Линеаризация в расширенном фазовом пространстве нелинейных полиномиальных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В РАСШИРЕННОМ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

B. Г. Мельников

C.-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО),

канд. техн. наук, доцент, [email protected]

Введение. Рассматривается система автономных динамических уравнений в нормальной форме с правыми частями в виде полиномов степени т, заданная в конечной окрестности нуля фазового пространства Д”. Считаем, что уравнения достаточно точно описывают движение механического объекта с сосредоточенными параметрами. За нее можно, например, принять укороченную систему уравнений возмущенного движения [1]. В работе [2] развивается метод Пуанкаре, состоящий в составлении дополнительных дифференциальных уравнений для дополнительных переменных. В [3-4] для уравнений возмущенного движения предложен метод расширения объекта, состоящий во введении бесконечного множества дополнительных фазовых координат, преобразующих уравнения возмущенного движения в линейную бесконечную систему уравнений, доказана сходимость процесса преобразования и, следуя [1], определен спектр собственных чисел бесконечной матрицы расширенной линейной системы. В предлагаемой работе к динамической системе полиномиальной степенной структуры применен метод дополнительных переменных. При этом внесено изменение в метод: в дополнительных дифференциальных уравнениях остаточные члены высоких степеней не отбрасываются, предлагается аппроксимировать их многочленами меньших степеней по методу экономизации Чебышёва [5-6]. Тем самым выполняется замыкание расширенной конечной системы линейных дифференциальных уравнений, пренебрегаем лишь погрешностями указанных аппроксимаций. Предлагается оценка качества переходных процессов на основании линейного дифференциального неравенства для однородной квадратичной формы — функции Ляпунова, построенной в расширенном фазовом пространстве. В данном методе построения расширенной линейной модели использовано свойство мономов достаточно высоких степеней допускать применение метода экономизации.

1. Постановка задачи и применяемые аппроксимации. Система автономных дифференциальных уравнений движения с правыми частями в форме полиномов степени т без постоянных слагаемых задана в конечной нормированной области -0”(г) = {х = [хх,. .., X”] С Д”, |х,| < г < 1, г = 1 ,...,п}. Требуется выполнить преобразование системы с малой погрешностью в расширенную систему линейных уравнений, при этом модифицировать известный метод преобразования, включив в него экономизации Чебышёва остаточных членов полиномами меньших степеней с целью замыкания системы. А также требуется оценить качество затухания переходных процессов посредством построения дифференциального неравенства для определенно

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-01046-а).

© В. Г. Мельников, 2011

положительной относительно расширенного множества фазовых координат функции Ляпунова и интегрирования соответствующего уравнения сравнения. Применяются следующие аппроксимации при назначаемом параметре г < 1 с максимальными значениями погрешностей :

з ^ 3 2 с(3) 1 3 4^,22 1 4 г(4) 1 4

х3 « —г х3, о = —т ; жя « г х3 — -г , оу ' = -г ,

4 4 8 8

ж® « -г2ж^------жяг4, (5*-5-1 = —г5; ж® = -г2ж4-----г4х2 -|-г6, (5*-6-1 = —г6;

8 4 8 16 16 8 2 8 16 8 32 32

7 7 25 7 43, 7 6 г(7) Г 8 1 26 5 44, 1 62 1 8

х « —г х-------г х Н----г х ; х° = -г ж, г ж; Н—г ж,------------г .

8 4 8 8 8 64 64 8 2 8 4 8 4 8 128

(1)

Максимальные погрешности аппроксимаций переменных в четных степенях равны модулям постоянных слагаемых в выражениях (1). При аппроксимации некоторых мономов четных степеней могут выделяться константы, приводящие к появлению малых постоянных слагаемых в преобразованных уравнениях. Будем пренебрегать этими константами ценою удвоения соответствующих максимальных погрешностей экономизации или применять альтернативные аппроксимации например, примем выражения

И _ г г3 ^ 3 2 2 г _ г(3). 6 _ 5 ^ ^ 2И______—г-4г2 Л — ('2')

Отметим, что при хя ^ 0 погрешности альтернативных аппроксимаций стремятся к нулю. Целесообразно применение аппроксимаций в нескольких вложенных областях, задаваемых последовательностью гх > Г2 > ... > гя.

