CC BY
21
УДК 519.71.3:624.97
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫСОТНОГО СООРУЖЕНИЯ НА СВАЙНОМ ФУНДАМЕНТЕ
© 2014 г. О.А. Бурцева, С.А. Чипко
Бурцева Ольга Александровна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая механика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (8635)25-54-44. E-mail: [email protected]
Чипко Светлана Александровна - ассистент, кафедра «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (8635)25-56-28.
Burtseva Olga Alexandrovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical Mechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. (8635)25-54-44. E-mail: [email protected]
Chipko Svetlana Alexandrovna - assistant, department «Automation and management of technological processes and manufactures», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. (8635)25-56-28.
Составлена математическая модель высотного сооружения на свайном фундаменте. Рассмотрены процессы колебания свай фундамента при сейсмической волне и колебания надземной части.
Ключевые слова: высотное сооружение; модель; волна Лява и Рэлея; колебания.
A mathematical model of the high-rise building on a pile foundation are compiled. The processes of fluctuation a piles of foundation during seismic waves and the oscillations of abovegroundparts are reviewed.
Keywords: high-rise constructions; model; a wave of Layva and Rayleigh; oscillation.
Актуальность проблемы сейсмозащиты зданий и сооружений объясняется постоянным наличием сейсмической активности (в той или иной степени) в различных районах Земли. Только за последние 10 лет в мире было зарегистрировано более 4 тыс. стихийных бедствий. Более миллиона человек погибло, около 2,7 млрд пострадало - это более трети населения планеты. Большинство современных высотных сооружений возводится на свайном фундаменте. В связи с этим актуальным является получение математической модели высотного сооружения на свайном фундаменте, исследование колебаний и предложение эффективной системы их подавления.
Моделирование колебаний подземной части
Существует две главные причины разрушения надземных сооружений при землетрясениях: инерция и резонанс с сейсмическими волнами. В качестве допустимой идеализации реального строения среды может быть принята модель слоя с плавно меняющимися по глубине свойствами, лежащего на однородной толще пород верхней мантии, независимо от происхождения землетрясения. Сейсмические колебания грунта возникают от тектонической активности, карстовых явлений, искусственных взрывов или других явлений. При этом генерируются упругие волны объемного и поверхностного типа [1].
Согласно теории упругой отдачи в горных породах накапливается упругая энергия. Когда напряжения вырастают настолько, что условие прочности пород превышается, происходит разрыв вдоль по-
верхности ослабления, с высвобождением накопленной энергии в виде сейсмических волн и образованием геологического разлома. Использованию методов волновой механики в инженерной сейсмологии посвящены работы Е.Ф. Саваренского [2]. Большое внимание уделено изучению поверхностных волн в слое, получены новые формулы для вычисления перемещений, скоростей и ускорений в волнах Рэлея и Лява с учетом отражения интерферирующих волн от границ слоя [2]. Волны Лява распространяются вдоль поверхности земли путем непрерывного последовательного отражения от верхней и нижней границ поверхностных слоев. У них совсем нет вертикальной составляющей. Этот вид волн раскачивает строительную конструкцию, способствуя ее опрокидыванию, и является наиболее опасным для сооружения при сейсмическом воздействии.
Сейсмостойкость сооружений, их фундаментов и оснований оцениваем расчетом по первой группе предельных состояний на особое сочетание нагрузок, включающее сейсмическое воздействие [3 - 5].
Моделирование взаимодействия волн Лява с сооружением на свайном фундаменте
Рассмотрим движение массы M, опирающейся на сваю-стойку. Пусть начало координат лежит в основании сваи-стойки (рис. 1).
Скорость грунтовой среды имеет вид [6]
vg(y2, t) = A sin (aqy2 -y) sin (cqt) , (1)
где А - произвольная постоянная, с - скорость распространения волны; q - ее частота, а
1
у = аггат-
Jy3 Ó = ~Mc >
>(0) = 0, со(0) = 0,
(3)
\
1 +
^ 2^ 2
р,2 - коэффициенты Пуассона сред «1» и «2»; а, в -коэффициенты, характеризующие затухание с глубиной и растущие с увеличением частоты q (чем длиннее волна, тем на большей глубине она ощущается).
