CC BY
23
ARTEMYEV IOSIF TIMOFEEVICH - doctor of Physics and Mathematics sciences, professor, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
АРТЕМЬЕВ ЭДУАРД ИОСИФОВИЧ - старший преподаватель кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (gaarret@yandex.ru).
ARTEMYEV EDUARD IOSIFOVICH - senior teacher, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
РОМАНОВА ТАМАРА ВЯЧЕСЛАВОВНА - старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tamararv@rambler.ru).
ROMANOVA tAmARA VYACHESLAVOVNA - senior teacher, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ДАНИНА ИРИНА НИКОЛАЕВНА - кандидат экономических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tdtl@mail.ru).
DANINA IRINA NIKOLAEVNA - candidate of economics sciences, assistant professor, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
УДК 330.341.1:001]:51
И.Т. АРТЕМЬЕВ, Т В. РОМАНОВА, И.Н. ДАНИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА С ЗАТРАТАМИ НА ИССЛЕДОВАНИЯ
Ключевые слова: математическая модель, затраты на исследования, развитие модели.
Предложено развитие идей, изложенных в монографии [1]. Возможны различные варианты модели оптимизации затрат фирм на научные исследования [1]. Предложены методы исследования с использованием компьютерных систем математики [2].
I.T. ARTEMYEV, T.V. ROMANOVA, I.N. DANINA MATHEMATICAL MODEL OF MANUFACTURE WITH EXPENSES FOR RESEARCHES Key words: Mathematical model, cost of researches, development model.
Development of the ideas offered in the monography [1] is discussed. Different variants of model of optimisation of expenses of firms on scientific researches are possible [1]. The methods of research using computer systems of Mathematics is offered [2].
Оценка интеллектуального капитала (ИК) является для России новым направлением. В силу специфического характера интеллектуального капитала существующие методы оценки нуждаются в значительной доработке и уточнении.
Рассмотрим экономику, состоящую из одной, достаточно крупной фирмы, обеспечивающей единственным продуктом своих постоянных потребителей по стабильным ценам [1]. Объем производства обозначим через ^,
объем соответствующего рынка - через символ £, . В рассматриваемом случае (для упрощения) £, = £,, хотя, вообще говоря, £, < £, .
Обозначим через K «интеллектуальный капитал» фирмы, который определяет эффективность используемой технологии и в конечном счете стоимость самой фирмы. Вложения в научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы (НИОКР), необходимые для создания «интеллектуального капитала» в объеме K, обозначим через a(K). Функцию a(K), естественно, считать линейной. Более того [1], вполне можно положить a(K)=K. Последнее означает, что множество доступных фирме технологий эквивалентно затратам на НИОКР.
Все ресурсы, необходимые для производства продукта, фирма покупает по стабильным ценам, что можно интерпретировать как использование в производстве только одного ресурса - денег. Пусть Ь(К) - функция, зависящая от параметра К, показывающая, сколько денежных затрат производит фирма на выпуск единицы продукта. Тогда прямые затраты на производство % единиц продукта можно выразить в виде % ■ Ь(К).
Функцию Ь(К), естественно, считать монотонно убывающей, так как с ростом «интеллектуального капитала» эффективность технологии возрастает. Иначе говоря, затраты на единицу производимой продукции тем меньше, чем больше продукции выпускается. Вспомним, что объем производства (сомножитель %) является здесь константой согласно условию задачи. Следовательно, коэффициент пропорциональности Ь(К) должен уменьшаться с увеличением параметра К для того, чтобы уменьшались затраты %■ Ь(К) при увеличении «интеллектуального капитала» фирмы. Заметим, что если функцию Ь(К) считать монотонно убывающей и непрерывно
дифференцируемой, то условие ее монотонного убывания можно записать как отрицательность ее производной ёЬ(К)/ёК < 0 .
Итак, полные затраты на производство продукта в объеме % с учетом затрат на технологию составляют [1].
%■ Ь(К) + а(К). (1)
Разумеется, все слагаемые в формуле (1) должны иметь одинаковую размерность. В дальнейшем будем считать их безразмерными. Для этого, например, можно затраты на НИОКР и прямые (текущие затраты) отнести к соответствующим потокам в некоторый «представительный» год. Более того, представим все величины в безразмерном виде.
