Движение плавающего цилиндра на волнении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.591, 519.6

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

ДВИЖЕНИЕ ПЛАВАЮЩЕГО ЦИЛИНДРА НА ВОЛНЕНИИ

П. Е. Товстик1, Т. М. Товстик2, А. С. Шеховцов3, В. А. Шеховцов4

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, peter.tovstik@mail.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, peter.tovstik@mail.ru

3. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, канд. техн. наук, ст. преп., a.sheh-411@yandex.ru

4. С.-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, д-р техн. наук, доцент, a.sheh-411@yandex.ru

1. Введение. Одна из возможных конструкций морских стационарных платформ, способных противостоять ледовым нагрузкам, состоит из системы связанных друг с другом трубо-бетонных стержней [1]. При монтаже конструкции в течение некоторого времени до момента их соединения между собой и с фундаментом стержни свободно плавают в вертикальном положении. Возникает необходимость оценить влияние волнения, ветра и течения на движение стержней. Ниже рассматривается модельная плоская задача о колебаниях около вертикального положения длинного цилиндра под действием гармонического и случайного волнения. Задача о колебаниях укрепленного на фундаменте стержня под действием волнения рассматривалась в [2-5]. Колебания плавающего в воде тела изучалась многими авторами [6-8]. Особенность представленной ниже задачи заключается в том, что глубина погружения тела предполагается соизмеримой с длиной волны на поверхности воды. В результате этого вертикальные колебания тела существенно меньше колебаний уровня воды. Рассмотрены снос тела по направлению распространения волн и его угловые колебания. Проведено сравнение движений тела под действием гармонического и случайного волнения.

2. Уравнения движения плавающего в воде цилиндра. Рассмотрим колебания в плоскости Охх частично погруженного длинного цилиндра (см. рис. 1), занимающего в спокойной воде вертикальное положение. Предполагается, что распределение масс внутри цилиндра неоднородно, причем центр масс цилиндра С расположен ниже центра объема V вытесненной им воды (СУ = к). Начало О неподвижной системы координат Охх возьмем на поверхности спокойной воды, направив ось Ох вертикально вверх.

Уравнения движения цилиндра имеют вид

тХс = X, тус = У, Зф = М, (2.1)

где т — масса цилиндра, З — момент инерции относительно его центра тяжести, хс,ус, ф — координаты центра тяжести и угол поворота оси цилиндра, X, У, М — проекции внешних сил и их момент относительно центра тяжести. Точкой над переменной обозначена производная по времени.

© П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, А. С. Шеховцов, В. А. Шеховцов, 2012

' R

Рис. 1. Плавающий цилиндр.

При описании воздействия волнения примем допущения, удовлетворяющие теории малых гравитационных волн [1, 6-8]. Движение воды считаем плоским, безвихревым. Потенциал скоростей Ф(х, z,t) считаем заданным и удовлетворяющим уравнению Лапласа ДФ = 0 и граничному условию на свободной поверхности Z = z(x,t). В силу допущений теории малых волн граничное условие на свободной поверхности берем в виде

д 2Ф дФ , N

W + 0 при z = 0, (2.2)

где g — ускорение свободного падения. Считая воду глубокой (H > L, H — глубина, L — характерная длина волны на поверхности), игнорируем граничное условие vz = дФ/dz = 0 на дне. Основные характеристики потока в рамках теории малых волн вычисляются по формулам

1 дФ д Ф

С =---р = —р—,— pgz,

<"'" dt (2.3)

дФ дФ

V:x = v~ = —, wx = vx, wz = v~,

дх дz

где p —давление, vx ,vz ,wx ,wz —проекции скорости и ускорения воды, р — ее плотность.

Введем систему координат Cns, связанную с цилиндром, направив ось Cs по оси цилиндра. Пусть в невозмущенном положении zc = —soo < 0. При вычислении величин X, Z, M, связанных с давлением воды при обтекании цилиндра, принимаем, что давление оказывает только нормальная к стойке составляющая потока vn, wn. Интенсивность fn(s) давления на боковую поверхность удлиненного цилиндра вычисляется по формуле Моррисона [7, 9, 10]

fn (s) = fi + fv, fi = pS(wn + wen), fv = CnpRK | ven, (2.4)

где

< = Vn - vn, Vn = Vx(s,t)cosф - vz(s,t)sinф,

wn = Wn - wn, Wn = Vn, (2.5)

vn = xc cos ф — zc sin ф + яф, wn = Xc cos ф — Zc sin ф + sip.

