CC BY
222
Результат решения неоднородного дифференциального уравнения по формуле (20) совпадает с результатом решения этого уравнения по аналитическому методу, рассмотренному в работе [4]. Следовательно, метод работает верно.
Заключение
Реализация метода применительно к неоднородным дифференциальным уравнениям порядка выше первого всегда приводит к многошаговым формулам решения уравнений, и это является недостатком метода. Достоинство метода заключается в том, что он аналогичен аналитическим методам решения уравнений, так как аппроксимация может выполняться на достаточно больших временных интервалах и временной шаг может задаваться достаточно большим. В целом метод нагляден, прост и удобен в реализации на ЭВМ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шеин А.Б. Методы проектирования электронных устройств. М. : Инфра-инженерия. 2011. 456 с.
2. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Интерполирование функций для задач моделирования электронных устройств. Ч. I // Информатика и системы управления. 2014. № 2(40). С. 33-38.
3. Чье Ен Ун, Шеин А.Б. Интерполирование функций для задач моделирования электронных устройств. Ч. II // Информатика и системы управления. 2014. № 3(41). С. 39-46.
4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1978. 736 с.
УДК 621.314 Мельник Альбина Аполлинарьевна,
аспирант кафедры автоматизации производственных процессов, Иркутский национальный исследовательский технический университет, e-mail: [email protected]
Медунова Екатерина Алексеевна, кафедра автоматизации производственных процессов, Иркутский национальный исследовательский технический университет, e-mail: [email protected]
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПАКЕТА SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX МАТРИЧНОЙ ЛАБОРАТОРИИ MATLAB+SIMULINK
A. A. Melnik, A. E. Medunova
MODEL BUILDING USING THE SYSTEM IDENTIFICATION TOOLBOX PACKAGE OF THE MATLAB+SIMULINK MATRIX LABORATORY
Аннотация. В статье рассматривается описание матричной лаборатории MATLAB + Simulink, включая описание пакетов прикладных программ и набора инструментов. Предложена и разработана методика моделирования линейных динамических объектов, содержащих случайную составляющую. Для обработки данных, к исходным рядам по расходу топлива и давлению пара на выходе котла применяется пакет System Identification Toolbox. Параметрическое оценивание экспериментальных данных проводится с целью определения параметров модели заданной структуры путем минимизации выбранного критерия качества модели. Вне зависимости от статических и динамических свойств объекта построение модели проводится в стационарном режиме работы.
В результате применения пакета System Identification Toolbox к исходным рядам данных определена математическая модель в дискретной форме по каналу «расход топлива - давление пара», которая в дальнейшем может быть использована для исследования и моделирования объекта.
х((к + 3)к) = [(18А + 30А2к +18Ахк2 )х ■ ■((к + 2)0-
-(18 А + 24 Ак + 9 Ак2 )х((к + 1)к) +
; 3 2 !\ ; ч (20)
+ (6 А + 6 А2Ь + 2 Ахк2 )х(кк) +
+ 6И3 g ((к + 3)к)] /(6 А +12 А2к +
+ 11Ахк2 + 6 А0к3). Пример
Пусть требуется решить неоднородное дифференциальное уравнение
А3 + А2 ^ +... + А^ (г) = g (г)=^), йг йг
где А3 = 1; А2 = 20; А1 = 1,01 -108; А0 = 1,01 -109;
В0 = 1010, у(г)= 102 с шагом к = 10-5с .
Для решения уравнения используем формулу (20) при следующих начальных значениях переменной состояния ц (г): г\ (0) = 0 А, 1 (к) = 10 А, г! (2к) = 19,999 А.
Согласно формуле (20) при к = 0 имеем г1 (3к) = 29,898851.
Для дальнейших расчетов, начиная с к = 1, используем формулу
ц ((к + 3)к) = [18,1878ц ((к + 2)к) -
-18,0957ц ((к +1) к) + +6,0214ц (кк) + 6 ■ 10-3] / 6,113506. и при к = 1 имеем ц (4к ) = 39,603857 и т. д.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Ключевые слова: математическая система, прикладные пакеты, система управления, оптимизация, математическая модель, идентификация, эксперимент, статические и динамические характеристики.
