К теории свободных колебаний балок из физически нелинейного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 624.04

К ТЕОРИИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА

Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В., инж. ЩЕТЬКО Н. С.

Белорусский национальный технический университет, Белорусский научно-исследовательский институт строительства

Проектные организации Республики Беларусь несколько лет назад перешли на отечественные нормы проектирования бетонных и железобетонных конструкций, в которых заложены нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями для решения статических задач расчета конструкций [1]. В настоящей статье делается попытка исследования влияния нелинейно упругих законов деформирования материала на свободные колебания балок. Эта область исследования, несомненно, представляет большой интерес, так как расчеты на сейсмику, пульсацию ветра и влияние машин с динамическими нагрузками прямо связаны с определением частот и форм собственных колебаний конструкций [2].

1. Рассмотрим консольную балку с одной степенью свободы (рис. 1).

Предположим, что материал двутаврового сечения балки подчиняется закону

о(г)-Ег———--є3 3 27 а2

(1)

где а, Е - предел прочности и начальный модуль упругости материала балки.

Зададимся законом свободных колебаний балки в виде

Z(x, і) = Д/)| 1 - СОБт—

(2)

Считая справедливой гипотезу плоских сечений, находим

8 = —= Л(/) ^СОБ--------, (3)

АЬ

1

где — - кривизна балки.

->

х

Рис. I. а~ консольная балка с сосредоточенной массой; б - ее поперечное сечение

Энергия изгиба при принятом законе деформирования (1) получится в виде [3]

Еп

о о

.4

768 С

Ег л8

—[г*, (5Л4/7 + 40/г24 +1Ы) )+ /г5ґ„],

14745602/0 где Г2 - площадь двутаврового сечения.

Согласно теореме Кастилиано даст нелинейную силу упругости балки в точке приложения массы [4], и поэтому на основании принципа Даламбера [5] для двутавра 30Б2 и X = 3 м; а = 4-108 Па; Е = 2-1011 Па; М = 500 кг получаем нелинейное дифференциальное уравнение

500^4®+1,57559-106 Л(/)-6,08857- 107Л3(*) = 0. Л

(5)

Уравнение (5) известно под названием уравнения Дюффинга с мягкой нелинейностью [5] и допускает точное решение. Действительно, обо-

(1А{г) <1у в» йА йу

значим —т“ = V, тогда — =-----------= V— и

Л Л М Л с1А

йу _

500

1 -(і,57559-106Л-6,08857-107Л3)= =-(3151,18Л-121771Л3).

Или

=-(3151,18Л -12177 Ы3 )^ . Откуда после интегрирования получаем

"2 3151,18 2 121771 4

■ = Н--

-А‘+-

А\ (6)

Так как из (6) следует

V = ^2Н -315ЩЛ2 +Шр±А4 =

2ШІ_315ЩАг+12П71А^^

получаем

Л

<1А

I

2МН

М

-3151,18^4 +

2 121771 ,4

(8)

Для периода Т собственных колебаний рассматриваемой балки из (8) находим

и

Т = 4|

М

2 МН М

-3151,18л2 +

121771 2 '

, (9)

откуда видны зависимость периода колебаний от начальных условий и негармоничность периодических колебаний балки, так как (9) выражается через полные эллиптические интегралы [6].

На рис. 2 приведены графики колебаний для линейного и нелинейного вариантов при А0 = = 0,03 ми у0 = 0, построенные с помощью пакета «МаЛетайка».

где Н - постоянная интегрирования.

Если обе части (6) умножить на величину массы М, то произведение МН будет давать полную энергию колеблющейся системы, со-

„ „ Му2

стоящей из кинетическои энергии массы .....—..

и потенциальной энергии изгиба балки и. Очевидно, в процессе свободных колебаний балки ее полная энергия остается постоянной. Используя начальные условия:

= *0,

(=0

находим выражение для полной энергии

жжтт 3151,18 2 121771 4

МН = М— +----------—АХ-------------ж. (7)

2 2 4

Рис. 2. Графики колебаний консольной балки с одной степенью свободы при: 1 - линейном; 2 - нелинейном законах деформирования

2. Рассмотрим прежнюю консольную балку, но прямоугольного поперечного сечения размером Ьк, материал который подчиняется закону деформирования

ст (е) = Д{

+1 + ехр

'Е л #|£| \кь у

(10)

где 7?*,, Еъ - прочность и начальный модуль упругости материала балки.

