CC BY
44
2/2011 ВЕСТНИК 2/20L]_МГСУ
ЖЕСТКОСТЬ ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ ВЫСОКОПРОЧНОГО БЕТОНА НА ОСНОВЕ ВЯЗКО-УПРУГОЙ МОДЕЛИ НАСЛЕДСТВЕННОГО СТАРЕНИЯ
RIGIDITY OF BENDING REINFORCED CONCRETE ELEMENTS TAKING INTO ACCOUNT NONLINEAR CREEP OF HIGH STRENGTHS CONCRETE ON THE BASIS OF IS VISCOUS -ELASTIC MODEL OF HEREDITARY AGEING
A.r. TaMpa3HH
A.G. Tamrazyan
Mrcy
Использование высокопрочных бетонов и построение на их основе теории ползучести приводит к интегральному уравнению Волътерра второго рода - с ядром более сложного вида. Предлагается метод решения на основе вязко-упругой модели.
Use of high-strength concrete and construction on their basis of the theory of creep leads to the integrated equation of Volterra of the second sort - with a kernel of more difficult kind. The method of the decision on the basis of viscous-elastic model is offered.
В последнее время интенсивно создаются бетоны со все более высокими прочностными характеристиками, так называемые высокопрочные бетоны с прочностью до 600Н/мм2 .
Однородность структуры бетона и повышенная плотность при укладке является основным принципом изготовления высокопрочных бетонов. Основным параметром для достижения оптимального состава смеси служит расход воды, минимальное значение которого принимается В/Ц=0,08. На ползучесть бетона влияют многие факторы, зависящие от свойств и соотношения образующих бетон материалов, методов укладки, обработки, характера и уровня нагрузки, времени и возраста бетона и др.В связи с этим существенно меняются реологические свойства таких бетонов.
Для обоснования надёжности и долговечности сооружений из таких бетонов необходимы исследования и разработка феноменологических моделей, оценивающие поведение бетона во времени.
Синтезом теории упругой наследственности и теории старения является наиболее строгая феноменологическая теория вязкоупругости- наследственная теория старения. Основные интегро-дифференциальные уравнения этой теории адекватно отражают как наследственные, так и возрастные признаки материалов. Поэтому наследственная теория старения является наиболее приемлемой феноменологической
ВЕСТНИК МГСУ
2/2011
моделью для оценки поведений высокопрочных бетонов как вязкоупруго-стареющих материалов.
Связь 8 — <У, выраженной в интегральной форме для модели вязко-упргости, в общем случае, имеет вид
ait) = E(t)
e(t ) +J a(r) dT
(1)
Для общности меру вязко-ползучести вязко-упругой модели представим в самом общем виде
С(1,т) = £ в,. (1)в (2)
1=1
Из этой обобщенной функции можно получить меру вязко-ползучести моделей с разными комбинациями элементов вязкости и упругости, а также меру ползучести, применяемых наследственных теорий ползучести, построенных на феноменологической основе.
Модель вязкоупругого наследственно стареющего тела получим, параллельно соединив к механизму ВУмНС - упругую пружину Е2 (рис.1).
Рис.1. Модель вязкоупругого наследственно стареющего тела (модель Кельвина)
Для моделей вязко-упругости формула (2) раскроется так
- модель Кельвина:
С (t ,т) = C[l - е ~r(t "т) J
0l(t ) = C; 0 2 (t ) = Се "" = 0;^ = -у,
- модель вязко-старения
С(t,r) = Л(е-гт - е^ }
6¿t ) = Л;Г1 =у;Г2 = O;02(t ) = Ле ^,
- мера ползучести Александровского C.B. [1]
С (t ,т) = a1 + Ь1е ~{a2 + b2 У^е - F (t )(еп - л),
д1 = a1;y1 = 0; д2 = Ь1;у2 = а1;03 = -a2 е ~"2' ; у3 = -а2 ; д4 = Ь2 е ~"2t ; у 4 = 0; (5) в5 (t) = F (t ); r5 - -г; д6 (t ) = AF (t); Гб - 0,
- мера вязкости вязкоупругой модели наследственного старения
(3)
(4)
2/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
С (г ,т) = С-
г + л(в^ - е)
С С
в^) = С; г, = 0^(0 = ;г2 = -сг,вЖ) = -1—;
еа -1 е™ -1
Гз = 0;^(0 = Л;г4 =гЛ(*) = Ле ;Г5 = 0.
