CC BY
48
Таким образом, этот метод позволяет свести проблему к хорошо известной и успешно решаемой задаче использования для прогноза факторов-идентификаторов и статистических факторов.
Был поставлен эксперимент, продемонстрировавший рост llp до 0,21.
В связи с наибольшей результативностью данного метода, а также с его сравнительной простотой и наглядностью используемых факторов, к примеру, по сравнению с методом, использующим регрессию, метод с кластеризацией был выбран для внедрения.
В будущем планируется работа по автоматизации кластеризации пользователей, что, по-видимому, может привести к дальнейшему росту качества прогноза.
Литература
1. Анохин П.А. Социально-демографические факторы в прогнозировании CTR в рекламной сети // Труды 55-й научной конференции МФТИ: Всерос. науч. конф. «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», науч. конф. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики и астрономии», Всерос. молодежной науч. конф. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Инновации и высокие технологии. М.: МФТИ, 2012. С. 18-19.
2. Matrixnet: Low Level of Search Quality. 2009 [Электронный ресурс]. URL: http://com-pany.yandex.com/technologies/matrixnet.xml (дата обращения: 13.02.2013).
3. Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising. 2011 / W. Xuerui, L. Wei, C. Yingetal. [Электронный ресурс]. URL: http://labs.yahoo.com/files/ctr_book_chapter_0.pdf
АНОХИН ПАВЕЛ АНДРЕЕВИЧ - аспирант, Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия, Москва ([email protected]).
ANOKHIN PAVEL ANDREEVICH - post-graduate student, Moscow Institute of Physics and Technology (State University), Russia, Moscow.
УДК 330.341.1:51 ББК 65.011в6
И.Т. АРТЕМЬЕВ, Э.И. АРТЕМЬЕВ, С.О. ИВАНОВ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЛОМАНЫХ ОДНОФАКТОРНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Ключевые слова: производственная функция, математическое моделирование, функция прибыли.
Показано, что в ряде случаев методы высшей математики при исследовании эффективности производства наглядно иллюстрируются графическими методами. Рассмотрены постановка и решение задачи о предельном продукте и законе убывающей задачи одноресурсной фирмы в случае, когда соответствующие функции интерпретируются ломаными линиями.
I.T. ARTEMYEV, E.I. ARTEMYEV, S.O. IVANOV THE DEVELOPMENT OF THE THEORY OF UNIVARIATE PRODUCTION FUNCTION
Key words: mathematic modeling, profit function, production function.
This arcticle shows that in some cases methods of high mathematics for researches effi-cientcy of production are illustrated by graphic methods. The formulation and solution of the problem of the marginal product and the law of diminishing problem of a one-resource company in the case when the corresponding functions are interpreted by broken lines are considered.
Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство, называют однофакторной производственной функцией [2]. Предполагается, что производственная функция удовлетворяет двум аксиомам [2]:
1. Хотя бы на части ее определения, называемой экономической областью E, эта функция неубывающая. В этой области производная E'(x), называемая предельным продуктом, неотрицательна.
2. Вторая производная Е"^) неположительна в области E.
Экономический смысл этих аксиом очевиден [2]. Зачем увеличивать затраты, если при этом выпуск продукции начнет снижаться? Под эти аксиомы, например, подходят функции вида
Q(x) = Лxа, (1)
где А, а - неотрицательные параметры, причем 0 < а < 1; x - затраты на единицу объема выпускаемой продукции; Q(x) - объем выпускаемой продукции.
Если все измеряем в денежных единицах, то придется считать, что A = ау, где
а - параметр, имеющий денежное измерение, и а + у = 1. Рассмотрим функцию типа
(1) с применением МаШСАБ (рис. 1).
Будем считать, что p - цена ресурса, затраченного на выпуск единицы продукции; v - цена единицы выпускаемого товара при ее реализации. Считая эти параметры постоянными, рассмотрим функцию прибыли в виде
W(x) = vQ(x) - px. (2)
Разумеется, задача заключается в том, чтобы исследовать функцию прибыли (2) на предмет ее оптимизации, т.е. определения ее максимума. Аналитически следует найти производную этой функции и приравнять ее нулю:
W' (x) = у@(x) — p = A а xа—1 - p = 0.
Отсюда легко определить точку экстремума:
1
“-1 A а
Aа) ~
Соответственно определяется и выгода по формуле (2). Обратимся к графической интерпретации этого экономического процесса. Рассмотрим графики функций выручки и затрат (рис. 2).
Рис. 1. Пример графика однофакторной производственной функции при Л = 10, а = 4/10
Рис. 2. Примеры графиков выручки (-) и функции затрат (...) при р = 2, V = 10
Легко видеть, что функция (2) представляет собой разность аппликат этих графиков. Точка кривой, через которую проходит касательная прямая, параллельная пунктирной линии, является точкой максимума прибыли. Рассмотрим график функции (2) на рис. 3.