Задаваясь уравнением свободных колебаний в виде (2), после определения кривизны (3) вычислим энергию изгиба по формуле (4):

а п

£/ = 2^[<йс|

о _Ъ_ о 2

А

Е„

ехр

2 тех

—й----------г-СО

21

, Ап 7СС н—— гсоэ-

4Г

2 г>3

21

, . пЬ^Я.

<Ь = А—?гг-ь- +

(П)

+

2ШЬ1Щ

\2кАп2ЕІ

б7их/0(а) - яа^2

-2а^з|1Д; §,2,§;-^

2Л

3.5 а: 2 2? 4

* 6тс/1(а)

2Л

а =

ЕМ2_а Щ12 '

где /о(а) - функция Бесселя мнимого аргумента; рРд(а;Р;у;г) - гипергеометрические функции; 1.1 (а) - функция Струве [6].

Разлагая (11) в степенной ряд по безразмерному параметру а и дифференцируя по А для определения нелинейной силы упругости, получаем нелинейное дифференциальное уравнение для исходных данных железобетонной балки (X = 3 м; М = 500 кг; Еъ - 3,31-Ю10 Па; Кь = 3,49-107 Па; Ъ = 0,2 м; А = 0,4 м)

д2А

дг2

+ 7961,08^4 - 13178Ы + 1,61471-10^4

- 1,58391*107Л4+ 1,29961*108Л5- ... =0. (12)

Численное решение уравнения (12) получено на пакете «МаШетайка» при удержании в степенном ряду пяти первых членов. На рис. 3 приведены графики колебаний консольной балки для линейного и нелинейного вариантов. Для нелинейного варианта видно смещение оси колебаний относительно центра прямоугольного сечения.

0,03

0,02

0,01

0

-0,01

-0,02

-0,03

У\ , 1

0,05

\0,1

0,15 \ ’■ / 0,2

Рис. 3. Графики свободных колебаний железобетонной балки свободы при: 1 - нелинейном; 2 - линейном законах деформирования

3. Теперь изучим поведение консольной балки с двумя степенями свободы (рис. 4).

2 А

Мі

иг

Мг

2

-тК

Рис. 4. Консольная балка с двумя степенями свободы

Зададимся законом колебаний в форме

г(*, 0 = 4(0р-соэ—- +АгЩ\-оовЩ- .(13)

Причем

ґ I—\

■МО

1-

•>/2

2 у

\2 у

г2(Ц о = 4(0+4(0-

+ 4(0

1+

V 2 У

’ (14)

Откуда следует:

4(0 = 2і(1’ 0;

4(0 = +^^22(ь, о.

(15)

Законы движения колеблющихся масс можно записать в виде уравнений:

-г

Мї —-гг + = 0;

М.

А2

с/2*

(16)

-+д, =о,

где Ль Л2 - силы упругости балок в местах приложения масс на балке.

На основании (15) можно получить:

р ди ди 84 , дУ 54 ..

1 52, 54 5^ 54 дг{

4ідЦ лІ2дУ

2 54 2 54 ’

„ _ 8Ц _ дУ 6Д 5(7 54 2 &, 54 5г2 я-

(17)

Й^з &2

__ 1 + УІ2 ди 4г-2ди

2 54 2л/2 54 ’

где (7- энергия изгиба колеблющейся балки.

Выразим эту энергию в виде функции от Аи А3 приняв закон деформирования материала балки в виде (1). По формулам (17) для двутавра 30Б2 и Ь = 3 м, М\ = 1500 кг, М2 = 500 кг. Получим необходимые силы упругости:

Ц = 4(0^575592 • 106 - 6,088566 • 10?42(0 -

- 5,479709-Ю84(04(0 -9,863476-Ю942(о] ;

(18)

Л2 = 1,276229 • 1084(0 -1,8265694(0 • 108 -

- 9,863476 • 10942(/)4(0 - 3,994708 • 10и43(0.

