Определение коэффициента постели по деформации свободного конца сваи с использованием методики дискретного преобразования Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.04

Н.В. Купчикова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОСТЕЛИ ПО ДЕФОРМАЦИИ СВОБОДНОГО КОНЦА СВАИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДИКИ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

С помощью методики расчёта линейно-протяжённых конструкций (балок, свай), основанной на свойствах изображений Фурье финитных функций, выведена формула определения коэффициента постели по деформации свободного конца сваи с помощью дифференциальных уравнений в обобщённых функциях.

Коэффициент постели, линейно-протяжённые конструкции, дискретное преобразование Фурье

N.V. Kupchikova

DETERMINATION OF THE COEFFICIENT OF BED ON THE DEFORMATION OF THE FREE END OF PILES WITH THE USE OF METHODS OF THE DISCRETE FOURIER TRANSFORM

With the help of methods of calculation of linearly extended structures (beams, piles), based on the properties of the Fourier images of compactly supported functions the formula for determining the coefficient of bed on the deformation of the free end of piles with the help of differential equations in generalized functions.

Сoefficient of bed, linearly extended structures, discrete Fourier transform

Интегральные преобразования, в частности преобразование Фурье, являются мощным современным аппаратом, позволяющим эффективно решать различные задачи физики и механики. За последние двадцать лет интенсивно исследовались и развивались теория и приложения преобразования Фурье обобщенных функций [1-4]. Обобщенные функции являются обобщением классического понятия функции. Множество обобщенных функций состоит из множества обычных функций и множества сингулярных, «необычных» с точки зрения классического анализа функций. Так же, как например, множество действительных чисел состоит из множества рациональных, «обычных» чисел и множества иррациональных, «необычных» Множество рациональных чисел расширяется до множества действительных чисел для того, чтобы сделать выполнимой операцию извлечения корня и взятия логарифма. Необходимость в расширении множества обычных функций до множества обобщенных возникла при решении задач математической физики. На множестве обобщенных функций всегда выполнима операция дифференцирования. Обобщенные функции расширяют возможности классического анализа, например, любую обобщенную функцию можно дифференцировать любое число paз, преобразование Фурье обобщенной функции всегда существует и т.д.

Аппарат преобразования Фурье эффективен в задачах, связанных с решением дифференциальных уравнений с обычными и частными производными и в механике грунтов. Решение этих задач сводится к решению алгебраических уравнений.

Благодаря применению обобщенных функций и преобразования Фурье математические выкладки автоматизируются и упрощаются.

Наиболее удобно использовать метод решения, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций для решения задач, представляемых дифференциальными уравнениями с кусочно-постоянными параметрами в механике грунтов. В последние двадцать лет интенсивно исследовались и развивались теория и приложения преобразования Фурье обобщенных функций на кафедре «Тоннели и мосты» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) под руководством заведующего кафедрой, профессора Е. Н. Курбацкого и подробно изложены в его диссертации «Метод решения задач теории упругости и строительной механики, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций».

В основе метода лежит теорема Винера Пэли Шварца о свойствах изображений Фурье финитных функций: «Изображения Фурье финитных функций целые функции, т.е. функции представимые сходящимися степенными рядами».

В [5] изложена методика расчёта свайных фундаментов с концевыми и поверхностными уши-рениями на действие горизонтальной нагрузки, основанная на свойствах изображений Фурье финитных функций. Определим коэффициент постели по деформации свободного конца сваи с помощью дифференциальных уравнений в обобщённых функциях, основываясь на данной методике.

Для достаточно длинных свай, когда влиянием граничных условий на нижнем конце сваи можно пренебречь, сваю можно рассматривать как полубесконечную И ^и

—- + 4р4и = ида(0)д(х) + и '!'(0)д/(х) + и'(0)д"(х) + и(0)д'"(х) (1)

Их

Учитывая граничные условия для балки со свободным концом:

и"(0) = ——; и//(0) = = 0 ;

Е1 Е1

имеем

И Ап Р

—т + 4^Аи = — д(х) + и (0)д(х) + и(0)дда(х)

Их Е1

Применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения:

и (V) [(-V)4 + 4р ] = — + и '(0)(-/п)2 + и(0)(-П)3.

