Макрокинетическая модель микробного роста на многокомпонентном субстрате Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.46

МАКРОКИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОБНОГО РОСТА НА МНОГОКОМПОНЕНТНОМ СУБСТРАТЕ

В.М. Гендугов, Г.П. Глазунов

Кинетические исследования микробного роста на многокомпонентных субстратах широко используются в количественной микробиологии. Обычно в них сочетаются измерение динамики роста в функции начальных концентраций компонентов субстрата и анализ с использованием систем дифференциальных уравнений, моделирующих рост. Нелинейность этих систем является причиной преобладания численных методов их решения. В настоящей работе создана модель, описывающая рост микробных популяций на субстрате с многими компонентами. С учетом протекания произвольного числа химических и биохимической реакций в клетках и окружающем их субстрате получена аналитическая формула зависимости роста от времени и начальных концентраций компонентов субстрата.

В результате анализа этой формулы подтверждены полученные авторами ранее выводы о существовании особых точек, разделяющих динамическую кривую на фазы роста, а также установлены особые точки на кривой отклика микробного роста как функции начальных концентраций компонентов субстрата. При этом начальные концентрации компонентов субстрата входят в формулу в виде среднего геометрического значения. Справедливость выведенной аналитической формулы установлена сопоставлением с экспериментальными данными из независимого источника. Эта формула позволяет перевести на количественную основу анализ отклика микробного роста на начальные концентрации произвольного числа компонентов субстрата.

Ключевые слова: кинетика микробных популяций, динамика роста, дозовая зависимость, многокомпонентный субстрат, фазы отклика.

Введение

Исследование закономерностей отклика микробного роста на состав субстрата является основой изучения механизмов естественного отбора, выделения микроорганизмов с нужными свойствами, определения степени опасности загрязнения почвы химическими веществами. Эффективность методов, основанных на микробном отклике на воздействие, способствовала совершенствованию аппаратуры для их измерения и накоплению обширного экспериментального материала, свидетельствующего о колоколооб-разном характере графика отклика на концентрацию ведущего компонента субстрата при условии полноты его исследования [5, 6, 10, 12]. Выявление кинетических закономерностей отклика включает разработку модельного представления о его механизмах, составление системы дифференциальных уравнений, описывающих рост, решение полученной системы и сопоставление теоретической кинетической кривой с результатом эксперимента [1, 7]. Ограниченность числа известных моделей описания кинетики микробного отклика на состав субстрата [1, 10, 11] в значительной степени объясняется трудностями решения систем определяющих дифференциальных уравнений [7, 8]. Цель настоящей работы — построение модели, обобщающей ранее разработанные схемы [2—4]. В ней учитывается биохимическая реакция вместе с произвольным числом определяющих химических превращений. Полученные дифферен-

циальные уравнения динамики отклика опираются на балансовые законы.

Вывод модели. Модель строили с учетом п независимых определяющих реакций и участием веществ (/ — номер определяющей реакции; /= 1, ..., п; Л% — химический символ к-то вещества в /-й реакции; к = 1, ..., Ы), полагая, что химические превращения вещества протекают по /-й брутто-реакции

N N

X Л/кУ{к X Л/к У/к к=1 к=1

со скоростями еа биохимические — с участием всех веществ по /-й биохимической брутто-реакции

п N п N

X X Л/к И /к X X Л/к И/к ■

1=1 к=1 1=1 к=1

Здесь п — число независимых химических реакций, ук, м{к — соответственно стехиометрические коэффициенты к-го вещества Л/к до и после /-й химической реакции, и(к, И-(к — соответственно стехиометрические коэффициенты к-го вещества Л/к до и после /-й биохимической реакции.

Скорость роста микробной биомассы и изменение концентрации веществ описали соответственно балансовыми уравнениями

% = Р (С/к) q, (1)

(к = тк Ук - Ук) Щ 1,

(2)

где q — биомасса микробных клеток (кг), X — время (с), ¥(ецс) — коэффициент скорости биохимической реакции с участием Ас вещества (1/с), сс — концентрация к-го вещества (кг/кг) в 1-й реакции, тс — молекулярная масса к-го А^с вещества (кг/м3), щ — скорость протекания 1-й реакции (1/с),р — плотность системы клетки—субстрат (кг/м3).

