CC BY
54
УДК 519.2:539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
О ВЛИЯНИИ ФОРМЫ
СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ВОЛНЕНИЯ НА КОЛЕБАНИЯ МОРСКОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛАТФОРМЫ*
П. Е. Товстик1, Т. М. Товстик2, В. А. Шеховцов3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, peter.tovstik@mail.ru
3. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, д-р техн. наук, доцент, a.sheh-411@yandex.ru
1. Введение. В работах [1-4] при исследовании силового воздействия случайного волнения на морские стационарные платформы (МСП) было принято, что спектральная плотность гравитационных волн имеет вид, предложенный на Конгрессе в Дельфте [5]. Ниже исследуется зависимость амплитуды колебаний опорных блоков МПС от вида спектральных плотностей. Рассмотрены также спектральные плотности В. Х. Глуховского [6], Ю. М. Крылова [7], Джонсвэпа и Пирсона—Московица (см. [8]). Последняя имеет то же аналитическое выражение, что ив [5]. Сравниваются между собой случайные колебания МСП при волнении с этими спектральными плотностями, а также с колебаниями под действием гармонического волнения. Установлено, что вне резонанса амплитуда колебаний опорного блока зависит, главным образом, от средних длины и высоты волн (или от связанных с ними средней частоты и сред-неквадратического отклонения). В окрестности резонанса зависимость амплитуды колебаний от вида спектральной плотности оказалась заметной.
2. Основные допущения. Пусть £(у,Ь) —вертикальное перемещение поверхности воды в фиксированном месте у в момент времени Ь. Используется теория малых волн [8, 9]. Для гармонической волны имеют место соотношения
= асов(гу - г=—, си2 = дгЬЪ(гН), (2-1)
Ь
где а — амплитуда, ш — частота, Н — глубина воды, Ь — длина волны, г — волновое число, д — ускорение свободного падения.
Для случайного волнения считаем, что волновой процесс является плоским, стационарным и эргодичным при нормальном распределении [10, 11].
Спектральная плотность Б^(ш) процесса является его исчерпывающей характеристикой, из которой выводятся все остальные характеристики. Дисперсия и среднеквадратичное значение (стандарт) а^ определяются по формулам (см. [8])
/ОО П ОО
= 2 / Б^си)^, сг5 = л/С^. (2.2)
го и 0
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-01-00244^, 09-01-92002© П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, В. А. Шеховцов, 2012
Те же величины для скорости v и ускорения w имеют вид
ХОО __П ОО _
c2S^(c)dc, av = у Dv, Dw = 2 J c4S^(c)dc, aw = у Dw. (2.3)
Средняя частота с равна \JDv/D^. Вводится также используемая ниже частота cmах, на которой спектральная плотность максимальна.
3. Аналитические выражения спектральных плотностей. Известно большое число аналитических выражений для аппроксимации спектральной плотности. Ниже анализируется воздействие четырех различных спектральных плотностей, которые представим в безразмерном виде
S^w)=a2M{z), J = I, II, III, IV, z=—, (3.1)
s s Со
где Ф^(z) —нормированная спектральная плотность (2 f™ ФJ(z)dz = 1), а| —дисперсия, а со — некоторая характерная частота волнения, в качестве которой выбираем среднюю частоту С либо частоту cmax, на которой спектральная плотность максимальна.
При J = I, II, III плотности описываются единым аналитическим выражением
Ф|(z) = az-n exp{-ßz-m}; (3.2)
используемые здесь числовые параметры для случаев со = С и со = cmax приведены в табл. 1.
Таблица 1. Параметры безразмерных спектральных плотностей
J m n а ß а ß Автор
z = Jj/uj z = ш/ ■^max
/ 4 7 1.57 0.78 5.22 1.75 1.22 Крылов
II 2 6 2.07 1.50 11.73 3.00 1.42 Глуховский
III 4 5 0.64 0.32 2.50 1.25 1.40 Пирсон—Московиц
IV 4 5 — — 1.71 1.25 1.29 Джонсвэп
Спектральная плотность (z) не укладывается в схему (3.2) и имеет вид Ф^(г) = аг-»ехр{-^-™}7«РМ'-1)а/(2'а)>> <5 = ( Ц !' , = (3.3)
^ [ и-иУ> z > 1 ^шах
причем принято 7 = 3.
На рис. 1, а приведены графики зависимости безразмерных спектральных плотностей от z = с/с, а на рис. 1, Ь — от z = с/сшах. Из сравнения рис. 1 следует, что спектральные плотности различаются смещением точек максимума сшах по отношению к средним значениям с и степенью концентрации плотности вблизи точки максимума.