Давление потока содержит инерционную f и скоростную fv составляющие. Здесь vn и wn — относительные нормальные проекции скорости и ускорения в точке s на оси цилиндра, vn и wn —проекции скорости и ускорения воды, причем vx (s,t) и vz (s,t) вычисляются в точке x = xc + s sin ф, z = zc + s cos ф, vn и wn — проекции скорости и ускорения точки s оси цилиндра, S = nR2 — площадь сечения, R — радиус цилиндра, Cn —безразмерный коэффициент сопротивления.

Направленная по нормали сила Fn и момент M' получаются при интегрировании по длине смоченной части цилиндра

fso fso

Fn = fn ds, M' = fnsds, (2.6)

•J s 1 j S1

где si < 0 — расстояние от нижнего конца цилиндра до центра тяжести, а so > 0 — точка пересечения оси цилиндра с поверхностью воды, определяемая из уравнения

Z(xc + s0 sin ф, t) = zc + s0 cos ф. (2.7)

Правые части уравнений (2.1) имеют вид

' ' дФ ,

X = Fn cos<р, Z = — Fn sin+ Sp , p = — p-g^i M = M — mghsmtp. (2.8)

Здесь p' — переменная часть давления на дно цилиндра, связанная с движением воды. Основная часть давления (см. (2.3)) компенсируется весом тела. При этом приближенно принято cos ф = 1.

Функции (2.8) зависят от ускорений Zc, Zc, Cpc, поэтому преобразуем систему (2.1) к виду

miiXc + mi2zc + m 13 <ф = XX,

mi2Xc + m22¿c + т2зф = Z, (2.9)

mi3Xc + m23Zc + mззф = M,

где

2

mii = m + mo cos2 фо, mi2 = —mo sin фо, mi3 = mi cos фо,

m22 = m + mo sin2 фо, m.23 = —mi sin фо, m.33 = J + m-2, (2.10)

m0 = m, m1 = npR2(so — sf)/2, m2 = npR2(so — sf )/3,

а величины XC, Z, M вычисляются по формулам (2.8), (2.6), (2.5) при wc = 0. Разрешая систему (2.9) относительно ускорений Xc,Zc,¡pc, приводим ее к виду, удобному для численного интегрирования.

3. Гармоническое волнение. Рассмотрим движение цилиндра под действием прогрессивных синусоидальных волн с длиной L и высотой 2a. Считаем, что a ^ L,

тогда применима теория малых волн. Формулы (2.3) преобразуются к виду

С = acos(kx — u)t)ekz, Ф = ^ sin(/cx — u)t)ekz,

k

о k

г>х(ж, г, £) = а^ еов(&ж — , = а^ вт(&ж — , (3.1)

27Г 27Г

р' = адрсов(кх — иЬ)екг, к = ——, = Т = —.

Здесь & — волновое число, ^ и Т — частота и период волнения.

Плавающий цилиндр при плоском движении имеет три степени свободы, соответствующие горизонтальному, вертикальному и угловому движениям. Частота первых равна нулю. При анализе целесообразно сравнивать период волнения с периодами свободных

вертикальных Т% и угловых Т^ колебаний:

Tz = 27Г</-^- = 27Г W-, / = soo-«b = 27Г л/———7-, (3.2)

V gpS у g V mgh

где l —длина смоченной части цилиндра в положении равновесия.

В качестве примера рассмотрим колебания цилиндра с параметрами

R = 6, s00 = 110, s1 = 90, h = 10, g = 9.81, p = 103, (3.3)

причем все величины приводятся в международной системе единиц. Тогда

m = 2.26 • 107, J = m2 = 7.83 • 1010, Tz = 28.37, Tv = 52.8. (3.4)

Решение системы (2.9) зависит от начальных условий, однако в связи с наличием сил сопротивления, заключающихся в скоростной составляющей fv, с течением времени решение стремится к установившемуся. Для установившегося решения функции xc(t), zc(t) и <^>(t) являются периодическими с периодом Ti (но не гармоническими), причем Ti > T, а функция xc(t) не является периодической и может быть представлена в виде

xc(t) = x*t + xc(t), x* = const, xc (t + T1) = xc(t), (3.5)

где X* — скорость сноса цилиндра в направлении распространения волны. Период T зависит от скорости сноса:

T1 = T(I- . (3.6)

В табл. 1 приведены параметры установившихся колебаний цилиндра для четырех значений длины волны L и четырех значений высоты волны 2a. Через ДХС обозначен размах колебаний для периодической части горизонтального смещения центра тяжести цилиндра, ДХС = max xc(t) — min xc(t), а через обозначены

минимальное и максимальное значения вертикального перемещения центра тяжести xc(t) и угла наклона оси цилиндра y>(t).