Коэффициент скорости 1-й биохимической реакции ввели уравнением

¥ (сс) = (-хг+в) ф,

(3)

г = -

1

N

ПШ

1=1 к=1

М'к -М'к к

Ф = |-

^трЩ. (Ук - vCC)(№k - мк)

1=1

р

к=1

с к

(4)

(5)

( ш

(X

( М'к - М¡к)

с к

тк (у/к - Ук)( М ¡к - Мк) щ

с к

р

(X

1п

N

ППс

( М ¡к - М'кк)

=1 к=1

к

= • • (Ук - Ук)(мк - Мк) тк щ

=1 к=1

с к

р

Обе части данного равенства умножили на | -и внесли этот множитель под знак логарифма:

1

1п

1

N

ПП

=1 к=1

с

( М ¡к - М ¡к)

к

• ^ (Ук - Ук)(м/к - м/к) тк Щ

=1 к=1 с к

р

п

(6)

Уравнение (6) упрощается, если произвести замену с учетом (4) и (5):

(X

1п г = ф.

(7)

Разделив (1) на (7), получили , ( ,. = ¥(с' к)q и

(1п г

Ф

в котором К — коэффициент скорости увеличения биомассы, В — коэффициент скорости уменьшения биомассы,

подставили в него (3) —

(-Кг+В)Фq

(1п г

Ф

Сократив на Ф и произведя разделение переменных, получили ^ = (-Кг+В)(1п г. Это уравнение q

имеет первый интеграл 1п q = -Кг + В 1п г + 1п А, где А — константа интегрирования. Потенцируя данное равенство, получили решение в фазовом пространстве:

q=AZBe-KZ.

(8)

Имея целью решить систему уравнений (1) и (2), обе части (2) разделили на с к и в левой части полученного уравнения внесли —^ под знак производной:

с к

тк (ук - у/к) щ (1п ск =-к- р .

Обе части полученного уравнения умножили на (м/к - Мк) и в левой части нового уравнения внесли сомножитель под знак логарифма:

Цель дальнейшего поиска — конкретизация коэффициентов уравнения (8). Для ее достижения обе части уравнений (2) разделили на тк(ук - у/£) и, поскольку делители представляют собой константы, после внесения их под знак производной, получили

( (X

с к

тк (у/к - Ук)

р

Это уравнение записали для к = 1

( (X

т1(У1 - уЯ)

р

Это уравнение просуммировали по и к. Имея в виду, что сумма логарифмов равна логарифму произведения, получили:

и, вычитая его из предыдущих уравнений для I ^ 1, получили

( (X

с к

с 1

тк (у/к - Ук) ту(у/у - у1)

= 0.

Поскольку выражение в квадратных скобках для всех и к является константой (производная константы равна нулю), которая определяется из начальных условий, то

с к

с 1

тк (у/к - У/к) т\(у/\ - у/1)

с1к

с/1

тк (у/к - у/к) т\(у/\ - у/0'

п

п

п

п

В результате преобразований из этого выражения получили искомое:

с1к - ск - Ф/к(С1 - 4), (9)

о тк (у(к - у(к)

где с°к — начальная концентрация, Фгк = -

Z = ■

1

1

ГТ(d)(t)n tф^ ]!(4)

Полученное Zподставили в решение (8) и, объ-

1

ФВ

B

= а, -K-

ik

т\(у{\ - у/{) единив константы А В дальнейшем, ограничившись рассмотрением смесей, для которых начальные концентрации ск Г~"

продуктов реакции равны нулю, записали уравнение °б°значение ^ ПО - ^ получили динамики расходуемого компонента сгч в виде [1, 11]

1

Ф/к

к и введя

i=1

dci

i1

dt

= -Vi сц.

Решение этого уравнения имеет вид

- Vi

Сц = cii е~п. (10)

С учетом cak = 0 подстановка (10) в (9) дала с/к =

е-Yit - 1

Z =

1

N

ПП (ф/кф)

a Л ßik ßik

i=1 к=1

После перемножения выражения под корнем получили:

Z =

1

n N Uк

П ПФк n

i=1 к=1

П со ^- %) ^ ^(ик - ик

i=1

N

Для простоты ввели обозначение Х(и(к - №к) = : U- ¡и"и записали

Z =

и- и

ПФ

n

к

П (cJi)( и- и' )(t) 1(и/-и?)

i =1

i =1

q = а (tz) b exp [ -т I.

(11)

Нетрудно видеть, что среднее геометрическое значение начальных концентраций всех компонентов субстрата постоянно — z = const. Введя его в константы уравнения (11), легко получить формулу зависимости показателя роста от времени, как в работах [2—4].

