Макрокинетическое обоснование модели микробного роста при одном ведущем компоненте субстрата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.46

МАКРОКИНЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ МИКРОБНОГО РОСТА ПРИ ОДНОМ ВЕДУЩЕМ КОМПОНЕНТЕ СУБСТРАТА

В.М. Гендугов, Г.П. Глазунов, М.В. Евдокимова, М.В. Шестакова

В фазовом пространстве зависимости микробного роста от концентрации ведущего компонента субстрата экспериментальные данные следуют закону с графиком в виде деформированного колокола, для которого не было общепринятого обоснования. В данной работе теоретическое уравнение этой зависимости при фиксированном времени выведено из полученного ранее в рамках нестационарного неравновесного макрокинетического подхода уравнения зависимости роста от времени для одной концентрации ведущего компонента. Справедливость уравнения установлена сопоставлением с экспериментальными данными из независимого источника. Уравнение позволяет выявить в фазовом пространстве зависимости роста от начальной концентрации ведущего компонента субстрата диапазоны, качественно различающиеся между собой знаком (плюс—минус) и направлением (возрастание—убывание) изменения: а) роста, б) скоростей и в) ускорений его изменения в ответ на изменение концентрации ведущего компонента субстрата.

Ключевые слова: микробный рост, макрокинетика, базовая модель роста, компонент субстрата, фазовое пространство.

Введение

Анализ закономерностей отклика микробного роста на вещественный состав субстрата является основой исследования механизмов естественного отбора, поиска микроорганизмов с необходимыми свойствами, определения степени токсичности веществ для микробов, оценки экологического состояния компонентов природной среды и нормирования их качества, реализации различных биотехнологических процессов [1, 4, 5]. Наиболее широко для указанных целей используются разные математико-статистиче-ские методы обработки и интерпретации экспериментальных данных, реализованные в виде пакетов прикладных программ для компьютера [10], что и объясняет их популярность. Менее распространенными, но более информативными являются методы биологической макрокинетики, основанные на дифференциальных уравнениях. С использованием этих методов в классе задач, связанных с выяснением закономерностей отклика микробного роста на концентрацию ведущего компонента субстрата, получены теоретические решения в виде 5-образных функций, находящие широкое применение [1, 7]. Постановка настоящего исследования вызвана тем, что указанные решения не охватывают ряд задач, в которых экспериментальный отклик носит экстремальный характер [3, 5, 8]. В данной работе решение задачи описания экстремального отклика микробного роста на начальную концентрацию ведущего компонента субстрата в фазовом пространстве зависимости роста от концентрации ведущего компонента найдено в рамках макрокинетической модели клеточного роста, выведенной ранее [2].

Получение модели из найденного ранее решения. Математическую модель в работе [2] строили в рам-

ках предположения о том, что химические превращения, идущие в системе клетка—среда, описываются брутто химической и биохимической реакциями, а в основе уравнений, описывающих изменение биомассы и массы /-го компонента, лежат балансовые соотношения изменения массы без учета их миграции. Основываясь на формулировке закона сохранения массы, согласно которой изменение микробной биомассы q в единице объема в единицу времени равно скорости изменения этой массы dq/dt, предположили, что эта скорость пропорциональна самой биомассе и получили уравнение dq/dt =/(c)q, в котором/(с) = /(с1...сг-...с^) — константа скорости массообразования, С1 — концентрации /-х компонентов, пробегающие ] значений, а N — число компонентов в системе. Изменение массы /-го компонента в единице объема в единицу времени равно скорости массообразования во всех, т.е. в биохимической (со стехиометрическими коэффициентами ^', соответственно в начале и конце реакции) и химической (со стехиометрическими коэффициентами у', у'' соответственно в начале и конце) реакциях, обеспечивающих рост. Предположив, что скорость массообразования /-го компонента в биохимической реакции пропорциональна концентрации с, получили систему уравнений

dqc/ т/ . „ ,ч ч

-^г = у (у' - У') ^ + с1/(с) q, (1)

дифференцированием левых частей которых получили автономную систему

^ = /с) q (2)

^т = т(у'' - У)£ (/ = 1,...,N, (3)

описывающую рост микробной биомассы, в которой — молекулярная масса компонента, е — скорость брутто-реакции, р — плотность среды. Решая систему, функцию /(с) конкретизировали. Для этого, во-первых, приняли, что /(сг) пропорциональна

N N \

Кб^с-1' - В ^с I и Р, где Кб — константа прямой

1=1 '=1 ) р

реакции, В — константа обратной реакции, основываясь на том, что изменение биомассы происходит без изменения внешнего давления, температуры и плотности, и биохимическая реакция протекает вблизи равновесия; во-вторых, что /(с) также пропорциональна выражению

m (V - V)