Из табл. 1 следует, что период колебаний T\ незначительно превосходит период волнения T особенно для длинных волн. Скорость сноса X* пропорциональна а2 и убывает с ростом L. При L > 100 величина ДХС пропорциональна а и растет вместе с L. Размах вертикальных колебаний — растет как с ростом а, так и с ростом L, причем средние вертикальные смещения положительны. Амплитуда — ^-)/2

Таблица 1. Параметры установившихся колебаний при гармоническом волнении

ь а Т1 *с Да: с ¿с 4 ¥>с

50 0.5 5.66 0.0046 0.033 0.0001 0.0001 -0.0006 0.0006

50 1 5.67 0.0181 0.061 0.0003 0.0007 -0.0011 0.0012

50 2 5.71 0.0708 0.047 0.0008 0.0033 -0.0017 0.0030

50 4 5.84 0.2793 - 0.0043 0.0122 -0.0019 0.0122

100 0.5 8.00 0.0016 0.069 0.0001 0.0003 -0.0011 0.0011

100 1 8.00 0.0063 0.138 0.0005 0.0013 -0.0021 0.0022

100 2 8.02 0.0254 0.271 0.0030 0.0061 -0.0040 0.0045

100 4 8.07 0.1038 0.507 0.0058 0.0246 -0.0066 0.0108

200 0.5 11.32 0.0006 0.141 0.0000 0.0009 -0.0018 0.0018

200 1 11.32 0.0023 0.282 0.0004 0.0031 -0.0036 0.0036

200 2 11.33 0.0094 0.563 0.0019 0.0112 -0.0071 0.0073

200 4 11.34 0.0383 1.128 0.0170 0.0354 -0.0138 0.0152

400 0.5 16.01 0.0002 0.280 -0.0100 0.0111 -0.0025 0.0025

400 1 16.01 0.0009 0.559 -0.0175 0.0229 -0.0050 0.0050

400 2 16.01 0.0037 1.120 -0.0297 0.0510 -0.0089 0.0100

400 4 16.02 0.0155 2.239 -0.0580 0.1234 -0.0198 0.0200

угловых колебаний растет с ростом величин а и Ь, причем средние за период углы + ф- )/2 положительны, однако они малы по сравнению с амплитудой. Сравнивая значения периода Т с периодами свободных вертикальных и угловых Т^ колебаний (см. (3.4)), видим, что рассматриваемая система находится вдали от резонанса.

4. Случайное волнение. Считаем, что волновой процесс £(£) является плоским, стационарным и эргодичным при нормальном распределении [11, 12]. Спектральную плотность волнения Б^ (ш) возьмем в виде

5С(ш) = а2Б(ш/ш0), Б(г) = аг-п ехр{-рг-т}, (4.1)

где шо —средняя частота, а^ —средне-квадратичное отклонение (стандарт), Б(г) — нормированная спектральная плотность, параметры т и п задаются, а параметры а и в определяются из условий

2 Б(г)<г = 1, 2 г2Б(г)<1г = 1. (4.2)

оо

При различных значениях т и п спектральная плотность волнения вида (4.1) рассматривалась в ряде работ [9, 13]. Вопрос о зависимости колебаний морской стационарной платформы от выбора спектральной плотности обсуждался в [13]. Здесь принята спектральная плотность Пирсона—Московица [7, 9], для которой т = 4, п = 5, а = 0.64, в = 0, 32.

Случайный процесс аппроксимируется суммой гармонических слагаемых со случайными амплитудами и фазами [10, 11]

N

С(х,Ь) = ^Ри(£и сов(кпх - шпг) + Пп вт(кпХ - ш„£)). (4.3)

п=1

Здесь рп = у/2Б^(и;п)Аи;, кп = ш^/д, а и г]п —независимые стандартные нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и

единичной дисперсией, N — число слагаемых, выбираемое достаточно большим,

ип = П0 + (п-1/2)Аи, п= 1,...,ЛГ, До; = ^ (4.4)

где По и Пх —границы частотного интервала 0 < По < ш < Пх, вне которого спектральную плотность Б^ (ш) можно приближенно считать равной нулю. Тогда проекции скорости и ускорения воды имеют вид

N

ух(х, г,Ь) = ШиРи(£и сов(кпХ - шnt) + Пп в1п(к„ж - ШпЬ))вкп2,

п=1

N (4.5)

V2 (х, г,Ь) = ^ ШпРп(£п в1п(кпX - ШпО - Пп соб^х - ШпЬ))екп2,

п=1

тх = Vx, = Vz.