Зафиксировав в (11) время, можно получить формулу зависимости микробного роста от z:

Предположив, что yt << 1, и ограничившись использованием первого члена разложения в ряд Тейлора, получили Cik = Okcü(1 - У/t -1) = ^{kc°i\У/t. Объединив в этом уравнении константы (-Ф/кy = Ф/к), нашли выражение для концентраций реагирующих веществ — С(к = Ф^кС^, которое подставили в уравнение (4) для Z

, -B \-ß q = а z exp|

(12)

Поскольку выражение (ц{ - ¡и") определяется сте-хиометрическими коэффициентами, оно принимает заранее не известное целочисленное значение. В качестве первого приближения приняли (и/ - и/') = 1 и, подставив его в выражение для Z, получили

где аа ) В и -¡3 - —р Для одного компонента

(z = 1) это уравнение было получено нами ранее [5].

Методика и результаты проверки модели. Формулу (12) проверяли подгонкой к независимым экспериментальным данным из работы [9]. В этой работе показателем микробного роста q в образцах двух почв, содержащих соединения металлов, как следствие давнего размещения осадка сточных вод, а также искусственного загрязнения для опытных целей, служило содержание в почве (в расчете на один грамм) углерода микробной биомассы, определенного фу-мигационно-экстракционным методом после семидневного выдерживания образцов почвы в теплице при температуре 25°. Первые семь графиков (рисунок, слева направо) отклика микробного роста на концентрации индивидуальных компонентов субстрата (углерод гумуса — С, почвенный азот — N и соединения металлов — Си, 2п, N1, Сё, Сг) дают представление о наборе значений начальных концентраций компонентов в опытных образцах почв, в рамках которого, перебирая их сочетания (табл. 1), вычисляли средние геометрические значения их начальных кон-

Г" г

центраций — z - " ПСО — для сопоставления от-

V I-1

кликам с использованием уравнения (12). Результаты проведенной с помощью пакета программ [14] подгонки модели (12) к экспериментальным данным с подстановкой в качестве независимой переменной полученных значений г, представлены для вариантов

n

n

n

1

Отклик микробного роста (д — углерод микробной биомассы) на начальные концентрации индивидуальных компонентов субстрата и на их сочетания

Таблица 1

Продолжениетабл. 1

Учтенные компоненты субстрата, коэффициент корреляции и константы уравнения (12)

Компоненты Я а' Р В

Сё Сг 0,971 2543 1,6 4

Сё 0,963 76 2,02 0,6

Сг 0,959 13134 1,2 24

Си 7п N1 Сё Сг 0,954 14100 1,4 15

Си 7п N1 Сё 0,952 13911 1,5 14

Компоненты Я а' Р В

Си 7п N1 Сг 0,942 22632 1,2 33

Си 7п N1 0,935 25592 1,2 36

С N Си 7п N1 Сё Сг 0,934 2469497 1,9 122

Си N1 Сё Сг 0,915 1111 0,8 4

С Сг 0,905 2040407064 2,3 1336

7п N1 Сё Сг 0,904 26538 1,7 16

С Сё 0,877 457581766 2,9 198

Окончание табл. 1

Компоненты Я а' Р В

7п Сг 0,870 9828 0,5 559

Си гп са Сг 0,870 1501 0,8 7

Си N1 0,863 1229 0,6 9

N1 са сг 0,850 464 0,7 2

Си гп сг 0,847 1654 0,6 15

Си Сг 0,838 286 0,3 0,0000000011

гп N1 Сг 0,825 10715 1,1 28

Си Са 0,824 149 0,3 0,0000000011

Си гп Са 0,822 681 0,6 4

гп N1 Са 0,811 4611 1,3 8

N1 Сг 0,786 286 0,3 0,000000001

N1 Са 0,778 141 0,4 0,000000007

Си гп 0,773 671 0,4 9

гп Са 0,746 2438 1,2 6

С Си 0,716 985 0,3 0,0000001

Си 0,716 195 0,2 0,000000007

гп N1 0,681 329 0,3 0,000000003

С N1 0,626 1152 0,4 0,000000058

N 0,612 15197833869 2,3 2963

С гп 0,566 1658 0,4 0,000000003

С N 0,565 14667055087 2,0 8465

N1 0,545 166 0,2 0,000000028

гп 0,520 283 0,2 0,000000026

С 0,506 13860839526 1,8 24842

с Я > 0,5 в порядке убывания коэффициента корреляции (табл. 1). В ходе регрессионного анализа установлено, что гипотезы (при доверительной вероятности 0,95) о нормальности распределения экспериментальных величин относительно модельных, однородности их дисперсий и независимости остатков, согласно оценкам с использованием критериев Колмогорова—Смирнова, Спирмена и Дурбина—Ватсона соответственно, подтвердились во всех приведенных случаях. Это дает основание утверждать, что уравнение (12) пригодно для описания отклика микробного роста на сочетания начальных концентраций компонентов субстрата в опытах из работы [9].