2. Заданная и дополнительная системы динамических уравнений. Рассмотрим движение механической системы, описываемое системой дифференциальных уравнений

^ _ ” т

= '^^х^а.ц + ж„а^, ж € Сп(г), 1 = 1,п, (3)

5 = 1 | ^| =2

где V = (VI,..., V”) —векторный индекс суммирования, |^ | = VI + ... + V” =

2, 3, .. ., т — степени индекса, — вещественные коэффициенты, х ^ = х V1 .. . х”п — мономы степеней IV |. Обозначим через М максимальное количество значений векторного индекса в каждом многочлене (3) со степенями 2, 3,..., т и через N =

т

^2 (5 + 1)(5 + 2) ... (5 + п — 1)/(п — 1)! — количество мономов в каждом многочлене

в=2

[1]. Не умаляя общности, считаем т > 2п.

Примем все мономы в многочленах за дополнительные переменные, присвоив им порядковые номера вида {х V : V € М} ^ [х”+1, х”+2,..., х^ ] при к = п + N. Получаем расширенную конечную вектор-строку фазовых переменных в фазовой области Гк (г) расширенного фазового пространства (в отличие от бесконечной вектор-строки, примененной в [3, 4]):

х = [х 1... х”, х1, ххх2,..., х”,..., хт, хт-1х 2,..., х”_1 хт-1, хт] =

= [х 1,..., хк ], к = п + N, (4)

Бк(г) = {X : Х| < г,..., |ж„| < г, |ж„+11 < г2,... ,|жй| < гт} С Дй.

Производные от мономов, вычисленные на решениях системы (3), запишем с применением обозначений единичных векторных индексов вида в* = (0 ... 0 1 0 ... 0), например, ж^- а^ = же^ а?*. Получаем дополнительную систему уравнений

_п лж •

-^- = ^2х„-е^-^=Ь(1)+Х1, Уу £ М, (|г/| = 2,3,., т), (5)

г=1

(1) П П

где Ь ) = ^ ^ ж^_е*+е^ ^а^ —линейные однородные функции относительно допол-

*=15=1

п т

нительных переменных степени |^|, ^ ^ ж^_е*+м^а^1 = Р^ + —полиномы,

*=1 |м|=2

содержащие однородные формы степеней IV | + 1, IV | + 2,..., IV | — 1 + т, нарастающих

с увеличением степени |VI, разделенные на полиномы Р^(ж) со степенями мономов

|VI + 1, |VI + 2,..., т и остаточные полиномы Д^(ж):

п т+1-|^| п 2т-1

^ ^ ^ ^ ж^—ег+^^а* , Д^ ^ ^ ^ ^ ж^ —ег+^(6)

г=1 |м|=2 ^=1 |м|=т+2-|^|

3. Построение расширенной системы уравнений с замыканием ее методом аппроксимаций остаточных членов. Пренебрежение остаточными членами Д^ (ж) приводит к линейной укороченной замкнутой системе линейных дифференциальных уравнений, получаемой методом расширения объекта из бесконечной дифференциальной системы [3]. Модифицируем метод, а именно, аппроксимируем функции Д^ (ж) полиномами степени т экономизациями Чебышёва с применением выражений типа (1), (2). Отметим, что на каждом шаге экономизации, «телескопического сдвига» [5, 6] степень аппроксимируемого многочлена понижается на две единицы. Получаем с погрешностями ^ линейные формы относительно основных и дополнительных переменных:

пт

д„ = 42) + + <*„, 42) = $3ж4, ^ =^3 ж*/£. (7)

*=1 |й|=2

Аппроксимации вида (7) имеет малую относительную погрешность ^. Действительно, каждый моном от п переменных, входящий в функцию Д^, имеет степень т' > т +1 > 2п +1, следовательно, он содержит одну или несколько фазовых переменных жя в степенях т'я > 3, по которым можно применять экономизации типа (1)-(2) с малой погрешностью до достижения аппроксимации полиномом степени т'' < т.

Подставляя (6), (7) в (5), получаем дополнительную систему уравнений

^ = (41} + 42)) + {Ри + Я и) + VvGM. (8)

Присваивая в (8) и (3) дополнительным переменным порядковые номера в соответствии с обозначениями (4), получаем замкнутую автономную систему дифференциальных уравнений в области Г расширенного фазового пространства :

^=ХВ + 6 6=[0,...,0,6п+1,6п+2,...,6К], В(г) = [Ьу]{,

УХ е Г(г) = I и I', I' = {X = [жп+1,жп+2,... ,жй] : |жn+l| < г2,..., жI < гт},

(9)

Пренебрегая в (9) вектор-функцией £(ж), образованной из погрешностей аппроксимации остаточных членов Д^, составленных из мономов степеней т' > т, получаем линейную автономную динамическую систему, заданную в окрестности нуля расширенного фазового пространства с известными взаимосвязями в начальных условиях:

