Математическая модель паропропускной способности ткани Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

¿а ] f" і Л

УДК 518.6:634.92

Н.В. Усенко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРОПРОПУСКНОИ СПОСОБНОСТИ ТКАНИ

Содержание статьи включает результаты эксперимента по паропропускной способности различных видов тканей через три вида вещества и моделей, прикладываемых к нему. Задача заключалась в составлении моделей, показывающих, как поведет себя ткань на последующий период времени при изменении температурного режима, концентрации и скорости воздуха. Было прослежено отклонение прикладываемой линейной и нелинейной моделями по методу наименьших квадратов и сделан вывод, что нелинейная модель дает лучший результат со средней погрешностью в 1,75 раза меньше, чем линейная для каждого вида вещества, и в 6,43 раза меньше, чем линейная для всех трех веществ в совокупности.

Ключевые слова: модель, метод наименьших квадратов, линейная функция, нелинейная функция, формула Тейлора, функции нескольких переменных.

N.V. Usenko

MATHEMATICAL MODEL OF THE CLOTH STEAM CAPACITY

The article contains the results of the experiment on the steam capacity of the various types of cloth through the three types of material and sample pieces affixed to it. The task was to formulate the sample pieces indicating how the cloth will behave itself on the subsequent time span at fluctuation of the temperature conditions, densities and velocities of the air. The diverting of the affixed linear and nonlinear sample pieces by the method of least squares is traced and the conclusion that the nonlinear sample piece gives the best effect with an average error at 1.75 time less than linear for each type of material and in 6,43 times less than linear for all three materials in the aggregate is drawn.

Keywords: a sample piece, a method of least squares, a symmetric function, nonlinear function, Taylor's formula, function of several variables

Качество продукции - это важный фактор, который влияет на реализацию товаров.

В процессе эксплуатации одежда удовлетворяет различные потребности человека, как материальные (создание условий для поддержания нормальной жизнедеятельности организма человека), так и нематериальные [1].

Комплекс потребительских требований к текстильным материалам и одежде зависит от различных факторов [2]:

- назначения одежды;

- условий эксплуатации;

- возрастных потребностей.

Поэтому необходимо изучать структуру ткани, из чего она изготавливается, а также какое воздействие на нее оказывают различные факторы.

Данные эксперимента по паропропускной способности различных видов ткани через фенол, йод и фториды с разной концентрацией, температурой и скоростью воздуха приведены в табл. 1-3 [4].

Наша задача состояла в подборе модели, подставляя в которую имеющиеся данные, можно получить прогноз на последующий период времени о том, как поведет себя ткань при той или иной пропускной способности с наименьшим отклонением (ошибкой).

Для решения поставленной нами задачи мы воспользовались сначала линейной функцией, затем применили нелинейную квадратичную функцию [3; 8]. Расчеты производили, пользуясь методом наименьших квадратов. В конце работы приведен анализ этих двух функций и выявлена наименьшая ошибка. Наиболее точная функция и будет использована для дальнейших прогнозов.

1.Нахождение линейной функции

Для трех видов веществ функция будет искаться в виде:

Е = IX + *у + -г + 1,

где F - проницаемость ткани, г/(м2'с); a, Ь, с - переменные; x - г/л; у - °С; z - л/с (см. табл. 1-3). Решение задачи будет сводиться к нахождению неизвестных параметров a, Ь, ^ d [6].

1-й шаг

Найдем функцию для фенола (табл. 1).

Решение будет проходить в несколько этапов.

