Оценка параметров линейных динамических моделей биологических тканей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51, 681.52

С. М. Геращенко

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ

Представлены линейные динамические модели биологических тканей. Приведены результаты оценок параметров моделей и соответствующих дисперсий для различных биологических тканей в состоянии «норма» и «патология». Разработанные модели могут быть использованы на практике в различных областях науки и техники, в том числе и в медицине.

Биологические ткани изменяют свои свойства во время воздействия на них электрического тока. Это обстоятельство требует оценки получаемых значений параметров, характеризующих исследуемый объект, в динамике. В этой связи разработка динамических моделей, описывающих свойства различных биологических тканей, приобретает первостепенное значение.

Процедуры параметрической идентификации позволяют получать многопараметрическое признаковое пространство, способное характеризовать динамические свойства исследуемых объектов. Как показала практика, для описания данных процессов достаточно использовать линейные динамические модели.

Линейная система связывает наблюдаемые значения входа и (V) и выхода у (V) с учетом влияния помехи е(^). Значения выходного сигнала линейной системы в выборочные моменты времени ^ = кТ (к = 1,2,...) при условии, что Т = 1, определяются выражением [1]

у(0 = 2 2 (к )и (V - к), V = 1,2,..., (1)

к=1

где 2 (к) - импульсная характеристика системы.

С учетом шума выражение (1) можно представить в следующем виде:

У({) = 2 2 (к )и (- к ) + у(* ),

к=1

где у(^ ) - неизмеряемая составляющая шума в выходном сигнале.

Если ввести оператор сдвига вперед д :

ди(V) = и(^ +1),

-1

и оператор сдвига назад д :

д-1и(V) = и(V -1), можно представить формулу (1) в виде

у(V) = 2 2 (к)и ( - к) = 2 2(к)(д-ки(V)) =

к=1 к =1

-к

k =1

u(t) = G (q)u (t), (2)

где G (q ) = g ^)q k - передаточная функция линейной системы.

k=1

Аналогично для шума у(У ) можно записать

v(t) = I h(k )e(t - k), (3)

k=0

где (е^)} - последовательность взаимно независимых случайных величин с некоторой функцией плотности вероятности.

Вводя H (q) = I h(k )q-k, можно записать формулу (3) следующим об-

k=0

разом:

v(t) = H(q)e(t). (4)

Таким образом, уравнения (2) и (4) совместно дают описание линейной системы:

у^) = G^)u(t) + H^)e(t). (5)

Одним из вариантов представления передаточных функций линейных систем являются регрессионные модели [2]. В процессе идентификации в них в качестве значений функции у ^) используются наблюдаемые данные в дискретные моменты времени t. Типы моделей различаются по способу описания линейным разностным уравнением входно-выходного соответствия. Рассмотрим основные типы регрессионных моделей, используемых в процедурах идентификации.

Модель авторегрессии (ARX) описывается следующим уравнением:

у ^) + аі у ^ -1) +... + anay ^ - па) = Ь^и ^ -1) + ... + Ьпьи (t - пЬ ) + е^ ). (6) Зсли ввести многочлены Л^) и В^) с оператором задержки q 1

A(q) = 1 + alq 1 + ... + апа<і Па (7)

и

В(д) = Ь1+ b2q-1 + ... + Ь^-пЬ+\ (8)

где па и пЬ - порядки соответствующих многочленов, то уравнение (5) с учетом введения пк - тактового запаздывания, принимает следующий вид:

у^) = В^) и ^ - пк) +—1— е^).

А(Ч) A(q) ^

В этой модели авторегрессия относится к части Л^)у. Ее достоинством является возможность использования простых методов оценивания. Ос-

новной ее недостаток состоит в отсутствии возможности выбора в описании свойств помехи.

Предсказатель для уравнения (6) будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, предсказатель представляет собой скалярное произведение известного вектора данных ф(1) и вектора параметров 0 . Модель (10)

называется линейной регрессией.