Исследование модели. Из анализа уравнения (12) следует, что при стремлении независимой переменной г к нулю его правая часть также стремится к нулю. Поэтому в точке г = 0 величина q доопределяется значением q =0, что не противоречит общебиологическим представлениям [1]. При стремлении независимой переменной к бесконечности правая часть (12) стремится к нулю, что также не противоречит общебиологическим представлениям. Поэтому графики (12) как имеющие на концах одинаковые ординаты, согласно теореме Ролля, должны иметь экстремумы, что и подтверждается экспериментальными данными (рисунок) в тех случаях, когда экспериментальные точки оказываются по обеим сторонам теоретического максимума (на трех графиках теоретические максимумы не показаны по причине неудобства требуемого масштаба).

Таблица 2

Кинетические характеристики зависимости q = / (?)

Результирующая концентраций учтенных компонентов субстрата — особая точка Диапазон q dq dz d ^ dz 2

¿0 — начала наблюдения 20 <г < г1 +Т +Т +Т

г1 — наибольшей вогнутости слева от максимума г1 <г < г2 +Т +Т + X

г2 — перегиба слева от максимума г2 < г < г3 +Т + X — X

г3 — наибольшей выпуклости слева от максимума г3<г < г4 +Т + X —Т

г4 — максимума г4 < г < г5 + X — X —Т

г5 — перегиба справа от максимума г5 <г < гб + X —Т +Т

г6 — наибольшей вогнутости справа от максимума гб < г + X —Т + X

Примечание^ — показатель микробного роста, dq/dz— скорость изменения q при изменении г, d2q/dz2 — ускорение изменения q при изменении г, + — функция положительна, --функция отрицательна, Т — функция растет, X — функция убывает.

Таблица 3

Результирующие ? (мг/кг) начальных концентраций учтенных компонентов почвы в особых точках графика q = / (?) для некоторых компонентов и их сочетаний

Учтенные компоненты субстрата г1 г2 г3 г4 г5 г6

Си гп N1 Сё Сг 2,18 3,80 5,56 10,71 17,63 24,41

С N Си гп N1 Са Сг 16,02 26,50 38,07 64,21 101,91 138,53

Са Сг 0,56 0,95 1,38 2,50 4,05 5,56

Са 0,08 0,13 0,18 0,30 0,47 0,63

Сг 3,64 6,54 9,66 20,39 34,24 47,88

Графики (12) характеризуются шестью особыми точками каждый (табл. 2), находимыми анализом производных общепринятыми методами математического анализа, в нашем случае — с использованием пакета прикладных программ [13]. Эти особые точки делят ось концентраций на семь диапазонов с различающимися показателями «кинетики» в фазовом пространстве зависимости роста от результирующей г начальных концентраций учитываемых компонентов (табл. 3).

Результаты и их обсуждение

Получена аналитическая формула (11) зависимости показателя микробного роста от среднего геометрического значения начальных концентраций компонентов субстрата для произвольного момента времени от начала наблюдения над ростом. При фиксировании концентраций формула сводится к виду, полученному

и проверенному авторами на эскспериментальном материале ранее в работах [2—4]. При фиксировании времени формула сводится к виду (12). Проверка этой формулы на надежном экспериментальном материале [9] показала, что она дает реалистичные результаты при всевозможных сочетаниях учитываемых компонентов. При этом компоненты, не учитываемые явно, учитываются неявно — в значениях коэффициентов. С использованием (12) удается выявить ведущие компоненты и их сочетания, в данном случае — соединения кадмия и хрома.

Согласно (11), при фиксированном времени наблюдения показатель роста q закономерно изменяется с ростом среднего геометрического значения начальных концентраций учтенных компонентов субстрата ^ сначала увеличиваясь, а по миновании максимума — убывая, асимптотически приближаясь к нулю. При этом вся кинетическая кривая отклика микробного роста на начальный состав компонентов субстрата особыми точками делится на фазы, различающиеся (табл. 2, 3) показателями кинетики (знаком и направлением изменения функций, описывающих показатель роста, «скорость» его изменения и «ускорение» его изменения).