Р

N

П С'

1=1

поскольку малые изменения малых концентраций ведущего компонента субстрата могут приводить к конечным изменениям в биомассе. В результате получили выражение

f (j =

-Ъ П

j=i

- 4)

+ В\х

х

■ Ъ - Ъ

mj (vj - vj)

(4)

с

с

Рис. 1. Динамика микробного роста при разведениях исходной пробы: 1 (IA), 1/2 (I Б), 1/4 (IB), 1/8 (II А), 1/16 (II Б) 1/32 (II В), 1/64 (IIIА), 1/128 (IIIБ), 1/256 (IIIВ), 1/512 (IVA); в обобщающих координатах с графиком по уравнению (7) при B = 0,2350 (IVБ); исходные данные (IV В). Условные обозначения (здесь и для рис. 2): кружки — опыт, линии — модель и доверительные пояса для средних (confidence band) и прогнозных (prediction band) величин при P = 95%

с использованием которого система уравнений (2)—(3) была решена [2]. Для зависимости микробного роста от времени t (при фиксированном значении концентрации ведущего компонента субстрата) получили

q

= Ct t,

(5)

а для зависимости микробного роста от начальной концентрации с ведущего компонента субстрата (при фиксированном времени) получили

q = Ac

M

' c

(6)

с увеличением c. С использованием нормированных

переменных l y

q

t

из (5) вывели

y = x Be

(7)

а с использованием переменных y = ■

q

x=

из (6) получили

(л_ — y = x _V x

(8)

Константы уравнений (5) и (6) являются свертками множества констант уравнений (1)—(4). Они находятся из эксперимента и имеют следующий смысл: С, А — коэффициенты, масштабирующие значение показателя роста q; / — коэффициент скорости отмирания клеток, К — коэффициент скорости роста, X — коэффициент скорости уменьшения q с увеличением начальной концентрации с ведущего компонента субстрата; М — коэффициент скорости увеличения q

добившись еще большей степени свертки констант. Здесь В и Л — константы, получаемые из опыта после преобразования исходных переменных в нормированные, — время достижения максимума роста qmax при фиксированной начальной концентрации ведущего компонента субстрата, стах — концентрация, при которой достигается qmax при выбранном фиксированном времени наблюдения.

Рис. 2. Зависимость роста анаэробных микробов от концентрации ведущего компонента субстрата для семи интервалов роста, имеющих продолжительность в часах: 10 (I А), 20 (IБ), 30 (IВ), 40 (II А), 50 (IIБ), 60 (III В), 70 (III А); шесть особых точек для семи интервалов в нормированных переменных на графике уравнения (8) при Л = 0,3048 (III Б); исходные данные для семи интервалов роста в нормированных переменных на графике уравнения (8) при Л = 0,2918 (III В)

max

max

B

B

x

c

q

c

max

max

e

Методика проверки модели. Качество модели проверяли подгонкой к исходным [6] опытным данным, во-первых, уравнения (5) при фиксированных начальных концентрациях ведущего компонента субстрата; во-вторых, уравнения (6) при фиксированных значениях времени; в-третьих, уравнений (7) и (8) к опытным данным в нормированных переменных; в-четвертых, уравнения (8) к нормированным концентрациям в особых точках. Показателем роста q были выражаемые в долях единицы значения оптической (при длине волны 600 нм) плотности субстратов с растущими в ячейках планшета в анаэробных условиях микроорганизмами (рис. 1). Рост анаэробных микроорганизмов авторы [6] инициировали добавкой питательного субстрата к пробам грунтовой воды, взятым с участка, загрязненного соединениями урана. Требуемые концентрации ведущего компонента (соединений урана) в относительных единицах (в диапазоне от 1 до 1/512) авторы [6] получали последовательным разведением исходной пробы чистой водой в пропорции 1:1. По этим материалам уравнение (5) проверяли на всем (рис. 1) массиве данных из работы [6], а уравнение (6) — на выборках из этого массива (рис. 2) по критерию одинаковой продолжительности наблюдения (от 10 до 70 ч с шагом в 10 ч).

(рис. 1, рис. 2), характеризуются шестью особыми точками (табл. 1—4), находимыми анализом производных общепринятыми методами математического анализа, в нашем случае — с использованием пакета прикладных программ [9]. Особые точки делят время роста на интервалы с различающимися показателями макроскопической кинетики роста (табл. 1), а ось концентраций ведущего компонента субстрата — на диапазоны с различающимися показателями «кинетики» в фазовом пространстве зависимости роста от концентрации ведущего компонента (табл. 2).

