CC BY
23
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКОНОМИЗАЦИИ К.ЛАНЦОША ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.Г. Мельников
Рассматривается голономная стационарная механическая система с одной степенью свободы с автономными нелинейными полиномиальными характеристиками относительно фазовых переменных. Развивается метод многочленных преобразований с включением в него т-метода экономизации, который с повышенной точностью преобразует исходное уравнение к линейному виду при определенных ограничениях на константы исходного уравнения.
Рассмотрим голономную стационарную механическую систему с одной степенью свободы, движение которой подчинено автономному дифференциальному уравнению второго порядка, содержащему нелинейную функцию в виде однородной кубической формы:
q + a1¿¡ + аq + q) = 0 при Q = £qkqk2, q] е D . (1)
k1+k2 =3
Здесь [q, q] - фазовый вектор объекта, s - малый параметр, |s| < 1, ak¿ - постоянные коэффициенты. Кубическая форма в математической модели объекта появляется в результате аппроксимации в конечной области фазового пространства нелинейных нечетных характеристик обобщенных сил или моментов сил. Развернутый вид кубической формы:
Q = а30 q3 + a21q2 q + а12 qq2 + а03 qq3.
Предполагаем, что уравнение (1) описывает движение реальной механической
2
системы неточно, с точностью до величин порядка s , и поэтому допустимо изменение нелинейной функции в малых пределах.
Считаем, что уравнение (1) задано на фазовой плоскости в квадрате D = {[q, q]:| q |< 1,| q |< l}.
Заметим, что любая прямоугольная область D1 ={[q1, q1 ]: |qj < a, |qj < b } отображается на квадрат D линейной заменой переменных вида q1 = aq, t = Ta / b . Примером динамического уравнения вида (1) может служить физический маятник в случае аппроксимации синуса угла отклонения sin ф « ф - ф3 / 6.
Корни Я12 = -a1 /2 ± i^c - (a1 /2)2 характеристического уравнения линейной части предполагаются комплексными, имеющими существенно отрицательную вещественную часть. Допускается также случай двух вещественных существенно отрицательных корней. Дополнительно предполагается отсутствие внутреннего резонанса третьего порядка, т.е. предполагается существенное неравенство нулю восьми выражений (k1 -1)^1 + k2 X 2 * 0, k1X1 + (k2 -1)X 2 * 0, V k1 + k2 = 3. (2)
При этих условиях, применяя метод Пуанкаре-Дюлака в конечной форме, можно выполнить нелинейное преобразования переменных, содержащее кубическую форму. В результате в дифференциальном уравнении (1) исключаются однородные кубические формы порядка s, но появляются однородные формы пятой, седьмой и девятой степеней с общим множителем в2. Преобразование выполняется посредством перехода к комплексным каноническим фазовым переменным, подстановки в систему уравнений новых переменных и составления алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты преобразования. Здесь мы выполним многочленное преобразование непосредственно в исходных вещественных переменных. При этом дополнительно внесем в
процесс преобразования процедуру аппроксимации остаточных членов однородными кубическими формами по т - методу, предложенному К. Ланцошем [1]. В результате получим скорректированный метод полиномиальной линеаризации, поскольку в преобразованных уравнениях будут отброшены существенно меньшие величины, имеющие порядок в3. Вместе с тем модифицированный метод приводит к некоторому усложнению расчетных формул для коэффициентов многочленного преобразования.
Итак, потребуем, чтобы в новых фазовых переменных [у, у ] преобразованное динамическое уравнение с точностью до членов порядка в3 было линейным,
У + Ъ1У + ¿0 У = 0, (3)
в единичном квадрате новой фазовой плоскости
[у, у] е Б2 ={[ у, у]: | у |< 1,| у |< 1}. (4)
Коэффициенты Ь0, Ь1 подлежат определению, они отличаются от а0, а1 на малые величины. Обобщенную координату ч свяжем с новой координатой формулой многочленного кубического преобразования
q = у+в ск1к2ук ук2 пРи к1 + к2 = 3 . (5)
Здесь и в дальнейшем для краткости опущен знак суммирования по повторяющимся индексам, что принято в литературе. Ограничения на индексы суммирования к1, к2 указаны в формуле (5). Отметим, что единичная область Б2 на фазовой плоскости [у, у] не является точным отображением области Б .
