Оценка гармонического воздействия на свайные фундаменты с совместными поверхностными и концевыми уширениями Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.04

Н.В. Купчикова

ОЦЕНКА ГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СВАЙНЫЕ ФУНДАМЕНТЫ С СОВМЕСТНЫМИ ПОВЕРХНОСТНЫМИ И КОНЦЕВЫМИ УШИРЕНИЯМИ

С помощью методики расчёта свай, основанной на свойствах изображений Фурье финитных функций, выведена формула определения коэффициента постели по деформации свободного конца сваи с помощью дифференциальных уравнений в обобщённых функциях на действие гармонического загружения. Выполнен сравнительный анализ аналитического исследования напряжённо-деформированного состояния свай с уширениями и базовой конструкции сваи без уширений с натурными исследованиями

Конструкция сваи, уширения, гармоническое воздействие, методика расчёта, свойства изображений Фурье финитных функций

N.V. Kupchikova

EVALUATING HARMONIC INFLUENCE ON THE PILE FOUNDATION WITH A JOINT SURFACE AND END BROADENING

The method for calculating piles based on the image properties of the Fourier finite functions was used to derive a formula for determining the bed coefficient by the deformation in the free end of a pile using differential equations in the generalized functions on the effect of harmonic loading. A comparative study was applied for analytical and

field research of the stress-strain state in the piles with the broadening, and the basic design of piles without the broadening.

Construction piles, broadening the harmonic effects, method of calculation, the properties of the image Fourier finite functions

Для оценки сейсмических воздействий на свайные фундаменты удобно использовать спектры максимальных реакций или спектры откликов [1-3]. Спектры максимальных реакций (перемещений, скоростей и ускорений) на колебания основания - одна из наиболее важных, полезных и широко используемых характеристик кинематического воздействия.

Спектры максимальных реакций (откликов или ответов) представляют собой функции максимальных перемещений, скоростей или ускорений, зависящих от частоты или периода колебаний простейших колебательных систем (систем с одной степенью свободы) на заданное колебание основания. Колебание основания может представлять движение поверхности грунта природного или техногенного происхождения. В настоящее время спектры ответов используются практически во всех нормативных документах и руководствах по расчёту сооружений на сейсмостойкость. В российских нормах для оценки сейсмических воздействий используется понятие «спектральный коэффициент динамичности» ß. Кривые коэффициента динамичности ß в российских нормах строятся как функции периода свободных колебаний осциллятора.

Во многих случаях необходимо определять только максимальные значения внутренних усилий и перемещений. Спектры ответов позволяют определять эти величины, т.к. представляют собой реакции механических систем на кинематические воздействия.

Спектры ответов можно вычислить, выполнив преобразование Фурье кинематического сейсмического воздействия.

Для построения спектров ответов с использованием интегрального преобразования Фурье найдём производную интеграла Дюамеля:

1 1

u(t) = -— f U (t) sin w(t - t)e~wnx(f-t) dt, которая при X = 0 имеет вид

w J g

d 0

U (t) = -

f U g (t) cos wtdt

cos wt +

f U g (t) sin wtdt

sin wt.

(1)

Обозначив максимальное значение относительной скорости Sv ((), системы с собственной частотой (О, которое достигается в момент времени I , запишем амплитудное значение скорости:

Я (w) =

+

f Ug (t) sin wtdt

f U g (t)cos wtdt

_ 0

Преобразование Фурье функции U(t) определяется выражением

F[Ug (t)] = f U g (t)eiadt,

(2)

(3)

где tk - продолжительность землетрясения. Амплитудный спектр Фурье [и)]| определяется как

корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части изображения Фурье:

И» , «]|=,

1

f U g (t)cos (Otdt + f U g (t)sin wtdt

(4)

Если максимальное значение перемещений (() достигается в момент времени td = tk , то

S (w,0) = wSd (w,0) =

ld ld f Ug (t) cos wtdt + f Ug (t) sin wtdt

(5)

Сравнивая зависимости (4) и (5), можно отметить, что при td = tk амплитудный спектр Фурье ускорений поверхности грунта и спектр псевдоскоростей равны

^ ((,0) = \F[йg (I )]|. (6)

0

0

2

2

0

0

0

2

2

0

0

Учитывая соотношения (1) и (6), можно записать следующую зависимость между спектрами максимальных перемещений, скоростей и ускорений с малым для систем демпфированием:

А(аХ). (7)

Я (а,Х) = юБс1 (а,Х) = -

а

Учитывая, что спектр максимальных псевдоскоростей и амплитудный спектр ускорений поверхности грунта равны, для построения спектров ответов для упругих линейных систем можно использовать преобразование Фурье функции ускорений поверхности.

