Полиномиальная линеаризация систем модального управления и ее применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

В.Г. Мельников

Для нелинейной автономной системы управления, содержащей линейную часть и однородные кубические формы относительно компонент вектора состояния, предлагается модифицированный метод нормализующего преобразования. В отличие от классического метода Пуанкаре-Дюлака, в нем не применяется переход к комплексным переменным, который требует знания спектра собственных значений матрицы линейной части системы. Получены расчетные алгебраические формулы преобразования системы к линейному виду в рамках принятой точности и в условиях внутренних резонансов в системе и обоснованы решения по полученным формулам.

Рассмотрим систему модального управления, содержащую электромеханическое исполнительное устройство с нагрузкой и регулятор с подлежащими выбору постоянными параметрами. Допустим, что состояние системы определено п-мерным вектором х, а силовые характеристики и характеристики управления - нелинейные и нечетные относительно координат вектора состояния. Они аппроксимированы степенными полиномами, содержащими линейные и кубические однородные формы с постоянными коэффициентами. При этом коэффициенты при кубических членах малы, что помечено малым множителем д. Однородными формами пятой и более высоких степеней будем пренебрегать, относя их к малым величинам порядка д2, а также пренебрегаем постоянно действующими возмущениями порядка д . Движения системы будем изучать в некоторой конечной окрестности Э начала координат п-мерного вещественного пространства состояний Я", а также расширенного фазового пространства Яп+1, в котором добавлен отсчет независимой переменной / > 0. В качестве области Э можно взять гипершар Э = {х : х' х < 1}. Будем считать, что система динамических уравнений рассматриваемого объекта представлена в следующей нормальной форме Коши:

XI = Е ¿кхк + И Е а' . у хр... х\", ' = 1", х е Э . (1)

к =1 у к "

Эта система автономна и имеет линейную часть и нелинейную часть с малым параметром.

Применим прием опускания знаков суммирования по повторяющимся в произведениях индексам, а также векторные обозначения индексов V = [V ... Vи ], | V |= V + . + Уи, введем векторы-столбцы коэффициентов, следуя [1-3], и

краткие обозначения одночленов xV. Получим более краткую запись динамических уравнений в форме одного векторного динамического уравнения, содержащего

векторные коэффициенты ак , ау и скалярные одночлены х^ х = акхк + д aV ху, (к = 1, и ;| V |= 3) при х е Э

Здесь

(2)

а1 "а!" " х1"

ак = а" _ , ау = а _ , х = _ хп _

xV = х? к хуп", X, = хе', е, = [0.1. 0].

В дальнейшем применяется также скалярная форма уравнения (2), т.е. система дифференциальных уравнений

хс[ = а' хк + да' х", ' = 1,п . (3)

Пусть [X ••• Хп]' - вектор собственных значений матрицы системы А = [а1... ап ] = [а\ ]П, т.е. множество корней характеристического уравнения АеХ[АЕ - А] = 0. Применим к данной системе метод нормализующего преобразования Пуанкаре-Дюлака [1-4], ограничиваясь в преобразовании однородными формами третьего порядка включительно.

Предположим, что вещественные части всех корней X , существенно

отрицательны и, кроме того, они удовлетворяют следующему условию Пуанкаре-Дюлака отсутствия внутренних резонансов:

Ху=Хг -(уЛ + ... + УпXп) *0 V | V|= 3, , = 1П. (4)

Система алгебраических неравенств (4) представляет собой дополнительные ограничения на взаимное расположение корней на комплексной плоскости, что приводит к ограничениям на область допустимых значений параметров регулятора. Оно выполняется, например, для асимптотически устойчивых систем с существенным разбросом корней вдоль вещественной оси.

Согласно методу нормализации следует сначала привести систему (1) к каноническому виду, в котором линейная часть системы имеет жорданову форму. Если все корни системы (1) существенно различны, то она принимает следующий канонический вид:

4, = Х,4, , * = 1П. (5)

|у|=З

Затем выполняется вторая, нелинейная замена переменных, приводящая систему к нормальной форме Пуанкаре, причем коэффициенты преобразования определяются известными алгебраическими формулами [1-4].