1) Находим е = £ ^ _(щ +Ьу_ +с. +ё1)^тЫ^

Ь-(

<2(а, Ь, с, йГ) = — + + +

2) Далее найдем частные производные по каждой переменной и приравняем их к нулю:

Г dQ

да

5Q

дЪ

= о = о

\dQ

_Q = ~2^^ F ~ (аХ; byt + czt + d.) X = 0

I да

I dQ

| — = ~2^ Fi~ (axi+ ЪУг + czi+ di ) 3i = 0

дЪ

i=1 63

=>

i=1 63

dc

i8— = о [dd

j ^ = -2^ Fi - (axi + ЪУ,+ czt+d>) z|i = 0

=>;

SQ

[3d

i = 1 63

— F ~ (axf byt -+- czf -+- d.) _= 0

^— = 2,4533 - (5288a + 7356b + 158,91c + 318 d)

da

d— = 18,87047 - (7356a + 40155,5Ъ + 743,43c + 1491d) = 0,34398 - (158,9a + 743,4Ъ + 16,8307c + 31,41d)

= 0,68234 -(318 a +1491Ъ + 31,41^ + 63d)

dQ

dc

dQ

{dd

=>; f5288a + 73566 + 158,91c + ЗШ = 2,4533

j 7356a + 40155,56 + 743,43c +149 Id = 18,87047 1158,9a + 743,4Ъ + 16,8307c + 31,41d = 0,34398 ¡318a +149 \b + 31,4 lc + 63 d = 0,68234.

Решая полученную систему уравнений с помощью пакета MO Excel, получим следующие результаты:

x=-0,0002; y=0,0006; z=0,0033; d=-0,0026.

Запишем теперь в виде уравнения:

F=-0,0002x+0,0006y+0,0033z-0,0026.

Далее проделаем аналогичные расчеты по фенолу со вторым видом ткани и получим следующее уравнение:

F2 = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003.

2-й шаг

Следующим шагом будет расчет методом наименьших квадратов по йоду также для двух видов ткани по 63 показателям.

Получим уравнения:

F, = 0,0227х + 0,0082у + 0,483z-0,086; F2 = - ,0066х+ l,008y+ ),6178z+ 1,1543.

3-й шаг

Для фторидов расчет будет производиться на основе 36 показателей.

Получим уравнения:

Fj = 0,0035х + 0,0007у - 0,0747z; F2 = ),0035х+ l,0007y+ ),1245z- 1,0996.

Запишем все полученные уравнения для разных веществ в систему:

ГF.. = -0,0002х + 0,0006у + 0,0033z - 0,0026 I ф

i F2<|> = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003

j FlH = 0,0227x + 0,0082y + 0,483z - 0,086

|F2h = -0,0066x + 0,008y + 0,6178z + 0,1543 I F^T = 0,0035x + 0,0007y - 0,0747z

[Р2фт = 0,0035х + 0,0007у + 0,1245г - 0,0996

Данные расчеты были произведены для каждого вещества по отдельности. Полученные погрешности, рассчитанные по формуле

внесены в сводную табл. 4.

Л =

ах, + »у, + -Zj + 1,)^

63

i = 1

4-й шаг

Будем проводить расчет по универсальной функции для всех вместе взятых показателей по трем видам веществ. Наша функция будет выглядеть следующим образом:

Q = У' — axi + <yi + ,zi + nin.

i=

Для первого вида ткани функция будет выглядеть так:

Ft = -0,0084х + 0,2358у + 0,0029z + 1,0076.

Для второго вида:

F2 = 0,1097х + 0,3073у + 0,003z - 1,0087.

Расчет ошибки представлен в табл. 4.

2.Нахождение нелинейной функции

Далее посчитаем прогноз для всех веществ, воспользовавшись нелинейной (квадратичной) функцией [5]:

F^:,y,z^= ix + >у+ :z+ 4Х2 + .2ху+ i3xz+ .4zy + i5y2 + l6Z2 + 1.

Нелинейная функция для данного эксперимента получена на основе функции Тейлора для нескольких переменных [8]. Расчет будет проводиться по всем трем видам веществ для каждого вида ткани.

Сначала найдем f1 , затем аналогичные действия произведем и для f2 (второго вида ткани).