Рис. 1. Расчетная модель сооружения на свае-стойке
На поверхности раздела при у2 = 0 скорость грунтовой среды равна
vg (0, t) = - A sin y sin ( cqt).
(2)
Со скоростью (2) двигается точка О (рис. 1), точка опоры сваи на скальное основание. Вычитая из скорости (1) скорость (2), получим поле скоростей грунтовой среды, обтекающей сваю-стойку
vg = A[sin (aqy2 -y) + sin y]sin (cqt) .
Будем считать приближенно зависимость vr от y2 на отрезке [-Н, О] линейной, т. е.
vg = - Ak—sin ( cqt),
g H w )>
где k = - sin (aqH + y)- sin y .
Тогда можно считать, что грунтовая среда поворачивается вокруг точки О с угловой скоростью
ш g =- AAk sin (cqt) ,
g h V '
тогда vg = ш gy2 .
Под воздействием внешних сил свая-стойка поворачивается вокруг начала координат с угловой скоростью ш, следовательно, точки сваи будут иметь линейную скорость vc = шу2 .
Тогда скорость грунтовой среды относительно сваи определится по формуле
v = vg -vc = (сg-с)y2 =
A
- — k sin (cqt )-ш
^2
а уравнение колебаний модели строительной конструкции вокруг начала координат запишем в виде
где Jyз - момент инерции строительной системы
относительно оси Оу3, а верхняя оценка момента, действующего на сваю, равна
г2
H 2
Mc = -37,5cr Я — Sign
Ak sin (cqt) + ш
(4)
в формуле (4) сг - коэффициент жесткости грунтовой
среды; R - радиус поперечного сечения сваи, подробнее см. в работе [7].
Однако уравнение (3) описывает движение сваи-стойки только при весьма интенсивных сейсмических воздействиях. Грунт вокруг сваи при сейсмическом воздействии может находиться в одном из трех состояний в зависимости от амплитуды сейсмических ускорений: в «жестком» состоянии, «жестко-пластическом», «пластическом».
Решение задачи осложняется тем, что правая часть уравнения (3) является разрывной функцией и нельзя сослаться на классическую теорему Коши.
Таким образом, получено решение о взаимодействии сейсмической волны и свайного фундамента с высоким ростверком в системе координат с началом в точке О (рис. 1). Данная система не является инерционной, так как точка О совершает колебательные движения в направлении оси Oy3. Следовательно, в решении найдено относительное движение массы М (относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориоли-сову силы инерции).
Движение системы с началом в точке О является поступательным. Поэтому кориолисова сила равна нулю, а переносная сила инерции определяется по формуле Ф = -mag , где ag = - Acq sin у cos (cqt) .
Момент сил инерции относительно точки О будет равен ФН, тогда вместо уравнения (3) получим следующее уравнение колебаний:
Jy3 ш = Mc +ФН . (5)
Рассмотрим сооружение массой M, опирающееся на n свай-стоек, которые прорезают слой относительно слабых грунтов и передают нагрузку на скальное основание.
Так как длина сейсмической поверхностной волны намного больше размеров сооружения, можно считать, что сейсмическая волна вокруг каждой колонны находится в одной и той же фазе. Это позволяет рассматривать одно уравнение вида (5) для всего здания. В отличие от расчетной схемы на рис. 2 для кинематической допустимости горизонтальных колебаний жестких свай под сооружением необходимо появление пластических шарниров в местах заделки железобетонных свай в ростверк. В пластическом шарнире величину предельного изгибающего момента Мпр вычисляют по формуле Мпр =8 Т Sah , где ST -
предел текучести рабочей арматуры; Sa - площадь
рабочей арматуры; h - расстояние от оси арматуры до центра сжатой области.
Момент Мпр противодействует повороту сваи вокруг точки О в любом направлении и, следовательно, имеет знак, противоположный знаку угловой скорости о.
