Прогнозирование деградации выходных параметров ТТЛ ИС Текст научной статьи по специальности «Математика»

1210

www.finestreet.ru технологии I надежность компонентов

Прогнозирование деградации

выходных параметров ТТЛ ИС

Андрей СТРОГОНОВ, к. т. н.

andreis@hotmail.ru

При прогнозировании долговечности высоконадежных ИС, в которых доминирующими причинами отказов являются деградационные процессы, возможны два подхода: исследование физико-химических процессов, протекающих в элементах конструкции ИС, и составление математических выражений, отражающих физико-химические закономерности этих процессов (физические методы прогнозирования долговечности ИС), либо математическое моделирование процесса деградации параметров ИС с функциональным оператором, подобным функциональному оператору исследуемого объекта (методы прогнозирования).

Физические методы прогнозирования позволяют моделировать воздействие одного или двух, максимум трех факторов, приводящих к ускорению процесса старения ИС. За базовую модель зависимости интенсивности отказов от температуры принимается уравнение Аррениуса. В 1889 году Сванте Аррениус вывел это уравнение эмпирически, изучая влияние температур на скорость превращения сахарозы, за что был удостоен Нобелевской премии в области химии. Это уравнение приближенно описывает многие деградационные процессы и отказы ИС, в том числе ионный дрейф, диффузию примесей, образование интерметаллических соединений, ползучесть, кристаллографические микроперестроения конструкционных материалов. Уравнение Аррениуса в равной степени хорошо описывает появление отказов ИС при воздействии повышенной температуры, как в период приработки, так и в период старения.

Физические методы не позволяют прогнозировать долговечность ИС в условиях эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры (РЭА), поскольку не удается учесть влияние множества факторов на их долговечность. При прогнозировании долговечности высоконадежных ИС в условиях эксплуатации методы статистического прогнозирования являются более предпочтительными, однако нет единой точки зрения в выборе этих методов.

Спектр предлагаемых к использованию методов прогнозирования долговечности ИС очень широк: методы теории катастроф, нечетких множеств, прогнозирование методами распознавания образов, имитационная физикостатистическая теория надежности, методы, основанные на анализе и прогнозировании временных рядов, методы параметрической теории надежности, использование нейронных сетей, энергетически-временная модель дегра-

дации ИС (детерминированный и вероятностный подход), термодинамические методы прогнозирования, эволюционно-энтропийная модель процесса деградации и т. д.

Методологические подходы в теории надежности ИС интенсивно разрабатывались в нашей стране в 80-90-е годы. Более подробно с этими методами можно ознакомиться в журнале «Электронная техника», серия 8, в статье «Управление качеством, метрология, стандартизация». Большинство из них заимствованы из различных областей науки и техники, и пригодны к использованию на стадии проектирования и изготовления ИС. Наиболее законченным является физико-статистический подход, развитый И. Т. Алексаняном и его учениками. Однако в многочисленных работах теоретические исследования не доведены до практического их использования в инженерной практике, поэтому и не приведены конкретные примеры прогнозирования долговечности серийно выпускаемых ИС по параметрическим отказам по данным длительных испытаний ИС. Практически все подходы требуют разработки дополнительного программного обеспечения, что сводит «на нет» все усилия разработчиков методологических подходов.

Возможно ли прогнозирование долговечности ИС до наступления параметрических отказов с помощью стандартных математических пакетов программ? Какие же методы прогнозирования реализованы в этих пакетах? В данной работе на примере ТТЛ ИС будет рассмотрено прогнозирование долговечности ИС при эксплуатации с использованием теорий цифровых фильтров, временных рядов и идентификации систем в МайаЬ/ЗтиЛпк и в статистических пакетах программ (СПП) 8Р88, 31а11811са..

В настоящее время в отечественных технических условиях (ТУ) на ИС установлены наибольшие показатели долговечности (200 тыс. ч)

и гамма-процентного ресурса сохраняемости (25 лет при у = 95%). Это сегодня практически полностью удовлетворяет все виды радиоэлектронной аппаратуры, в которых используются ИС. Но могут ли ИС реально сохранять свою работоспособность в течение 30 и более лет? Изменения каких составляющих конструкций схемы будут преобладать при длительной работе? Какими испытаниями можно подтвердить долговечность ИС? Возможно ли достоверное прогнозирование поведения основных электрических параметров ИС на основе длительных испытаний? Ответы на данные вопросы практически отсутствуют в научной литературе.