При условии (4) система (5) приводится с точностью до членов порядка |2 к линейному виду [1-4]:

Л , = Х , П +!2/, (ПХ * = 1 п (6)

с помощью подстановки вида

4 =п , * = при ру=ау / Ху (7)

|у|=з

Такой способ связан с необходимостью предварительного определения спектра собственных значений X* и перехода к комплексным переменным, что, как правило,

можно сделать только в численном виде и невозможно выполнить в условиях, когда матрица линейной системы содержит неизвестные параметры. Таким образом, классический способ с самого начала связан с необходимостью применения численных методов, что можно считать недостатком при символьных преобразованиях уравнений. В связи с эти будем решать задачу преобразования системы, минуя процедуру приведения ее к канонической форме.

Для уравнения (3) непосредственно выполним нелинейную многочленную замену переменных, содержащую кубические формы от координат вектора состояния с подлежащими определению коэффициентами Ъу. Она имеет вид

у = х + |Ъуху, при | у |= 3, 0 < у, < 3 , (8)

или в покоординатном виде

у, = х,. + |Ъуху, , = \п, 0 < у, < 3, | у |= 3. (9)

Переобозначая немые индексы у ^ у', , ^ к, и учитывая (8) и (9), вычислим векторное выражение

дхv

У - акУк = х + У-К — хг - акхк - акцЬк„хv (10)

дхг-

или

У - акУк = K(av - akbvk + -ek +1))хv + Ц25(х). (11)

Здесь вектор-функция 5( х) имеет вид однородной формы пятой степени с вещественными векторными коэффициентами, векторный индекс (v + ei - ek ) = [v1 к (v.. +1) к (vk -1) ... vn ], причем считаются равными нулю все коэффициенты, имеющие отрицательные значения индексов. Имеем:

8(х) = av,,bv,v'. хv"e'-+v", i = 1Я | v'|= 3; | v"|= 3, v.'-1 + v." > 0, (12)

Коэффициенты bv преобразования (8) определяем из условия, чтобы в правой части векторного дифференциального уравнения (11) отсутствовала кубическая форма, т.е. из условия равенства нулю каждого коэффициента при цхv. В результате получаем систему алгебраических линейных неоднородных векторных уравнений

£ £ (v. + 1)akbv-ek+e.. -j^akbk + av = 0, v = [v, . v„ ], | v |= 3, v. e [0,3] (13)

k=1 i=1 k=1

При условиях (13) векторное дифференциальное уравнение (11) принимает форму, не содержащую членов порядка ц:

У - Ay = ц 7 (14)

Отметим, что в первых суммах уравнений (13) следует полагать равными нулю члены, имеющие отрицательные значения индексов.

Система линейных уравнений (13) состоит из n = n(n + 1)(n + 2) / 3! векторных уравнений или из N = n2(n + 1)(n + 2)/6 скалярных алгебраических линейных неоднородных уравнений. Она имеет единственное решение, заменяющее решение (7), получаемое с применением комплексного канонического линейного преобразования. Для определения решения системы (13) в символьном или числовом виде следует сгруппировать неизвестные величины bv по значениям индексов v. Упорядочение

неизвестных можно осуществить посредством условного принятия векторного индекса v за n -значное число и расположения неизвестных в порядке нарастания такого условного числа. Построенное матричное уравнение решается в символьной или числовой форме в системе Matematica 4 или MATLAB 6. Данный метод применен автором к системе управления с вектором состояния третьего порядка. Работа поддержана грантом МО РФ, проект Е00-4.0 - 45.

Литература

1. Брюно А.Д. Нормальная форма дифференциальных уравнений с малым параметром // Математические заметки. 1974. № 16. С.407-414.

2. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

3. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.

4. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1977.

5. Melnikov V.G. Analysis of transient performance of system with unknown inertia load // Prepr. 8-th International Student Olympiad on Automatic Control. St.Petersburg, 2000. P.167-171.

6. Параметрические критерии фильтрационных свойств систем управления // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. № 3. C. 25-28.