4. Моделирование стационарного случайного процесса. Случайный процесс аппроксимируется суммой гармонических слагаемых со случайными амплитудами и фазами [10, 11]
N
€(t) = Y^PkiVkCosiuJkt) + Cfcsin(cfc)), рк = л/2 S'5(cfc)Ac. (4.1)
k=i
Рис. 1. Спектральные плотности Ф^(z) в зависимости от z = ш/ш и от z = w/wmax.
Здесь Пк и Zk — независимые стандартные нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, N — число слагаемых, выбираемое достаточно большим,
wfc=Q0 + (A'-l/2)Aw, k = l,...,N, Alv= (4.2)
где Qi и Qo —границы частотного интервала 0 < Qo < ш < Qi, вне которого спектральную плотность S^(ш) можно приближенно считать равной нулю, Дш — шаг по частоте.
Для сравнения между собой реализаций четырех процессов
J (t)=al (ш/шо), J = I, II, III, IV, (4.3)
имеющих спектральные плотности (3.1), положим
ае = ш0 = штах = 1, N = 200, Q0 = 0.4, Q1 = 4 (4.4)
и возьмем случайные числа щ и Zk одинаковыми для всех четырех процессов. Результаты численного моделирования по формуле (4.1) представлены на рис. 2.
Рис. 2. Процессы с различными спектральными плотностями.
Видим, что визуально различие реализаций процессов ^(Ь) незначительно. Ниже целью является выяснение влияния этого различия на колебания опорного блока МСП.
5. Математическая модель колебаний опорного блока МСП в одномо-довом приближении. В [1] рассмотрены аппроксимации опорного блока с различным числом степеней свободы, учтена физическая нелинейность деформаций стойки и фундамента. Здесь для оценки влияния формы спектральной плотности рассмотрим простейшую физически линейную модель с одной степенью свободы (см. рис. 3) [1, 2]:
тц + с(ц+ ^ = (5.1)
где д(Ь) — горизонтальное смещение верхнего строения (обобщенная координата в методе Бубнова—Галеркина по первой форме и(х) свободных колебаний системы, и(Н) = 1), т — приведенная масса платформы (включающая массу и момент инерции верхнего строения, стойки и фундамента и присоединенную массу воды), с — эквивалентная жесткость стойки и фундамента. Следовательно, и>* = \/с[т. — частота малых свободных колебаний системы.
Слагаемое вд/ш в (5.1) связано с силами вязкого сопротивления в опорном блоке и в грунте, где в — безразмерный коэффициент потерь, принимаемый в дальнейшем равным 0.1. Для гармонических колебаний с частотой ш слагаемое вд/ш соответствует вязко-упругой модели Фойгхта—Сорокина [12, 13]. Для случайных колебаний в формуле (5.1) примем ш = штах.
Случайная сила Е(д,Ь) описывает волновое воздействие на опорный блок. Для определенности возьмем опорный блок в виде кольцевой трубо-бетонной стойки высотой Н = 250 м и диаметром Б = 10 м. На единицу высоты стойки действует распределенная нагрузка Q(h,q), равная (см. [8, 14, 15])
(^(Н, ц) = /7) + 11е\ие\, 1>е(М) = /?) - ф)и(х), (5.2)
где h = Н - х (0 < h < Н) — глубина сечения, р — плотность воды, V и и> — горизонтальные проекции скорости и ускорения воды на глубине h, ve — относительная скорость воды. Формула (5.2) включает инерционную и скоростную составляющие, С^С, —
безразмерные коэффициенты (ниже принято С = 1,С = 1.2). В соответствии с методом Бубнова—Галеркина сила Еполучается интегрированием нагрузки (5.2) по высоте стойки:
г-н
(.4,1) = J Q(h,q)u(x)dx. (5.3)
В работе [1] найдена первая форма колебаний и(х), зависящая от конструкции как верхнего строения, так стойки и фундамента. Здесь при вычислении волнового воздействия примем приближенно и(х) = х/Н.