Существует несколько проблем при прогнозировании долговечности ИС по параметрическим отказам.

Первое. Какой же метод прогнозирования является предпочтительным и какие методы доступны, то есть реализованы в программном виде. Методы теории катастроф? Методы, основанные на анализе и прогнозировании временных рядов? Прогнозирование с использованием нейронных сетей?

Второе. Параметры ИС являются прямым отражением состояния структуры и ее эволюции. Эволюционные процессы в дефектной структуре могут сопровождаться и улучшением параметров ИС. Зачастую многие важные электрические параметры схем не изменяют своего значения вплоть до отказа, другие же не несут информации, необходимой для прогнозирования долговечности, а лишь указывают на то, что схема в какой- то момент времени является работоспособной. Поэтому для предсказания долговечности приходится выбирать параметры, лишь косвенно характеризующие естественное старение.

Третье. Это проблема интерпретации полученных результатов. Используя результаты испытаний ИС, изготовленных 5-20 лет назад, при прогнозирующих оценках долго-

надежность компонентов I технологии 1211

вечности вновь изготовленных схем необходимо вносить поправки на усовершенствование технологии и конструкции ИС, проведенные за это время. Проблема осложняется еще и тем, что для многих ИС начало периода старения лежит далеко за окончанием их срока службы, к тому же, как показывает практика, отказы ИС при таких испытаниях единичны и не связаны с деградационными процессами, а обусловлены недостатками конструкции и технологии их изготовления.

Общие линейные модели для анализа временных рядов

В основе общей линейной модели (ОЛМ) лежит предположение, что «белый шум» (последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение) можно трансформировать в процесс Ж при помощи линейного фильтра. Операция линейной фильтрации заключается в вычислении взвешенной суммы предыдущих наблюдений:

X, =\|10а, + \|/!ам+ \|/2а(_2 +... =

оо і

=Т^іа>-і=Ту>-іаі.

і'=0 /=-оо

Создание нового временного ряда Х( как линейной комбинации текущего и прошлых значений ряда а( приводит к автокорреляции. Ряд аі непосредственно не наблюдаем. При разложении а( на частотные составляющие, последние равно представлены в спектре. Автокоррелированный ряд Х( не имеет равномерного спектра и называется «цветным шумом».

Если ввести оператор сдвига назад Ва( = а(_1, то получим Х( = Ф(В)а(, где линейный оператор 'Р(В) = 1 + 'Р1В + У2В2 + ... называется фильтром. Дисперсия ряда Х(:

Х1-{п1Х1_1 + п2Х1_2 + ...}+а,-Х' + а(.

Это соотношение выглядит как регрессионное уравнение, в котором ошибка а( не коррелированна с регрессионными переменными Хх-1, Хх-2, ..., поскольку соу(ар Х-) = 0 при к >0. Составляющая X, есть линейный МНК-пре-диктор (прогноз) для Х( по всем прошлым значениям ряда, а а( — ошибка прогноза на один шаг вперед.

Форма ОЛМ используется для представления способов построения прогноза на несколько шагов вперед. Любое будущее значение Х+к, где к >0, можно представить в виде двух строк: строку из компонент, включающую будущие значения а( для X > п, и строку, включающую только начальные и прошлые значения а( для X < п:

к-1 со

х,+к.

I Ь=к

В качестве прогноза Х,+к для к > 1, используется вторая строка:

00

ЧЩ = ^Ща,+к_,=ука, +щ+1 а,_г + ...

¡=к

Ошибка предиктора е(к) есть

е1(к)=Х1+к-Х1(к)=%1а1+кч =

~йІ+к

Ошибка предсказания определяется как:

я,= Х1 — Ф1Х^ — ф2 Х[2 — • • •— ф рХ(_р = =х-^хн.