Численное решение получено с помощью пакета «МаЛетайка». На рис. 5. приведены графики колебаний точек расположения масс при начальных условиях ^і(0) = 0,001 м; А3(0) = = -0,01 м; А'(0) = Л'з(0) = 0.

0,0075

.0,0050

0,0025

0

-0,0025

-0,0050

-0,0075

■ Л 4 ч I і ^

... ! ! ; і I К* і » і: і! * і* і\

"Г ! / І . . . I . ! ! ! І і і . І. і. 11 і і і .

0 2 ! *| Л... о .6 І І о •4 і і : ... ... і _

| I ! ! \ і ; і п/ \і І/ і і ! І ! 1 і І \І

I І \і з \ \

0,10 ■ 0,05

0

-0,05

-0,10

ГПГ I! 1

! О \

Я-

>0*

! і П і) И І Мі

тпм

Рис. 5. Графики колебаний точек расположения масс на консольной балке

4. Рассмотрим свободные колебания шар-

нирно опертой железобетонной балки прямо-

угольного поперечного сечения с бесконечным

числом степеней свободы (рис. 6).

Рис. 6. Шарнирно опертая балка с бесконечно большим числом степеней свободы

Дифференциальное уравнение ее свободных колебаний запишем в следующем виде:

д2

дх2

в(х, г)

й2і п +т!?’0’

(19)

где #(*, *) - изгибная жесткость сечения балки.

Для фиксированного момента времени I прямоугольного сечения балки и при условии (1):

1-£

15

( ,2-Л2 а 2

К**;

; (20)

ЕЪп

12

Поэтому уравнение свободных колебаний (19) принимает вид

д2

йх2

Вг

1-

й2 ( Е с12г

151с сЕс2

у" с12г

У сЕс2

+ ■$-0.(21)

Согласно [5] уравнение (21) приведем к безразмерной форме. Обозначим:

х - хЬ\ со/ = /; г- /Ь;

д__ _й. А-1А

81 ^ б* ’ Йх Ь дх'

(22)

После подстановки (22) в (21) получаем уравнение свободных колебаний в безразмерном виде

со;

2 т1? д2г д

В0 Л'

, +■ , 2 йх2

1-

к4 Е

2 ( дг2^г

15 Г а

дх2

дх2

= 0.

(23)

Численное решение уравнения (23) получено с помощью пакета «МаАетайка». На рис. 7, 8 показаны первые две формы собственных колебаний для начальных условий:

г,(х, 0) = 0,01 бш ;

дг^х, 0)

81

иг2(х, 0) = 0ДО)18Ш^;

°) о

при Ъ = 0,3 м; к - 0,5 м; Е = 3,31 • Ю10 Па; а = 2,23* 107 Па; т = 1000 кг/м; Ь- 6 м.

Рис. 7. Первая симметричная форма колебаний шарнирно опертой балки Т = 0,0775 с

Рис. 8. Первая антисимметричная форма колебаний шарнирно опертой балки Т = 0,00199 с

ВЫВОДЫ

1. Учет нелинейной связи между деформациями и напряжениями при свободных колебаниях балок значительно усложняет задачу определения частот и форм свободных колебаний балок.

2. Различные зависимости а-г по-разному влияют на характер частоты и формы свободных колебаний балок.

3. Перед учеными Беларуси в области строительства стоят актуальные и сложные задачи по приведению в соответствие статических и динамических расчетов, заложенных в нормативных документах.

ЛИТЕРАТУРА

1. СНБ 5.03.01-02. Бетонные и железобетонные конструкции. - Мн., 2003. - 139 с.

2. СНиП 2.01,07-85. Нагрузки и воздействия. - М., 1986.-34 с.

3. Босаков С. В. Метод Ритца в примерах и задачах по строительной механике и теории упругости. - Мн., 2000. -144 с.

4. Ржаницын А. Р. Строительная механика. - М.: Высш. шк., 1991. - 438 с.

5. Найфэ А. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. -455 с.

6. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.

Интегралы и ряды: Дополнительные главы. - М.: Наука, 1986.-799 с.