упругие силы в стойке, силы взаимодействия с фундаментом и силы воздействия волн, причем

т = р(х)и\ йх + тоиОх + т^и^ + ^о(и1(0))2 + ^(и1(£))2, ■! 0

ио1 = и'(0) - ^оЦ(О), и£' = и1(£) + Н£и''(£),

д(упР) = - Е^х) ^д(г)и';(х)ф(д1(г)и"(х), х) + ШММ) ^ (7.3)

Q(фунд) = Fо(q(t)utl)и*1 + Ьо(д(*К(0)) и'(0), и*1 = и'(0) - Ки[(0),

Г Н+Ф)

Q(волн) = у(д(г)и1(х),х,г)и1(х) йх.

о

Функции Q(упр) и Q(волн) заслуживают подробного обсуждения. Функция ф, описывающая нелинейную изгибную жесткость сечения трубы, зависит от кривизны ее оси к и от осевой сжимающей силы Р, действующей в этом сечении.

Рис. 5. Зависимость функции ф от кривизны Рис. 6. Нелинейная изгибная

и осевого сжатия. жесткость стойки.

На рис. 5 представлена функция ф(к) для различных значений осевого сжатия Р (на рис. 5 сила Р дана в тысячах тонн).

После вычисления интеграла в (7.3) силу Q(упр) можно представить в виде

дупр = -с(<7)(<7+^)- (7.4)

График функции с(д) дан на рис. 6.

Нелинейность сначала проявляется на самом нижнем сечении, распространяясь затем к верхней части стойки. При этом растягивающие деформации в бетоне появляются при горизонтальном смещении верхнего строения д = 1.3 м, пластические деформации в стали — при д = 7.4 м и, наконец, пластические деформации в бетоне — при д = 8.9 м. Приведенные результаты говорят о необходимости учета нелинейности при изгибе стойки в случае колебаний с большой амплитудой.

8. Воздействие случайного волнения. Воздействие гармонического волнения было рассмотрено в пп. 2 и 3. Здесь рассматривается модель плоского случайного волнения, согласно которой по поверхности воды в направлении оси Оу движутся волны С = С (у, г), являющиеся суперпозицией гармонических волн со случайными амплитудой а(ш) и фазой у(ш)

/го ш 2

а{ил) соб^ — к{ио)у + <р(си)) ¿ои, к = —, (8.1)

го д

где случайная фаза у(ш) равномерно на промежутке 0, 2п, а распределение амплитуды а(ш) дается спектральной плотностью

5С(ш) = < а2(ш) > . (8.2)

Используемый здесь метод моделирования основан на каноническом разложении случайного процесса, описанном в монографии [7]. Представим процесс С(у,г) в виде суммы гармонических волн:

N

ГьЗ\Ч - *>э) "Г Чз ыи-К^зЬ - г^-ч

где

С(2Л = у/Р^^з - Щ) + щ - Щу)), (8.3)

3 = 1

^ = ^о + - ^ До;, Д^ = ^ Рз = 2в^ш^Аш.

Здесь из — равномерно распределенные частоты из интервала < и < ^, где частотный интервал [^о, ] выбирается таким образом, чтобы воздействием на систему волн с более высокими и более низкими чaстотами можно было пренебречь.

В (8.3) ^ и Пз —независимые случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Считая, что эти величины распределены по нормальному закону, для их моделирования используем формулы

З = (-2к^аЗ)соъ2па-, п3 = (-2к^аЗ)£т2па", (8.4)

где аЗ и а" — независимые случайные величины, равномерно распределенные на промежутке [0,1].

Имеются стандартные данные о спектральной плотности высоты волн, принятые 2 международным конгрессом по прочности и конструкции судов [8]

2§ Тс ( 686

вЛш) = 98.2 ехр -/ЛТ1 ч, , (8.5)

а ; сад* pv (ЗД4у ^ ;

где а3 — высота волн 3%-ой обеспеченности, Тс — средний период волн. Средняя длина волн равна Ьс = дТ2/(2п).