м

Автокорреляционная функция процесса АР(р):

Рк = ф1Рк-1 + ф2Рк-2 + ••• + фрРк^ к > 0

Спектр процесса АР(р) авторегрессии:

рЦ) =

1- фе-‘271/- §2ет-...- ф^-^|

О </< 1/2.

*+1

Спектр линейного стационарного процесса равен

р(/) = 2ста2|¥(е-'^)2|,0</< 1/2,

^ j

где частоты т. = —

1 N

являются гармониками основной частоты 1/М, г = л/3! .

Авторегрессионные модели

Модели скользящего среднего

Если предположить, что ОЛМ содержит лишь конечное число членов, а Ук = 0 при к > д, то, переобозначив коэффициенты, получим модель скользящего среднего порядка д или модель СС(д):

Х, = аX -01а,-1 - ••• -0да,-д = = (1-0В ---0дВд)а, = 0(В) ар

где символы -01, 02, ..., -0д используются для обозначения конечного набора весовых параметров. Процесс скользящего среднего трактуют как выход Хх = 0(В)а, линейного фильтра с передаточной функцией 0(В), на вход которого поступает белый шум.

Так как модель СС(д) есть конечная форма ОЛМ, прогноз X/ (//) значения Х(+к по известным Хх будет иметь вид

К (*) = {-0*в, при к < д

Гаг(Х,) =

ч.«=о

где — дисперсия белого шума.

Модель будет иметь смысл, если ряд 2-11 будет сходиться.

В ОЛМ существует дополнительное условие обратимости: У(В) ф 0 при |в|< 1, где вместо В допускается подстановка как действительных, так и комплексных чисел. Из этого условия следует существование обратного оператора:

п(В) = \|Г\В) = 1 - - п2В2-...=

= 1 -¿яД'.

¿=1

Применив обратный оператор кряду Х(, получим: а = я0Х( + п1Хх-1 + п2Хх-2 + ... или п(В) = {У'(В)}-1 иЦп,!< ю. В рамках ОЛМ принято У0 = п0 = 1. Так как /г / допускает масштабный множитель, то:

Авторегрессионная модель порядка р или модель (АР(р)) получается из обращенной формы ОЛМ путем переобозначения коэффициентов:

Хх = ф1Хх-1 + ф2Хх-2 + ••• + Фр^х-р + ах

(1 - Ф1В - Ф2В2 - ••• - фрВр)Хх = Ф(В)Х = а.,,

где функция ф(В) — обратная к У(В). Процесс авторегрессии трактуют как выход Х( = ф-1(В) а( линейного фильтра с передаточной функцией ф-1(В), входом которого служит белый шум ах.

Заменяя будущие значения нулем, получим:

1((1)=Ф1^+ФА1+-+Ф^„+н,,

X, (2) = фД (1)+ф2Х( + • • • + ЪрХп+2_р

ит. д.

Х,(к) = О при к > q.

Автокорреляционная функция процесса СС(q) обрывается на задержке ^

Р*:

Л+Щ^+ %-А к=1 2

1+ЄЇ+...+Є*

о,

k>q.

Спектр процесса СС^):

Р(/) = аа 1 - ФіЄ-’2'/- Ф2Є-4п/-0 < /< 1/2.

- фре-,2"р/|2,

Метод Бокса-Дженкинса (ARIMA-модель)

Процесс деградации параметров ТТЛ ИС может быть эффективно описан с использованием метода Бокса-Дженкинса (АРПСС-мо-дель — авторегрессия проинтегрированного

и

или

I 212 1 технологии I надежность компонентов

скользящего среднего, или ARIMA-модель), применяемого для анализа и прогнозирования нестационарных случайных процессов и временных рядов различной природы. В настоящее время метод Бокса-Дженкинса считается одним из наиболее эффективных при прогнозировании поведения параметров объектов и динамических систем, описываемых случайными временными рядами. Метод нашел широкое применение для стохастического моделирования интенсивности отказов деталей узлов различного рода радиоэлектронного оборудования, например, электровакуумных ламп в передатчиках, высокочастотных генераторов, используемых в бортовой аппаратуре, для построения прогнозов в рамках теории управления производственными процессами, в эконометрии.