Тогда уравнение (5) можно записать следующим образом:
о = Мс + ФЯ - sign(о)naгSah. (6)
Запишем уравнение колебаний (6) для здания на п сваях-стойках. Разделим уравнение (6) на момент инерции Уу3, тогда
0 = - Jsign | о + А к 1 + Ь cos(sqt) - Ssign (о),
где b =
AMcqsin(y)# n5 TSah - ; S = -
J„ Л
У3 Уз
С целью исследования параметрических колебаний высотного сооружения на сваях-стойках, подверженного сейсмическому воздействию, составим дифференциальные уравнения его изгиба и кручения.
Колебания надземной части.
Основные положения и допущения
1. Надземную часть высотного сооружения представляем упругим стержнем, жестко закрепленным в нулевом сечении.
2. Считаем, что поперечные нормальные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли).
3. Размеры поперечного сечения остаются малыми по сравнению с длиной стержня. Ось стержня -линия, соединяющая центры тяжести площадей поперечных сечений стержня.
4. Исходя из гипотезы Сен-Венана, полагаем, что продольные волокна не испытывают поперечного сжатия или растяжения, а также касательных напряжений.
5. Будем рассматривать малые упругие деформации стержня относительно его состояния равновесия.
Введем две системы координат: неподвижную
декартовую Ох1х2х3 с единичными осями
12'13
подвижную, жестко связанную с сечением стержня Оее1е2е3, относительно которой рассматриваются его малые упругие деформации (рис. 2). В исходном состоянии е1,0 || ¡1 , е2,0 || 12 , е3,0 || 13 .
При решении задачи колебаний упругого стержня полагаем, что сила тяжести элемента стержня является «мертвой» (т.е. сохраняет свое направление при деформации системы):
Р = I Ркек = 1Р* 1 / = Р* + Рр212 + Р3*3 = - А .
k=1
j=1
В процессе колебаний естественная система координат меняет свою ориентацию и занимает положение, изображенное на рис. 3.
В результате сейсмического воздействия на сооружение передаются:
- изгибающий момент грунтовой среды
M c = MC111 + MC 212 + MC 31 з;
начальные смещение, скорость и ускорение
грунта
- вектор моментов, создаваемых силами инерции во вращательном движении
М Ф = Мфе1 + М 2фе 2 + М 3фе3;
- вектор сил инерции Ф = Ф^ + Ф2е 2 + Ф3е3.
Рис. 2. Расчетная схема высотного сооружения в виде прямолинейного стержня с жесткой заделкой в основании
Рис. 3. Силы, действующие на элемент упругого стержня
хг = xr111 + Хг212 + ^гз1 з; V г = vr111 + vr212 + ^гЗ1 з1
аг = аг111 + аг212 + аг31з;
и
Стержень участвует в сложном движении: переносное - поступательное за счет движения грунта, относительное - вращательное за счет изгиба в различных плоскостях. В результате вращательного движения возникают касательные и нормальные ускорения каждой точки стержня, а также соответствующие силы и моменты инерции.
Введем:
- вектор отклонений стержня от стационарного состояния в связанной (естественной) системе координат и = и1е1 + и2е2 + и3е3, где и1, и2, и3 - деформация стержня в соответствующих направлениях;
- вектор скоростей стержня
ди ди ди2 ды3
V = — = —ел +--- е 2 +--- е3 = у1е1 + у2е2 + у3е3,
дt дt дt дt 11 22
где v1, v2, v3 - скорость стержня в соответствующем направлении;
- вектор угловых скоростей стержня
ю = ю1е1 +ю2е2 + ю3е3, где ю1,ю2,ю3- угловые скорости стержня в соответствующих направлениях;
- вектор внутренних усилий
Q = 01е1 + 02е2 + Qзeз,
где Q1 - осевое усилие (сила натяжения); Q2, Q3 -перерезывающие усилия;
- вектор внутренних моментов
М = М1е1 + М2е2 + М3е3, где М1 - крутящий момент; М2, М3- изгибающие моменты.
