Математическая модель паропропускной способности ткани Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 51:677.862.513 Н.В. Усенко, Е.А. Нечушкина, Н.О. Васильева

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРОПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ ТКАНИ

Содержание статьи включает в себя эксперимент по паропропускной способности ткани. Задача авторов заключалась в составлении прогноза того, как поведет себя ткань на последующий период времени при изменении температурного режима, концентрации и скорости воздуха. Прослежено также отклонение между прикладываемой линейной моделью и методом наименьших квадратов.

Введение. Качество продукции - это важный фактор, который влияет на реализацию товаров.

В процессе эксплуатации одежда удовлетворяет различные потребности человека, как материальные (создание условий для поддержания нормальной жизнедеятельности организма человека), так и нематериальные [1].

Комплекс потребительских требований к текстильным материалам и одежде зависит от различных факторов [2]:

- назначения одежды;

- условий эксплуатации;

- возрастных потребностей.

Поэтому необходимо изучать структуру ткани, из чего она изготавливается, какое воздействие на нее оказывают различные факторы.

С этой целью проводился эксперимент по паропроницаемой способности ткани через фенол, йод и фториды с разной концентрацией, температурой и скоростью воздуха, данные которых приведены в табл. 1-3 [4].

Наша задача состояла в подборе модели, подставляя в которую имеющиеся данные, следовало получить прогноз на последующий период времени о том, как поведет себя пропускная способность ткани с наименьшим отклонением (ошибкой).

Методы исследований. Для решения поставленной нами задачи воспользуемся линейной функцией, то есть построим систему линейных уравнений, которая примет вид:

рп = аА + Ьпуп + са + ап

где F - проницаемость ткани №1;

а, Ь, с - переменные; х - г/л; у - °С; z - л/с.

Решение задачи будет сводиться к нахождению неизвестного параметра d, а затем сравнения его среднего для трех видов веществ [7]. После решения нашей системы найденные неизвестные параметры

будут занесены в систему для того, чтобы в дальнейшем можно было проводить эксперимент с другими данными. Исходя из данных, приведенных в табл. 1-3, видим, что в построенных нами уравнениях всегда будут присутствовать по 2 константы и 2 переменные - F и периодически меняющиеся х, у, z.

Построим систему уравнений для фенола. Получим:

0,0128 = 1$1 + 23Ъ + 0,01^1 + dl 0,0128 = 1$2 + 23Ь> + 0,15с2 + й 2 * 0,01283 = 1^3 + 23^3 + 0,2с3 + й3

0,0159 —1$21 + 23^2! + 0,9с2! + d 21.

В данном случае воспользуемся методом Гаусса (упрощения). С помощью средств MS Excel решаем расширенную матрицу [6]:

Г1 23 0,01 1 0,0128 Л

1 23 0,15 1 0,0128

1 23 0, 2 1 0,01283

V 1 23 0,9 1 0,0159 ,

Сначала находим среднее значение с, значения которого будем брать за среднее, равное 0,3875, так как / и у постоянные величины и при решении методом Гаусса сократятся. Затем находим й, которое равно 0,374. Для йода и фторидов расчет будет производиться аналогично.

Для йода система уравнений будет следующей:

0,0027 = 12,7^1 + 23&1 + 0,01с1 + ¿1 0,5021 = 12,7а2 + 23Ъ2 + 0,15с2 + ¿2 < 0,06325 = 12,7а + 23Ъ3 + 0,2с3 + ¿3

0,79439 —12,7^2! + 23fo>1 + 0,9с21 + d2i. Расширенная матрица примет вид:

'12,7 23 0,01 1 0,0027 Л

12,7 23 0,15 1 0,5021

12,7 23 0,2 1 0,06325

V12,7 23 0,9 1 0,79439 ,

Откуда среднее значение с будет равно 21,2276, а d =20,4816.