Одним из преимуществ метода Бокса-Дженкинса перед другими методами прогнозирования является то, что он позволяет построить модели временных рядов деградации параметров ИС, которые можно использовать для прогнозирования долговечности ИС по параметрическим отказам. Метод также позволяет прогнозировать долговечность ИС независимо от ее степени интеграции и конструкционных особенностей, а также учитывать влияние случайной составляющей (белый шум) на процесс деградации параметров. В отличие от методов теории распознавания, не требуется предварительного исследования выборки, то есть разделения ИС в пространстве параметров на ряд совокупностей «группы схожести», проведения «обучения» и «распознавания».

Следует отметить, что существует хорошо развитое программное обеспечение этого метода, способствующее его широкому применению в различных областях науки и техники. Для прогнозирования долговечности ИС можно использовать СПП, позволяющие проводить анализ временных рядов, такие как пакет STATGRAPHICS (Statistical Graphics System), разработанный корпорацией STSC (США), пакет Statistica for Windows фирмы Stat Soft, Inc., пакет GENSTAT, разработанный в Numerical Algorithms Group (Oxford), пакет SPSS (Statistical Package for the Social Sciens — статистический пакет для общественных наук) и др. Разработан ряд отечественных программ анализа и прогнозирования временных рядов, таких как МАВР и ПАРИС, STANP. Модуль СПП SPSS Trends позволяет с использованием ARIMA-моделей решать задачи управления производством, обработки данных, прогнозирования объемов продаж; проведения социальных исследований. Программный продукт Forecast Expert (система построения экономических прогнозов), базирующийся на методе Бокса-Дженкинса, предназначен для прогнозирования любого параметра, в отношении которого имеется должное количество замеров в конкретном промежутке времени. Всего насчитывается более десятка таких статистических па-

кетов. Однако в литературе отсутствуют сведения о практике применения этих СПП для прогнозирования долговечности ИС.

Применение метода Бокса-Дженкинса для изучения долговечности ИС есть результат подхода к исследуемой ИС как к «черному ящику». Метод «черного ящика» — кибернетический; объект исследования представляется как некоторая кибернетическая система, которая может быть описана своим функциональным оператором. Такой подход ставит своей целью посредством построения некоторой модели установить изоморфизм не с внутренней структурой и ее функционированием, а с внешними проявлениями ее информативных параметров.

Недостатком метода является то, что АРПСС-модель, вытекающая из метода Бокса-Дженкинса, не основывается на физических представлениях.

Метод Бокса-Дженкинса основывается на том, что гладкий нестационарный временной ряд путем взятия разностей некоторого d-го порядка можно свести к эквивалентному стационарному, то есть к случаю, для которого разработаны методы анализа и прогнозирования. В методе Бокса-Дженкинса нестационарный временной ряд представляется в виде модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС, АШМА) в прямой и возвратной форме:

Прямая форма:

Ф(В)УйХ, = 0(В)а,, X =+1, +2, ...,

Возвратная форма:

Ф(В)Ч% = 0(Р)е,, X = -1, -2, ...,

ф(5) = 1-ф15-ф252-...-фР5р=

Р

= \—^1§)В1=АР — оператор,

М

в(В) = 1-61В-в2В2-...- &дВд =

ч

= 1 — ^^¡В1 = СС - оператор, ,

м

или Ф(В) 1У, = 0(В)а,, 1У, = VdXt,

= ф1^х-1 + ••• + фЖ-р + а,-

- 01ах-1 - ••• - 0дах-д,

где ф(В), ф(Р) операторы авторегрессии (АР); В, Р — операторы сдвига; V — оператор разности: У1Х, = Х( - Хх-1 = (1 - В)Х,; d — порядок разности, обеспечивающий переход от нестационарного ряда к эквивалентному стационарному; р — порядок авторегрессии; д, 0(В), 0(Р) — порядок и операторы проинтегрированного скользящего среднего (СС) соответственно; а(, е, — последовательности независимых случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение (белый шум): Е[ах] = 0, Уаг[а(] = ста'. Значения белого шума а( согласно методу Бокса-Дженкинса

должны быть получены прогнозированием назад с использованием возвратной формы временного ряда.