Кроме того, можно получить ещё одно полезное соотношение между спектрами максимальных реакций и амплитудным спектром ускорений поверхности грунта. Применив преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2), получим

и + 2а Хи + а2и = -и ^ и(-а2 - га2а£ + а2) = -Р(и ). (8)

П £ 4 П ' У ё '

Преобразовав выражение, получим

йа2(-\ -/2%+4) = -р(и ). (9)

а а

Учитывая, что максимальные значения перемещений достигаются при а» ап, выражение (9) можно представить в виде

Б, (а,%)а22% = р (ив )|. (10)

Учитывая соотношение (10), получим

^ (а,Х) =

р (иё)

2Х

(11)

Таким образом, спектры максимальных реакций можно получить, выполнив преобразование Фурье функции и .

Предположим, что доминирующая частота сейсмического воздействия равна а. Тогда максимальное сейсмическое воздействие можно определить по спектру ответов. Это будет значение, соответствующее частоте = — (рис. 1).

2р

Далее можно воспользоваться расчётами на гармоническое воздействие. При расчете на динамические воздействия дифференциальное уравнение изгиба сваи в околопространстве основания имеет вид

й 4и й 2и

ЕД —2 + к2и2 + рА—^ = Е12и(0)3'" (х) - Е1и (/2)3"'( х - /2) + Е12и '(0)3"( х) -

2 йх4

йг1

(12)

- Е12и \/2)3\ х - /2) + М (0)3'(х + /2) - Ы8' (х - /2) + Q(0)3( х + /2) - Q(/2)3( х - /2) где р - плотность материала сваи, А - площадь сечения сваи.

Рис. 1. Спектр ответов и преобразование Фурье функции

й4и й2и

ЕД —2 + к2(и2 + иг) + рА —22 = Е12и(0)3"'(х) - Е1и(/2)3(х -/2) + Е12и (0)3"(х) -

2 йхА

йг2

(13)

-Е12и (/2)3(х-/2) + М(0)3'(х + /2) -М3'(х -/2) + 0(0)3(х + /2) -Q(/2)3(х-/2)

d4u d2u EI, —2 + k2u2 + pA —г2 = EI2u(0)S"'(x)-EIu{l2)8"{x-12) + EI2u (0)d(x)-

2 dxA

dt2

(14)

-Е12и (12(х-12)+М(0)£'(х + ¡2)-М8\х-12) + 0(0)д(х +12)-0(12Жх-12)-к2(и2) Применим преобразование Фурье, разделив обе части уравнения на изгибную жёсткость Е1, введя общепринятое обозначение = 404, здесь V и ю - параметры преобразования Фурье по длине

Е1

(х) и по времени (1;) :

При гармоническом воздействии дифференциальное уравнение имеет вид, подобный уравнениям статики, у которых параметр Д уменьшается на величину, равную рА(:

u (v)

v4 +--pAW

EI

= u (l1,w)(-/v)3 e-v + u '(l1,w)(-/v)2 e-v + M (/°(-'v)e

-ivli

EI

(15)

-OlWLl-u(i2,w)(-iei2 -u'(l2,w)(-iv)2ei -M^^^ -в«0!

EI, EI, EI,

- 4b4 u г

w(v)

(

v4 + 4b4

-ivlj

1 -

pAo

~k

,2 Y

= u

ÜW-i e-i + u'dwX-ivY e-i + M (l1,w)(-iv)eil +

EI.

(16)

+ - u(l2,w)(-i)3 ¿vi-2 - u'(l2,W)(-i)2 ¿vi-2 - M ^o*-*^ - Q(l2f)ei - 4b4 "

EI

EI

EI

Обозначим правую часть уравнения ^(V) и г2 = РА( , получим

к

(v) [v4 + 4b4 (1 -h2)] = в (v) u(v) =■

Hv)

V + 4Д4 (1 -]2) (17)

Отметим, что знаменатель полученного уравнения отличается от статического уравнения свободным членом: у4 + 4Д (1 -ц2) =0.