Таблица 1

Паропропускная способность ткани через фенол

Ткань 1с (№ 1) Концентрация Температура Скорость воздуха Ткань 2ф

F, г/(м2 'с) х у z F, г/(м2 'с)

0,0128 const = 30 мл= 1 г/л const = 23°С 0,01 0,0128

0,0128 const = 1 г/л const = 23°С 0,15 0,0128

0,01283 const = 1 г/л const = 23°С 0,2 0,0128

0,01284 const = 1 г/л const = 23°С 0,25 0,0128

0,01287 const = 1 г/л const = 23°С 0,3 0,0128

0,0129 const = 1 г/л const = 23°С 0,33 0,0128

0,013 const = 1 г/л const = 23°С 0,35 0,0129

0,0131 const = 1 г/л const = 23°С 0,4 0,013

0,0133 const = 1 г/л const = 23°С 0,42 0,0131

0,0136 const = 1 г/л const = 23°С 0,45 0,132

0,0139 const = 1 г/л const = 23°С 0,5 0,0133

0,014 const = 1 г/л const = 23°С 0,55 0,0135

0,0142 const = 1 г/л const = 23°С 0,58 0,0136

0,01423 const = 1 г/л const = 23°С 0,6 0,01364

0,01428 const = 1 г/л const = 23°С 0,65 0,0137

0,0143 const = 1 г/л const = 23°С 0,67 0,0138

0,0144 const = 1 г/л const = 23°С 0,7 0,0139

0,0145 const = 1 г/л const = 23°С 0,75 0,014

0,0148 const = 1 г/л const = 23°С 0,8 0,0143

0,015 const = 1 г/л const = 23°С 0,85 0,0147

0,0159 const = 1 г/л const = 23°С 0,9 0,0152

Таблица 2

Паропропускная способность ткани через йод

Ткань 1с (№ 1) Концентрация Температура Скорость воздуха Ткань 2ф

F, г/(м2 'с) х у z F, г/(м2 'с)

0,0027 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,01 0,0026

0,5021 const = 30 мл (12,7 г/л) const = 23°С 0,15 0,3316

0,6325 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,2 0,4262

0,7062 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,25 0,5616

0,7354 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,3 0,6985

0,7461 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,33 0,7091

0,7493 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,35 0,7154

0,7516 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,4 0,7271

0,7536 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,42 0,7321

0,7584 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,45 0,7399

0,7651 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,5 0,7536

0,7692 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,55 0,7583

0,773 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,58 0,7615

0,7766 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,6 0,7639

0,7791 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,65 0,7665

0,7806 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,67 0,7691

0,7823 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,7 0,7708

0,7848 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,75 0,7732

0,7888 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,8 0,7756

0,7914 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,85 0,7799

0,7943 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,9 0,78233

0,0027 const = 12,7 г/л const = 23°С 0,01 0,0026

Таблица 3

Паропропускная способность ткани через фториды

Ткань 1с (№ 1) KoHi^HTpai^a Температура Скорость воздуха Ткань 2ф

F, г/(м2 'с) X у z F, г/(м2 'с)

0,0502 const = 25 win 0 const =0, 5 л/с 0,0481

0,0511 const = 25 Mn 2,5 const =0, 5 л/с 0,0495

0,0523 const = 25 Mn 5 const =0, 5 л/с 0,0505

0,0534 const = 25 Mn 7,5 const =0, 5 л/с 0,0522

0,0561 const = 25 Mn 10 const =0, 5 л/с 0,0552

0,0602 const = 25 Mn 12,5 const =0, 5 л/с 0,0564

0,0617 const = 25 Mn 15 const =0, 5 л/с 0,0573

0,0641 const = 25 Mn 17,5 const =0, 5 л/с 0,06

0,0661 const = 25 Mn 20 const =0, 5л/с 0,0623

0,068 const = 25 Mn 22,5 const =0, 5 л/с 0,0644

0,0699 const = 25 Mn 25 const =0, 5 л/с 0,0667

0,0715 const = 25 Mn 27,5 const =0, 5 л/с 0,0679

0,0738 const = 25 Mn 30 const =0, 5 л/с 0,0691

0,0756 const = 25 Mn 32,5 const =0, 5 л/с 0,0721

0,0762 const = 25 Mn 35 const =0, 5 л/с 0,0741

0,0773 const = 25 Mn 37,5 const =0, 5 л/с 0,075

0,0785 const = 25 Mn 40 const =0, 5 л/с 0,0768

0,079 const = 25 Mn 42,5 const =0, 5 л/с 0,0782

0,0804 const = 25 Mn 45 const =0, 5л/с 0,0799

0,0827 const = 25 Mn 47,5 const =0, 5л/с 0,0812

0,0872 const = 25 Mn 50 const =0, 5л/с 0,0854

0,0502 const = 25 Mn 0 const =0, 5л/с 0,0481

Для фторидов получим систему:

0,0502 = 25а1 + 0Ь1 + 0,5с1 + й1 0,511 = 25а2 + 2.5Ь2 + 0,55с2 + й2 0,0523 = 25а3 + 5Ь3 + 0,5с3 + й3

0,0872 = 25а21 + 50Ь21 + 0,5с21 + й21. Расширенная матрица примет вид:

' 25 0 0.5 1 0,0502 Л

25 2.5 0.5 1 0,511

25 5 0.5 1 0,0523

V 25 50 0.5 1 0,0872 ,

Откуда среднее значение Ь будет равно 0,0277, а й = 0,0415, так как э и с постоянные, то находим Ь .

