CC BY
61
УДК 330.341.1:001]:51
И.Т. АРТЕМЬЕВ, Э.И. АРТЕМЬЕВ,
ТВ. РОМАНОВА, И.Н. ДАНИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ КОНКУРИРУЮЩИХ ГРУПП
Ключевые слова: математическое моделирование, процесс подражания, дифференциальные уравнения, успех.
Зачастую процессы развития биологических популяций, экономических систем, социальных групп, понимают как развитие конкурирующих множеств. С точки зрения математики такие процессы представляются системами дифференциальных уравнений. Мы считаем, что динамику развития подобных систем определяет не только конкуренция, но и партнерство. Основная идея представляемой работы заключается в том, что при конкурентной или партнерской деятельности оказывается выгодным подражание сильнейшим конкурентам или партнерам. Бенчмаркинг мы понимаем в смысле изложенного, т.е. равнение на образец с точки зрения математики.
I.T. ARTEMYEV, E.I. ARTEMYEV, T.V. ROMANOVA, I.N. DANINA MATHEMATICAL MODEL FOR THE DEVELOPMENT OF COMPETING TEAMS
Key words: Mathematical modeling, imitation process, differential equations, success.
The development of biological populations, economic systems, and social groups is often understood as the development of competing sets. From the point of view of Mathematics these processes are represented by systems of the differential equations. We consider that dynamics of similar systems development is influenced not only by competition, but also by partnership. The basic idea of the following work is based on the fact that an imitation of the strongest competitors or partners becomes profitable at the competitive or partner level / activity. We understand «benchmark» as follows — emulation on an example from the point of view of Mathematics.
Термин «бенчмаркинг» (англ: benchmark: bench - уровень, высота; mark -метка) означает отметку на столбе, указывающую высоту над уровнем моря (возможно при наводнениях) [4], т.е. ординар, эталон при сравнении с образцом.
В экономике особенность бенчмаркинга состоит в том, что он моделирует партнерство с теми, чей наилучший опыт заимствуется. Казалось бы, вещь немыслимая в условиях свободного рынка, где каждый старается скрыть от посторонних глаз свои производственные секреты. Бенчмаркинг приобретает все большую популярность в мире как эффективный метод совершенствования деятельности любых предприятий и организаций от транснациональных компаний до департаментов городских и региональных органов управления [4]. С другой стороны, бенчмаркинг развивает и расширяет методологию анализа конкурентоспособности. Такой анализ сводится к сравнению деятельности компании с результатами конкурентов. Не ограничиваясь сбором информации об основных соперниках на рынке, бенчмаркинг предусматривает также сравнительный анализ их продукции, затрат и технологий, экономических и финансовых показателей, отношений с клиентами и поставщиками [4]. За последние годы бенчмаркинг стал одним из наиболее эффективных и популярных инструментов совершенствования западного бизнеса. Некоторые российские компании уже используют бенчмаркинг в качестве элемента стратегии повышения своей конкурентоспособности [4].
Итак, партнерство или конкуренция? Бенчмаркинг - это и то, и другое. Это сравнительный анализ в экономических процессах. Есть хищники и жертвы. Есть конкурирующие организации (фирмы - хищники). Есть потре-
бители (жертвы). Все это хорошо понимают специалисты. Мы предлагаем математическую модель и выводы, позволяющие выбрать правила (алгоритмы) в игре сотрудничества-конкуренции.
Рассмотрим проблему борьбы между тремя группами (которые условно будем обозначать У, X, 5) за влияние над четвертой группой (X). Например, это может быть борьба за рынок сбыта между тремя торговыми фирмами, размещающими торговые точки одинакового профиля на определенной территории. Моделирование подобных процессов эффективно с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2, 3, 5, 6].
Пусть х, у, г, ъ - количественные факторы, характеризующие потенциалы соответствующих групп, возможно, это производственные показатели, финансовые ресурсы, просто численность групп и пр. Не исключено,
что при определенных ситуациях указанные факторы могут иметь различ-
ные единицы измерения. Обозначим время буквой (. Скорости изменения показателей: х(0, у(0, г(^), ъ^) являются производными по времени и обозначаются ёх/Ш, ёу/Ш, ёг/Ш, ds/dt соответственно. Значение скорости со знаком «+» показывает развитие группы, а со знаком «-» - ее распад. Равенство скорости нулю означает застой показателя при достижении верхне-
го предела развития или нижнего предела при депрессии. Очевидно, скорости зависят определенным образом от параметров х(^, у^), г(^) s(t) . Обобщая известную математическую модель Вольтерра [1], рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:
ёх
— = а1 х + а2 хх + а3 ху + а4 хг + а5 хs ; (1)
dt
^ = *1 у + *2ух + Ьзуу + Ь4уг + £5 уъ ; (2)
dt
— = с1 г + с2 гх + с3гу + с4гг + с5 гъ ; (3)
— = ё1 ъ + ё2 ъх + ё3 ъу + ё4 ъг + ё5 , (4)
dt
где а1, Ь1, с1, ё1 - коэффициенты естественного развития групп; а2, Ь3, с4, ё5 -коэффициенты их внутренней борьбы за собственные ресурсы. Остальные коэффициенты учитывают влияние групп на чужие ресурсы, например, а3 -коэффициент влияния группы У на ресурсы X; а4 - коэффициент влияния группы X на ресурсы X. Коэффициенты Ь1, с1 и ё1, взятые со знаком минус, показывают, как быстро уменьшались бы собственные ресурсы групп У, X, 8 в отсутствие прочих обеспечивающих ресурсов. При моделировании знаки и модули коэффициентов подбираются в соответствии с характером взаимоотношений между группами [1].