Шаг 1. Найдем

~~' 2 2 2 "^"1

Q = > - ах± + >уА + zi + + -2xiYi + -3xizi н- + .5уА + .6z{ + h) _\= 11111 •

Для расчетов воспользуемся средствами МО Excel. Получим:

162

g = £ 43,11774- 1907,4а + 38526 + 80,82с + 35588,18^ +45495,6а2 +952,467а3 +

¿=1

+ 1921,86а4 + 106183,5а5 + 42,6614а6 +I62di)]1 = nin.

Шаг 2. Посчитаем частные производные от каждой переменной величины и приравняем их к нулю:

Г (3Q I62 —I

— = Fi ~ (ax^ ЬУ^ czi + aixi2 + a2xiy^ a3xizi + a4ziy^ а5У12 + a6zi^ di) ^i = 0

da

dQ

1=1

162

^ = -2XtFi - (ax^ by^ Cz^ aixi^ a2xiy^ a3xizi + a4ziy^ + a6zi^ di)]yi = 0

5b t!

(3Q 162 —I

— = -2£ Fi - (axi + tyi + czi + aixi^ a2xiyi + a3xizi + a4ziy^ ^2 + a6zi2 + di)3 = 0

dc

dQ

— = ~2Y^ Fi - (axi + byi + Czi + aixi^ a2xiy^ a3xizi + a4ziyi + ^2 + a6zi2 oax

>iizi + a4ziyi + a5yi^ a6zi^ di ) =

0

1=1

"2X Fi “ (ax^ by^ Cz^ a1xi2 + a2xiy^ a3xizi + a4ziy^ + a6zi2 + = 0

oa, “T

cQ 162 2 2 2 —I

— = Fi “(axi +byi +Czi +a1xi2 +a2xiyi +a3xizi +a4ziyi +a5yi2 +a6zi2 +di)x|izi =°

dQ 162 —I

-— = axi + byi + czi + a1xi2 + a2xiy^ a3xizi + a4ziy^ ^i2 + a6zi^ di)ziy^ 0

^4 tf

^Q = -2^ FI - (axi + tyi + czi + a1xi2 + a2xiy^ a3xizi + a4ziy^ + a6zi2 + di)3? =

da

dQ IT f и 2 2 2 i Л _I2

— = ~21_, Fi -(ax^by^cz^a1xi +a2xiyi+a3xizi+a4ziyi+a5yi +a6zi +di)3i =

da

6 i=1

162

^ / и 2 22,ЛГч

— = -22_, Р;-(а^+^+с^ +а1х1 + а2^+азх^+а4^+а^ + аЛ +а1^0.

[5а

Шаг 3. После нахождения частных производных решаем полученную систему уравнений и находим неизвестные параметры.

Шаг 4. Записываем получившуюся функцию:

Ц= - 25400х + !5552,64у + 186656,12+ 1824,434х2 + ЗД8748х;У; - Г717Д4х^ -

- 3748,^- 82,89у;2+ !30274,8г12 - 1,00374(1;.

Считаем ошибку по формуле:

А = ^2 ~~ ах; + |у; + :г; + .^ + 12х;у; + ,3х;г; + .4г;у; + ,5у;2 + ,6г;2 + 1;)^]

Погрешности данных функций представлены в табл. 6.

Теперь аналогично, как и с линейной функцией, посчитаем и найдем функцию для каждого вещества в отдельности.

i=1

0

0

Для фенола:

Ц= - 43771х+ 277,769у + №606х+ 820,735х2 + ;759,52х1у1 + !1948,43х^1 -- 186,7Цу;- 33,87у;2 - -5591г12;

Б2 = 205272х-1666,77у + '27742,2г+ :б05,513х2 + 1716,94х;У; - 261028х;2; -- 1657,51^у - 190,593у2 - 652428^2.

Для йода:

^ = 4182,42х - 230388у + 0747527г -1656,26х2 + 9314,53х;У; - 779504х^ -

-15184,Ьг-у - -151,174У;2 -517492г;2 + 1,000000004(1;;

Р2 = 10043,2х-952761у + В965578г + -442,82х2 + '2796,51х;У;-3598407х^ -+ 1250,16х-у-+ Ю5,519У;2 + 388146г;2 - 0,00000004(1;.