Исходя из вышеприведенных решений, можно записать следующую систему для трех видов веществ (фенола, йода и фторидов):

= 1 + 23 + 0,3875 + 0,374 Рй = 12,7 + 23 + 21,2276 + 20,4816 или р = 25 + 0,0277 + 0,5 + 0,0415

0,013788 = 1 + 23 + 0,3875 + 0,374 0,710624 = 12,7 + 23 + 21,2276 + 20,4816 ,

0,068348 = 25 + 0,0277 + 0,5 + 0,0415

где F для всех случаев берется со средним значением.

Это мы получили теоретические функции (Рт). Для проверки надежности нашей модели можно взять другие значения х, у, ^ F (практические) и проверить отклонение от Рт, чтобы в дальнейшем сделать вывод о целесообразности применения нашей модели [5]. Но, очевидно, напрашивается вывод о том, что к данному эксперименту нецелесообразно применять эту модель, так как большое число переменных и большие отклонения параметра д.

Также можно применить к данной задаче метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов. Для этого случая будем производить расчеты по паропропускной способности с йодом (табл. 2). Воспользуемся двумя переменными: z - независимая, Р - зависимая, х и у не будем принимать во внимание, так как они константы. Зависимость между Р и z можно записать следующим образом: Рра+Ьз+с где с - случайные ошибки, а а и Ь - числовые коэффициенты. В данном случае имеет место линейная зависимость:

^ = а + Ьх{ + , где среднее значение £{ =0, дисперсия конечна.

Согласно методу наименьших квадратов, необходимо решить следующую математическую задачу [7]:

Т = £ (р - а - Ьіі )2 ^ шіп.

і =1

Решаем задачу, вычисляя частные производные суммы квадратов по каждому из коэффициентов и приравнивая эти производные к нулю. Получаем систему нормальных уравнений:

д— п

=-2£ (р -а -Ь^ к =0

да ,=1

д— п

— = -2£(р - а - Ьг, ) = 0.

да , =1

Решая данную систему относительно параметров а и Ь, получим оценки:

п _ п п _ Л

Ь = £(р, -р)(г - г)1 £(г -г) = £ г2 -Ь^2; а = р -Ьг•

Перейдем непосредственно к нашим значениям:

Исходные данные по йоду Значения, полученные

при условных вариантах

и V

0 0

0,14 0,4994

0,19 0,6298

0,24 0,7035

0,29 0,7327

0,32 0,7434

0,34 0,7466

0,39 0,7489

0,41 0,7509

0,44 0,7557

0,49 0,7624

0,54 0,7665

0,57 0,7703

0,59 0,7739

0,64 0,7764

0,66 0,7779

0,69 0,7796

0,74 0,7821

0,79 0,7861

0,84 0,7887

0,89 0,7916

Р-ткань (г/м*с) z-скорость воздуха (м/с)

0,0027 0,01

0,5021 0,15

0,6325 0,2

0,7062 0,25

0,7354 0,3

0,7461 0,33

0,7493 0,35

0,7516 0,4

0,7536 0,42

0,7584 0,45

0,7651 0,5

0,7692 0,55

0,773 0,58

0,7766 0,6

0,7791 0,65

0,7806 0,67

0,7823 0,7

0,7848 0,75

0,7888 0,8

0,7914 0,85

0,7943 0,9

Перейдем к условным вариантам:

и, = - 0,01, V, = р - 0,0027.

п

Xи, _

Получаем и = ■и=^ 0,4857, V = 0,7079, отсюда г = 0,4857 + 0,01 = 0,4957; Р = 0,7106 . п

Далее вычисляем:

X u¡.v - nйV = 0,5729,

,=1

п

X и,2 - пи2 = 1,1706.

,=1

Получаем Ь = 0,5729/1,1706 = 0,4894; а = 0,7106 - 04894 • 0,4957 = 0,468.