Модель авторегрессии со скользящим средним (ЛЯМЛХ) описывается следующим уравнением:

У ^ ) + а1 У ^-1) + ... + апаУ (1-па ) =

= Ь^и(1 -1) +... + Ьпьи (1 -пЬ) + е(1) + с^е(1-1) + ... + спси(1 - пс). (11)

В отличие от модели ЛЯХ, в ней для описания ошибки, как скользящего среднего, дополнительно к (7) и (8) введен многочлен

(9)

ф(1) = [-У(1 -1),..., - У (1 - па), и(1 -1),..., и (1 - пЬ)]Т ,

то (9) можно переписать в виде

у(1|0) = 0Тф(1) = фТ (1 )0 .

(10)

С^) = 1 + с^ 1 +... + ^ пс .

В результате уравнение (5) принимает следующий вид:

где С ^)е(0 - член скользящего среднего модели.

Для модели (11) предсказатель запишется в следующем виде:

(12)

(13)

и вектор

ф(1, 0) = [-У (1 -1),..., - У (1-па), и (1 -1),..., и(1-пЬ),е(1 -1,0),..., е(1-пс,0)]Т,

то уравнение (13) можно записать в виде

У(110) = фТ (1, 0)0.

(14)

В силу нелинейной зависимости ф(^ 0) от 0 модель (14) получила название псевдолинейной регрессии.

В модели выходной ошибки (ОЕ), в отличие от модели ARX , производится независимая параметризация G(q) и Н^) путем исключения общего множителя в виде полинома А^).

Если ввести полином

р=1+М 1 +...+fnfq п,

уравнение (5) принимает следующий вид:

У ^и(^) + еЦ).

Р (q)

Модель Бокса-Дженкинса (В,/) получается в результате усложнения модели выходной ошибки введением полиномов:

1-пс псЧ.

и

= % 1 + ... + dndq пА .

В результате уравнение (5) принимает следующий вид:

В^) С (q)

У(t) = и ^ ^) + —- е«).

Р^) £>^)

Рассмотренные модели представляют собой частные случаи в обобщенной структуре вида

A(q) y(t) = и ^-^) + еЦ). (15)

В ней представлены все полиномы. Эта модель приводится к любой из приведенных выше форм приравниванием соответствующих коэффициентов па, пЬ, пс, ^, п/ к нулю.

Коэффициенты полиномов А^), В^), С^), И^) и Р^) в авторегрессионных моделях используются в качестве информативных признаков, характеризующих состояние биологического объекта.

Идентификационные эксперименты в рамках данной работы проводились на биологических тканях органов (почке, мочевом пузыре и молочной железе), имеющих новообразования в виде раковой опухоли. В ходе эксперимента были получены входо-выходные данные для двух типов тканей - нормальной и патологии. Рассмотрим алгоритм идентификации на примере данных, полученных для нормальной ткани почки.

Для сравнения критериев согласия с данными для различных модельных структур на практике широко применяются процедуры взаимного подтверждения, которые имеют существенный недостаток. Они предполагают наличие множества данных, которые не использовались при настройке модели. Но вследствие необратимости изменений свойств биологических объек-

тов при воздействии на них тестового сигнала не представляется возможным сохранить часть информационного материала в целях взаимного подтверждения. Поэтому сравнение моделей производится на уже использованных множествах данных. Существует несколько формализованных процедур, позволяющих скорректировать возникающий при этом эффект сверхсогласия. В частности, использование критерия финальной ошибки предсказания Акаи-ке (ФОП) [1], который отражает величину дисперсии ошибки предсказания, получаемой в усредненном варианте сравнения наблюдаемых и моделируемых данных.

По результатам предварительного исследования параметров и ФОП модельных структур, описанных выше (рис. 1, табл. 1). Для целей идентификации биологических тканей была выбрана модель выходной ошибки [2].

и (г), м В 0 ,4

0,3 5

0,3

0,2 5

0,2

0,15

0,1

0,0 5

0 50 100 150 200 250

Время, м с

Рис. 1 Измеренный выходной сигналу(г) по сравнению с сигналами, имитированными различными модельными структурами: ОЕ-модель (кривая 1), ЛЯХ -модель (кривая 2), Д/-модель (кривая 3) и ЛЯМАХ-модель (кривая 4)

Таблица 1

Параметры модельных структур

Модельная структура па пЬ пс пё пІ ФОП ■ 10-4

ЛЯХ 7 6 - - - 1,9159

ЛЯИАХ 2 2 2 - - 1,8231

ОЕ - 2 - - 1 1,6177

ВЗ - 2 1 0 2 11,964

Выбор модельной структуры сводится к поиску и целенаправленному подбору параметров и ФОП ОЕ-моделей различных порядков (рис. 2, табл. 2). Из приведенных данных можно сделать вывод, что модель ое352 наилучшим образом описывает наблюдаемые данные.