Погрешности данных функций представлены в табл. 5.

Шаг 5. Найдем по аналогии с прошлым примером универсальную функцию для всех видов веществ и видов ткани. Это будет последним нашим шагом применения нелинейной функции по всем веществам и видам тканей. Получаем:

робщ = ;57656,5х-75323,5у-2975211г-21781,1х12 -68,3747х,у, + !0601,87х,г1 +

+ 9240,75г,у1 + 373,463у,2 + !54478бг,2 - О.ООООЫ.

Погрешности данных функций представлены в табл. 6.

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие заключения:

1.В линейной функции наиболее гладкую линейную зависимость показывает функция по фенолу и фторидам, так как получена наименьшая погрешность (табл. 4). По фторидам прослеживается слабая линейная зависимость переменных x, у, z от результативного показателя F. Что касается универсальной функции по линейной модели, то мы наблюдаем обратную ситуацию с ошибкой в 24 и 29% (табл. 4).

2. В нелинейной модели во всех случаях прослеживается хорошая зависимость результативного показателя от случайных величин x, у, z при средней ошибке в 4%.

Выводы

Нелинейная модель дает лучший результат со средней погрешностью в 1,75 раза меньше, чем линейная для каждого вида вещества, и в 6,43 раза меньше, чем линейная для всех трех веществ в совокупности.

Таблица 1

По фенолу

Тканьїс, г/м2'с Концентрация, г/л Температура, °С Скорость воздуха, м/с Ткань 2ф, г/м2'с

1 2 3 4 5

F1 х у z F2

0,0128 const = 30 мл= 1 г/л const = 23 °С 0,01 0,0128

0,0128 const = 1 г/л const = 23 °С 0,15 0,0128

0,01283 const = 1 г/л const = 23 °С 0,2 0,0128

0,01284 const = 1 г/л const = 23 °С 0,25 0,0128

0,01287 const = 1 г/л const = 23 °С 0,3 0,0128

0,0129 const = 1 г/л const = 23 °С 0,33 0,0128

0,013 const = 1 г/л const = 23 °С 0,35 0,0129

0,0131 const = 1 г/л const = 23 °С 0,4 0,013

0,0133 const = 1 г/л const = 23 °С 0,42 0,0131

0,0136 const = 1 г/л const = 23 °С 0,45 0,132

0,0139 const = 1 г/л const = 23 °С 0,5 0,0133

Окончание табл. 1

1 2 3 4 5

0,014 const = 1 г/л const = 23 °C 0,55 0,0135

0,0142 const = 1 г/л const = 23 °C 0,58 0,0136

0,01423 const = 1 г/л const = 23 °C 0,6 0,01364

0,01428 const = 1 г/л const = 23 °C 0,65 0,0137

0,0143 const = 1 г/л const = 23 °C 0,67 0,0138

0,0144 const = 1 г/л const = 23 °C 0,7 0,0139

0,0145 const = 1 г/л const = 23 °C 0,75 0,014

0,0148 const = 1 г/л const = 23 °C 0,8 0,0143

0,015 const = 1 г/л const = 23 °C 0,85 0,0147

0,0159 const = 1 г/л const = 23 °C 0,9 0,0152

Таблица 2

По йоду

Тканьїс, г/м2'с Концентрация, г/л Температура, °С Скорость воздуха, м/с Ткань 2ф, г/м2'с