Дополним эти уравнения начальными условиями:
X(0) = хо , у(0) = уо , г(0) = ^ , ъ(0) = % (5)
На рис. 1 приведена графическая интерпретация численного решения [1] задачи Коши [1, 3-6]. Расчеты приведены при начальных значениях х(0) = 16,
у(0)=4, г(0)=8, 5(0) = 12 и при значениях коэффициентов, указанных в табл.1. Количественные факторы выражены условными единицами (например, тыс. т, млн руб. и др.).
100 200 300 400 500
I
Рис. 1
Таблица 1
1 2 3 4 5
а 0.55 0 -0.05 -0.02 -0.02
Ь -0.3 0.020 0 0 0
с -0.3 0.019 0 0 0
а -0.3 0.018 0 0 0
Графики показывают колебательную динамику борьбы за развитие ресурсов четырех групп. В конечном итоге две из групп конкурентов (в данном случае - 2, 5) терпят полное поражение (т.е. исчерпываются их ресурсы), ибо соответствующие траектории стремятся к осям г = 0, 5 = 0. Такую картину вырождения двух конкурирующих групп можно наблюдать при различных начальных условиях и значениях коэффициентов в правых частях уравнений (1-4). Выживает та группа (У, 2 или 5), которая имеет более благоприятные соотношения параметров. Оставшиеся две группы жертвы и хищника продолжают развитие с колебаниями ресурсов. Эти колебания (рис. 1) становятся установившимися с одинаковыми периодами, но различными фазами и амплитудами.
Если же в группе жертв имеет место внутренняя борьба, определяемая отрицательным коэффициентом а2 (табл. 2), то колебания ресурсов затухают, как показано на рис. 2. Таким образом, источник ресурсов может стабилизировать развитие как своей группы, так и потребителя. Интересно заметить, что при прочих равных условиях (рис. 1, 2) выигрывает конкурент У, имеющий меньшие начальные значения ресурсов. Возможно, что в данном случае начальные параметры являются также стартовым балластом.
На рис.3 показано развитие, при котором группа 5 избегает вырождения. Это удается за счет использования группой 5 ресурсов группы У. Причем группа У не ощущает непосредственно этого факта. Действительно, коэффициент а3 положителен, но при этом коэффициент Ь5 равен нулю (табл. 3). На практике это может означать, что группа 5 приспособилась использовать ресурсы группы У, не востребованные или являющиеся отходами деятельности последней. Однако следует иметь в виду, что теперь группе У приходится делить ресурсы группы X с группой 5. Это может привести к смене лидера. Так, если ранее доминировала одна группа, то теперь - другая, что следует из сравнения траекторий на рис. 1, 2 и 3.
X, у,
Таблица 2
1 2 3 4 5
а 0.55 -0.001 -0.05 -0.02 -0.02
Ь -0.3 0.020 0 0 0
с -0.3 0.019 0 0 0
й -0.3 0.018 0 0 0
Рис. 2
х, у, г, г
Таблица 3
1 2 3 4 5
а 0.55 -0.004 -0.05 -0.02 -0.02
Ь -0.3 0.020 0 0 0
с -0.3 0.019 0 0 0
й -0.3 0.018 0.005 0 0
Рис. 3
Сосуществования конкурирующих групп без вырождения можно также достичь путем использования группами собственных ресурсов для выживания (путем ведения внутренней борьбы). Так, на рис. 4 приведена динамика развития конкурирующих групп с отрицательными коэффициентами Ь3, с4, й5. Наличие этой внутренней борьбы, кроме того, приводит к затуханию колебаний ресурсов всех групп. Чтобы подчеркнуть этот фактор, коэффициент а2 принят равным нулю (табл. 4).
X, у, г, з
Таблица 4
1 2 3 4 5
а 0.55 0 -0.05 -0.02 -0.02
Ь -0.3 0.020 -0.01 0 0
с -0.3 0.019 0 -0.002 0
й -0.3 0.018 0 0 -0.003
О 100 200 300 400 500 1
Рис. 4
В этой работе графическое представление решений дифференциальных уравнений получено в системе Мар1е.
Разумеется, используя эту программу, можно демонстрировать траектории развития ресурсов двух групп по модели Вольтерра, как, например, на рис. 5 в соответствии с табл. 5 и начальными условиями х(0)=16, _у(0)=4, г(0)=0 5(0)=0.