Abstract. In the article, the description of MATLAB + Simulink matrix laboratory including a description of the application packages and development tools is presented. For linear dynamical objects that contain a random component the method of its modeling is offered and worked out. System Identification Toolbox package is used for data processing to the basis of original ranges upon the fuel consumption and the steam pressure at the boiler output. Parametric estimation of experimental data is used to determine the model parameters of a given structure by minimizing the criterion selected as a model. Regardless of the static and dynamic characteristics of the object, the model is performed in a stationary mode. As a result of using System Identification Toolbox package for original data ranges discrete mathematical model by the channel «fuel consumption - steam pressure» is determined and it can be used in further studies and modeling of the object.
Keywords: mathematical system, application packages, control system, optimization, mathematical model, identification, experiment, static and dynamic characteristics.
Введение
В наши дни компьютерная математика получила должную известность и интенсивно развивается как передовое научное направление на стыке математики и информатики. Среди ряда современных систем компьютерной математики особо выделяется математическая система MATLAB.
Популярности этой системы способствуют ее матричная ориентация и пакет расширения Simulink. Они предоставляют пользователю удобные и простые средства, в том числе визуального объектно- ориентированного программирования, для моделирования линейных и нелинейных динамических систем, а также множество других пакетов системы.
Структура MATLAB помимо основы - системы MATLAB + Simulink содержит обширные группы прикладных пакетов. Это инструментальный ящик Toolbox и группа пакетов Blockset, расширяющая возможности системы визуально-ориентированного блочного моделирования динамических систем Simulink.
Компания Mathworks поставляет наборы инструментов, которые используются для развития и применения новых направлений науки и техники, включая следующие [1]:
1. Цифровая обработка сигналов, изображений и данных: DSP Toolbox, Image Processing Toolbox, Wavelet Toolbox, Communication Toolbox, Filter Design Toolbox - наборы функций, позволяющие решать широкий спектр задач цифровой обработки сигналов и анализа изображений, исследования многомерных нестационарных явлений с помощью вейвлетов, проектирования высокоэффективных цифровых фильтров на современных микропроцессорах цифровой обработки сигналов и систем связи, моделирования разнообразных телекоммуникационных устройств.
2. Системы управления: Control Systems Toolbox, ц-Analysis and Synthesis Toolbox, Robust Control Toolbox, System Identification Toolbox, LMI Control Toolbox, Model Predictive Control Toolbox, Model-Based Calibration Toolbox - функции, облегчающие анализ и синтез систем автоматического управления и многопараметрических устойчивых систем, проектирование, моделирование и
идентификацию систем управления; решение задач линейного программирования с набором средств для реализации стратегии предиктивного управления и современных алгоритмов управления, такие как робастное управление, ЛМН-синтез, ц-синтез и другие.
3. Финансовый анализ: GARCH Toolbox, Fixed-Income Toolbox, Financial Time Series Toolbox, Financial Derivatives Toolbox, Financial Toolbox, Datafeed Toolbox - наборы функций, позволяющие быстро и эффективно собирать, обрабатывать и передавать различную финансовую информацию.
4. Анализ и синтез географических карт, включая трёхмерные: Mapping Toolbox - предоставляет графический и командный интерфейс для анализа географических данных, отображения карт и доступа к внешним источникам данных по географии.
5. Сбор и анализ экспериментальных данных: Data Acquisition Toolbox, Image Acquisition Toolbox, Instrument Control Toolbox, Link for Code Composer Studio - наборы функций, позволяющие сохранять и обрабатывать полученные в ходе экспериментов данные через блоки, подключаемые к внутренней шине компьютера. Эти пакеты предназначены для работы с внешними устройствами и для создания программно-управляемых инструментальных систем и комплексов, которые так же поддерживают широкий спектр научного и инженерного измерительного оборудования.
6. Визуализация и представление данных: Virtual Reality Toolbox - пакет позволяет осуществлять трехмерную анимацию и мультипликацию с помощью технологий виртуальной реальности и языка VRML.
7. Средства разработки: MATLAB Builder for COM, MATLAB Builder for Excel, MATLAB Compiler, Filter Design HDL Coder - наборы функций, позволяющие создавать независимые приложения из среды MATLAB.