^=ХВ, X £ Г(г) С Нк, Х(*0)=Х0. (10)

Замечание. В остаточную функцию £(ж) относим и малые аддитивные константы, которые могут выделяться из мономов четных степеней при их аппроксимации, если не применять альтернативных формул (2). Как отмечено выше, сохранение этих малых слагаемых повысило бы точность системы (10) на некоторые величины малого порядка. В динамических системах с нечетными правыми частями постоянные слагаемые не выделяются, поскольку мономы нечетных степеней аппоксимируются нечетными полиномами. Первые п уравнений системы (9) не содержат погрешностей аппроксимаций.

Расширенная вектор-строка начального состояния X(£о) = Хо определяется через начальные условия ж(£о) = жо, поскольку ж„(£о) = жЮ,..., жПо. Система (9) является точной расширенной линейной моделью для нелинейной системы (3), а (10) есть расширенная приближенная линейная модель. Решения задачи Коши (10) представляют собой многочлены степени т относительно начальных параметров, подобные частичным суммам разложений решений по начальным данным, получаемым по первому методу Ляпунова, но отличающимся от них малыми изменениями спектра характеристических чисел, обусловленными применением экономизаций Чебышёва. Решения задачи Коши для (3) удовлетворяют системе (10) с невязками ^(ж).

4. Спектр собственных чисел преобразованной системы. Спектр собственных чисел матрицы В (г) (либо вектор коэффициентов расширенного характеристического полинома) можно принять в качестве мер устойчивости и колебательности системы (3). Показано [4], что спектр Л бесконечной матрицы расширенной линейной дифференциальной системы, соответствующей системе возмущенного движения с голоморфной правой частью, состоит из спектра {А1,..., Лп} и счетного множества спектров однородных форм последующих степеней,

Л = {^) : А = [Ль ..., Ап], V = [V!,..., ^], IVI = 1, 2,..., то}.

Пусть ИеАп < ... < ИеА1 = —«1 < 0. Тогда ИеА1 является наибольшей вещественной частью всего расширенного спектра матрицы В (г). В предлагаемом модифицированном методе имеем конечный спектр характеристических чисел Л'(г) = {А'1,..., А'п, А'п+1,..., А'^, к = п + N} с элементами, обычно близкими к соответствующим элементам спектра в случае малой области I^(г). Для экспоненциально устойчивых систем Ие(А'*) < — а'1 < 0, * = 1,...,п, где в зависимости от влияния нелинейных членов имеем либо «1 > «1, либо а'1 < «1.

5. Расширенная квадратичная функция Ляпунова и оценки устойчивости. Пусть все собственные числа расширенной матрицы В(г) имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве Г(г)

определенно-положительную функцию Ляпунова в виде однородной квадратичной формы, образованной из основных и дополнительных переменных: V = ХНХт при Н = [^ ] ^, коэффициенты которой найдем по выбранной определенно-отрицательной производной от этой функции, вычисленной в силу системы (10). Более того, потребуем выполнение условия У(Х) = —2аV(Х) + Ш (Х), где примем 0 < а < а' 1, а Ш (Х) — назначаемая определенно-отрицательная квадратичная форма. В силу точной расширенной системы (9), содержащей погрешности экономизации, получаем дифференциальное уравнение вида

У(Х) = —2аV(Х) + Ш(Х)+ в(ж), Х е Г(г), ж е 1п(г), (11)

где в(ж) —малая функция, обусловленная погрешностями экономизации. Можно потребовать, чтобы определенно-отрицательная функция Ш (Х) удовлетворяла условию

Ш(Х) + в(ж) < 0 УХ е Г' = {Х : V(Х) е [й,со]^(Хо) = со е Г}, (12)

где 5о — малая неотрицательная константа. Отметим, что качество устойчивости управляемых механических систем нередко оценивают по времени сжатия всех решений в 3-5% окрестности нуля. Тогда из (10) получаем линейное дифференциальное неравенство и соответствующее уравнение сравнения:

V < —2аУ, с = —2ас, V(£о) = V) = со е Г', Х е Г'. (13)

По теореме сравнения [7] получаем утверждение. Любые решения системы (3) и точной расширенной системы (9) с начальным условием V) = V(Хо) = со е Г стягиваются к нулевому решению в область Ц = {Х : V(Х) < ^о} согласно оценке: в момент времени £ они находятся в области