Выразим производные q, q через у, у, применяя соотношение (3) и переобозначая индексы суммирования к1, к2 на к'1 , к'2, чтобы использовать индексы к1, к2 в конечных формулах. Получим
Ч = у + вск, к,2к\ ук1-1 ук'2+1 - вск 1 к,2к\ ук 1 ук'2-1 (¿оу + Ьу) Окончательно,
q = у + вс1к1к2 ук ук2 при к + к 2 = 3, (6)
где
^ = (к1 + 1)1 Ск1+1,к2-1 - Ь1к2Скк2 - ¿0 (к2 - 1) Ск!-1,к2+1 (7) По аналогии с (6)-(7) составляем выражение для второй производной:
q = у + в с2 ук ук2 при к! + к2 = 3, (8)
кА ^ ^ * 1 2
где
с ;,к2 = (к1 +1) с;1+1,к2 - - ¿^и - ¿0 (к2 -1) с;1-и2+, (9)
В выражениях (7), (8) следует приравнивать нулю все константы, имеющие хотя бы один отрицательный индекс, например, с^+1 к -1 = 0 при к2 = 0 .
Преобразуем многочлен Q к новым переменным путем подстановки в него выражения (5), (6) и удержания членов порядка в . Получим приближенное выражение
Q(q, ¿) = Q(у, у) + в Q5 (у, у) при Q5 = £ а« ук1 ук2. (10)
к1+к2=5
В каждом одночлене однородной формы пятой степени Q5, зависящей от двух переменных, непременно имеется одна из переменных третей степени - либо ч 3, либо Ч 3. Поэтому многочлен Q5 можно разбить на два многочлена:
Q5 = у3к ЭД^ ук2+ ук1ук2 при [у, у ]е Д. (11)
Применим т - метод К. Ланцоша [1-3], позволяющий аппроксимировать полиномы высоких степеней полиномами меньших степеней, связанный со среднеквадратичными аппроксимациями П. Л. Чебышева. В данном случае применим аппроксимации
3 3 1 3
у = - у + -со8(3агсео8 у) * - у при у е [-1,1];
4 4 4 (12)
у3 * 3у при у е [-1,1].
По существу, приближение (12) есть гармоническая линеаризация величин у3 и у3 на единичных интервалах. Подставим среднеквадратичную аппроксимацию (12) в выражения (10), (11) и приведем подобные члены. Получим окончательно представление кубической формы, входящей в уравнение (1), в новых переменных:
Q (¿,¿) = 2Кк2 +в~k;k2)Уk;ук2. (13)
Подставим выражение (13) в уравнение (1). Получим математическую модель механического движения, где s -малые величины аппроксимированы в классе функций (4), содержащем подлежащие определению константы:
q + aiq + а0q + s £(а^2 +sakih)ykl/2 = 0. (14)
k1+k2 =3
Затем подставим в полученное на этом этапе динамическое уравнение выражения в новых переменных (5), (6), (8), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при каждом одночлене третьей степени, а также учтем уравнение (3). Получим нелинейную замкнутую систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов преобразования (5), содержащую линейную часть и нелинейные члены в виде произведений искомых величин. Если в системе отбросить члены порядка s2, то система становится линейной с существенно не равным нулю определителем при выполнении условия (3). Решение такой линейной системы известно в комплексной форме [3-5]. Приближенное решение нелинейной алгебраической системы находится посредством решения соответствующей линейной системы и однократной итерации.
Модифицированный метод полиномиальной линеаризации уравнения (1) содержит процедуры подстановки многочленов в многочлен, упрощения выражений, конкатенацию матриц и решение алгебраической системы. Эти процедуры выполняются в пакете Symbolic Math систем Maple, Mathematica, Matlab. Изложенный метод применен при исследовании нелинейных колебаний одностепенной механической системы.
Литература
1. Ланцош К. Параметрические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961.
2. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.
3. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.
4. Брюно А.Д. Нормальная форма дифференциальных уравнений с малым параметром. // Матем. заметки, 1986. 40. Вып.3. С. 385-392.
5. Климов В.Ю. Методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1996.
6. Мельников В. Г. Полиномиальная линеаризация систем модального управления и ее применение / Научно-технический вестник СПбГТМО(ТУ). Вып.3. 2001. С.17-19.
7. Melnikov V.G. Analysis of transient performance of system with unknown inertia load. // Prepr. 8-th International Student Olympiad on Automatic Control. St.Petersburg, 2000. P.167-171.
8. Параметрические критерии фильтрационных свойств систем управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. №3. C. 25-28.