Дифференциальные уравнения колебаний упругого стрежня, взаимодействующего с грунтом
Рассмотрим элемент стержня, который находится в поступательном движении со скоростью уг + V и вращательном движении с угловой скоростью ю . При исследовании движения стержня внутренние силовые факторы О, М, а также векторы перемещения и, скорости V, углов поворота базиса { ег-} по отношению к базису {i ^}, угловая скорость ю являются
функциями времени t.
При выводе уравнений движения воспользуемся переменными Лагранжа. На элемент стержня действует сила инерции
dM ф = - J Eds,
(8)
j dv dv
dФ = -dm — = -mn — ds,
dt
dt
(7)
дv д и
где — = —— - ускорение точек осевой линии стерж-
дt дt2
УF
ня; т0 = — - масса единицы длины стержня; у - вес
8
единицы длины стержня; F - площадь поперечного сечения.
Поскольку элемент стержня находится во вращательном движении, учитываем инерцию вращения
где Jи - диагональная матрица, элементами которой являются главные физические моменты инерции элемента стержня, длина которого равна единице; £ -угловое ускорение точек осевой линии стержня.
Моменты инерции используются в характеристиках жесткости стержня: А11 = GJ1, А22 = Ы 2, А33 = EJ 3, причем для стержней круглого сечения Jk = J1; для стержней прямоугольного сечения (Ь х h) имеем
Ji = bh; J = *з*р( h
Р^—J - безразмерная функция, зависящая от отношения сторон прямоугольника.
Поскольку элемент стержня не изменяется по длине и не имеет продольного движения, то элементы матрицы Jи - постоянные числа, и можно воспользоваться переменными Лагранжа для записи уравнений (7) и (8) в частных производных:
, dv djF d2u
dO = -dm— =------;
dt g dt2
д d2 dM ф =--(J и ra)ds =--- (J и u)ds.
dt dt2
Полагая, что отклонения стержня возникают только вследствие изгиба, выделим элемент стержня ds и составим уравнения равновесия, применяя принцип Даламбера.
Рассмотрим изгиб в плоскости х1Ох3, и2 - угол поворота относительно оси х2 (рис. 4):
^ (F) = 0 : Q1 sin и2 - Q3 cos u2 - dФ3 cos u2 +
+ | 03 + ^ds)cosfo2 + ^ds |-
SQi
ds
du0
-| Q1 + —ds |sin| u2 +—2ds |-dФг3 = 0; (9)
ds
£ X1(Fi) = 0 : -dP - Q1 cos u2 - Q3 sin u2 +
i ^ dQ3 ) . ( du2 .
+ | Q3 +ds I sin I o2 + ds | +
+| 01 +dQ1 ds I cos iu2 ds d Ф 3 sin u2 = 0; (10)
£Mo2,e,j(F) = 0: |M2 +Mds |-M2 +
+Mc2 - dMф-| Q3 +dQ3 ds I ds +
+ 1 Q ds Isinfu9 ds Ids + dФзds +
i^1 5s J l 2 5s 1 з
du
+ dФгз cos | o2 + ds I ds + P sin u2ds = 0. (11)
£X2 (F.) = 0: -Q2 cos из - Q1 sin из - dФ2 cos из +
5°з
ds
+ | Q2 +ÖQ2ds |cos| из +50зds | +
+ | Q1 +dQL ds j sin f оз +5°з ds |-dФ г2 = 0; (12)
£ X (F.) = 0 : -dP - Qj cos из + Q2 sin из +
5Q2
+ dФ2 sin оз -1 Q2 + ds I sin I оз + ds | +
du,
rj * rj
Рис. 4. Силы, действующие на элемент упругого стержня при изгибе в плоскости хОх3
Рассмотрим теперь изгиб в плоскости х1Ох2,и3 -угол поворота относительно оси х3 (рис. 5):
Рис. 5. Силы, действующие на элемент упругого стержня при изгибе в плоскости х1Ох2
Так как высотное сооружение моделируется упругим стержнем, считаем, что и2 и 0, и3 и 0. Вследствие данного предположения, удерживая малые первого и второго порядка, а также полагая длину элемента стержня единичной из уравнений (9) - (14) после преобразований имеем1:
5qL = ^ (Q1 o 2) + d Ф з + d Ф гз;
ds ds
^ = (Qз o 2) + dP + d Ф з02; ds ds
dM u
-—- - Qз + Q1U2 + dФз + dФ гз + ds
+dPv2 + Mc2 - dM2Ф = 0.