Е1

Изображение Фурье функции прогиба балки имеет вид

р

и (0)у2 - и(0)п3------

и(У) =---------4 ЛЙ4-------------------------------------------------— (2)

п + 4Ь

Параметры и (0) и и(0) аналогичны константам интегрирования, которые можно определить, не выходя из области изображений. Для этой цели найдём корни знаменателя V4 + 40А = 0:

V

V

1 = 42ре4 = Ь(1+/); у = -72дг14 = -р(1 - / );

(3)

-42ре 4 = -д(1 +1); у = 42ре 4 = д(1 -1).

Учитывая, что функция и(х) = 0 при х < 0, изображение Фурье этой функции й{у) должно

быть аналитической функцией во всех точках верхней полуплоскости, из чего следует, что корни знаменателя, лежащие в верхней полуплоскости, должны совпадать с корнями числителя. Из этого

Р

условия следуют два уравнения: и'(0)у2 - и(0)1у3-= 0; и'(0)у2 - и(0)1у

Е1

Подставляя в систему уравнений выражения корней знаменателя

~ Р

4

—

Е1

= 0.

у=42ре4 = р(1+1), у=-42ре 4 = -р(1 -1)

получим:

р

и'(0)у2 - И(0)у3 - — = 0 Е1

Р

и (0)у2 - и(0)/у23 - —= 0 Е1

1и '(0) -42т(0)р< -1и '(0) + 42т(0)р<

31Р

е 4 =

р

-31-

2р2 Е1 Р

1р2 Е1

Расположение корней на комплексной плоскости Складывая левые и правые части уравнений, получим

и(0)

-зР зР

е 4 - е 4

21

Р

42 =

р

2р3Е1

и(0)42 8т3Р =---------3— ^ и(0) =

Р

(4)

(5)

(6)

(7)

4 2р3Е1 2р3Е1

Для определения угла поворота подставим полученное выражение для прогиба в уравнение

(8)

1и (0) -42.1

р

2р3Е1

ре

31Р

4

Р

2р2Е1

= 0

(9)

Выполнив необходимые алгебраические преобразования, получим

Р

и '(0) = --

(10)

2р1 Е1

при х=0

4

u(0) =---------— (11)

2EIb

ь=(l2)

2uEI

(14)

b=і— (1З) и V4EI

Из уравнений (12, 1З) получаем коэффициент постели основания для полубесконечной балки:

/ p 1

к = 4EI з I----

Vl u 2EI

ЛИТЕРАТУРА

1. Курбацкий Е.Н. Методические указания по решению задач механики с использованием преобразования Фурье: учеб. пособие / Е.Н. Курбацкий. М.: МИИТ, 1979.

2. Курбацкий Е.Н. Метод расчета строительных конструкций с использованием дискретного преобразования Фурье / Е.Н. Курбацкий // Конструкции жилых зданий. М.: ЦНИИЭПжилища, 19S7.

3. Курбацкий Е.Н. Методика расчета свайных фундаментов с уширениями на статические и динамические воздействия, основанная на свойствах изображения Фурье финитных функций / Е.Н. Курбацкий, Н.В. Купчикова, Сан Лин Тун // Модернизация регионов России: инвестиции в инновации: сб.тр.ГУ Междунар. науч.-практ. конф., Астрахань, 2010. С. З-б.

4. Курбацкий Е.Н. Соотношение между интегралом Фурье и спектрами ответов при оценке сейсмического воздействия на свайные фундаменты / Е.Н. Курбацкий, Н.В. Купчикова, Сан Лин Тун // Энергоресурсосберегающие технологии: Наука. Образование. Бизнес. Производство: сб. тр^ Междунар. науч.-практ. конф. Астрахань, 2011. С. 17З-178.

5. Купчикова Н.В. Методика расчёта свайных фундаментов с уширениями на сейсмические воздействия, основанная на свойствах изображения Фурье финитных функций / Н.В. Купчикова // Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 8. С. 24-З1.

Купчикова Наталья Викторовна - Nataliya V. Kupchikova -

кандидат технических наук, доцент, заведующая Ph. D., Associate Professor

кафедрой «Технология, организация строительства Department of Technology and Organization

и экспертиза, управление недвижимостью» of Construction and Appraisal, Property Management

Астраханского инженерно-строительного Astrakhan Engineering and Construction Institute

института

Статья поступила в редакцию 11.10.13, принята к опубликованию 15.12.13