х, У, z, s
181
16
14
12
10
8
6
4
2
тттттш
Таблица 5
1 2 3 4 5
a 0.2 0 -0.04 0 0
b -0.3 0.020 0 0 0
c 0 0 0 0 0
d 0 0 0 0 0
и 100 200 300 400 500 1
Рис. 5
Аналогично, в соответствии с табл. 6 и условиями х(0)=16, у(0)=4, г(0)=8, 5(0)=0 можно продемонстрировать развитие ресурсов при конкуренции двух групп за ресурсы третьей (два хищника и одна жертва), при которой один из конкурентов терпит поражение. Эти исследования подробно анализируются в работах [1, 5].
Таблица 6
х, У,
1 2 3 4 5
a 0.4 0 -0.04 -0.04 0
b -0.3 0.020 0 0 0
c -0.3 0.019 0 0 0
d 0 0 0 0 0
Рис. 6
Программа может применяться и при моделировании сотрудничества. В этом случае коэффициенты в системе (1-4) выбираются положительными.
Таким образом, в данной статье рассмотрена модель развития конкурирующих групп и получены результаты, позволяющие выбрать правила поведения в «игре» сотрудничества-конкуренции.
Литература
1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В. Амелькин. М.: Наука, 1987. 160 с.
2. Артемьев И.Т. Моделирование конкуренции / И. Т. Артемьев, Э.И. Артемьев // Математическое моделирование и информатизация экономических процессов и систем: сб. науч. работ Всерос. науч.-практ. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.
3. Артемьев И. Т. Моделирование конфликтных ситуаций в условиях конкурентной борьбы за общий источник существования / И. Т. Артемьев, Е.В. Краснова // Сборник научных статей преподавателей и аспирантов. Чебоксары: Салика, 1999. Вып. 13. Ч.1. С. 26-31.
4. Данилов И.П. Бенчмаркинг как основа создания конкурентоспособного предприятия / И.П. Данилов, Т.В. Данилова. М.: РИА «Стандарты и качество», 2005. 72 с.
5. Прохоров Г.В. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя / Г.В. Прохоров, В.В. Колбеев, К.И. Желнов, М.А. Леденев. Калуга: Облиздат, 1998. 200 с.
6. ФедорюкМ.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения /М.В. Федорюк М.: Наука, 1985. 448 с.
АРТЕМЬЕВ ИОСИФ ТИМОФЕЕВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (it006@rambler.ru).
ARTEMYEV IOSIF TIMOFEEVICH - doctor of Physics and Mathematics sciences, professor, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
АРТЕМЬЕВ ЭДУАРД ИОСИФОВИЧ - старший преподаватель кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (gaarret@yandex.ru).
ARTEMYEV EDUARD IOSIFOVICH - senior teacher, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
РОМАНОВА ТАМАРА ВЯЧЕСЛАВОВНА - старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tamararv@rambler.ru).
ROMANOVA tAmARA VYACHESLAVOVNA - senior teacher, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ДАНИНА ИРИНА НИКОЛАЕВНА - кандидат экономических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (tdtl@mail.ru).
DANINA IRINA NIKOLAEVNA - candidate of economics sciences, assistant professor, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
УДК 330.341.1:001]:51
И.Т. АРТЕМЬЕВ, ТВ. РОМАНОВА, И.Н. ДАНИНА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА С ЗАТРАТАМИ НА ИССЛЕДОВАНИЯ
Ключевые слова: математическая модель, затраты на исследования, развитие модели.
Предложено развитие идей, изложенных в монографии [1]. Возможны различные варианты модели оптимизации затрат фирм на научные исследования [1]. Предложены методы исследования с использованием компьютерных систем математики [2].
I.T. ARTEMYEV, T.V. ROMANOVA, I.N. DANINA MATHEMATICAL MODEL OF MANUFACTURE WITH EXPENSES FOR RESEARCHES Key words: Mathematical model, cost of researches, development model.
Development of the ideas offered in the monography [1] is discussed. Different variants of model of optimisation of expenses of firms on scientific researches are possible [1]. The methods of research using computer systems of Mathematics is offered [2].
Оценка интеллектуального капитала (ИК) является для России новым направлением. В силу специфического характера интеллектуального капитала существующие методы оценки нуждаются в значительной доработке и уточнении.
Рассмотрим экономику, состоящую из одной, достаточно крупной фирмы, обеспечивающей единственным продуктом своих постоянных потребителей по стабильным ценам [1]. Объем производства обозначим через ^,
объем соответствующего рынка - через символ £, . В рассматриваемом случае (для упрощения) £, = £,, хотя, вообще говоря, £, < £, .
Обозначим через K «интеллектуальный капитал» фирмы, который определяет эффективность используемой технологии и в конечном счете стоимость самой фирмы. Вложения в научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы (НИОКР), необходимые для создания «интеллектуального капитала» в объеме K, обозначим через a(K). Функцию a(K), естественно, считать линейной. Более того [1], вполне можно положить a(K)=K. Последнее означает, что множество доступных фирме технологий эквивалентно затратам на НИОКР.