Выводы

Удовлетворительное совпадение с опытными данными концентрационной (при фиксированном времени наблюдения) зависимости показателя микробного роста q, полученной в результате формулирования и решения системы уравнений, описывающих рост микробных популяций в функции начальных концентраций произвольного числа компонентов субстрата, подтверждает справедливость вида уравнения, выбранного для константы скорости биохимической реакции F(ск). Выведенные с его использованием формулы содержат по три константы, являющиеся свертками множества констант и стехиометрических коэффициентов химических и биохимических реакций. Этот результат находится в согласии с общепринятым представлением о том, что химические и биохимические процессы, на микроуровне протекающие с большим числом степеней свободы, в своем макропроявлении сводятся к процессам с конечным числом степеней свободы. Полученные формулы открывают возможности количественного анализа полных вре-менньи кривых и кривых отклика микробного роста на начальный состав субстрата с произвольным числом компонентов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Биокинетика: Учеб. пособие / Под ред. С.Д. Вар-фоломеева, К.Г. Гуревича. М., 1999.

2. Гендугов В.М., Глазунов Г.П., Евдокимова М.В. Макрокинетика микробных популяций в почве // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2010. № 3.

3. Гендугов В.М., Глазунов Г.П., Евдокимова М.В. Макрокинетика роста и отмирания микробов в почве // Микробиология. 2011. Т. 80, № 4.

4. Гендугов В.М., Глазунов Г.П., Евдокимова М.В., Шес-такова М.В. Макрокинетическое обоснование модели микробного роста в почве // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2011. № 2.

5. Гендугов В.М., Глазунов Г.П., Евдокимова М.В., Шес-такова М.В. Макрокинетическое обоснование модели микробного роста при одном ведущем компоненте субстрата // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 17. Почвоведение. 2012. № 2.

6. Кожевин П.А. Микробные популяции в природе. М., 1989.

7. Минкевич И.Г. Стехиометрия метаболических путей в динамике клеточных популяций // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 4.

8. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. Ижевск, 2004.

9. Baath E, Diaz-Ravina M, FrostegdarAr., Campbell C.D. Effect of Metal-Rich Sludge Amendments on the Soil Microbial Community//Appl. Environ. Microbiol. 1998. Vol. 64(1).

10. Modeling microbial responses in food / Ed. by R.C. McKellar, X. Lu. 2004.

11. Panikov N.S. Microbial Growth Kinetics. L.; Glasgow; Weinheim; N.Y.; Tokyo; Melbourne; Madras, 1995.

12. Polyanskaya L.M., Zvyagintsev D.G. Microbial Succession in Soil // Physiol. Gen. Biol. Rev. 1995. Vol. 9.

13. Scientific WorkPlace-4. URL: http://www.sciword.de-mon.co.uk/scientificworkplace.htm

14. SigmaPlot. URL: http://www.sigmaplot.com

Поступила в редакцию 17.06.2012

MACROKINETIC MODEL OF MICROBIAL GROWTH

ONMULTICOMPONENT SUBSTRATE

V.M. Gendugov, G.P. Glazunov

Kinetic studies of microbial growth on complex substrates are widely used in quantitative microbiology. They include measurements of microbial growth as a function of initial concentrations of substrate components and growth modelling with the use of differential equations. Due to non-linearity these equations are usually solved numerically. In this paper analytical model of microbial growth on a complex substrate is presented. Based on arbitrary number of chemical and biochemical reactions taking place in substrate and microbial cells a formula was deduced relating microbial growth

to initial concentrations of substrate components and time. Analysis of the formula reaffirmed our previous finding of singular points, separating the growth curve into phases of growth, and for the first time revealed singular points, separating dose-response curve into phases, provided that time is constant and geometrical mean concentration is used. The formula was checked against independent experimental data. The formula makes possible quantitative analysis of dose-response curves for unlimited number of substrate components.

Key words: kinetics of microbial populations, growth dynamics, dose response curve, multicom-ponent substrate, response phases.

Сведения об авторах

Гендугов Владимир Михайлович, канд. физ-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. волновой и газовой динамики механико-математического ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. E-mail: gen-doygov@bk.ru. Глазунов Геннадий Павлович, докт. биол. наук, профессор каф. земельных ресурсов и оценки почв ф-та почвоведения МГУ им. М.В. Ломоносова. Тел.: 8 (495) 939-44-25; e-mail: glazng@mail.ru.