8. Взаимодействие с внешними программными продуктами: MATLAB Report Generator, Excel Link, Database Toolbox, MATLAB Web Server, Link for ModelSim - наборы функций, позволяющие сохранять данные различных видов та-
Информатика, вычислительная техника и управление
m
ким образом, чтобы другие программы могли с ними работать.
9. Базы данных: Database Toolbox - инструменты работы с базами данных.
10. Научные и математические пакеты: Bioinformatics Toolbox, Curve Fitting Toolbox, Fixed-Point Toolbox, Fuzzy Logic Toolbox, Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox, OPC Toolbox, Optimization Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Spline Toolbox, Statistic Toolbox, RF Toolbox - специализированные математические функции, позволяющие решать широкий спектр научных и инженерных задач, включая работу со сплайнами, разработку генетических алгоритмов, решение задач в частных производных, целочисленные проблемы, оптимизацию систем, статистические вычисления и обработку данных.
11. Нейронные сети: Neural Network Toolbox - инструменты для синтеза и анализа нейронных сетей. Пакет может быть использован для исследования и применения к таким задачам, как обработка сигналов, нелинейное управление и финансовое моделирование.
12. Символьные вычисления: Symbolic Math Toolbox - пакет, предназначенный для символьных вычислений и решения задач в аналитическом виде, включая реализацию точной арифметики произвольной разрядности.
Помимо вышеперечисленных, существуют тысячи других наборов инструментов для математической системы MATLAB.
Методика построения модели
Для обработки данных, содержащих случайную составляющую, предлагаем использовать пакет System Identification Toolbox системы MatLab, который имеет средства для создания математических моделей линейных динамических объектов на основе наблюдаемых входных и выходных данных. Он имеет удобный графический интерфейс, позволяющий организовывать данные и создавать модели [1].
Основные свойства пакета следующие:
- простой и гибкий интерфейс;
- предварительная обработка данных,
включая фильтрацию, удаление трендов
и смещений;
- выбор диапазона данных для анализа;
- эффективные методы авторегрессии;
- возможности анализа отклика систем во
временной и частотной областях;
- отображение нулей и полюсов передаточ-
ной функции системы; анализ невязок при тестировании модели.
вые специализированные алгоритмы для идентификации систем в различных научных и инженерных отраслях.
В настоящее время большинство объектов управления оснащено микропроцессорной техникой, которая позволяет получать информацию о состоянии объекта, обрабатывать ее по определенным алгоритмам и хранить довольно продолжительное время. Эта информация помогает проводить анализ хода технологического процесса, своевременно выявлять нарушения в технологии и причины их появления, при необходимости вносить корректировку в управление. Наряду с этим возможно использование такой информации для определения динамических характеристик как объекта, так и системы регулирования, т. е. проведение идентификации. Попытаемся ответить на вопрос об идентификации с точки зрения практики, используя стандартные средства, в частности пакет System Identification Toolbox матричной лаборатории MatLab+Simulink [2].
В качестве примера использования пакета System Identification Toolbox для разработки моделей возьмем один из распространенных технологических объектов - паровой котел. Анализ систем, находящихся под воздействием случайных сигналов, обычно сводится к определению вероятностных характеристик выходного сигнала по вероятностным характеристикам входного сигнала [3]. На действующей котельной установке зафиксируем два числовых ряда, характеризующих расход топлива (входная величина) и давление пара в объекте (выходная величина), состоящих из 300 значений каждый с шагом 1 мин.
Полученный в ходе эксперимента массив данных загружается в рабочую область Matlab [4], затем с помощью команды ident вызывается графический интерфейс пользователя пакета System Identification Toolbox (рис. 1).
Пакет System Identification Toolbox обладает открытой архитектурой и гибкими настройками, позволяя строить на основе готовых функций но-
Рис. 1. Диалоговое окно графического интерфейса System Identification Toolbox
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Применив командный блок import data, сохраняем массив экспериментальных данных в графическом редакторе и строим графики временных рядов по каналу «расход топлива - давление пара» (рис. 2), где y1 - давление пара, u1 - расход топлива.
12 Input and output signals
1 i i 1
10 -
700
/S ' i i i 1
600 Л -
500 ) 1А_ ---——""Л fivA^VwjJ1! ,, . J "AAv
400 V
50 100 150 200 250 300
Time
Рис. 2. Временные диаграммы сигналов
На графике представлены входные и выходные сигналы исследуемого канала. В дальнейшем проведем предварительную обработку сигналов, исключив из графиков временных рядов постоянную составляющую.