Задача заключается в том, чтобы определить значение «интеллектуального капитала» К, при котором полные затраты на производство единицы продукта фирмы будут минимальны. Согласно методам математического анализа необходимое условие экстремума запишется в виде
%■ Ь'(К) + а'( К) = 0. (2)
Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу К.
Далее рассмотрим конкретные примеры, поясняющие изложенную концепцию.
Пример 1. Математическая модель фирмы, производящей продукт с затратами на НИОКР (интеллектуальный капитал).
Рассмотрим уравнение (2), если функции имеют следующий вид:
а(К) = К , Ь(К) = К
для всех положительных К. Здесь С, - постоянный коэффициент пропорциональности.
Дадим графическую интерпретацию рассматриваемой проблемы, используя компьютерную математическую систему
МаШСАБ.
Исходные данные:
% = 1 - объем производства (количество продуктов в у.е.);
£ = 16- коэффициент производственных затрат на единицу продукта;
К - интеллектуальный капитал фирмы при объеме % ;
а (К) = К - вложения в НИОКР;
с
ь( к ) =
К
производствен-
0123456789 10
К
Рис. 1
ные затраты на единицу изделия;
Р(К) = % ■ Ь(К) + а(К) - полные затраты на объем производства % (целевая функция).
Требуется определить минимум целевой функции.
Решение:
Графическое решение задачи минимизации целевой функции:
Из рис. 1 видно, что целевая функция имеет точку минимума Р = 8 при значении К = 4 .
Очевидно, последняя координата совпадает с координатой пересечения графиков а(К) и Ь(К).
Обращает на себя внимание тот факт, что в этой модели при К = 0 затраты Р являются неограниченно большими. Вообще говоря, модель с неограниченными затратами уместна, если это считать штрафной санкцией за отсутствие «интеллектуального капитала». Однако более реалистичным представляется случай, когда при К = 0 функция Р принимает конечное значение.
Пример 2. Математическая модель фирмы при ограниченных начальных затратах на НИОКР.
Рассмотрим уравнение (2), если функции имеют следующий вид:
С
а(К) = К , Ь(К) = -
для всех положительных К
К+ Х
где С, - постоянный коэффициент пропорциональности; х - беззатратный интеллектуальный капитал.
Дадим графическую интерпретацию рассматриваемой проблемы, используя компьютерную математическую систему МаШСАБ.
Исходные данные:
% = 5 - объем производства;
£ = 2 - коэффициент увеличения производственных затрат с учетом условий производства, региона и пр.;
X = 1,5 - беззатратный интеллектуальный капитал (опыт, интеллектуальная поддержка, гранты и пр.);
К - приобретенный за деньги интеллектуальный капитал; а(К) = К - расходы при производстве изделий за счет затрат на НИОКР;
С
Ь( к ) =■
производственные затраты на единицу изделия;
К+х
Р( К) = %■ Ь( К) + а( К)- полные затраты на производство % шт. изделий (целевая функция).
Требуется определить минимум целевой функции.
Решение:
Из условия минимума целевой функции Р получается простая зависимость между оптимальным количеством производимой продукции % и оптимальным значением «интеллектуального капитала» К . Она выражается формулой
К = Л/Ст%-х.
Используя графические средства МаШСАБ, сделаем графическую интерпретацию функций, входящих в уравнение соотношение (2).
Графическое решение задачи минимизации целевой функции показано на рис. 2.
Из графика видно, что целевая функция имеет точку минимума Р « 4,8 при значении К « 1,7 . Очевидно, что эта точка не совпадает с точкой пересечения кривых а(К) и Ь(К).
Затраты при К « 0 ограниченны: Р « 6,7. С ростом К затраты Р возрастают практически линейно. Однако на практике величина К ограниченна в силу различных условий.
Пример 3. Математическая модель фирмы с учетом подавляющих внешних факторов.
Рассмотрим уравнение (2), если функции имеют следующий вид:
С
к
Рис. 2
а(К) = К , Ь(К) =-
- + ю для всех положительных К .