Проверка устойчивости модели ое352 проведена путем определения положения нулей и полюсов передаточной функции в плоскости переменной г (рис. 3).

Адекватность модели ое352 проверена на основе анализа коррелограмм (рис. 4).

Время, мс

Рис. 2 Измеренный выходной сигналу(/) по сравнению с сигналами, имитированными моделями выходной ошибки различных порядков: модель ое352 (кривая 1), модель ое353 (кривая 2), модель ое222 (кривая 3) и модель ое211 (кривая 4)

Таблица 2

Параметры модельных структур

Модель ОЕ пЬ пЇ пк ФОПхЮ-4

ое352 3 5 2 1,8577

ое342 3 4 2 1,8595

ое322 3 2 2 1,8781

ое221 2 2 1 1,9159

ое353 3 5 3 2,2516

ое343 3 4 3 2,2404

ое222 2 2 2 2,3542

ое332 3 3 2 2,4342

ое211 2 1 1 2,4572

Рис. 3 Полюсы (х) и нули (о) передаточной функции модели ое352

Корреляционная функция выходного сигнала

Взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов

Рис. 4 Коррелограммы модели ое352

Результаты оценок параметров Ьг-, / и соответствующих дисперсий для моделей выходной ошибки различных биологических тканей приведены в табл. 3.

Таблица 3

Параметры моделей выходной ошибки

Орган Мочевой пузырь Почка Молочная железа

Тип ткани норма патология норма патология норма патология

Ь\ 0,0151 0,0014 0,0072 0,0007 0,0084 0,0012 0,0083 0,0011 0,0060 0,0008 0,0084 0,0009

Ь2 -0,0277 0,0026 -0,0138 0,0013 -0,0150 0,0021 -0,0152 0,0020 -0,0003 0,0013 -0,0158 0,0016

Ьъ 0,0126 0,0012 0,0066 0,0006 0,0066 0,0010 0,0069 0,0009 0,0058 0,0010 0,0074 0,0007

/1 -2,0088 0,1451 -2,8854 0,1383 -2,4092 0,2524 -2,4841 0,2319 -1,1561 0,2124 -2,7443 0,1611

/2 1,2827 0,3745 3,5183 0,4261 2,2379 0,7170 2,4089 0,6753 0,0388 0,4607 3,0911 0,4880

/3 -0,4963 0,4400 -2,7875 0,5395 -1,2533 0,8774 -1,4456 0,8320 -0,5618 0,5010 -2,2532 0,6101

/4 0,2475 0,3259 1,5778 0,3536 0,4900 0,5956 0,6488 0,5554 1,0323 0,3918 1,2340 0,3987

/5 -0,0252 0,1146 -0,4232 0,1001 -0,0653 0,1837 -0,1280 0,1664 -0,5979 0,1490 -0,3277 0,1140

Приведенный выше алгоритм идентификации нестационарных объектов в условиях шумов позволяет получать устойчивые линейные модели биологических тканей, параметры которых могут выступать в качестве информативных признаков, характеризующих состояние исследуемого объекта. В качестве обобщенной линейной динамической модели для идентификации биологических тканей выбрана модель ошибки уравнения пятого порядка.

Список литературы

1. Льюинг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя : пер. с англ. / Л. Льюинг ; под ред. Я. З. Цыпкина. - М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. -432 с.

2. Геращенко, С. М. Типы регрессионных моделей используемых при идентификации биологических объектов / С. М. Геращенко, С. И. Геращенко, Н. Н. Ян-кина // Тринадцатые научные чтения памяти академика Н. Н. Бурденко : материалы научно-практической конференции. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2002. - С. 57-58.

3. Геращенко, С. М. Разработка джоульметрических информационноизмерительных систем контроля биологических объектов : дис. ... канд. техн. наук / С. М. Геращенко ; Пензенский государственный университет. - Пенза, 2000. -162 с.