CC BY
390
ИВАНОВ СЕРГЕЙ ОЛЕГОВИЧ - аспирант кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (v101-11@mail.ru).
IVANOV SERGEY OLEGOVICH - post-graduate student of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary
УДК 330.341.1:51 ББК 65.011в6
И.Т. АРТЕМЬЕВ, Э.И. АРТЕМЬЕВ, С О. ИВАНОВ
АНАЛИЗ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ АКСИОМ «РАЗУМНОЙ ЭКОНОМИКИ»
Ключевые слова: математическое моделирование, процессы макроэкономики, двухфакторная производственная функция.
Предлагаются модели, соответствующие аксиомам «разумной» экономики, обобщающие функцию Кобба-Дугласа. Представлена программа компьютерной математики, определяющая графическую интерпретацию и оптимизацию решения.
I.T. ARTEMYEV, E.I ARTEMYEV, S O. IVANOV THE ANALYSIS OF COBB-DOUGLAS FUNCTION FROM THE VIEW OF «REASONABLE ECONOMICS»
Key words: mathematic modeling, macroeconomics processes, production function The models relevant to the axiom of «reasonable» economy, generalizing the Cobb-Douglas production function are proposed. A program of computer mathematics determining the graphics interpretation and solution optimization is presented.
В настоящее время существует ряд обстоятельных руководств по методам и моделям в экономике, предназначенных для специалистов. Здесь мы ссылаемся на работу [3] и представляем свое обобщение и развитие применения производственной функции Кобба-Дугласа. Некоторые издания, например [2], ограничиваются определением: производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид
Q(K, L) = AKaLp, (1)
где Q - объем выпускаемой продукции; K - затраты капитала; L - объем трудовых затрат; A, а, р - положительные параметры. Данная функция является одной из простых форм задания макроэкономической двухфакторной производственной функции
[2]. Согласно работе [2], в модели Кобба-Дугласа должно выполняться условие а + р = 1. При этом, если переменные значения Q, K, L измеряются в денежных единицах, и левые и правые части функции Кобба-Дугласа (1) имеют одинаковую размерность при безразмерных значениях параметров. В дальнейшем мы откажемся от этого условия. Такие возможности для функции Кобба-Дугласа оговорены в работе
[3]. В частности, там сказано: если а + р = 1, то, как будет показано ниже, функция Кобба-Дугласа интерпретируется линейчатой поверхностью, при которой не выполняются аксиомы «разумной экономики» [2] (увеличение затрат не может привести к увеличению выпуска продукции). Данное утверждение также называют «золотым правилом» экономики. Оно зачастую определяется для производственной функции одной переменной. Здесь мы обобщаем его для производственной функции двух переменных на примере функции Кобба-Дугласа.
Обобщение аксиом «разумной экономики» на случай двухфакторной производственной функции:
1) хотя бы на части ее области определения, называемой экономической областью E, эта функция неубывающая. В этой области производные Q'K, Q'L неотрицательны;
2) вторые производные О'КК, Ох положительны в области Е.
Оказывается, что аксиомы «разумной экономики» будут удовлетворены в случае модели Кобба-Дугласа, если будем считать, что А = ау. При этом для сохранения денежных размерностей слева и справа в формуле (1) примем условие а + р + у = 1. В таком случае величины а, К, Ь имеют размерности денежных единиц.
Рассмотрим, следуя предложенному обобщению, график функции Кобба-Дугласа (МаШСАЭ) с указанными параметрами (рис. 1).
Из рис. 1 и аналитического выражения данной функции следует, что значение О неограниченно возрастает с увеличением переменных К, Ь. Иначе говоря, объем выпускаемой продукции растет с увеличением затрат. Теперь обратимся к вопросу прибыли за счет увеличения затрат. Введем функцию прибыли Ш, которая учитывает цену q единицы выпускаемого продукта, а также тарифы затрат к, I на ресурсы К, Ь. Чистую прибыль выразим формулой
Ш(К, Ь) = qQ(K, Ь)-кК - 1Ь. (2)
Рассмотрим график этой функции, построенный в МаШСАБ (рис. 2).