Явно просматривается факт существования точки максимума прибыли, после которой увеличение производства изделий (товаров) приводит к падению прибыли. Определим значения величины производства и максимальной прибыли, используя МаШСАЭ:
Программа определения координат точки максимума функции прибыли
Рис. 3. Пример функции прибыли, построенной посредством МаШСАБ
х:= 400
Начальное приближение дпя поиска максимума
Given
Блок поиска максимума прибыли
X =
О < х < 500 Ограничения для определения точки максимума xm := Maximize (W, х) Вычисление значения аргумента точки максимума кт = 147.361 Вывод значения точки максимума ’W(xm) = 442.084 Вычисление максимума прибыли Предельный продукт и закон убывающей отдачи одноресурсной фирмы рассмотренного типа достаточно известны и исследованы [2]. Здесь мы обратимся к обобщению этой функции в виде ломаной линии, состоящей из отрезков прямых. Один из вариантов представлен на рис. 4. Графическое решение приведено на рис. 5.
Рис. 4. Пример графика однофакторной производственной функции в виде ломаной линии
Рис. 6. Пример графической интерпретации производственной функции (R) и функции затрат (Ф) средствами Excel для «многоколенной» ломаной линии
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X, руб
Рис. 5. Графики функций выручки (Ф), затрат (К) и прибыли (Щ) для ломаной линии
Заметим, что отрезков прямых линий может быть счетное множество (рис. 6).
Таким образом, максимум прибыли достигается в точке пересечения отрезков, там, где очередной отрезок принимает угловой коэффициент, меньший углового коэффициента линии затрат. Интересным является случай, когда угловой коэффициент отрезка производственной функции равен угловому коэффициенту линии затрат. Тогда вдоль этого отрезка прибыль максимальна в любой его точке.
Литература
1. Артемьев И.Т., Артемьев Э.И., Мацур Ф.К., Сорокин Г.М. Компьютерные технологии для гуманитариев: практикум. Чебоксары: Новое время, 2010. 92 с.
2. Баран В.И., Возяков В.И., Филиппов В.П. Информационные технологии: учеб. пособие. Чебоксары: ЧКИ РУК, 2007. 212 с.
3. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике: учеб. пособие. М.: Академия, 2008. 304 с.
АРТЕМЬЕВ ИОСИФ ТИМОФЕЕВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
ARTEMYEV IOSIF TIMOFEEVICH - doctor of physics and mathematics sciences, professor, head of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
АРТЕМЬЕВ ЭДУАРД ИОСИФОВИЧ - старший преподаватель кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.
ARTEMYEV EDUARD IOSIFOVICH - senior teacher of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ИВАНОВ СЕРГЕЙ ОЛЕГОВИЧ - аспирант кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
IVANOV SERGEY OLEGOVICH - post-graduate student of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary
УДК 330.341.1:51 ББК 65.011в6
И.Т. АРТЕМЬЕВ, Э.И. АРТЕМЬЕВ, С О. ИВАНОВ
АНАЛИЗ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ АКСИОМ «РАЗУМНОЙ ЭКОНОМИКИ»
Ключевые слова: математическое моделирование, процессы макроэкономики, двухфакторная производственная функция.
Предлагаются модели, соответствующие аксиомам «разумной» экономики, обобщающие функцию Кобба-Дугласа. Представлена программа компьютерной математики, определяющая графическую интерпретацию и оптимизацию решения.
I.T. ARTEMYEV, E.I ARTEMYEV, S.O. IVANOV THE ANALYSIS OF COBB-DOUGLAS FUNCTION FROM THE VIEW OF «REASONABLE ECONOMICS»
Key words: mathematic modeling, macroeconomics processes, production function The models relevant to the axiom of «reasonable» economy, generalizing the Cobb-Douglas production function are proposed. A program of computer mathematics determining the graphics interpretation and solution optimization is presented.
В настоящее время существует ряд обстоятельных руководств по методам и моделям в экономике, предназначенных для специалистов. Здесь мы ссылаемся на работу [3] и представляем свое обобщение и развитие применения производственной функции Кобба-Дугласа. Некоторые издания, например [2], ограничиваются определением: производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид
Q(K, L) = AKaLp, (1)
где Q - объем выпускаемой продукции; K - затраты капитала; L - объем трудовых затрат; A, а, р - положительные параметры. Данная функция является одной из простых форм задания макроэкономической двухфакторной производственной функции
[2]. Согласно работе [2], в модели Кобба-Дугласа должно выполняться условие а + р = 1. При этом, если переменные значения Q, K, L измеряются в денежных единицах, и левые и правые части функции Кобба-Дугласа (1) имеют одинаковую размерность при безразмерных значениях параметров. В дальнейшем мы откажемся от этого условия. Такие возможности для функции Кобба-Дугласа оговорены в работе
[3]. В частности, там сказано: если а + р = 1, то, как будет показано ниже, функция Кобба-Дугласа интерпретируется линейчатой поверхностью, при которой не выполняются аксиомы «разумной экономики» [2] (увеличение затрат не может привести к увеличению выпуска продукции). Данное утверждение также называют «золотым правилом» экономики. Оно зачастую определяется для производственной функции одной переменной. Здесь мы обобщаем его для производственной функции двух переменных на примере функции Кобба-Дугласа.
Обобщение аксиом «разумной экономики» на случай двухфакторной производственной функции:
1) хотя бы на части ее области определения, называемой экономической областью E, эта функция неубывающая. В этой области производные Q'K, Q'L неотрицательны;