Ц(£) = {Х : V(Х) < сое-2“(4-*0)} при Хо = со е Г, £ е [£о,£1] (14)

до мгновения £1, когда войдут в область Ц и останутся в ней. В случае #о = 0, когда неравенства (12), (13) выполняются в области Г, получаем оценку экспоненциальной устойчивости движения вида (14) при £ ^ то. Функция V(Х) содержит, в частности, определенно-положительную квадратичную форму исходных переменных V*(ж). Поэтому из оценки (14) функции V(Х) следуют, в частности, оценки для каждой основной переменной вида

ж!< г/,е-“(4-4о), в = 1,...,п., £ е [£о,£1]. (15)

В случае а1 > а1 оценки (15) могут определять более быстрое сжатие решений в малую окрестность нуля.

Оценкой (15) можно достоверно характеризовать качество переходного процесса. Данный метод преобразования уравнений, сохраняющий в основном точность математической модели и упрощающий исследование, можно отнести к методам, сохраняющим свойства устойчивости и притяжения [8].

6. Пример. Рассмотрим уравнение движения голономной стационарной системы с одной степенью свободы, содержащее однородную кубическую форму, заданное в квадратной фазовой области вместе с начальными условиями:

ц = а1</ + а29 + аз</3 + а4д2д + а5дд2 + авд3, (16)

I(г) = №,?]: М < г, I^I < г}, £ > 0, г < 1, [<?(0), д(0)] = [до, до] е 12(г).

Х(0) = Хо = [ж1о,ж2о,ж3о,ж1ож2о,ж1ож2о,ж|о] е 1в(г). (18)

Если для исходной переменной д' уравнение типа (16) задано в прямоугольной области, то применяем масштабную линейную замену переменных вида д' = ад, £' = б£, преобразующую исходное уравнение к форме (16) с выравниванием пределов изменения параметров д, д по назначенному параметру г.

После переобозначений д = ж1,д = ж2,12(г) = {[ж1,ж2] : жI < г, ^2! < г} назначаем расширенный фазовый вектор с соответствующими начальными данными:

Х = [ж1, . . . , же] = [ж1, ж2, ж3, ж1ж2, ж1ж2, ж|] е йб(г) =

= {[ж1,..., же] : ^^ < г, ^ < г3, * = 3,4, 5, 6}, (17)

о

Уравнение (16) представим двумя уравнениями

ж1 = ХВ1, ж2 = ХВ2, В = [а1, .. ., ав]т, В2 = [1, 0, .. ., 0].

Найдем третье уравнение с использованием экономизаций (1): жз = (ж1)' = 3ж2ж1 = 3а1ж1 + 3а2ж1 ж2 + 3азж1 + 3а4ж1 ж2 + 3а5ж3ж2 + 3авж2ж3 к

5 2 3 5 4

« Захжз + 3а2ж4 + За3 -г 1Г УбЖ1Г ) +

,о(22 1 4 \ , 9 2 2 , 9 22 15 4 3 4,

+ За4 г жх - -г х2 + ~а5г х1х2 + -а6г хгх2 = а3Ж1Г - -а4г х2+

\ 8 у 4 4 16 8

+ ^За.1 + ^а3г2^ ж3 + ^За2 + За4г2 + ^а6г2^ ж4 + ^а5г2ж5.

Аналогичным образом составляются остальные дифференциальные уравнения:

ж4 = (ж1 ж2)* = 2а1ж1ж2 + 2а2ж1ж2 + 2азж1ж2 + 2а4ж1 ж2 + 2а5ж2ж| + 2авж1ж4 + ж3 к

2 2 1 4 3 2 2 3 2

« 2ахж4 + 2а2х5 + 2а3х2 I г ж1 - -г \ + -а4г х\х2 + -а5ж1ж2 +

+ 2а6Ж1 ( г2х\ - V) + ж3 = -^-а6г4Ж1 - ^-а3г4ж2 + ж3 + ^2ах + 2а3г2 + ^а5 ) ж4+

+ ( 2а2 + 2а4г^ + 2абГ2^) х5, ж5 = (ж1 ж2)* =

О 0*3*300*3 /1^0

= ж1 ж2 + 2ж1ж2ж2 = а1ж1 ж2 + а2ж2 + а3ж^2 + а4ж]_ж2 + а5ж1ж2 + авж2 + 2ж1 «

3 2 2 3 22 /22 1 4 \

« а 1Ж5 + а2Жб + -а3г жхж2 + -а4ж1г ж2 + 05X1 \ г х2 — -г +

4 4 у 8 у

{5 23 5 4 ^ 2 1 4 5 4 {3 2

+ а6 I -г х2 - —г х2 \ + 2жхж2 = -^а5г жх - у^аеГ ж2 + I ^а4г +21 ж4+

/ 3 2 Л / 5 2 \

+ 1а1 + -а3г +а5г 1ж5+1-а6г + а2 I ж6, ж6 = Зж5.