К+х
Дадим графическую интерпретацию рассматриваемой проблемы, используя компьютерную математическую систему МаШСАБ.
Исходные данные:
% = 5 - объем производства;
£ = 2 - коэффициент увеличения производственных затрат с учетом условий производства, региона и пр.;
X = 1 - беззатратный интеллектуальный капитал (опыт, интеллектуальная поддержка, гранты и пр.);
ю = 0,2 - коэффициент подавляющих внешних факторов, мотивирующий обязательные потери на производство;
К - приобретенный за деньги интеллектуальный капитал; а (К) = К - расходы при производстве изделий за счет затрат на НИОКР;
С
ь( к ) = -
- + ю - производственные затраты на единицу изделия;
К+х
Р( К) = %■ Ь( К) + а( К)- полные затраты на производство % шт. изделий (целевая функция).
Требуется определить минимум целевой функции.
Решение:
Графическое решение задачи минимизации целевой функции показано на рис. 3.
Точка минимума имеет координаты К = 2,162 и Р = 6,325 . Очевидно, кривая затрат в силу влияния коэффициента подавляющих внешних факторов будет расположена выше сравниваемой кривой. Внешние факторы (например, налоги) могут казаться подавляющими для данного производителя, но в масштабах государства они необходимы для формирования бюджета государства, содержания пенсионеров, медицины, образования, армии и т.д. Итак, параметр ю необходим в модели фирмы.
Фирма должна рассчитать оптимальный интеллектуальный капитал для того, чтобы минимизировать затраты на производство запланированного ей количества продуктов % .
Пример 4. Модель фирмы, для которой «интеллектуальный капитал» обременителен.
Рассмотрим уравнение (2), если функции имеют следующий вид:
С
к
Рис. 3
а(К) = К , Ь(К) = -
+ ю для всех положительных К .
К+х
Дадим графическую интерпретацию рассматриваемой проблемы, пользуя компьютерную математическую систему МаШСАБ.
Исходные данные:
% = 5 - объем производства;
ис-
£ = 2 - коэффициент увеличения производственных затрат с учетом условий производства, региона и пр.;
X = 4 - беззатратный интеллектуальный капитал (опыт, интеллектуальная поддержка, гранты и пр.);
ю = 0,2 - коэффициент подавляющих внешних факторов, мотивирующий обязательные потери на производство;
К - приобретенный за деньги интеллектуальный капитал; а (К) = К - расходы при производстве изделий за счет затрат на НИОКР;
С
ь( к ) = -
■ + ю - производственные затраты на единицу изделия;
К+х
Р( К) = % ■ Ь( К) + а( К) - полные затраты на производство % шт. изделий (целевая функция).
Требуется определить минимум целевой функции.
Решение:
Графическое определение минимума целевой функции при обременительном «ИК» показано на рис. 4.
Точка минимума линии Р (К) имеет координаты К = -0,838 и
Р = 3,325 . Здесь мы видим, что минимум графика сдвинулся левее оси ординат. Он не имеет экономического смысла. Мы видим, что реальный минимум затрат лежит в точке К = 0 и Р = 3,5. Увеличение затрат на НИОКР приведет к увеличению затрат на производство продукции фирмы. Здесь «интеллектуальный капитал» для фирмы обременителен. Фирма имеет избыточный запас «ИК».
Такой эффект модели определяется достаточно большим значением коэффициента беззатратного «ИК» х . Как видим, фирме выгоднее в данном случае отказаться от обременительных затрат на НИОКР.
Литература
1. Кирьянов Д.В. МаАСАЭ 14 / Д.В. Кирьянов. СПб.: Петербург, 2007. 704 с.
2. Козырев А.Н. Оценка интеллектуальной собственности / А.Н. Козырев. М.: Экспертное бюро-М, 1997. 289 с.
К
Рис. 4
АРТЕМЬЕВ ИОСИФ ТИМОФЕЕВИЧ. См. с. 290-291. РОМАНОВА ТАМАРА ВЯЧЕСЛАВОВНА. См. с. 291. ДАНИНА ИРИНА НИКОЛАЕВНА. См. с. 291.___