(6)
Реологические параметры, входящие в (2) таковы, что для С(г, т) няются условия:
выпол-
д "С(1,т)
дт"
Z
а "-'С (г, г)
дт"
д "С(г, т)
дг"
Z
а "-'С (г, г)
дг"
(7)
Ядро вязкости интегрального уравнения (1), при представлении меры вязкости в общем виде (2), будет иметь вид:
К (г,т) = -Е (г) = Е (о£ гА (0^, (8)
где ядро К (г, т) - является вырожденной (разделяющейся), так как оно представлено в конечной сумме произведений двух функций, из которых одна зависит только от г, а другая только от Т . Основное уравнение нелинейной ползучести [2]:
<ЭС(г,г)
(9)
Е(г) I дт
где f (ст) - нелинейная функция, которую представим в виде
/ (а) = а + ра\ (10)
Здесь р коэффициент нелинейности, величина которой зависит от состава и класса бетона Я . Для высокопрочных (В60-В100) бетонов
Р =
105 - Я
(Я - 5)Я2
На основании допущения гипотезы плоских сечений
/ч ид2 У
40 = -Ъ-^т; а(() = ь
м (г) I,
(11)
(12)
где 1е - момент инерции поперечного сечения стержня, Ъ - расстояние максимально напряженного волокна поперечного сечения стержня до нейтральной оси 1.
Рассмотрим железобетонную балку прямоугольного сечения, подверженную действию длительной нагрузки. Уровень нормальных напряжений таков, что имеет место процесс нелинейной ползучести, т.е. в растянутой зоне уже появились и развиваются трещины, а эпюру напряжений в сжатой зоне можно принимать прямоугольной [4]. В растянутой зоне работает арматура, а влияние бетона на работу арматуры между трещинами учтем введением коэффициента ^ -е ¡е . Неравномерность распределения сжимающих напряжений на участке, равном расстоянию между трещинами в растянутой зоне, учтем введением у/ь =еЬс/еь, где еЬс среднее значение еь, еь -
максимальная величина относительной деформации бетона сжатой зоны, е - макси-
ВЕСТНИК 2/2011
мальное значение относительной деформации растяжения арматуры, £ - среднее
значение е . Введем также коэффициент у/с = / % = х / х, учитывающий, что высота
сжатой зоны в сечении с трещиной и средняя высота сжатой зоны на участке между трещинами, не одинаковы.
Необходимо иметь ввиду, что уравнения равновесия записываются для сечения с трещиной, а уравнение совместности деформаций - для средних сечений на участке между трещинами.
Из уравнения равновесия следует
() - м - 2М ;
(0 " Ах(0к - 0.5х(')] " Ьк1%()[2 -£(')]' (13)
() - М _ 2М ' " Л, [к0 - 0.5х(')] " Л' [2 -£(')]. Уравнение совместности деформаций, с учетом гипотезы о плоских сечениях, дает
£ьс = х. (0 = ¥Ье5^Ь (0 = псМо , (14)
К - хс ¥3еЬ^„ (0
где:
пс = Е,¥ь /¥*ЕЬ (г1); М0 = Л / ЬК0 (15)
Относительную высоту сжатой зоны ^(т1) = х(г1) / К0 можно найти из решения квадратного уравнения
+ ПсМоУс = 0. (16)
Из уравнения совместности
£ (г) = О х(г) =_2¥зМ(г)_. (17)
Ь ¥ь К0¥с - х(г) ¥ЬеЖ [К¥с - х(гЯ2' - х(г)] Основное уравнение нелинейной ползучести наследственной теории старения
*ь (г) = / (18)
ЕЬ(г > ч
Для нелинейной функции напряжения /, принимаем как в (10)
лгм-'лч■м "^Г^Г1 (19)
Ь2х2 (')[' - 0.5х(')_|2
Значения &ь (г),£ь (г), /[ст4 (г)] подставив в (16), получим нелинейное интегральное уравнение по отношению к х(г)
¥3х(г) 1
щЕЛ [К¥с - х('^[2Й0 - х(')] 6х(?)[2Й0 - х(')] " (20)
_ _ УЬх(г)[2К0 - х(г)] + 2РМ дС(',т) ~ т\ Ь2х2(г)[2Й0 - х(г)]2 Зг Аналитический вид функции меры вязкости [3] для общего случая принимаем в обобщенном виде по (2)
С(', г) = У в, (')е= -V (г)е-»г . (21)
1:1 Зг
Значения х'(т1) и х"(т1) найдем - дифференцируя (20) два раза по ' и подставляя в него г = Г)
2/2011 ВЕСТНИК _2/2011_МГСУ
(22)
И / Ч п
X (г2) = X = -
/=1
1.2..
