Конечно-элементное моделирование ползучести трехслойной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

(шУ

№3(6) 2017

Молодой исследователь Дона

УДК 624.04

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

А. С. Чепурненко, В. С. Чепурненко, А. А. Савченко

Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация

anton_chepumenk@mail.ru

Приводятся вывод разрешающих уравнений для расчета трехслойной пластины с учетом ползучести среднего слоя методом конечных элементов и пример расчета трехслойной плиты, шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Представлено сравнение результатов с решением, полученным на основе метода конечных разностей.

Ключевые слова: трехслойная пластина, полимеры, метод конечных элементов, ползучесть, численные методы.

Введение. Трехслойные конструкции находят широкое применение во многих отраслях,

включая авиастроение, судостроение, строительство и др. Такие конструкции, как правило,

состоят из двух наружных слоев с высокими механическими характеристиками (сталь, алюминий,

стеклопластики) и расположенного между ними легкого заполнителя. В качестве заполнителя

широко применяются пористые полимеры (пенопласты), для которых помимо упругих свойств,

характерна явно выраженная реология. Расчет трехслойных конструкций с учетом ползучести

рассматривается в работах [1-3]. В работах [1-2] приводятся разрешающие уравнения для

треугольного конечного элемента трехслойной плиты и оболочки. В настоящей работе будут

рассмотрены прямоугольные конечные элементы, характеризующиеся более высокой точностью.

Вывод разрешающих уравнений. Используемый прямоугольный конечный элемент трехслойной плиты приведен на рисунке 1.

UDC 624.04

FINITE-ELEMENT MODELING OF CREEP OF THREE-LAYER PLATE

A.S. Chepurnenko, V.S. Chepurnenko, A. A.Savchenko

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

anton chepurnenk@mail.ru

The article provides the derivation of the equations for calculation of three-layer plates taking into account the creep of the middle layer by the finite element method and the example of calculation of three-layer plate, hinged along the outline and with a uniformly distributed load. The presented results are compared with the solution obtained according to the method of finite differences.

Keywords: three-layer plate, polymers, finite element method, creep, numerical methods.

Рис. 1. Прямоугольный конечный элемент трехслойной плиты

Каждый узел данного элемента имеет 5 степеней свободы: перемещения в плоскости верхней обшивки ив и ув, перемещения в плоскости нижней обшивки иН и у", а также прогиб .Для поля перемещений в пределах элемента принимаем следующую аппроксимацию:

ив (н) = Ы1ив1 (н) + Ы2и2в(н) + ку3 (н) + Ы4ив4 (н )

Vе (н = Ыу* н ) + Ыу^н) + Ыу1{ н ) + Ыу^н ) (1)

w = Ыу1 + Ы2 w2 + Ы3 w3 + Ы4 w4, где Ы1, Ы2, Ы3, Ы4 — функции формы.

Ы.= аЬ (2 - *)й - у)*=^ (2+х](2 - 4 ы=аШ+'й+4 N4=аШ-х](2+,).

где а, Ь — размеры конечного элемента.

Координаты х и у в формулах (2) отсчитываются от центра тяжести конечного элемента. Вектор деформаций конечного элемента записывается в виде:

( л { н н н в в в с с

{8} = {8 8 У 8 8 У У У } ,

(^х у I ху х у I ху 1 гх I ух J >

где 8нх, 8ну, у н — деформации нижней обшивки, 8вх, 8ву, увху — деформации верхней обшивки, уСх, Усух — деформации заполнителя.

В технической теории трехслойных пластин связь между перемещениями и деформациями имеет вид:

дин(в) рН;н( в) ди н (в) дУн( в)

8н (в) =ди_• 8н(в) = дУ_• ун(в) = ди_+__•

х дх ' у ду ' х ду дх '

(3)

с ин - ив дw с ун - ув дw

ус =--1--• ус =--1--

I гх 1 ^ "> I гу 1 ^

п дх п ду

Подставив (1) в (3), получим следующую связь между узловыми перемещениями и деформациями в матричном виде:

дгтн

m

(8) = [ B](U}, где (U} — вектор узловых перемещений.

(U} =

(р2) (Рз) (Р4>

(рг} = {м

и

W-

B] =

[&Nl dx 0 0 0 0 dN2 dx 0 0 0 0 dN3 dx 0 0 0 0 dN± dx 0 0 0 0

0 3Nl ~dy 0 0 0 0 dN2 ~dy 0 0 0 0 dN3 0 0 0 0 dNA dy 0 0 0

dNl dNl 0 0 0 dN2 dN2 0 0 0 dN3 dN3 0 0 0 dNA dN4 0 0 0

~dy dx ~d.y dx dx dy dx

0 0 dNl dx 0 0 0 0 dN2 dx 0 0 0 0 dN3 dx 0 0 0 0 d dx 0 0

0 0 0 dNl ~dy 0 0 0 0 dN2 0 0 0 0 dN3 0 0 0 0 d d 0

0 0 dNl dNl 0 0 0 dN2 dN2 0 0 0 dN3 dN3 0 0 0 dNA dN± 0

dy dx dy dx ~dy dx dy dx

Ni 0 -Ni 0 dNl N2 0 - N2 0 dN2 Ni 0 - N3 0 dN3 N± 0 - N4 0 dN4

h h dx h h dx h h dx h h dx

0 Ni 0 -Ni dNL 0 N2 0 -N2. dN2 0 N. 0 - N3 dN3 0 N± 0 -Ni dN4

h h ~dy h h dy h h ~dy h h

Частные производные от функций формы записываются в виде:

