Исследование напряженно-деформированного состояния железобетонной арки с учетом вязкоупругости на основе различных теорий ползучести Текст научной статьи по специальности «Физика»

Исследование напряженно-деформированного состояния железобетонной арки с учетом вязкоупругости на основе различных теорий ползучести

12 11 Л.Р. Маилян , О.В. Денисов , А. С. Чепурненко , А.А. Аваков .

1 Ростовский государственный строительный университет 2Донской государственный технический университет

Аннотация: Проведено исследование ползучести железобетонных арок на основе следующих теорий: линейная теория ползучести Арутюняна-Маслова, кинетическая теория, теория течения, теория старения, а также нелинейная теория Ю.А. Гурьевой. Рассматривалась вязкоупругая модель работы бетона, т.е. полная деформация представлялась в виде суммы упругой деформации и деформации ползучести. Ключевые слова: железобетонная арка, ползучесть, теория наследственности, теория старения, теория течения, кинетическая теория, метод конечных элементов, напряженно-деформированное состояние.

Рассматривается параболическая статически неопределимая арка, жестко защемленная по концам, загруженная равномерно распределённой нагрузкой q. Расчётная схема представлена на рис. 1.

НИНМИННШ

|/< \

ь / /

Рис. 1. - Расчетная схема арки В общем случае полная деформация бетона бъ представляет сумму

упругой и пластической деформации, а также деформации ползучести б"ъ [1]: =< + <. (1) Ограничиваясь вязкоупругой работой бетона, перепишем выражение (1) в виде:

1

*=<+8:=С+*ъ, (2)

Еь

где сь - напряжение в бетоне, Еь - модуль упругости бетона.

Для расчета будем использовать метод конечных элементов. Потенциальная энергия деформации П железобетона складывается из потенциальной энергии бетона Пь, а также потенциальной энергии арматуры

у верхней грани П' и нижней грани П8:

П = Пь + П8 + П'. (3)

Потенциальная энергия деформации бетона записывается в виде [2-4]:

Пь =1 \сь<ау, (4)

2 к

сь8

кь

где — упругая деформация бетона, которая равна разности между полной деформацией и деформацией ползучести:

е1 * $ V * , Л

8=8-8=80 - У~7т-8* , (5)

ах

где 80 - осевая деформация, V- прогиб.

Выразив напряжения через деформации в (2) и подставив вместе с (5) в (4), получим:

1 I а v V 1

Пь =1 Еь ¡\е0 - У — - * ак =- Еь [ 4 К ах + 1ь I

2 кь v 0х у

£ (1) (1 )\ил

ах +

а 2 - _ ^ + 1(8*) йУ - 2 I вАх \вМА + "г ' г *

| )2 ау - 2 \ 80ОХ| еъаА+21 —- ах| **уаА],

(1) А (1)ах А

где 1ь = ьк /12 — момент инерции бетона; 1 - длина конечного элемента, Аь — площадь бетонного сечения.

Потенциальная энергия деформации арматуры, расположенной у нижней грани, может быть найдена следующим образом [3]:

:

1 1 d v

П8 = 1 ¡^^ = 2 Е8А8 I (Б + 2БУs -Л + У.

2 vS 2 (I) —X

2 и

у —X у

)—х,

(7)

где у8 - расстояние по у от центра тяжести сечения до центров тяжести

арматурных стержней.

Аналогично для арматуры верхней грани:

п'= 2 ¡е'х-v = 2 еаi (о2 - 2б(

2 2 (I)

Л -X2

а

'о У + Уs

—2 V у —X у

)—х,

(8)

П s + П '= 2 Е8

В случае симметричного армирования потенциальная энергия деформации всей арматуры примет вид:

' (d2V V ^

Аобщ к —Х + 18 ¡1 ^ —Х , (9)

у (I) (I )у^ у у

где 18 = А8у8 + А8 у 82 — момент инерции арматуры.

Применяя принцип минимума полной энергии, задачу можно свести к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

[К][Щ = + (Г}, (10)

где (Е*} - вклад деформаций ползучести бетона в вектор нагрузки, [К] -матрица жесткости, (и} и (Е} - соответственно векторы узловых перемещений и нагрузок.