Теоретическое уравнение (5) удовлетворительно описывает основную тенденцию динамики роста микробов при каждой фиксированной исходной концентрации ведущего компонента (соединений урана) в грунтовой воде. Анализ результатов в нормированных переменных (у = д//дтах, х = ?;/?тах) подтвердил теоретически установленную возможность обобщения всех экспериментальных точек уравнением (7), в данном случае при В = 0,2350.

Таблица 1

Кинетические характеристики зависимости q = f(t)

Результаты и их обсуждение

В ходе регрессионного анализа с использованием пакета программ [10] установлено, что гипотезы (при доверительной вероятности 0,95) о нормальности распределения экспериментальных величин относительно расчетных, об однородности их дисперсий и о независимости остатков согласно оценкам с использованием критериев Колмогорова—Смирнова, Спирмена и Дурбина—Ватсона соответственно подтвердились. Это дает основание утверждать, что уравнения (5)—(8) удовлетворительно описывают экспериментальные данные (рис. 1, рис. 2).

Исследование модели. Исследование уравнений (5) и (6) показало, что при равенстве независимой переменной нулю их правые части не существуют, в то же время при стремлении независимой переменной к нулю правые части существуют, но стремятся к нулю, что не противоречит общебиологическим представлениям [1]. Графики уравнений (5) и (6), имеющие вид деформированного колокола

Время — особая точка Интервал q dq ~dt d 2q dt2

tо — начала роста t0 < t < t1 + T +T +T

^ — наибольшей вогнутости слева от максимума i1 < t < t2 + T +T +1

12 — перегиба слева от максимума t2 < t < t3 + T +1 -1

tз — наибольшей выпуклости слева от максимума t3 < t < t4 + T +1 -T

t4 — максимума t4 < t < t5 + 1 -1 -T

t5 — перегиба справа от максимума t5 < t < t6 + 1 -T +T

t6 — наибольшей вогнутости справа от максимума t6 < t + 1 -T +1

Примечание. q — показатель микробного роста, I — время, dq/dt — скорость изменения биомассы, d2q/dt2 — ускорение, «+» — функция положительна, «—» — функция отрицательна, \ — функция растет, \ — функция убывает.

Таблица 2

Кинетические характеристики зависимости q = f (с)

Концентрация — особая точка Диапазон q dq dc d 2q dc 2

со — начала наблюдения С0 < С < q +T +T +T

С1 — наибольшей вогнутости слева от максимума q < С < С2 +T +T +1

С2 — перегиба слева от максимума c2 < С < c3 +T +1 -1

сз — наибольшей выпуклости слева от максимума С3 < С < С4 +T +1 -T

С4 — максимума С4 < С < С5 +1 -1 -T

С5 — перегиба справа от максимума С5 < С < С6 +1 -T +T

Сб — наибольшей вогнутости справа от максимума С6 < С +1 -T +1

Примечание. q — показатель микробного роста, dq/dc — «скорость» изменения q при изменении с, d2q/dc2 — «ускорение» изменения q при изменении с, «+» — функция положительна, «—» — функция отрицательна, ] — функция растет, ¡, — функция убывает.

Коэффициенты уравнения (5) и особые точки графика роста q

Таблица 3

Проба С /3 К R h h h и Ч tb

1 0,1 0,71 28,24 0,89 5 9 14 40 71 101

1/2 0,2 0,80 45,87 0,87 8 15 22 57 100 142

1/4 0,8 0,35 9,51 0,94 2 4 6 27 51 74

1/8 348,3 1,68 62,87 1,00 9 15 21 37 60 82

1/16 1,2 0,43 14,87 0,90 3 6 9 35 64 93

1/32 78,3 1,30 43,00 0,93 6 11 17 33 55 76

1/64 0,5 0,16 10,30 0,94 2 5 7 65 125 184

1/128 0,6 0,27 11,25 0,92 2 5 7 42 80 117

1/256 0,5 0,23 11,94 0,85 2 5 8 51 98 144

1/512 0,2 0,04 4,79 0,89 1 2 4 113 224 335

Таблица 4

Коэффициенты уравнения (6) и особые точки графика q = f(c)

7, ч ,4 А М R С] С2 сз с4 с. ft,

10 0,030 0,32 0,0035 0,4 0,0007 0,0014 0,0022 0,0110 0,0205 0,0301

20 0,057 0,33 0,0027 0,8 0,0005 0,0011 0,0017 0,0081 0,0151 0,0220

30 0,065 0,32 0,0031 0,8 0,0006 0,0013 0,0019 0,0096 0,0179 0,0262

40 0,063 0,30 0,0023 0,8 0,0004 0,0009 0,0015 0,0076 0,0142 0,0208

50 0,058 0,34 0,0024 0,8 0,0005 0,0010 0,0015 0,0072 0,0134 0,0195

60 0,062 0,32 0,0023 0,8 0,0004 0,0009 0,0014 0,0072 0,0134 0,0197

70 0,110 0,19 0,0025 0,7 0,0005 0,0011 0,0017 0,0132 0,0253 0,0374

Теоретическое уравнение (6) удовлетворительно описывает основную тенденцию изменения показателя роста микробов с изменением начальной концентрации ведущего компонента субстрата при фиксированном времени наблюдения за ростом. Анализ результатов в нормированных переменных (у = д;/дтах, х = с/стах) подтвердил теоретически установленную возможность обобщения всех экспериментальных точек уравнением (8), в данном случае при Л = 0,2918.