+ аз(г1)е"а4
/=1
ьх(2к0 - х)- 2ДМ ; __{2к1^с - х2 _ 2(к0 - х) ;
ь2х2{2к0 - х)2 'а2 [х2 - хк0(¥с + 2) + 2к^]2^ЕХ ь(х2 - 2к0х)2 ' 2(к0 - х)- 2ьа1 (4к0х - Зх2 ) ьх2 (2к0 - х)2
= [[2х3 -\2хк1¥с + 4крУс(2 + ¥с Ду, + ьх2 - 12к0х + 8^2 1
4 1 [х2 -х(2 + )+ 2к1¥с]уьЕЛ ь(х2 -2к0х)3 )' Параметр Л найдем по соотношения: Л = — х" / х, после чего находим х(г) по формуле
х(г) = х + ^¡1 - е-Л('^ ]. (24)
Для определения аь(г),аа(0,^(0 при любом значении г1 <г<х>, после вычисления по (24) х(г) , подставляем х(г) в (13) и (17). Если в выведенных формулах принять коэффициент нелинейности р = 0 , то получим решение той же задачи для области линейной ползучести.
Жесткость и кривизну железобетонной балки найдем следующим образом. Если бы балка была упруго-однородной, то кривизна определялась бы по формуле
1 = <?у = М (25)
р йи2 Е1
Кривизна железобетонной балки без учета ползучести бетона будет
1 = й-У. = ^ + ^ъс = ^с = . (26)
Р йи 2 к0 к0 - хс Е! (к0 - хс)
Уравнение упругой линии без учета ползучести
й2 У = 2^ М = _М_ (27)
йи2 Е, Л5 (2к0 - х)(к0 - х) £(r1), где Б(т1) представляет жесткость железобетонной балки без учета процесса ползучести, т.е. упруго-мгновенная жесткость
ад = ^ (2Й0 - х)(й0 - х). (28)
Жесткость железобетонной балки с учетом нелинейной ползучести бетона и с интенсивно развивающимся трещинообразованием в растянутой зоне можно определить по формуле
В(г) = ^ [2Й0 - х(г)][Й0 - х(г)> (29)
где функцию х(г) получим на основе наследственной теории старения, с мерой вязкости в наиболее обобщенном виде по (2).
1
а
1=1
2
ВЕСТНИК 2/2011
Если в выведенных формулах значение реологических параметров подставить по (3), то получим величины аь (t),as (t),sb (t),B(t) - на основе вязко- упругой модели
Кельвина, т. е. по теории ползучести упругой наследственности. Если параметры выбрать по (4), то получим решения для вязко-упругой модели вязко-взросления. Для вязко- упругой модели наследственного строения необходимо подобрать вязкостные коэффициенты по (5) и т.д.
Литература
1.Александровский С.В. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменение температуры и влажности с учетом ползучести. Стройиздат, 1973, с. 432.
2.Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехиздат, 1952, с. 323.
3.Тамразян А.Г., Степанов А.Ю. Колебания вязкоупругой реологической модели при действии мгновенного импульса. Известия Орловского государственного технического университета «Строительство. Транспорт» №2/14 (530) стр.181-184. 2007г.
4. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. т.3., Наука, 1981, с. 480.
References
1. Aleksandrovsky S.V. Design of concrete and reinforced concrete designs on change of temperature and humidity taking into account creep. Strojizdat, 1973, p. 432.
2. Harutyunyan N.H. Some questions of the theory of creep, Gostehizdat, 1952, p. 323.
3. Tamrazyan A.G., Stepanov A.JU. Vibration of viscoelastic rheological model at action of an instantaneous impulse. News of the Oryol state technical university «Building. Transport» № 2/14 (530) p. 181-184. 2007.
4. Philin A.P. Applied's of the mechanic of a firm deformable body. V. 3., the Science, 1981, p.
480.
Ключевые слова: высокопрочный бетон, железобетонная балка, длительная нагрузка, нелинейная ползучесть, мера вязкости, вязко-упругая модель, реологические параметры, жесткость, кривизна.
Keywords: High-strength concrete, reinforced concrete beam, long loadings, nonlinear creep, measure of viscosity, viscous-elastic model, rheological parameters, rigidity, curvature.
m. 8-903-730-58-43. e-mail: [email protected]
Рецензент: Парфенов С.Г., к.т.н., проф. БГИТА г. Брянск