Для бетона широко используются следующие теории ползучести []: 1. Линейная теория ползучести Арутюняна-Маслова. Связь между напряжениями и деформациями имеет вид [5]:

<г{г)

д

Е (г) о дт

1

Е(т)

+ С (г -т)

—т,

(11)

Для нестареющего бетона деформация ползучести запишется в виде:

Б

I *т) дС(^-Т) —т. 0 дт

Если мера ползучести имеет вид:

2

:

С (г -г) = Св[1 - е г-г) ] (12)

где Сш — предельная мера ползучести, то уравнение (11) представляется в дифференциальной форме:

днс>-8-]

2. Теория старения. В данной теории связь между деформацией ползучести, напряжением и временем устанавливается в явном виде [6]:

8* = Сс[1 - е-] (13)

3. Теория течения. Скорость роста деформации ползучести в теории течения определяется следующим образом [6]:

д8 = Сс ^. (14)

дг

4. Кинетическая теория. В одном из вариантов кинетической теории [6] связь между скоростью роста деформаций ползучести и напряжением имеет вид:

д**

С су

дг 00 '

1 * * 1--\с(8 )а8

с С, 0

(15)

Также рассматривается упрощённая нелинейная теория ползучести нестареющего бетона при сжатии Ю. А. Гурьевой [7]. Данная теория представлена в двух вариантах: однокомпонентном и двухкомпонентном. В однокомпонентном варианте мера ползучести определяется выражением (12).

Полная деформация ползучести представляется в виде суммы линейной составляющей а и нелинейной составляющей р. Положительными считаются напряжения и деформации сжатия.

Для однокомпонентного варианта:

* п г / \ дС(г - г) 8 =а + р; а = -\с(г)—--- аг.

0 дг

1

Скорость роста нелинейной составляющей деформации ползучести в полагается пропорциональной скорости роста поврежденности материала Пг:

дв = К дП± дг ~ Я дг '

В однокомпонентном варианте теории приращение повреждённости считается пропорциональным работе деформаций ползучести:

дП=v

дг 1

да дв

— + —

дг дг

(16)

Так как поврежденность функции неубывающая, то выражение (16)

да др дПг справедливо только при--1--> 0 . В противном случае —- = 0.

дг дг дг

Окончательно выражение для нелинейной составляющей р в однокомпонентном варианте теории принимает вид:

др = кАк2о / Я да дг~ 1 -к1к2о/Я дг '

Все представленные теории позволяют для определения деформаций ползучести вести расчет шаговым методом [8-10].

Был выполнен расчёт параболической арки, закреплённой в соответствии с рис. 1, при следующих исходных данных: пролет Ь = 16 м, подъем / = 3.2 м, размеры сечения: Ь = 20 см, И = 40 см, Еь = 3-104 МПа, у = 0.03 сут-1, предельная характеристика ползучести фда = ЕЬСда = 3, коэффициент армирования ^ = 0.015, у8 = у8' = 15 см, Е8 = 2-105 МПа, ц = 65 кН/м.

На рис. 2 представлены графики роста прогиба в середине пролета арки, соответствующие пяти перечисленным выше теориям. Кривой 1 соответствует результат по линейной теории Арутюняна-Маслова; кривой 2

— по теории старения; 3 — теории течения; 4 — кинетической теории; 5 — теории Ю. А. Гурьевой. Отметим, что теории с первой по четвертую дают весьма близкие результаты, при 0 < ? < 25 сут прогибы практически не отличаются. В теориях 1 и 2 при прогиб стремится к одному и тому же значению. Разница по прогибам в конце процесса ползучести между нелинейной теорией Ю. А. Гурьевой и линейной теорией составляет 25.7%.

Рис. 3 — распределение напряжений в бетоне по высоте сечения в конце процесса ползучести при х = Ь/2. Обозначения такие же, как на рис. 2. Знаку «+» на графиках соответствуют сжимающие напряжения. Штриховой линией показано упругое решение.