Смешанный процесс АР и СС представляет собой эффективную модель для описания стационарных и нестационарных временных рядов. АРПСС-модель эффективна, когда временной ряд является суммой независимых составляющих, каждая из которых описывается либо моделью АР, либо моделью СС, но которые непосредственно не наблюдаются. Модель является параметрической. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным набор параметров АРПСС-модели ф, 0, аа.

Согласно авторегрессионной модели формирования сигнала, сигнал формируется путем пропускания дискретного белого шума через рекурсивный фильтр (рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой или БИХ-фильтрами), в модели скользящего среднего (СС-модель) используется нерекурсивный фильтр (такие фильтры имеют конечную импульсную характеристику и называются КИХ-фильтрами), а в АРПСС-моде-ли — фильтр общего вида, содержащий рекурсивную и нерекурсивную ветви. Фильтры АРПСС имеют обратную связь, обладают большой гибкостью и экономичны — то есть имеют малое число параметров в левых и правых частях.

Так как цифровые фильтры не строят прогнозы за пределы временного ряда в случае прекращения подачи сигнала на его вход, то будем называть прогнозирование в пределах временного ряда моделированием, зачастую отождествляя два термина — «моделирование» и «прогнозирование».

Краткая теория идентификации систем и цифровых фильтров

В качестве базового описания линейной системы с аддитивными случайными возмущениями используется соотношение у(Х) = = 0(д)и(Х) + Н(д)е(х), где О(д), Н(д) — передаточные функции системы, д —оператор сдвига. Произведение С(д)и(Х) записывается в виде:

6(?М0 =Х^£)и(г-£),

к=\

где к — задержка. Часто работают со свободной от шумов или детерминированной моделью у(х) = 0(д)и(Х).

Модель динамической системы показана на рис. 1а. Здесь обозначено: и( —входной и у( — выходной сигналы (временные ряды) в моменты времени X = 1, 2,... М; е(х) — белый шум, воздействующий на систему.

АИХ-модель (сочетание АИ относится к авторегрессионной (AvtoRegressive) части А(д)у(х), X показывает наличие внешнего (eXternal) входа, на который поступает сигнал и() записывается в виде:

надежность компонентов I технологии

1213

Iе' Г

і 1

В(Ч) Уі А(Ч)

X +

и‘ » В(Ч)

А(Ч)

«і

I г-' |

І 1 і

| 7Г' |

\ а2

Ь„-1

Рис. 1. Модели динамических систем: а — модель динамической системы в общем виде; б — общий вид модели ARX; в — общий вид модели ARMAX; г — рекурсивный фильтр

МФу(ї) = Б^)ы(г) + в(г), у(і) = Сг(д,в)и(і) + Н(д,в)е(?) =

ВІЧ)

м(0 н—— е(і) ,

А(д) А(д)

где В(д) и А(д) — полиномы: А(д) = 1 + ад-1 + ... ... + а„аЯпа и В(д) = Ъ1 + Ъ2д- + ... + Ъ^д*1, па и пЪ — порядки полиномов. В частном случае, когда па = 0, у(х) описывается КИХ-фильтром.

Предсказатель для АИХ-модели:

у(М) = В(д)и(г) + [1 -Л(?)М0 ,

или _р(^/0) = ф Г(((0 ,

где 0 = [а!, ..., аПа, Ъ1, ...Ъпъ]т — вектор параметров, подлежащих отысканию, а ^(х) = = [-у(х- 1), ..., -у(Х-Па), и(х- 1), ..., и(х- Пъ)]Т. Предсказатель представляет скалярное произведение известного вектора данных ^(х) и вектора параметров 0.

АИХ-модель без члена е(х) представляет уравнение дискретной фильтрации (рис. 1г):

у(х) = -а1у(,- 1) - ••• - а„у(х- па) +

+ Ъ1м(х) + Ъ2м(, - 1) + ••• +ЪпЪи(Х - пЪ + 1).

Так как уравнение содержит как входные отчеты, так и выходные, то полученная структура представляет рекурсивный фильтр (прямая реализация).