Поведение пропускной способности через йод можно проследить по нижеприведенному графику на рисунке.

скорость(м/с)

- г/(м*с)

Скорость воздуха

Паропропускная способность йода

Далее, подставляя любые значения для нашей функции, мы будем наблюдать соответствующее поведение и на графике и можем делать этим самым прогнозы на будущее.

Как одни из способов, можно применять показательные и степенные функции и проследить отклонение, чтобы в последствие выбрать наиболее пригодную модель для данного эксперимента [3].

Литература

1. Механическая технология текстильных материалов: учеб. для вузов / А.Г. Севостьянов, Н.А. Осьмин, В.П. Щербаков [и др.]. - М.: Легпромбытиздат, 1994. - 512 с.

2. Лабораторный практикум по механической технологии текстильных материалов: учеб. пособие. - М.: Легкая индустрия, 1996. - 552 с.

3. Методические указания по расчету индивидуальных заданий по курсу "Механическая технология волокнистых материалов”. Раздел "Прядение натуральных и химических волокон”. - М., 1991. - 40 с.

4. Миловидов, Н.Н. Проектирование хлопкопрядильных фабрик: учеб. пособие / Н.Н. Миловидов, П.П. Фа-минский, Е.И. Шишкунова. - М.: Легкая и пищевая пром-сть, 2002. - 310 с.

5. Гмурман, В.И. Теория вероятности и математическая статистика / В.И. Гмурман. - М., 2001.

6. Харебов, К.С. Компьютерные методы решения задачи наименьших квадратов и проблемы собственных значений / К.С. Харебов. - Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1995. - 76 с.

7. Лоусон, Ч. Численное решение задач наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. - М.: Статистика, 1989. - 447 с.

--------♦-----------

УДК 631.311 Ю.А. Сергеев, Д.Н. Раднаев

ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ГИДРОПНЕВМОСОШНИКА ДЛЯ ПОСЕВА СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР В УСЛОВИЯХ ЗАБАЙКАЛЬЯ

В статье произведен теоретический анализ бороздообразования для посева семян сельскохозяйственных культур струей жидкости. Обоснованы оптимальные параметры гидропневмосошника с использованием теории планирования эксперимента. Получена математическая модель, описывающая глубину заделки семян и определены основные параметры гидропневмосошника.

По результатам анализа существующих технологий и технических средств выявлено, что наиболее ответственным этапом формирования непрерывного и равномерного высева семян является работа сошниковой группы. Сошниковая группа должна создать борозду, равномерно распределить семена по площади питания и глубине заделки в почву, заделать их почвой и обеспечить питательными веществами и влагой.

Для сухостепной зоны Забайкалья разработана технология посева сельскохозяйственных культур, где рабочим органом для заделки семян в почву является струя жидкости [1].

Физическая сущность бороздообразования для посева семян сельскохозяйственных культур струей жидкости заключается в перемещении струи жидкости, истекающей из насадки под давлением. В результате этого создается бороздка на поверхности почвы и образованная щель способствует ликвидации гидравлической подушки, так как отработанная жидкость (вода или жидкое удобрение) растекается в бороздке, не скапливаясь на дне борозды.

Глубина бороздки в почве зависит от следующих параметров: давления в насадке, диаметра насадки, расстояния от насадки до поверхности поля, скорости перемещения струи жидкости, угла насадки и физикомеханических свойств почвы (плотности, влажности, твердости и др.).

Общее функциональное уравнение глубины бороздки hб, образованной струей жидкости, имеет вид [1-2]:

hб=f(Р,dJ,Vn, оЖг) , (1)

где hб - глубина бороздки, м;

Р - давление у насадки, МПА;

б - диаметр насадки, м;

I - расстояние между насадкой и почвой, м;

Vn - скорость передвижения насадки, м/с;

т - плотность почвы, МПа;

W - влажность почвы, %;

а - угол наклона насадки, рад.

По результатам теоретического обоснования процесса бороздообразования перемещающейся струей жидкости и психологического эксперимента были определены следующие четыре фактора:

Х1 - давление струи жидкости (Р);

Х2 - диаметр насадки (б);

хз - поступательная скорость струи жидкости (^);

Х4 - твердость почвы (т).

За критерий оптимизации была принята глубина заделки семян (У). Для получения значений параметра оптимизации проводилось центральное композиционное ротатабельное униформ-планирование второго порядка (п=4) в соответствии с планом матрицы [1-2].