5Qi = -|- (QJOз) + d Ф 2 + d Ф г2; ds ds
= -d (Q2 оз) - d Ф 2 оз + dP;
ds ds
dM ds
з + Q2 - d Ф 2 - d Ф г2 + dPv з +
+QJv3 + M^ - dMФ = 0.
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
+ | q +5Q1 dsjcosL +5ULds | = 0;
(1з)
£M&,,-(F.) = 0: | Mз +Mds | -Mз + M^ -
-dMf -| Q2 +5q2ds \ds -dФ2ds -
-dФг2 cos | оз +--- ds I ds + dP sin u^s +
ds
dQ1
du.
+ I Q\ +ds IsinI оз ds Ids = 0.
(14)
cos1 u + dodsj = cosucosi-d0ds \-
f du i| —t
du
-sinusin| —ds I »1-u—ds »1;
i ds J ds
. f du j . fdu j . fdu j
sin| u +--ds I = sinucosI — ds I + cosusinI — ds
i ds J i ds J i ds j
. . du , du
» u• 1 +1--ds »m--ds;
ds ds
cos dsj = 1-—|—dsI +... »1;
ids J 2!|vds J
sin| —dsj = | —ds I- — | —dsI +... » —ds. |ds J |ds I з! | ds I ds
1
Учитывая, что в упругом стержне и2 и 0, и3 и 0, полагаем dM| и 0, СМф и 0 . В дальнейшем при решении используем уравнения (16) и (19), которые необходимо преобразовать.
Дифференцируя (16) по д|дs и заменяя слагаемое дQ3/дs из уравнения (15), получим
д2М2 ,, дФ3 дФг3 ди2 д2Мс2 /,АЧ 2 - СФ3 - СФг3 +=--■ (20)
5s2
3s ds ds 5s
Аналогично поступаем с уравнением (19), заме-
няя в нем —2 из уравнения (17)
ds
d 2 M
ds
2 + d Ф 2 + d Ф r 2 -
5Ф„
ds
ds
+dP ^ ds
d 2 Mc ds 2
(21)
дФ2 дФ3
Здесь —-,—- и СР - приращения сил на каждом
дs дs
участке стержня, поэтому можно записать так:
~-'2 /1 ч d u2 yF d u2 d Ф 2--=-ОТо(1 -ст)^2 = (1 -ст)- 2-
5Ф2
ds
5фг
ds
dt2 g dt2
d 2 r.
dФr2 = -mo(1 -ст)- r2
dt2
У¥ П ^ d Xr2 .
= (1 -ст) g
dt2
(22)
5Ф3 d u3 yF d u3
-dФз + ^ = mo(1 -ст) —-f =-!— (1 -ст) —
ds dt2 g dt2
d2xr3 _ yFn ч d2 xr3 _
5Ф
-dФгз + —^ = mo(1 - ст) —-f3 = (1 - ст)
dt2
(23)
d 4u,
_ u2 d u, du,
EJ3-^TT + mo(1 -ст^—f- + a ,-f +
ds4 dt2 dt
ds
du, ^ d2M
d2 r .
+pFg^| (1 -ст^^2 | =--rf3-mo(1 -ст)-^
ds ) ds2
dt2
где а2, а3 - диссипативные коэффициенты при изгибе.
Введем безразмерные величины: ст= -; u2 = —
«3 = -р r = /,ot; Р0 =
EJ 2
m0l4
тогда нелинейные диф-
ференциальные уравнения четвертого порядка в частных производных, которые описывают изгибные колебания упругого стержня при взаимодействии с грунтом, примут вид:
д4и3 т014 ,, чд2и3 а313 о0 ди3 - + 0 0 (1 -ст)—^ + 3 0 _3 +
5ст
4
EJ.