Степень гибкости модели АИХ можно увеличить, если помеху е(х) моделировать как скользящее среднее (МА- или СС-модель) белого шума. Это приводит к АИМАХ-мо-дели:

А(д)у(х) = В(д)и(Х) + С(д)е(х),

У(і) = Оя$)и(і) + Н(д,&)е(і) = - ади(0 + — е(0,

А(Ч)

А{д)

где С(д): С(д) = 1 + с^“1 + ... + сП€с[пс. В случае, пригодном для анализа временных рядов, А(д)у(х) = С(д)е(х). При С(д) = 1 получим АИ-модель. Функция АИМАХ в MatLab вызывается следующим образом: т=агтах(у,[па пс]).

АИМАХ-модели являются стандартным средством решения задачи идентификации и проектирования систем в теории управления и эконометрии. Модель Бокса-Дженкинса, используемая для анализа временных рядов, известную под названием АИ1МА (Х)-модели («I» обозначает интегрирование, а «X» — переменная может присутствовать или отсутствовать), получается из АИМАХ-модели путем замены у(х) на Ду(х) = у(х) - у(х- 1).

Предсказатель АИМАХ-модели:

ту-

ш

С(Ч)

и(і) +

1

Ад)

С(я)

ЛіУ

ИЛИ Я*/9) = срг(?,0)0

гДе 0 = [«1. •••. апа. Ь1. - Ь„Ь. с1. •••. „Г — вектор параметров. подлежащих отысканию. Предсказатель не является линейной регрессией в силу нелинейной зависимости вектора ф(ґ. 0) от 0.

Приведенные ниже модели ОЕ и ВІ используются для описания линейных систем (представление дискретной системы в простран-

(Г(со) = -

стве состояний). Структура модели выходной ошибки ОиХрМ-Еттот (ОЕ) записывается в виде:

Лt) = ^:u(t) + e(t),

Щ)

где Яд) = 1 + Щ +... + ¡„д*.

Структура модели Бокса-Дженкинса (В1) является усложнением модели выходной ошибки:

Я0 = ^«(0+-§^е(0,

т

т

где Дд) = 1 + d1g~1 + ... + <1^^.

Все модели можно записать обобщенной моделью:

А{чт=^ш)+^ш).

т

АИХ-модель получается при пс = Ы = ^ = 0. АИМАХ-модель соответствует ^ = nd = 0. Модель выходной ошибки получается при па = пс = ^ = 0, модель Бокса-Дженкинса соответствует па = 0.

Форма спектра позволяет выявлять особенности временного ряда (определить основные гармонические составляющие случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по разным частотам). Наличие пиков в спектре и их величины могут выявить основные периодичности, требующие физического объяснения. Полезную информацию можно получить при изучении нескольких спектров временных рядов при изменении внешних условий, например при изменении температуры испытаний. Автокорреляционные и спектральные функции связаны между собой. Цель спектрального анализа — разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо.

Оценку спектральной плотности мощности (СПМ) дискретного случайного процесса х(к) (периодограмма) по N отсчетов можно получить по следующей формуле:

ЛГ-1 2

1

Ща) =--

т

*=0

где ю — круговая частота, Т — период повторения сигнала, ^ = 1/Т — частота дискретизации, х(к) — отсчеты аналогового случайного процесса.

Оценка СПМ АР-процесса, пропорциональная квадрату модуля коэффициента функции передачи фильтра, определяется в Ма^аЬ так (формула внизу):

г і -каі -і2(оТ ■

Ід\ @2 •••

-ікхяТ

I 2141 технологии I надежность компонентов

'*„(0) дж(-1) • • К XX ( Р) '1 ' су2

*хг(1) *л(0) -кхх(-(р- !)) «1 = 0

_^ХХ (р) ^хх(р~ 1 1 0

Спектральный анализ сводится к определению коэффициентов АР-модели а{ заданного порядка N оценке мощности белого шума и расчету СПМ. Для этого необходимо оп-

ределить соотношение между параметрами АР-модели и автокорреляционной функцией. Это соотношение известно под названием уравнений Юла-Уокера (формула слева):

где Лхх(0), ..., В-хх(р) — оценки автокорреляционной функции. Алгоритм Левинсо-на-Дарбина обеспечивает эффективное решение приведенной выше системы уравнений.

Работа выполнена по программе гранта РФФИ 05-08-01225-а.

Продолжение следует