5Nl 1 f - y ]; ôn2

dx ab dx

dNL 1 f a x1 ; dN

dy ab dy

-1 -ab \ 2

1

■y

дК

1 ( b

dx ab l 2

+y I ;

a

— + x ab l 2 ,

dN

1

a

i _ + x p

dy ab 12 J dy

Разрешающие уравнения будут получены исходя из вариационного принципа Лагранжа. Потенциальная энергия деформации трехслойной пластины с учетом ползучести определяется следующим образом:

Я1 Г ¿н /_н н _н„н . Н „Н \ . jв/_в в . _в„в . в „,в \ .

= — It (а 8 + а 8 + т y ) + t (о8 + а 8 +т y ) +

ry J У x x y y xy t xy / V x x y y xy t xy /

2 A

[t:X ( y; -y:; )(y^^ -y:; ) ] «A, где y:;, Y:; — деформации ползучести заполнителя. Выражение (4) можно переписать в виде:

П = 2 i (N}T ((8} - К })A = 2 J (N}T ([B] (U} - {8; })A,

A A

где {8*} = (0 0 0 0 0 0 Y ^ Y Z* }T — вектор деформаций (N }T ={ N"x N; Nxy N'x Ny Ny Qx Qzy} — вектор внутренних усилий.

К _

dx

dN

11 b ab 12

1

+y

a

ab l 2 *

(4)

(5)

ползучести,

Nн(в) = ан(в) tн(в) Nн(в) = ан(в) tн(в) Nн(в) = тн(в) tн(в) Q = т: h Q = т: h

JVx Ux ' 5 JVv Uv ' 5 xy lxy 1 5 ^¿:x 1 :x V-zv 1 :y

Тн(в) _ ^н(в) *н(в)

н(в) _ _н(в) 1н(в)

y

y

xy

xy

Связь между деформациями и внутренними усилиями имеет вид:

№3(6) 2017

[ бн ]

[Б] =

[ Б ]

[Б3 ]

где [ Б" (н)] =

ЕГ

К н )

1 -V2

1 V 0 V 1 0 0 0 (1 ^)/2

[ Б3 ] = О3 И

1 0 0 1

Оз — модуль сдвига заполнителя.

Подставив (6) в (5), получим:

П =1 ({и}т I [В]т [D][БЩ{и} - {и}т I [В]т [D^й{в*} - {в*}т | [D][В]йЛ{и}

2 А А А

+| {в*}т [Б]{в*КА) = ии}т I [В]т [Б][БЩ{и} - {и}т | [В]т [Б]А{в*} +1 {в*}т [Б]{в*КА.

А 2 А А 2 А

Полная энергия представляет разность между потенциальной энергией деформации и потенциалом внешних сил:

Э = П - А, где А = {и}т {Е}, {Е} — вектор внешних узловых сил. Дифференцируя полную энергию по вектору узловых перемещений получим: дЭ

= [К ] {и} - {Е} - {Е *} = 0,

д{и}

где [К] = |[В]т[Б][В]оА — матрица жесткости, {Е*} = |[В]т[Б]оА{в*} — вклад деформаций

А А

ползучести в правую часть системы линейных алгебраических уравнений МКЭ.

Точные выражения для коэффициентов матрицы [К] и вектора {Е*} были получены при помощи функций для работы с символьными переменными пакета Matlab. Вектор {Е *} имеет вид:

Е

О И,

{Е *} =

2

О И

-(«г :;+ъу:;) (-«у ;*+ъу:;)

О И

ОИ

(«ус;+ъу:;) («уъу:;)

где {Е1} =

«ЪО„

I гу

I гу

2 к

Матрица жесткости здесь не приводится ввиду ее громоздкости.

Результаты и их обсуждение. Был выполнен расчет трехслойной прямоугольной шарнирно опертой по контуру плиты при следующих исходных данных: толщина плиты И = 8 см, модуль упругости обшивок Е = 2-105 МПа, коэффициент Пуассона обшивок V = 0.3, толщина обшивок = tн = 1,5 мм, модуль сдвига заполнителя О3 = 2.5 МПа, размеры плиты а = Ъ = 3 м, на

пластину действует равномерно распределенная по площади нагрузка q = 2 кПа. В качестве

закона ползучести использовалось уравнение линейной теории наследственности:

í

^ Уг = тг +1 Тк (г — тМ Т г = (^ У* )•

—ад

Ядро ползучести принималось экспоненциальным:

(7)

К (г — т) = Сз е

-а3 (г—т).

