CC BY
22
УДК 624.04
РАСЧЕТ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ СРЕДНЕГО СЛОЯ А. С. Чепурненко, В. С. Чепурненко, А. А. Савченко
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация
anton_chepumenk@mail. ш
UDC 624.04
CALCULATION OF A THREE-LAYER BEAM TAKING INTO ACCOUNT THE CREEP OF THE MIDDLE LAYER A. S. Chepurnenko,V. S. Chepurnenko, A. A. Savchenko
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
anton chepurnenk@mail.ru
Рассматривается методика расчета
трехслойной балки с легким заполнителем с учетом ползучести среднего слоя. Приведен пример расчета для шарнирно опертой по концам балки под действием равномерно распределенной нагрузки. В качестве закона ползучести используется линейное уравнение Максвелла-Томпсона.
Ключевые слова: трехслойная балка с легким заполнителем, пенопласты, метод конечных разностей, ползучесть, уравнение Максвелла-Томпсона
The article deals with the technique of calculation of a three-layer beam with a light core taking into account the creep of the middle layer. It provides the example of calculation for a simply supported at the ends beam under uniformly distributed load. As creep law, the authors use MaxwellThompson linear equation.
Keywords: three-layer beam with light filler, foams, finite difference method, creep, MaxwellThompson equation.
Введение. Изделия, в состав которых входят полимеры, в большей степени, чем многие другие строительные материалы подвержены ползучести. Поскольку средний слой трехслойных панелей часто изготавливается из пенопластов, указанное свойство необходимо учитывать при проектировании. Учет ползучести сопряжен с решением сложных систем интегро-дифференциальных уравнений [1-7], что значительно препятствует использованию аппарата теории ползучести в практике инженерных расчетов. В настоящей статье приводится сравнительно простой метод расчета трехслойной балки с учетом ползучести, который может быть применен в инженерной практике.
Основная часть. Рассматривается шарнирно-опертая по концам балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная схема
При выводе уравнений принимаются следующие гипотезы: 1. Изгибающий момент полностью воспринимается обшивками.
Исходя из этой гипотезы, изгибающий момент связан с напряжениями в верхней и нижней обшивке следующим образом:
к к
М (х) = а Ь8--а Ь8-,
н 2 „ ^
где Ь - ширина балки, к - высота, 8 - толщина обшивок. Равенство (1) можно переписать в виде:
М(х) _ а К -а е
(1)
I
И
(2)
И2
где I = Ь8—— момент инерции обшивок.
2. Перемещения по толщине заполнителя распределены по линейному закону:
+ и н | и н -2 к
и.О = + (3)
где ин и ив - соответственно перемещения нижней и верхней обшивки.
3. Поперечная сила полностью воспринимается заполнителем, заполнитель работает только на сдвиг, и касательные напряжения по его толщине постоянны. Исходя из этой гипотезы, поперечная сила определяется следующим образом:
0 = т с Ьк = 03 у е'Ьк, (4)
где - модуль сдвига заполнителя,
уес1 - упругая деформация сдвига заполнителя, представляющая разность между полной сдвиговой деформацией и деформацией ползучести:
у 1 = У с -у:. (5)
Вывод разрешающих уравнений. Напряжения в обшивках связаны с перемещениями следующим образом:
ди ди
а н = Е -ТТ; а в = Е д-±, (6)
дх дх
где Е - модуль упругости обшивок. Подставив (5) в (2), получим:
М 1 д / ч
— =--и - ия (7)
Е1 к дх н
Перемещения и деформации заполнителя связаны соотношением Коши:
= ди^+ ды _ин -ив | ды ^
с дг дх к дх Подставим (8) в (5), а затем (5) в (4):
0=е, ьк,^-У: ) (9)
^ к дх ^
Согласно теореме Журавского, поперечная сила связана с интенсивностью равномерно распределенной нагрузки следующим образом:
дд_
8х
= ~Ч-
Дифференцируя (9) по х, получим:
оз ЪЬ
^ 1 8 , \ 82w 8у* ^
--[ин ~ ив )+-9---
Ь 8х 8х 8х
= ~Я-
Подставив (7) в (10), получим основное разрешающее уравнение:
82 ^ М (х)
8х2
8у;
Е1 ОЪЬ 8х
Ч
- +
(10)
(11)
Методика решения задачи. Уравнение (11) решается численно методом конечных разностей. Изгибающий момент и поперечная сила для рассматриваемой балки определяются следующим образом:
М(х) = чх (I - х); е(х) = Ч - чх.
Граничные условия имеют вид wx=0 = wx=! = 0. На первом этапе выполняется решение упругой задачи (у* = 0 ). Из формулы (4) следует, что для статически определимой балки
касательные напряжения в процессе ползучести не меняются. Если закон ползучести задан в дифференциальной форме, то зная деформацию ползучести и напряжение в текущий момент времени, можно определить скорость роста деформации ползучести и ее величину в момент времени (+ А(:
у; (I+а )=у* )+
8у
81
А.