2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2

0.8 0.6 0 4

5

/ 2

VI

= Г-

¿Г л" у

-- ¿г

** 4

-20 -15 -10 -5

25

50

75 С с\т

100

125

150

0

у, см

15

20

Рис. 3. - Распределение напряжений в рис. 2. — !рафики р°ста пр°гиба бетоне по высоте сечения в середине

пролета при

По теориям с первой по четвёртую результаты также достаточно близки, распределение напряжений по высоте сечения линейное. Напряжения по теориям 1 и 2 в конце процесса ползучести совпадают. На кривой 5, соответствующей теории Ю. А. Гурьевой, наблюдается слегка выраженная нелинейность.

Рис. 4 и рис. 5 - соответственно изменение во времени напряжений о б и оэ' в арматуре у нижней и верхней грани в середине пролета. Знаку «+» также соответствует сжатие. Наиболее существенно напряжения в арматуре возрастают по нелинейной теории: у верхней грани в начале процесса ползучести оэ-57.3 МПа, а при оэ-220 МПа, т. е. в 3.8 раз больше, чем

в упругой стадии.

160

но

120

о so

20

5

3 1

\2 к

25

50

75 t, сут

100

125

150

Рис. 4. — Изменение напряжений в арматуре у нижней грани в сечении

х = Ь/2

Рис. 5 — Изменение напряжений в арматуре у верхней грани в сечении

х = Ь/2

Литература

1. Тамразян А. Г., Есаян С.Г. Механика ползучести бетона: монография. Москва: МГСУ, 2012. 490 с.

2. Аваков А. А., Чепурненко А. С., Языев С.Б. Напряженно-деформированное состояние железобетонной арки с учетом нелинейной ползучести бетона // Научно-технический вестник Поволжья. №1 2015г. С. 27-31.

3. Аваков А.А., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Расчёт железобетонной арки с учётом ползучести бетона // Инженерный вестник Дона, 2015, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2796

4. Аваков А.А., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Напряженно-деформированное состояние железобетонной арки с учётом ползучести бетона // Фундаментальные исследования: сетевой журн. 2015. №3. С. 9-14. URL: rae.ru/fs/pdf/2015/3/37075.pdf

5. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Гостехтеориздат, 1952. 323 с.

6. Карапетян К.А., Симонян А.М. Исследование ползучести и релаксации напряжений в бетоне с учетом его старения// Изв. НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. 2000. Т. LIII, № 1. С. 27-34.

7. Гурьева Ю.А. Некоторые приложения упрощенной теории нелинейной ползучести нестареющего бетона при сжатии// Промышленное и гражданское строительство. 2008. № 6. С. 52 - 53.

8. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep//Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland

9. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Chepurnenko Anton S. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

10. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И., Денего А.С. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063

References

1. Tamrazjan A. G., Esajan S. G. Mehanika polzuchesti betona: monografija [Mechanics of creep of concrete: monograph]. A. G. Tamrazjan,. Moskva: MGSU, 2012. 490 p.

2. Avakov A.A., Chepurnenko A.S., Jazyev S.B. Naprjazhenno-deformirovannoe sostojanie zhelezobetonnoj arki s uchetom nelinejnoj polzuchesti betona. Scientific and technical Volga Herald. №1. 2015. pp. 27-31

3. Avakov A.A., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2796

4. Avakov A.A., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Naprjazhenno-deformirovannoe sostojanie zhelezobetonnoj arki s uchjotom polzuchesti betona. Fundamental research: Online journal. 2015. №3. pp. 9-14. URL: rae.ru/fs/pdf/2015/3/37075.pdf

5. Arutjunjan N.H. Nekotorye voprosy teorii polzuchesti [Some problems of creep theory]. M.: Gostehteorizdat, 1952. 323 p.

6. Karapetjan K.A., Simonjan A.M. Issledovanie polzuchesti i relaksacii naprjazhenij v betone s uchetom ego starenija. Izv. NAN RA i GIUA. Ser. TN. 2000. V. LIII, № 1. pp. 27-34.

7. Gur'eva Ju.A. Nekotorye prilozhenija uproshhennoj teorii nelinejnoj polzuchesti nestarejushhego betona pri szhatii. Industrial and Civil construction. 2008. № 6. pp. 52 - 53.

8. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep. Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland

9. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Chepurnenko Anton S. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep. Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

10. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I., Denego A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 (part 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.