Уравнения (16), (17) содержат восемь неизвестных значений на концах сваи. В соответствии с теоремой Винера-Пэли-Шварца функция ^ V является целой функцией, так как представляет собой изображение Фурье финитной функцией. Числитель выражения, представляющий собой сумму целых функций, должен содержать нули знаменателя. Поэтому должны выполняться четыре условия: и (V.) = 0 , j = 1,2,3,4, где V. - корни выражения у4 + 4Д4 (1 -]2 ) = 0. Таким образом, решение динамической задачи при гармоническом воздействии для свай в упругой среде сводится к решению аналогичных статических задач, в которых коэффициент, характеризующий упругие опоры и жёсткость

сваи р, заменяется коэффициентом (1 - ]2) .

Определим корни выражения у4 + 4Д4 (1 -]2 ) = 0, которые понадобятся для дальнейших гебраических преобразований.

ал-

1 = VT^T-hb+0; V2 = Лф-?Ь(-1+i); 'з = 4i4[\-hb(-1 - i); V4 =Лф-г?Ь(Г - i).

(18)

IП1

/ • / 4. > / А/ \ Re

\ / \ / \ / \ / \ / \ / / / ■ /

1-0

Рис. 2. Представление корней выражения у + 4Д4 (1 -]) = 0 на комплексной плоскости

+

3 „ -

- и(/2)(-П )3гп'к + и\/х)(-П )2 е'** - и\/2){-П )2е

и(/1)(-П]) е

+М(/¿(-П)е-'п - М(/2)(-П)е'п'2 + Q(/l)e

2„

\2„

Е^

Е^

Е,Л

Q(/2)e'Vjl2 ЕЛ

(19)

- и г = 0,

где ] = 1,2,3,4 .

Четыре уравнения устанавливают зависимости между восемью граничными условиями, тх. представляют собой конечный элемент сваи на упругом основании. Для расчета сваи с переменными жесткостью или коэффициентами постели необходимо разделить конструкцию сваи на конечные элементы и записать общую матрицу, учитывая равенство перемещений, углов поворота, поперечных сил и моментов в местах сопряжения конечных элементов. Амплитудные значения внутренних усилий и деформаций базовой конструкции сваи и сваи с уширениями от гармонической нагрузки, полученные в результате расчёта по данной методике, изображены на рис. 3, 4.

Р

Е

5 00

9 •:

1 ' 1

Рис. 3. Иллюстрации колебания сваи в результате гармонического воздействия

Рис. 4. Амплитудные значения внутренних усилий и деформаций сваи с уширениями от гармонической нагрузки

Разработанная методика, основанная на свойствах изображений Фурье финитных функций, позволяющая рассматривать напряжённо-деформированное состояние свай с кусочно-постоянными параметрами на гармонические воздействия в [4, 5], показала хорошую сходимость аналитических результатов с результатами натурных экспериментов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курбацкий Е.Н. Метод расчета строительных конструкций с использованием дискретного преобразования Фурье / Е.Н. Курбацкий // Конструкции жилых зданий. М.: ЦНИИЭПжилища, 1987.

2. Золина Т.В. Автоматизированная система расчета промышленного здания на крановые и сейсмические нагрузки / Т.В. Золина, П.Н. Садчиков // Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 8. С. 14-16.

ПК

3. Модели при решении технических задач / В.С.Федоров, В.М. Бондаренко // Перспективы развития строительного комплекса: материалы VIII Междунар. науч.-практ. конф. / ред. В.А. Гутман, Д.П. Ануфриев. Астрахань: ГАОУ АО ВПО «АИСИ», 2014. С. 262-267.

4. Курбацкий Е.Н. Соотношение между интегралом Фурье и спектрами ответов при оценке сейсмического воздействия на свайный фундаменты / Е.Н. Курбацкий, Н.В. Купчикова, Сан Лин Тун // Энергоресурсосберегающие технологии: Наука. Образование. Бизнес. Производство: сб. тр^ Междунар. науч.-практ. конф., Астрахань, 24-28 окт. 2011 г. Астрахань, 2011. С. 173-178.

5. Купчикова Н.В. Методика расчёта свайных фундаментов с уширениями на сейсмические воздействия, основанная на свойствах изображения Фурье финитных функций / Н.В. Купчикова // Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 8. С. 24-31.

Купчикова Наталья Викторовна -

кандидат технических наук, заведующий кафедрой «Технология, организация строительства и экспертиза, управление недвижимостью» Астраханского инженерно-строительного института

Natalya V. Kupchikova-

Ph.D., Associate Professor, Head: Department of Technology, Construction Organization and Expertise, and Property Management, Astrakhan Institute of Civil Engineering

Статья поступила в редакцию 02.07.14, принята к опубликованию 25.09.14