F1 х у z F2

0,0027 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,01 0,0026

0,5021 const = 30 мл (12,7 г/л) const = 23 °С 0,15 0,3316

0,6325 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,2 0,4262

0,7062 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,25 0,5616

0,7354 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,3 0,6985

0,7461 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,33 0,7091

0,7493 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,35 0,7154

0,7516 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,4 0,7271

0,7536 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,42 0,7321

0,7584 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,45 0,7399

0,7651 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,5 0,7536

0,7692 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,55 0,7583

0,773 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,58 0,7615

0,7766 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,6 0,7639

0,7791 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,65 0,7665

0,7806 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,67 0,7691

0,7823 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,7 0,7708

0,7848 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,75 0,7732

0,7888 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,8 0,7756

0,7914 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,85 0,7799

0,7943 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,9 0,78233

0,0027 const = 12,7 г/л const = 23 °С 0,01 0,0026

Таблица 3

По фторидам

Тканьїс, г/м2'с Концентрация, г/л Температура, °С Скорость воздуха, м/с Ткань 2ф, г/м2'с

1 2 3 4 5

F1 х у z F2

0,0502 const = 25 мл 0 const =0, 5л/с, 0,0481

0,0511 const = 25 мл 2,5 const =0, 5л/с, 0,0495

0,0523 const = 25 мл 5 const =0, 5л/с, 0,0505

Окончание табл. 3

1 2 3 4 5

060534 const = 25 win 765 const =06 5n.c6 060522

060561 const = 25 Mn 10 const =06 5n.c6 060552

060602 const = 25 Mn 12,5 const =0, 5n/c, 0,0564

0,0617 const = 25 Mn 15 const =0, 5n/c, 0,0573

0,0641 const = 25 Mn 17,5 const =0, 5n/c, 0,06

0,0661 const = 25 Mn 20 const =0, 5n/c, 0,0623

0,068 const = 25 Mn 22,5 const =0, 5n/c, 0,0644

0,0699 const = 25 Mn 25 const =0, 5n/c, 0,0667

0,0715 const = 25 Mn 27,5 const =0, 5n/c, 0,0679

0,0738 const = 25 Mn 30 const =0, 5n/c, 0,0691

0,0756 const = 25 Mn 32,5 const =0, 5n/c, 0,0721

0,0762 const = 25 Mn 35 const =0, 5n/c, 0,0741

0,0773 const = 25 Mn 37,5 const =0, 5n/c, 0,075

0,0785 const = 25 Mn 40 const =0, 5n/c, 0,0768

0,079 const = 25 Mn 42,5 const =0, 5n/c, 0,0782

0,0804 const = 25 Mn 45 const =0, 5n/c, 0,0799

0,0827 const = 25 Mn 47,5 const =0, 5n/c, 0,0812

0,0872 const = 25 Mn 50 const =0, 5n/c, 0,0854

0,0502 const = 25 Mn 0 const =0, 5n/c, 0,0481

Таблица 4

Сводная таблица по ошибкам линейной функции

Линейная функция F = ax + by + cz + d

Вещество Фенол (63 показ.)

Функция F = -0,0002x + 0,0006y + 0,0033z - 0,0026 F2 = -0,0004x + 0,0005y - 0,0025z + 0,003

Ошибка, % 0,4004 1,177

Вещество Иод (63 показ.)

Функция F = 0,0227x + 0,0082y + 0,483z - 0,086 F, = -0,0066 x + 0,008 у + 0,6178 z + 0,1543

Ошибка, % 18,362 18,071

Вещество Фториды (36 показ.)

Функция Fj = 0,0035х + 0,0007у - 0,0747z + 0,0001 F, = 0,0035 x + 0,0007 у + 0,1245 z - 0,0996

Ошибка, % 0,127 7,296

Линейная универсальная

F = ax + by + cz + d

Вещество Фенол, йод, фториды (162 показателя)

Функция F, = -0,0084х + 0,2358у + 0,0029z + 0,0076 F, = 0,1097x + 0,3073y +0,003z -0,0087

Ошибка, % 29,268 24,944

Таблица 5

Сводная таблица по ошибкам нелинейной функции для разных видов веществ по отдельности

Нелинейная функция р{х,у,г) = ах + Ьу + сг + аіх2 + а2ху + аъхг + а Лгу + а 5у2 + а6г2 + <і

Вещество Фенол (63 показ.)