Рис. 1. График функции Кобба-Дугласа при А = 100, а = 1/3, в = 1/7
Рис. 2. График прибыли от выпускаемой продукции при q = 0,5, k = 0,І2, l = 0,2
L, руб
400
О 2000 4000 6000 SOOO К, руб.
Рис. 3. Линии уровня функции прибыли
Из рис. 2 видно, что наблюдается максимум функции прибыли. Для подтверждения ее существования рассмотрим линии уровня этой функции (рис. 3).
Нас интересуют в первую очередь численные значения координат точки максимума функции прибыли. Для этого составим простую программу ее определения в МаШСАБ.
т-1ПАА т 1ЛАА Начальное приближение к точке
™-_ максимума функции прибыли
Given Блок поиска точки максимума
К > О К < 10000
Ограничения на переменные величины, L>0 L < 10000 т.е. область поиска точки максимума
KL := Maximize (W,K,L) Функция определения точки максимума
KL =
( 3 \ 5.903 х 10
V. 1.898 х 103,
Вывод координат точки максимума
3
W(590J ,1898) = 1.392 х 10 Значение максимальной прибыли
Из этого следует, что безграничные возможности увеличения производства продукции не означают, что при этом прибыль также безгранично возрастает. Прибыль увеличивается до некоторого предела. Дальнейшее увеличение производства «сжигается» затратами на ресурсы.
Заметим теперь, что в модели Кобба-Дугласа, когда имеет место условие а + р = 1, не выполняются аксиомы «разумной экономики» [2]. Действительно, при условии а + р = 1 функция (1) является линейчатой. Для убедительности перейдем к цилиндрическим координатам:
K = р sirnp, L = р cos<p, (3)
где р, ф - полярный радиус и полярный угол. Заменив переменные функции (1) в соответствии с (3), получим функцию Кобба-Дугласа при а + р = 1 следующего вида:
Q(p, ф) = ^р(cosф)а(sinф)р.
Для любого значения 0 < ф < л/2 функция Q(p, ф) линейно зависит от полярного радиуса р. Соответственно, плоскость затрат kK + lL, в общем случае, не может пересечь ни одну из этих прямых, в том числе имеющих максимальный угловой коэффициент. Возможны частные случаи прохождения прямой линии из Q^, ф) с максимальным угловым коэффициентом в плоскости затрат.
Таким образом, данные ограничения функции Кобба-Дугласа определяют условия «разумной экономики».
Итак, предложенная нами методика компьютерной интерпретации функции Кобба-Дугласа позволяет графически и аналитически убедиться, в каких случаях двухфакторные модели макроэкономики соответствуют «разумным» моделям. Показано, что для «разумной» экономики модели типа Кобба-Дугласа реализуются при сумме показателей степеней аргументов, меньших единицы. Как отмечено в работе [5], ни Кобб, ни Дуглас не представили теоретических оснований постоянства а и р в разных секторах экономики. В начале статьи мы показали, как следует представлять суммы положительных параметров а и р функции Кобба-Дугласа, чтобы левые и правые части функции имели одинаковые денежные измерения.
Литература
1. Артемьев И.Т., Артемьев Э.И., Мацур Ф.К., Сорокин Г.М. Компьютерные технологии для гуманитариев: практикум. Чебоксары: Новое время, 2010. 92 с.
2. Баран В.И., Возяков В.И., Филиппов В.П. Информационные технологии: учеб. пособие. Чебоксары: ЧКИ РУК, 2007. 212 с.
3. Просвентов Г.И. Математические методы в экономике: задачи и решения: учеб.-метод. пособие. М.: Альфа-Пресс, 2008. 344 с.
4. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике: учеб. пособие. М.: Академия, 2008. 304 с.
5. Функция Кобба-Дугласа // Wikipedia: свободная энциклопедия: сайт. URL:
М1р://га.шк1ре1^а.о^/№1кл/Функция_Кобба_-_Дугласа (дата обращения: 10.04.2013).
АРТЕМЬЕВ ИОСИФ ТИМОФЕЕВИЧ. См. с. 256.
АРТЕМЬЕВ ЭДУАРД ИОСИФОВИЧ. См. с. 256.
ИВАНОВ СЕРГЕЙ ОЛЕГОВИЧ. См. с. 257.