Преобразуем формулу (8.5) к безразмерному виду, положив

£ 2п

£ = —, о; = = —,

и с Тс

где £ и £ — безразмерные время и частота волнения, ис — средняя частота волнения. Тогда формулу (8.5) можно записать в виде

= = (8.6)

0 0,5 1,0 1,5 г

Рис. 7. Форма спектральной плотности.

График функции ¥ (г) показан на рис. 7. В формуле (4.25) а\ — дисперсия волнения, связанная соотношением а3 = 3.74 ах с высотой а3 волны 3% обеспеченности. Спектральная плотность имеет максимум при г = 0.77. С погрешностью менее 1% можно ограничиться рассмотрением частотного интервала возбуждения 0.4 < г < 4.

Теперь для вычисления обобщенной силы ^(волн) в интеграле (7.3) с учетом формул (8.3) и (2.3) следует считать

х) Су YD(x). . ;{д{Ь)и 1(х),х,£) =---<Шу +---\Ve\Ve,

П1 (х)д,

(8.7) 139

у

где

N

3=1

N

х) = БШШ^ + СОБ U^jt)^

3=1

(8.8)

Здесь величины ^, ш3-, , п3' те же, что и в формуле (8.3), а функция С (г) вычисляется по формуле (8.3) при у = 0.

9. Вынужденные колебания стойки высотой 112 м. Ниже приводится пример расчета для конической стойки высотой Н1 = 112 м при глубине моря Н = 100 м. Стальная стойка имеет кольцевое поперечное сечение с внешним диаметром О(х) = 5 — 0.01х м и толщиной Н(х) = 0.1 + 0.0002 м. Масса верхнего строения те = 1000 т. Частота малых свободных колебаний ш1 = 0.758 сек-1. Рассмотрены колебания при длине волны Ь = 200 м. Рассмотрено синусоидальное волнение с высотой волны 2а = 5.66 м (рис. 8) и случайное волнение (рис. 9 с двумя реализациями процесса), у которого средняя длина волны равна Ь = 200 м, а среднеквадратичное отклонение а = 2 м (у синусоидальной волны то же среднеквадратичное отклонение).

При моделировании случайного волнения взято гармоник N = 50 (см. (8.3)). Продолжительность анализа 100 сек. На графиках сплошной линией показаны горизонтальные перемещения верхнего строения, а пунктирной — высота смачивания (в метрах). Начальные условия были взяты нулевыми. Видим, что при синусоидальном волнении быстро устанавливается периодический режим движения.

При синусоидальном волнении коэффициент динамичности п = 3.00. При случайном волнении коэффициент динамичности также является случайной величиной, причем с большим разбросом. Для первой реализации на рис. 9 оказалось п = 3.59, а для второй — п = 2.36.

10. Вынужденные колебания стойки высотой 250 м. При анализе динамики трехслойной конической стойки наряду с параметрами, заданными в п. 6, примем

-9 -<

Рис. 8. Колебания при синусоидальном волнении.

Рис. 9. Колебания при случайном волнении.

следующие значения параметров, характеризующих нелинейные вязкоупругие свойства стойки и фундамента: в = 0.1, /Зи = вр = 0.2, ти = тр = 2, икр = 10 м, укр = 0.1, Хи = 5 м, Лр = 0.1. Параметры волнения будем менять.

Для синусоидального волнения рассмотрим два значения высоты волны 2а = 6 ми 2а = 14 м при различных длинах волн Ь.

Таблица 4. Зависимость амплитуды колебаний от длины и высоты волны

а = 3 а = 7

ь а(1) Чтах V а(1) Чтах V

100 0.57 0.43 1.53 0.34

200 1.14 0.69 2.38 0.56

300 1.84 1.18 4.02 1.01

400 2.80 1.92 5.26 1.42

500 4.50 3.28 8.64 2.50

600 5.45 4.24 10.44 3.24

700 5.96 4.93 11.34 3.74

800 5.25 4.62 10.72 3.81

900 3.91 3.65 9.45 3.59

1000 2.89 2.93 7.82 3.16

В табл. 4 приведены максимальное горизонтальное смещение верхнего строения ятах (в метрах) при установившихся колебаниях и коэффициент динамичности п. Видим, что резонанс имеет место для длин волн Ь ~ 700 м.