2
5х
2
EJ, 5Х
+Р^Af (1 -ст)| =
EJ2 5СТ
l3 d2 Mc, mol4 ^o2
d 4u
EJ2 5СТ2
;4„2
EJ-
(1 -ст)-
d2 x.
г3 .
2
dr2
(24)
5ст'
, m0l4p0 „ ч d2u, a,l3 p0 du, 2 + 0 (1 -ст)—^ + 2 0—2 +
EJ
dr
2
EJ3 dr
pFgi3 d
EJ
|(1 -ст)^u2 | = 5ст l 5ст
l3 d2Mc3 m0l4p0
EJ3 5ст2
EJ
(1 -ст)-
d2 x
г2
dr2
(25)
д* дг2 8
СР ^ = PgF А {(1 -ст) ^
,в диз д^ д«2
д* д* ^ д* Изгибающие моменты М2 и М3 связаны с изгиб-ными жесткостями формулами [8, 9]:
ди д 2и, М2 = Ы2 —2 = EJ2 —г3; 2 2 дs 2 дs2
М3 = EJ3 ди1 = Ш3 33 д* 3 д*2
С учетом зависимостей (22) и (23), уравнения
(20) и (21) примут вид:
д4и3 д2и3 ди3
Ш2-3 + т0 (1 - ст) —-3 + а3 —3 +
2 д*4 0 дг2 3 дг
17 д {п . диз ^ д 2Мс2 д2 Хгз
— I (1 -ст)—3 1 =--—-т0(1 -ст)—
д* I д* ) д*2 дг2
В настоящее время для расчета сооружений на сейсмостойкость применяют различные расчетные модели сейсмических воздействий. Это однокомпо-нентные, многокомпонентные расчетные ускорения, реальные и искусственные акселерограммы сейсмических воздействий, наборы гармонических и случайных функций.
Для малоразмерных в плане конструкций (TV-башни, дымовые трубы, высотные сооружения, башенные копры) сейсмическое воздействие представляют переменным во времени, но постоянным в пространстве так, что все точки основания сооружения движутся одинаково.
С учетом вышесказанного и на основании анализа предлагаемых математических моделей перемещение грунта моделируем в виде закона суммарного ряда затухающих гармоник [10]
хг (t) = cos(a)^ x0sin(cq; t), (26)
j
где x0j, c, q - начальная амплитуда, фазовая скорость волны (зависящая от свойств грунта) и частота колебаний j-й гармоники грунта; cos(a) = cos ajij + +cos a2i2 + cos a3i3- вектор направляющих косинусов.
При решении уравнения колебаний сооружения следует ориентироваться на действие той j-й гармоники, частота которой q наиболее близка к частоте Ю/, l = 1 ... n, собственных колебаний конструкции (n - число форм колебаний объекта). Тогда выражение (26) примет более простой вид
, (t) = cos(a)x0e 'qt sin(c^t), где x0 -
начальная ампли-
туда сейсмического колебания грунта; ^ - коэффициент затухания грунта, определяемый по формуле | = dq|(2л), где С - декремент затухания колебаний грунта; q - парциальная частота колебаний грунта.
+
x
Выражение для значения ускорения грунта в момент времени t имеет вид
хг(0 = С0Б(а)х0е[(|2 - с2q2)sin(cqt) - 2cq§(cqt)].