Результаты и обсуждение. Была решена тестовая задача при следующих исходных данных: I = 1.5 м, ч = 0.82 кН / м, 03 = 25МПа, Е = 0.71-105 МПа, Ь = 0.1 м, И = 0.06 м,
б = 1 мм. Использовался закон деформирования, который описывается уравнением Максвелла-Томпсона [8]:
8у
8г
к
(1 - Н)тс - Ну*
(12)
где к = 56 МПа • сут- коэффициент вязкости заполнителя, Н = 15 МПа —длительный
модуль сдвига заполнителя.
Полученный в результате график роста прогиба в середине пролета приведен на рис. 2.
1
Рис. 2. График роста прогиба
Отметим, что при законе ползучести (12) можно аналитически определить наибольший прогиб балки в конце процесса ползучести. Для этого сначала определим прогиб в середине пролета при t = 0. Дифференциальное уравнение (11) для начального момента времени запишется в виде:
й2 т
_ = --! ^ 1 _ х) - д
йх2 Е1 2
ОЛ
(13)
где Л = Ьк.
Интегрируя уравнение (13), получим: йт
йх ~ Е1 4
1 ( дх21 дх3 ^
6
д
1 (дх31 ах
т( х) =------—
Е1 . 12 24
у
4 Л
О Л
х + С •
д х
ОЛ Т
■ + Сх + С •
Постоянные С и С2 определяем из граничных условий: т(0) = 0 ^ С2 = 0;
т(1) = 0: -
1 ( д14
Е1
д1
4Л
12 24
д 12 ОЛ ~2
+сх1 = 0 ^ С =
д1 д1
+ -
2ОЛ 24Е1
Выражение для прогиба в середине пролета принимает вид:
1
5д14 д1
+ -
(14)
2 У 384Е1 8О3Л
При использовании уравнения (12) связь между полными деформациями сдвига и касательными напряжениями в заполнителе при t ^<х> имеет вид:
= Нус.
Таким образом, чтобы получить прогиб в конце процесса ползучести, достаточно в выражении (14) заменить мгновенный модуль сдвига заполнителя Оз на длительный модуль Н .
Подставляя исходные данные в формулу (14), при t = 0 получим ттах = 5.77 мм, а при t ттах = 6.79 мм. Результаты, полученные численно, практически совпадают с
аналитическим решением.
3
2
Заключение. При решении тестовой задачи рассмотрен один из простейших законов ползучести, справедливый для линейно вязкоупругого материала. Однако уравнение (11) позволяет задавать произвольный закон ползучести, в том числе и нелинейный. Для полимеров хорошо согласуется с экспериментальными данными нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича [9]. Методика определения релаксационных констант, входящих в указанное уравнение, приводится в работах [9-10].
Библиографический список.
1. Напряженно-деформированное состояние предварительно напряженного железобетонного цилиндра с учетом ползучести бетона / Б. М. Языев [и др.] // Научное обозрение.
— 2014. — №11, ч.3. — С. 759-763.
2. Аваков, А. А. Напряженно-деформированное состояние железобетонной арки с учетом нелинейной ползучести бетона / А. А. Аваков, А. С. Чепурненко, С. Б. Языев // Научно-технический вестник Поволжья. — 2015. — № 1. — С. 27-30.
3. Andreev, V. I. Model of equal-stressed cylinder based on the Mohr failure criterion / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M. Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 887888. — С. 869-872.
4. Дудник, А. Е. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра / А. Е. Дудник, А. С. Чепурненко, Н. И. Никора // Инженерный вестник Дона: электронный научно-инновационный журнал — 2015. — №1-2. — Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816 (дата обращения 10.04.2017 г.)
5. Напряженно-деформированное состояние короткого внецентренно сжатого железобетонного стержня при нелинейной ползучести / И. В. Юхнов [и др.] Научное обозрение. — 2014. — №8, ч.3. — С. 929-934.
6. Andreev, V. I. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M. Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.
7. Козельская, М. Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций [Электронный ресурс] / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно-технический вестник поволжья. — 2013. — №4. — С. 190-194. — Режим доступа: http://ntvp.ru/files/NTVP_4_2013.php (дата обращения 17.04.2017 г.).
8. Литвинов, С. В. Моделирование термоползучести неоднородного толстостенного цилиндра в осесимметричной постановке/ С. В. Литвинов, Л. И. Труш, А. Е. Дудник // Инженерный вестник Дона. — 2016. — Т. 41. № 2 (41). — Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2016/3560 (дата обращения 05.05.2017 г.).
9. Chepurnenko, A. S. Determination of Rheological Parameters of Polyvinylchloride at Different Temperatures / A. S. Chepurnenko, V. I. Andreev, A. N. Beskopylny, B. M. Jazyev // MATEC Web of Conferences. — 2016. — Режим доступа : http://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/30/matecconf_smae2016_06059.pdf (дата обращения 21.05.2017 г.).
10. Дудник, А. Е. Определение реологических параметров поливинилхлорида с учетом изменения температуры / А. Е. Дудник, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Пластические массы.
— 2016. — № 1-2. — С. 30-33.