В пользу соответствия теории действительным закономерностям роста свидетельствует также компактное расположение на графиках в нормированных переменных одинаковых особых точек для разных интервалов роста (рис. 2).

Заключение

Удовлетворительное совпадение с опытными данными временной (при фиксированной начальной концентрации ведущего компонента субстрата) и концентрационной (при фиксированном времени наблюдения) зависимостей показателя микробного роста д, полученных в результате решения системы уравнений, описывающих рост микробов, подтверждает справедливость вида уравнения, выбранного для константы скорости биохимической реакции/(с). Выведенные с его использованием зависимости (5) и (6), содержащие по три константы, которые являются свертками множества констант исходной модели, обобщены в уравнения соответственно (7) и (8), содержащие по одной константе, каждая из которых — свертка трех констант исходной зависимости. Этот результат находится в согласии с общепринятым представлением о том, что биохимические процессы на микроуровне, протекающие с большим числом степеней свободы в своем макропроявлении, сводятся к процессам с конечным числом степеней свободы. Полученные уравнения открывают возможности количественного анализа полных временны2 х и концентрационных кривых микробного роста.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Варфоломеев С.Д., Гуревич К. Г. Биокинетика. М., 1999.

2. Гендугов В.М., Глазунов Г.П., Евдокимова М.В., Шес-такова М.В. Макроскопическое обоснование модели микробного роста в почве // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2011. N° 2.

3. Кожевин П.А. Микробные популяции в природе. М., 1989.

4. Минкевич И. Г. Материально-энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов. М.; Ижевск, 2005.

5. Modeling microbial responses in food / Ed. by R.C. McKel-lar, X. Lu. 2004.

6. Panikov N., Bollmann A., Carey B. et al. Microbial Community of U-Poliuted Subsoil: Search for New Biore-

mediation Agents Based on In Situ Domestication and Kinetic Studies // LBNL-43E-2010 Subsurface Biogeochemical Research (SBR) Contractor-Grantee Workshop Abstracts. March 29-31, 2010 JW Marriott Hotel. Washington, DC. 2010.

7. Panikov N.S. Microbial Growth Kinetics. L,; Glasgow; Weinheim; N.Y.; Tokyo; Melbourne; Madras, 1995.

8. Polyanskaya L.M., Zvyagintsev D.G. Microbial Succession in Soil // Physiol. Gen. Biol. Rev. 1995. Vol. 9.

9. Scientific WorkPlace-4 http://www.sciword.demon.co.uk/ scientificworkplace.htm

10. SigmaPlot. http://www.sigmaplot.com

Поступила в редакцию 26.02*2012

MACROKINETIC PROVING OF A SOIL MICROBIAL GROWTH MODEL

IN A SUBSTRATE WITH A SINGLE MASTER COMPONENT

V.M. Gendugov, G.P. Glazunov, M.V. Yevdokimova, M.V. Shestakova

In the frame of nonstationary nonequilibrium approach an equation was deduced relating microbial growth in soils to the initial concentration of a master component of substrate. When the latter is invariable this equation becomes identical with the equation published earlier. When the time of growth is invariable this equation follows bell-shaped experimental curve. The equation is helpful in revelation and discrimination of microbial growth phases and stages of response on chemical impact.

Key words: microbial growth, macrokinetic model, component of substrate, soil.

Сведения об авторах

Гендугов Владимир Михайлович, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики механико-математического ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Тел.: 8 (495) 939-37-54. Глазунов Геннадий Павлович, докт. биол. наук, профессор каф. земельных ресурсов и оценки почв ф-та почвоведения МГУ им. М.В. Ломоносова. Тел.: 8 (495) 939-44-25; e-maП: Glazng@mail.ru. Евдокимова Мария Витальевна, канд. биол. наук, науч. сотр. каф. земельных ресурсов и оценки почв ф-та почвоведения МГУ им. М.В. Ломоносова. Тел.: 8 (495) 939-44-19; e-maП: та^ kae@gmail.com. Шестакова Мария Владимировна, аспирант каф. земельных ресурсов и оценки почв ф-та почвоведения МГУ им. М.В. Ломоносова. Тел.: 8 (495) 939-44-19.