С = а = 0,077-

1

час

При экспоненциальном ядре закон ползучести (7) легко представляется в дифференциальной форме:

ду,- ^ дт

+ аз а з у г =-£ + (а з + Сз )Тг • дг дг

(8)

В выражениях (7) и (8) содержатся величины полных деформаций сдвига заполнителя, которые представляют сумму упругих деформаций и деформаций ползучести:

Уг =-7Г + У,- •

^з

Используя (9), можно выразить из (8) скорости роста деформаций ползучести:

(9)

ду* С3 . —- = —-т. — а у. •

^, / г г з ! г

дг аз

Расчет велся шаговым методом, деформации ползучести в момент времени г + Аг определялись следующим образом:

у; (г + А) = у; (г) + ^ Аг.

дг

Данный метод используется также в работах [4-9]. Принимались следующие граничные условия:

х = 0, х = а: w = 0, у" = Vе = 0;

У = 0, У = Ъ : w = 0, и" = ив = 0. На рисунке 2 представлен график роста прогиба в центре плиты. 14

(10)

13 12 11 10

20

40 60

t, час

80

100

Рис. 2. График роста прогиба в центре пластинки: сплошная линия — МКЭ, штриховая линия — МКР

Сплошной линии соответствует решение, полученное авторами методом конечных элементов, штриховой линии — решение при помощи метода конечных разностей по методике, изложенной в [10]. При t = 0 результаты совпадают, а при t ^ да отличаются на 1,83%.

Напряжения в обшивках и заполнителе в процессе ползучести не меняются. Распределение напряжений а" и т"ху в нижней обшивке приведено соответственно на рисунках 3 и 4.

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений в нижней обшивке

Рис. 4. Распределение касательных напряжений в нижней обшивке

Напряжения в верхней обшивке при граничных условиях (10) по абсолютному значению совпадают с напряжениями в нижней обшивке.

Распределение касательных напряжений в заполнителе приведено на рис. 5.

г(ш)]

I \QQ/ *

3000 о у, мм

X, мм

Рис. 5. Распределение касательных напряжений в заполнителе

Выводы. Полученные уравнения применимы при произвольных законах ползучести заполнителя, в том числе и нелинейных. Правильность уравнений и достоверность результатов подтверждена сравнением с решением на основе метода конечных разностей. Установлено, что при линейном законе ползучести напряжения в обшивках и заполнителе в процессе ползучести не меняются.

Библиографический список.

1. Chepurnenko, A. S. Calculation of the Three-layer Shell Taking into Account Creep /

A. S. Chepurnenko, L. R. Mailyan, B. M. Jazyev // Procedia Engineering. — 2016. — Vol. 165. — P. 990 — 994. Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng. 2016.11.810

2. Расчет трехслойной пологой оболочки с учетом ползучести среднего слоя /

B. И. Андреев [и др.] // Вестник МГСУ. — 2015. — №7. — С. 17-24.

3. Расчёт трёхслойной пластинки методом конечных элементов с учётом ползучести среднего слоя / Б. М. Языев [и др.] // Вестник Дагестанского государственного технического университета. — 2014. — №2 (33). — С. 47-55.

4. Чепурненко, А. С. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести / А. С. Чепурненко, В. И. Андреев, Б. М. Языев // Вестник МГСУ. — 2013. — №1. — С. 101-108.

5. Дудник, А. Е. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра / А. Е. Дудник, А. С. Чепурненко, Н. И. Никора // Инженерный вестник Дона: электрон. науч.-инновац. журн. — 2015. — №1-2. — Режим доступа: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816

6. Напряженно-деформированное состояние предварительно напряженного железобетонного цилиндра с учетом ползучести бетона / Б. М. Языев [и др.] // Научное обозрение. — 2014. — №11, ч. 3. — С. 759-763.

г(ш)]

I \QQ/ *

7. Напряженно-деформированное состояние короткого внецентренно сжатого железобетонного стержня при нелинейной ползучести / И. В. Юхнов [и др.] Научное обозрение. — 2014. — №8, ч. 3. — С. 929-934.

8. Andreev, V. I. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep / V. I. Andreev, A. S. Chepurnenko, B. M. Yazyev // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 1004-1005. — С. 257-260.

9. Козельская, М. Ю. Расчёт на устойчивость сжатых полимерных стержней с учётом температурных воздействий и высокоэластических деформаций [Электронный ресурс] / М. Ю. Козельская, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов // Научно-технический вестник поволжья. — 2013. — №4. — С. 190-194. — Режим доступа: http://ntvp.ru/files/NTVP_4_2013.php

10. Andreev, V. I. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep / V. I. Andreev, B. M. Yazyev, A. S. Chepurnenko // Advanced Materials Research. — 2014. — Т. 900. — С. 707-710.