Полагая распределение моментов сопротивления среды по высоте вооружения в виде (см. формулу (1)):
мс2 = :1(cos( yna) +1) 2 У
Мсз = — (cos( yna) +1) 2У
A. . —k sin
H
A
—k sin
H
q
P0
2
+
d из
q p0
/
2
+
l2 da 2 d2u
/
l2 da2
u j (a, x) = — fj (x)(1 - cos(yna)), j = 2,з,
а деформации стрежня в плане 1
2у"
где у - номер формы колебаний; А - амплитуда колебаний; Я - высота сваи, и, используя метод Бубнова -Галеркина, уравнения в частных производных (24), (25) сводим к линеаризованной системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
С „ Л
a1 Pü2 f2 + b1 P0 f2 + C1f2 = d1 sin
(|2 - c2q2) sin
' q ^
c-X
P0
q
c—1— X
, P0 J
- 2'cq cos
+ s1e
P0
Г q Л
c—X P0
; (27)
a2 Po 'h + b2 P0 'h + C2 Л = d2 sin
q
c —— X
Л -Lx
(|2 -c2q2)sin
' q ^
c-X
P0
V P0 - 2'cq cos
+ s2e
P0
' q ^
c—X P0
(28)
где обозначено а1,...- соответствующие коэффициенты.
Введем вектор х = [f2, f3]Т , тогда систему уравнений (27), (28) можно записать в матричной форме:
р2
a1 0 " А 0" c1 0"
x +P0 b2 _ x+
0 a2 _ 0 0 c2 _
d1 + s^'2 -c2q2)e p0
sin
' q ^
c—X
V P0 J
-2'cqs1e p0 cos
X f q ^ c-X
V P0 J
d2 + s2('2 - c2q2)e p
- X
' cos c
V P0 J
f q л
c-X
V P0 J
-2'cqs2e p0 cos
f q '
c-X
или
р02 М (и)Х(т) + р0 К (и)Х(т) + Я (и)х(т) = N (и,т),
где М (и), К (и), Н (и) - инерционная, диссипативная, жесткостная матрицы, зависящие от вектора параметров и(Е, 3, I): модуля упругости Е, инерции сечения 3, длины стрежня I; N("0, т) - нелинейная часть.
Выводы
Составлена математическая модель высотного сооружения на свайном фундаменте в виде дифференциального уравнения второго порядка с нелинейной правой частью. Рассмотрены процессы колебания свай фундамента при сейсмической волне. Определен наиболее опасный вид волн. Рассчитан опрокидывающий момент при колебаниях здания. Составлена математическая модель колебаний надземной части, позволяющая выявить нежелательные отклонения сооружения от допустимых норм. Данная модель позволит рассчитать параметрические колебания высотного сооружения и предложить меры по компенсации нежелательных колебаний.
Литература
1. Эйби Дж. А. Землетрясения: пер. с англ. М., 1982. 264 с.
2. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М., 1972. 305 с.
3. Барштейн М.Ф., Бородачев Н.М., Блюмина Л.Х. [и др.]. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия / под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Бабичева. М., 1981. 215 с. (Справочник проектировщика).
4. Горбунов-Посадов М.И., Ильичев В.А., Крутое В.И. [и др.]. Основания, фундаменты и подземные сооружения / под общей ред. Е.А. Сорочана и Ю.Г. Трофименкова. М., 1985. 480 с. (Справочник проектировщика).
5. Окамото Ш. Сейсмостойкость инженерных сооружений: пер. с англ. М., 1980. 341 с.
6. Амензаде Ю.А. Теория упругости: 3-е изд., доп. М., 1976. 272 с.
7. Дыба В.П., Бурцева О.А., Чипко С.А. Модель колебаний высотного сооружения при взаимодействии с грунтом // Механика грунтов в геотехнике и фундаментостроении: материалы Всерос. науч.-техн. конф., г. Новочеркасск 7 - 8 июня 2012 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2012. С. 415 - 424.
8. Светлицкий В.А. Механика стержней: в 2 ч. Ч. 1: Статика. М., 1987. 320 с.
9. Светлицкий В.А. Механика стержней: в 2 ч. Ч. 2: Динамика. М., 1987. 304 с.
10. Ульянов С.В., Айзенберг Я.М. Нестационарные модели сейсмических воздействий для практических расчетов сооружений с использованием ЭВМ // Труды ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. 1969. Вып. 3. С. 48 - 64.
Поступила в редакцию
2 октября 2013 г.
х
х
х
х
x =