Функция

Ошибка, % 1,083

Вещество Фенол (63 показ.)

Функция = -205272 х-1666,77 у+ 927742,2 г+ 2605,513 х2 +11716,94 х1у1 - 261028 хігі -- 1657,51 г1 у - 190,593 уі 2 - 652428 г1 2

Ошибка, % 1,194

Вещество Йод (63 показ.)

Функция ^ = -4182,42 х- 230388 у + 10747527 г -1656,26 х2 + 19314,53 х,у, - 779504 хігі --15184,6 гіуі -151,174 у 2 -517492 гг 2 + 0,00000000 4(1;

Ошибка, % 6,42

Вещество Йод (63 показ.)

Функция = -10043,2 х-952761 у + 43965578 г + 4442,82 х2 +72796,51 хіуі -3598407 хігі -+ 17250,76 гіуі +405,519 уг2 +1388146 гг2 -0,00000004 (1;

Ошибка, % 6,189

Таблица 6

Ошибки по нелинейной функции для разных веществ, взятых в совокупности

Нелинейная функция по трем видам веществ для каждого вида ткани взятого в отдельности F(л:, у, г)= ах + Ьу + сг + а1х2 + а2лу + аъхг + а4гу + а5у 2 + а6г2 + <і

Вещество Фенол, йод, фториды (162 показателя)

Функция =-143771л+3277.7б9у+444б0бг+1820.735*? +3759.52вд +21948.43^ -

Ошибка, % 4,248

Вещество Фенол, йод, фториды (162 показателя)

Функция К = 23,59778 * - 4,18009 у-82,0132 г-0,90847 х2 -0,00253 х.у. + 0,937767 х.г. + 2 7 ’ ^ ’ ’ 1 7 1 ' 1 ’ 1 1 + 5,084966 г.у. +0,034575 у.2 -42,6174 г.2 -14,2692 гЛ ’ 17 1 7 ■'г 7 / ’ /

Ошибка, % 4,178

Нелинейная функция по трем видам веществ для двух видов ткани вместе взятых (П+ргч р(х,у,г') = ах + Ьу + сг + ахх2 + а2ху + а3хг + а4гу + а5у2 + а6г2 + ё

Вещество Фенол, йод, фториды (324 показателя)

Функция ^ = 557656,5 *- 75323,5 у - 2975211 г - 21781,1 х2 -68,3747 х.у. +20601,87 х.г. + оби/. ’ ’ ' 7 1 7 1 / 1 7 1 1 + 19240,75 г.у.+ 1373,463 у 2 + 2544786 г 2 -0,0000Ы ’ / ’ 1 7 ’ 1 1 7

Ошибка, % 4,213

Литература

1. Механическая технология текстильных материалов: учеб. для вузов / А.Г. Севостьянов, Н.А. Осьмин, В.П. Щербаков [и др.]. - М.: Легпромбытиздат, 1994. - 512 с.

2. Лабораторный практикум по механической технологии текстильных материалов: учеб. пособие. - М.:

Легкая индустрия, 1996. - 552 с.

3. Методические указания по расчету индивидуальных заданий по курсу «Механическая технология волокнистых материалов». Раздел «Прядение натуральных и химических волокон». - М., 1991. - 40 с.

4. Миловидов, Н.Н. Проектирование хлопкопрядильных фабрик: учеб. пособие / Н.Н. Миловидов, П.П. Фамин-ский, Е.И. Шишкунова. - М.: Легкая и пищевая пром-сть, 2002. - 310 с.

5. Гмурман, В.И. Теория вероятности и математическая статистика / В.И. Гмурман. - М., 2001.

6. Харебов, К.С. Компьютерные методы решения задачи наименьших квадратов и проблемы собствен-

ных значений / К.С. Харебов. - Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1995. - 76 с.

7. Лоусон, Ч. Численное решение задач наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. - М.: Статистика, 1989. - 447с.

8. Ефимов, А.В. Математический анализ / А.В. Ефимов. - М., 1980.