Объединяя шесть дифференциальных уравнений, получаем матричное линейное уравнение

Х = ХВ(г), или Хт = Вт(г)Хт

а1 1 4 г 3 «3 ю|^о 1 -\(Щ Г4 -|о5г4 0

а2 0 — |о4'Г4 -|о.3г4 — а6>’4 0

а3 0 Зо1 + ^о3'Г2 1 0 0

а4 0 Зси + Зсц-г2 +1 Об?’2 2а 1 + 2о3г 2 +105 г2 2+|а4'г2 0

а5 0 9 2 05 2о2 + |о4?’2 +2ое'Г2 3 2 2 01 + 4 Оз?’"+ 05?’- 3

аб 0 0 0 52 02+4 Об»’- 0

при В (г):

Качество практической устойчивости и колебательности движения, подчиненного уравнению (16), можно характеризовать собственными числами матрицы В (г), вычисленными для нескольких значений параметра г. Например, при Г1 = 1,г2 = 0.1,г3 = 0.01.

На рис. 1 показаны частное решение д(£) нелинейного уравнения (18) при начальных условиях до = 1, до =0 и решение расширенной линейной системы для Х2 (£) при согласованных начальных условиях вида хщ = 0, Х20 = 1,хзо = Х40 = Х50 = 0,Хбо = 1, графики практически совпадают на конечном интервале времени. При этом были приняты следующие значения констант: г = 1,а1 = —0.2, Я2 = —1; аз = —0.2; а4 = 0; а5 = 0; аб = —0.6. Спектр собственных чисел матрицы В(1) имеет вид Л' = [—0.5766 ± 3.7299*, —0.1216± 1.0502*, —0.6517± 1.2172*]. Произведены расчеты и при других значениях параметров, достаточно точно отражающие колебательные и апериодические движения на конечном интервале времени. Отметим, что допускается применение предложенного метода и на бесконечном интервале времени в области практической устойчивости движения, а также в области экспоненциальной неустойчивости движения.

1. Ляпунов А. М. Избранные труды: Работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007.

2. Бабаджанянц Л. К. Метод дополнительных переменных // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2010. Вып. 1. С. 3-11.

3. Тартаковский В. А. Явные формулы локальных разложений решений системы дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. 1950. Т. 72, №5. C. 853-856.

4. Тартаковский В. А. Спектр матрицы дифференцирования около точки покоя // Вестн. Ленингр. ун-та. 1957. Вып. 2, №7. C. 52-67.

5. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961.

6. Hamming R. W. Numerical methods for scientists and engineers. Dover, 1986.

7. Васильев С.Н., Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

8. Васильев С.Н., Козлов Р. И., Ульянов С. А. Анализ координатных и других преобразований моделей динамических систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2009. T. 15, №3. C. 1-18.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.

ХРОНИКА

24 февраля 2010 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступили канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Диевский (Военный инженерно-технический университет) и аспирант А. В. Диевский (СПбГУ) с докладом на тему «Об одной задаче Н. Е. Жуковского (часть вторая)».

Краткое содержание доклада:

Исследовано поведение системы, которая состоит из балки, опирающейся на гладкую стену и гладкий пол, а также спускающегося по ней тела. Условием оптимальности для стратегии движения тела принято достижение минимального значения вертикальной составляющей его скорости в конце спуска.

Установлено, что при некоторых значениях параметров предложенная Н. Е. Жуковским стратегия движения тела (при которой балка остаётся неподвижной) не является оптимальной или вообще лишена смысла. Авторами были предприняты поиски других стратегий поведения, связанных, в частности, с возможностью падения балки. Стратегии подбирались с использованием систем управления движением, при которых поддерживается постоянная скорость или постоянное ускорение движения тела относительно балки. При этом учитывалась возможность отрыва балки от стены. Найдена оптимальная из рассмотренных стратегий.

Кроме того, рассмотрен другой способ опирания балки, а именно на гладкий пол и гладкий выступ. Такой способ оказывается гораздо более эффективным, чем упомянутый выше. И в этом случае проведён поиск оптимальной стратегии поведения.