Имея в виду рассматривать для сравнения гармоническое волнение с амплитудой а и частотой с, положим в (5.2) [1, 9]
v(h, t) = aujX(h) cos et, w(h, t) = -aui2X{h)smuit, A(h) =—---, ui2 = rgth(rH).
sh(rH )
(5.4)
Для случайного волнения в силу (4.1)
N
v(t, h) =Y, PkCkak(h)(nk cos(ckt) + Zsin(ckt)), k=i
N
w(t,h)=Yj PkWfcAk(h)(-nk sin(^kt) + Zcos(ukt)), (5.5)
k=i
Pk = A k(h) = ———, lû\ = grkth(rkH).
sh(rkH )
Приведем уравнение (5.1) к безразмерному виду, положив
т ш х h q прР2Н
t=—, v =—, xi = —, h1 = — = 1-Х!, qi = —, mi =---, (5.6)
с* с* H H qCT 4
где qCT — статический прогиб, mi — масса воды в объеме стержня. Тогда уравнение (5.1) примет вид
Р Г1
я" + + 41 = / <31(^Ъ (5.7)
V ио
где штрихом обозначена производная по безразмерному времени т. Для гармонического волнения
^0/7 ч сг'т 1а 2ч/, Ч • / ч , 2С„т 1дст иа\(и\ г ^ '
1,</1) =--V \{П) 8т(г/г) +-—-—л(п) сов(1/т) - (5.8)
mqст тип qст
Для случайного волнения
91) = ^^ Е {укт) + а сов{укт)) + гк\гк\, (5.9)
mqст к=1 тип
Рк1/ка£ \к{К){щ сов(г/кт) + Ск зт(^г)) - д1,
к=1 ^т
р1 = у/2Ф'ЫАу, 1 = 1, II, III, IV,
'-------'к ГЧ /7 1 /г»Ч Л
-, ик = — = 1Угк, гк = П0 + {к - 1/2)А1/,
с* с*
i i 1 — i ¿п
Дг/ = —---, = 0.4, f2i = 4.
N ' и 11
Статический прогиб qст вычисляем из соотношения
•1 ю
[1 Q1(h1,0) х13,х1 = 1. (5.10)
.70
Для удобства сравнения колебаний при гармоническом и случайном волнениях статический прогиб в обоих случаях будем брать для гармонического волнения. После интегрирования (5.10) с учетом (5.8) при q1 = 0 находим
Л2
дст = А при А>2В; с1ст = В+— при А<2В,
4В
СгШ^аи2 гсЪ(г) - зЬ(,г) 2С1,т1а21У2 2г2 + сЪ(2г) - 2гзЪ(2г) - 1
т г2БЪ(г) ' т^Б 8(г8Ь(г))2 '
г = гН. (5.11)
Аналитического решения уравнение (5.1) не имеет. В [4] показано, что статистическая линеаризация для частот из некоторого диапазона нарушает качественную картину. Поэтому ниже используется численное интегрирование.
6. Алгоритм численного интегрирования. Примеры. Будем одновременно методом Рунге—Кутты интегрировать пять уравнений второго порядка (5.1): одно уравнение для гармонического волнения и четыре уравнения для случайного волнения с разными спектральными плотностями, причем случайные числа щ и Ск берутся одинаковыми. Для каждого уравнения находим среднеквадратичное отклонение по формуле
Вп =
1 ГТ1
[ 1 q2(т )йт. (6.1)
Т1 - То 3 Т0
Начальные условия при Ь = 0 берем нулевыми. Момент времени То > 0 выбираем таким образом, чтобы при Ь > То процессы можно было считать стационарными. Возьмем То = 50,Т1 = 250 (напомним, что период резонансных колебаний платформы в безразмерном времени равен 6.28). Пусть частота свободных колебаний равна ш* = 0.3/с, что соответствует резонансной длине волны 672 м при гармоническом волнении.
По описанному алгоритму проведем вычисление по формуле (6.1) среднеквадратичного отклонения для гармонического волнения и четырех вариантов случайного волнения со спектральными плотностями (3.2), (3.3). Длину волны Ь при гармоническом волнении меняем в пределах 100 м< Ь < 1500 м с шагом 100 м. По формуле (2.1) находим частоту ш и для случайного волнения приравниваем ее к частоте штах, соответствующей максимальному значению спектральной плотности. Введем безразмерную частоту V по формуле штах = иш*. При V = 1 для гармонического волнения имеем резонанс.
Рассмотрим гармоническое волнение с высотой волны 6и14м(а = 3иа = 7)и случайное волнение с а^ = а/\/2 . Результаты вычислений представлены в табл.2 и на рис. 4.