Вне зависимости от статических и динамических свойств объекта построение модели проводится в стационарном режиме работы. Такому типу режима соответствует временной интервал [70; 110] (рис. 3).
Рис. 3. Временная диаграмма интервала [70;100]
Далее переходим к оцениванию и выбору параметрической модели временного интервала [70; 110].
Параметрическое оценивание экспериментальных данных проводится с целью определения параметров модели заданной структуры путем минимизации выбранного критерия качества модели. Для выбора наиболее приемлемой структуры модели в пакете имеются специальные функции параметрического оценивания - задания, изменения и уточнения структуры модели.
Строим переходную функцию и выбираем модель авторегрессии ARX (3 3 1), где 3 и 3 определяют порядок полиномов знаменателя и числителя дискретной передаточной функции с запаздыванием - равным 1 (рис. 4).
Рис. 4. Диалоговое окно задания структуры модели
1 Stop Response
0.8
0.6 yS
0.4 /
0.2 /
0 _ /
5 О 5 10 Time 15
Рис. 5. График оценки переходного процесса
На графике (рис. 5) отображается результат построения переходного процесса для полученной модели.
Чтобы убедиться, что модель выбрана правильно, построим еще несколько различных моделей и сравним их (рис. 6). Для этого будем использовать различные модели авторегрессии - ARX (3 3 0) с запаздыванием равным 0; ARX (1 1 0) с запаздыванием, равным 0; ARMAX (3 2 2 0) с запаздыванием, равным 0.
Рис. 6. Окно графического интерфейса с результатами построения моделей
Информатика, вычислительная техника и управление
ш
Для каждого вида авторегрессии построим график оценки переходного процесса и выбранной модели авторегресии при помощи использования диалогового окна Transient Response (рис. 7).
Рис. 7. Графики оценки переходного процесса
Из рис. 7 видно, что модель ARX (3 3 1) более точно описывает объект. Для ее проверки выведем диалоговое окно Model output, в котором рассчитано наилучшее значение ошибки оценивания (рис. 8).
О 20 40 60 80
Рис. 8. График оценки переходного процесса
Из графика очевидно, что модель ЛИХ (3 3 1) имеет наименьшую ошибку в сравнении с моделью ДЫМАХ (3 220).
В модели авторегресии ARX (3 3 1) приведены сведения о том, что модель является дискретной. По данной математической записи получаем передаточную функцию в дискретной форме записи. Построим график, используя пакет Simulink. Результатом применения этого пакета является вывод графика переходной функции по заданной дискретной форме (рис. 9).
Заключение
Результатом применения пакета System Identification Toolbox к исходным рядам данных по расходу топлива и давлению пара на выходе котла является полученная математическая модель в дискретной форме по каналу «расход топлива -давление пара». При необходимости модель из дискретной формы может быть переведена в непрерывную.
При изменении динамических характеристик можно исследовать любые технологические процессы, в которых предусматривается получение тепла путем сжигания топлива [5].
В дальнейшем полученную математическую модель целесообразно использовать для исследования объекта и системы управления, синтезированной на основе полученной модели объекта.
Поразительная легкость матричной лаборатории MATLAB и возможность ее адаптации к решению специфических задач привели к созданию десятков пакетов прикладных программ, намного расширивших сферы применения системы компьютерной математики.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. Основы применения. Сер. Библиотека профессионала. М. : СОЛОН-Пресс, 2005. 800 с. : ил.
2. Баев А.В., Мельник А.А. Идентификация объектов по данным их нормального функционирования. Ч. 1 // Вестник ИрГТУ. 2014. № 8 (91). С. 130-136.
3. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. М. : Изд-во МЭИ, 2005. 400 с., ил.
4. Баев А. В., Мельник А.А. Применение пакета System Identification Toolbox матричной лаборатории MatLab + Simulink для построения моделей на примере паровых котлов // Вестник ИрГТУ. 2013. № 12 (83). С. 240-244
5. Мельник А.А., Баев А. В. Моделирование процесса горения топлива : материалы IV Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 2014. С. 126-129.
Рис. 9. Переходная характеристика дискретной передаточной функции