Для построения решения интегрируем ту же систему (2.9).

В качестве примера рассмотрим колебания цилиндра с теми же параметрами (3.3). При рассмотрении случайного волнения целесообразно сравнивать его с гармоническим волнением с теми же средними длиной волны и частотой колебаний. Тогда для случайного волнения в (4.1) следует принять

ас = со = (4.6)

В формуле (4.4) возьмем По = 0.4шо, Пх = 4шо, N = 200, т.е. формулы (4.5) содержат 400 случайных слагаемых. Ограничимся рассмотрением случая а =1, Ь = 200.

Как и для гармонического волнения, по истечении некоторого времени от начала интегрирования процессы ,ге(£) и приближаются к стационарным, а процесс •ге(£) имеет вид (3.5) со стационарной функцией Хе(£). Результаты обработки данных интегрирования представлены в табл. 2.

Таблица 2. Параметры установившихся колебаний при случайном волнении

• * - + Хс X (2 X (2 -2-е -2-е 4>с ^

1 2 3 4 5 6 7

0.00235 -0.142 0.143 -0.0030 0.0032 -0.0036 0.0036

0.00245 -0.276 0.233 0.00245 -0.281 0.223 0.00229 -0.288 0.240 -0.0030 0.0038 -0.0027 0.0029 -0.0048 0.0046 -0.0079 0.0085 -0.0080 0.0085 -0.0072 0.0082

В первой строке приведены результаты для гармонического волнения, а в остальных трех строках — для случайного волнения при трех различных наборах случайных чисел £п и пп. В столбце 1 приведена средняя скорость сноса по направлению волнения, в столбцах 2 и 3 — минимальное и максимальное значения величины Хе(£), а в столбцах 4-7 — максимальные и минимальные значения величин - (хс(Ь)) и - (у>(£)), где через (2(£)} обозначено среднее значение функции 2(£). Видим, что величины X* и х± для случайного волнения близки к соответствующим величинам для гармонического волнения, а величины х± и для случайного

волнения превосходят соответствующие величины для гармонического волнения. В связи с тем, что перемещение точек пересечения цилиндра с поверхностью равно x(0,t) ~ xc(t) + soo^(t), амплитуда горизонтальных колебаний этих точек для случайного волнения больше, чем для гармонического.

Для гармонического волнения при установившемся движении скорость сноса постоянна, а для случайного волнения эта скорость заметно меняется. Приведенные в столбце 1 значения получены при обработке временного интервала 5000 с. Разбиение этого интервала на 10 подынтервалов по 500 с дает (например, для процесса, приведенного в последней строке табл. 2) значения средней скорости сноса на этих по-динтервалах, равные 10-4 • {25, 22,19,13, 36, 26, 24,18,19, 27} и заметно отличающиеся друг от друга.

Литература

1. Товстик П. Е., Шеховцов А. С., Шеховцов В. А. Морская стационарная платформа под действием ледовой нагрузки // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. №1. 2012.

2. Шеховцов В. А. Случайные нелинейные колебания опорных блоков морских стационарных платформ. СПб.: Изд-во СПбГАСУ. 2004. 246 с.

3. Товстик П. Е., Шеховцов В. А. Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. №2. 2005. С. 129143.

4. Товстик П. Е., Товстик Т.М., Шеховцов В. А. Моделирование колебаний морской стационарной платформы при случайном волнении // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. №4. 2005. С. 61-69.

5. Shekhovtsov V., Tovstik P., Tovstik T. On the mariner fixed offshore platform dynamics under action of the random wave forces // Magdeburger Mashienenbau Tage: Tagungsband, Magdeburg, 2005. P. 118-126.

6. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

7. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. Л.: Судостроение, 1985. 368 с. (Newman J. N. Marine Hydro-dynamics. MIT Press. England.)

8. Алешков Ю. З. Течение и волны в океане. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 228 с.

9. Халфин И. Ш. Воздействие волн на морские нефтегазопромысловые сооружения. М.: Недра, 1990.

10. Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн с преградами. Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 372 с.

11. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1960. 884 с.

12. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 290 с.

13. Товстик П. Е., Товстик Т. М., Шеховцов В. А. О влиянии спектральной плотности случайного волнения на колебания морской стационарной платформы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. №2. 2012.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.