Влияние эксцентриситета 6 верхнего строения (см. систему уравнений (5.3)) рассмотрим для амплитуды волны а = 7 ми длины волны Ь = 300 м. Результаты возрастания амплитуды ятах (м) вместе с эксцентриситетом 6 (м) приведены ниже:

е = 0 5 10 15 20 Яшах = 3.34 4.31 5.20 6.03 6.81

Такое же (качественно) влияние на амплитуду колебаний оказывает и действие постоянной ветровой нагрузки или течения.

11. О многомодовых приближениях. Так как вторая собственная частоты свободных колебаний равна ^ = 0.687 (см. (6.1)), то следует ожидать появление резонанса по второй форме колебаний. Для анализа этих колебаний следовало бы искать решение системы (5.1) в виде

и(х,г) = и1(х)я1 (г) + и2(х)я2(г). (11.1)

После применения процедуры Бубнова—Галеркина для неизвестных функций Я1 (г) и Я2(г) получается система уравнений, аналогичная уравнению (7.2) с правыми частями вида (7.3). Для вычислении величин Qупр и Q^упр на каждом шаге по времени и в каждом сечении по х следует вычислять интегралы (4.5). Эти вычисления не выполнялись. Для оценки влияния второго резонанса на колебания рассмотрим колебания только

по второй форме и(х,г) = и2(х)я2(г), пользуясь описанным выше алгоритмом одномо-

(2)

дового приближения. В таблице 5 приведена зависимость амплитуды колебаний ятюх (в метрах) от длины и высоты волны. Коэффициент динамичности не приводится, ибо он должен определяться исходя из первой формы колебаний. Видим, что в данном случае резонанс имеет место при Ь ~ 110 м.

Таблица 5. Зависимость амплитуды колебаний от длины и высоты волны при колебаниях по второй форме

а = 3 а = 7

L (2) 'Утах (2) 'Утах

50 0.06 0.18

80 0.17 0.39

90 0.25 0.53

100 0.32 0.71

110 0.36 0.78

120 0.31 0.73

130 0.23 0.60

150 0.16 0.39

200 0.07 0.19

300 0.02 0.07

Сравнение результатов, помещенных в таблицах 4 и 5 говорит о том, что величина ?шах, найденная по второй форме колебаний, существенно меньше аналогичной величины, найденной по первой форме. Лишь для длин волн порядка 100 м величины дШаХ и ^Шах сравнимы между собой (вторая примерно вдвое меньше первой).

Если бы рассматриваемая система была линейной, то результирующее движение можно было бы найти как сумму д(1)(£) + д(2)(£). Из-за нелинейности для построения движения следовало бы искать решение в виде (11.1). Однако это целесообразно делать лишь при Ь < 150 м, а при Ь > 150 м с достаточной степенью точности можно ограничиться одномодовым приближением по первой форме. В связи с тем, что наиболее опасные режимы движения имеют место при длинах волн порядка 600-800 м (см. таблицу 4), мы ограничились одномодовым приближением по первой форме.

Summary

P. E. Tovstik, V. A. Shekhovtsov. Mathematical models of the mariner fixed off shore platforms dynamics.

Some mathematical models of the mariner fixed off shore platforms dynamics under action of the harmonic or of the random wave excitation are studied. The supporting mainframe is supposed to be a cantilever tubular iron-concrete beam. Vibrations of the upper construction are investigated.

Литература

1. Халфин И. Ш. Воздействие волн на морские нефтегозопромысловые сооружения. М.: Недра, 1996.

2. Ибрагимов А. М. Нефтегозопромысловые гидротехнические сооружения. М.: Недра, 1996.

3. Шеховцов В. А. Случайные нелинейные колебания опорных блоков морских стационарных платформ. СПб., 2004.

4. Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн с преградами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

5. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. Госстрой-издат, 1960.

6. Колесников Ю.М., Курилло С. В., Лихачев С.Н., Хрунов И. В. Влияние циклических горизонтальных нагрузок на работу свайных фундаментов МНГС // Влияние внешней среды на проектирование и эксплуатацию морских нефтепромысловых сооружений. Рига, 1985.

7. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

8. Proc. 2 Int. Ship Structure Congress. Delft, 1964.

Статья поступила в редакцию 2004 г.