В столбце 0 для а = 3 м приведены среднеквадратичные отклонения при гармоническом волнении, а в столбцах I, II, III, IV — при случайном волнении со спектральными плотностями (3.2) и (3.3). Для получения среднеквадратичного отклонения верхнего строения МСП в метрах следует приведенные в столбцах 0, I, II, III, IV значения умножить на приведенный в табл.2 статический прогиб аст. Для гармонического волнения величины в столбце 0 суть коэффициенты динамичности, а в
и м) V <гст(м) 0 I II III IV
100 2.617 0.281 0.882 0.172 0.198 0.168 0.178
200 1.850 0.370 0.791 0.278 0.450 0.279 0.288
300 1.511 0.420 0.842 0.513 1.126 0.631 0.576
400 1.308 0.447 1.004 0.801 0.891 0.796 0.789
500 1.168 0.459 1.337 1.143 1.021 1.060 1.136
600 1.063 0.459 2.132 1.632 1.342 1.467 1.867
700 0.978 0.453 2.523 1.807 1.494 1.629 2.054
800 0.907 0.442 1.842 1.785 1.502 1.626 1.839
900 0.846 0.428 1.269 1.506 1.324 1.406 1.434
1000 0.793 0.412 0.925 1.424 1.318 1.371 1.281
1100 0.745 0.396 0.711 1.345 1.301 1.331 1.194
1200.0 0.702 0.380 0.576 1.168 1.182 1.190 1.053
1300.0 0.664 0.364 0.483 0.960 1.013 1.006 0.891
1400.0 0.629 0.349 0.413 0.886 0.990 0.966 0.848
1500.0 0.597 0.335 0.362 0.832 0.970 0.936 0.816
остальных столбцах пропорциональны им, ибо они отнесены к аст для гармонического волнения. Информация табл. 2 проиллюстрирована в левой части рис. 4. В правой части этого рисунка показаны аналогичные зависимости ач (Ь) для а = 7 м (таблица соответствующих значений не приводится).
Рис. 4. Безразмерные значения ад(Ь) при а = 3 (м) и при а = 7 (м).
Из результатов табл. 2 и рис. 4 вытекает следующее. В окрестности резонанса (Ь = 700 м) различие амплитуд для разных спектральных плотностей заметное (см. рис.4). Для более длинных волн это различие несущественно. Для коротких волн возмущение со спектральной плотностью II приводит к колебаниям платформы с большей амплитудой, чем для других спектральных плотностей. Более того, в случае II функция ач(Ь) немонотонна. По-видимому, особое поведение в случае II связано с тем, что спектральная плотность Ф^1 при ш ->■ оо убывает медленнее, чем три другие спектральные плотности. Из сравнения случаев а = 3 (м) и при а = 7 (м) следует, что для волн с большей амплитудой а = 7 (м) колебания при гармоническом волнении более опасны, чем при случайном волнении с тем же значением среднеквадратичного отклонения.
Литература
1. Шеховцов В. А. Случайные нелинейные колебания опорных блоков морских стационарных платформ. СПб.: Изд-во СПбГАСУ, 2004. 246 с.
2. Товстик П. Е., Шеховцов В. А. Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 2. 2005. С. 129-143.
3. Товстик П. Е., Товстик Т.М., Шеховцов В. А. Моделирование колебаний морской стационарной платформы при случайном волнении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 4. 2005. С. 61-69.
4. Shekhovtsov V., Tovstik P., Tovstik T. On the Mariner Fixed Offshore Platform Dynamics Under Action of the Random Wave Forces //7 Magdeburger Mashienenbau Tage: Tagungsband. Magdeburg, 2005. Pg. 118-126.
5. Proc. 2 Int. Ship Structure Congress. Delft, 1964.
6. Глуховский Б. Х. Исследование морского волнения. Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 284 с.
7. Крылов Ю. М. Спектральные методы исследования и рассчета ветровых волн. Л.: Гидрометеоиздат, 1966. 256 с.
8. Халфин И. Ш. Воздействие волн на морские нефтегазопромысловые сооружения. М.: Недра, 1990.
9. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.
10. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1960. 884 с.
11. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 290 с.
12. Пальмов В. А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.
13. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. Гос-стройиздат, 1960.
14. Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн преградами. Л.: Изд. ЛГУ, 1990. 272 с.
15. Лаппо Д. Д., Стрекалов С. С., Завьялов В. К. Нагрузки и воздействия ветровых волн на гидротехнические сооружения. Л., 1990.
Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.
ХРОНИКА
18 мая 2011 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступил канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Костарев (СПбГПУ) с докладом на тему «Сопротивление движению колеса».
Краткое содержание доклада:
Рассмотрена модель сопротивления стационарному движению деформируемого колеса по деформируемой дороге. Показано, что сопротивление приводится не только к моменту, связанному с вращением колеса, но и к силе, связанной с движением центра колеса. Установлено, что традиционная модель трения качения описывает только сопротивление вращению деформируемого колеса на абсолютно твердой дороге и приводит к парадоксам при некорректной трактовке. Предлагается экспериментально определить четыре коэффициента сопротивления для каждой пары материалов колеса и дороги.
