Моделирование периодического процесса микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 574.6.663.1

Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА С НЕЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИКОЙ РОСТА МИКРООРГАНИЗМОВ

Введение

Информационные технологии для биотехнологических процессов базируются на использовании математических моделей для описания микробиологического синтеза. Сложность разработки и использования математических моделей заключается в выборе адекватного описания кинетики процесса, которое должно учитывать одновременно протекающие процессы на микроуровне (в клетках), в микробных популяциях и макроуровне (массо- и теплообмен в аппарате, гидродинамическая обстановка и т. п.). Невозможность чёткого разделения явлений и, как следствие, их математического описания приводит к необходимости проводить приближённую оценку влияния различных уровней взаимодействия и использовать относительно простые математические модели кинетики. Это, безусловно, связано с потерей информации и неучётом возможностей технологических процессов для их оптимальной организации, оценки устойчивости, оценки возникновения множественности состояний и др. Усложнение кинетических соотношений приводит к нелинейным зависимостям скорости процесса от концентрации субстрата, ингибиторов синтеза и др. В то же время использование нелинейных кинетических соотношений создаёт возможности прогнозировать протекание процессов, оценка результатов которых часто или затруднительна, или невозможна в экспериментальных исследованиях.

Моделирование процесса синтеза в периодических условиях протекания

Условия процессов синтеза на практике реализуются в основном в виде следующих режимов - периодического, полунепрерывного и непрерывного. Хотя наиболее предпочтительным является непрерывный режим, периодический, в силу ряда причин, пока самый распространенный. В настоящем сообщении периодическому режиму будет уделено основное внимание.

Рассматривается процесс синтеза, реализуемый в ферментере с перемешиванием, в который единовременно загружаются все компоненты, необходимые для синтеза. Длительность процесса определяется моментом времени В результате синтеза оцениваются концентрации субстрата, биомассы и целевого продукта. Особенностью процесса является нелинейная зависимость скорости роста от концентрации субстрата.

Количественная оценка результата синтеза осуществляется показателем производительности по целевому продукту с единицы объёма аппарата - Qp, г/(л ■ ч).

Расчет показателя производительности производится по формуле

где Р(^к) - концентрация продукта Р в конце процесса синтеза, г/л; ^ - время синтеза, ч.

При моделировании использовано кинетическое соотношение, обсуждаемое в ряде

где - максимальная удельная скорость роста, ч-1; Рт - константа насыщения продукта, г/л; Кт - константа насыщения субстрата, г/л; К - константа ингибирования, г/л; Р - концентрация продукта, г/л; S - концентрация субстрата, г/л.

1 Данный вид соотношения широко используется при описании кинетики получения молочной кислоты. Кинетические соотношения отличаются лишь формой учёта влияния концентрации продукта Р.

2р = )/(к

(1)

публикаций [1-5]1:

(2)

Уравнения математической модели записаны для трех составляющих: концентрации микробиологической массы -Х, г/л; концентрации субстрата - S, г/л; концентрации продукта - Р, г/л:

-X

-Л =тХ;

-Я 1

------т X;

аг Ухі$

— = (а-т+р)-X,

(3)

где Ух/Я - стехиометрический коэффициент, определяющий соотношение между количеством клеток и потребленным количеством субстрата, г/г; а, г/г и Ь, ч-1 - параметры, определяющие выход продукта; t - время процесса (от 0 до ^), ч.

Начальные условия для системы уравнений (3) имеют вид: при t = 0 X=ХН (концентрация засевной биомассы); Я = « (концентрация субстрата); Р = 0 (концентрация продукта).

При моделировании использовались численные значения параметров, приведенные в [1-3] (табл. 1).

Таблица 1

Численные значения параметров

УХ№, г/г а г/г Р, ч-1 тт, ч 1 Рт, г/л Кт, г/л Кі, г/л

0,4 2,2 0,2 0,48 50 1,2 22

Изменение концентрации компонентов во времени показано на рис. 1 для разных значений начальных концентраций субстрата.

Я, X, Р, г/л Я, X, Р, г/л

30

25

20

15

10

60

- / 50 - ,

}

У 40 /

- 30 -

- ус 20 - X

ух /х ^

10 0

10 15 20 0 5 10 15 20 25 30 35

1,4 ^ I, Ч

а Ь

Рис. 1. Решение системы уравнений (3): а - при Яу = 20 г/л: 4 = 20 ч; Qр = 1,342 г/(л • ч); б - при Яу = 40 г/л: 4 = 34,94 ч, Qр = 1,432 г/(л • ч)

Время завершения процесса ґк определялось одним из условий:

- моментом полного исчерпывания субстрата, т. е. Я = 0;

- моментом достижения концентрации продукта Р = Рт.

Каждое из этих условий отвечает значению скорости роста т = 0, т. е. прекращению процесса синтеза.

Как уже отмечалось ранее, производительность по целевому продукту Qр рассчитывалась по соотношению (1).

На рис. 1, а показано, что за время синтеза (ґ = ґк) субстрат исчерпывается полностью (Я = 0). В то же время на рис. 1, б при времени ґ = ґк имеется остаточный субстрат, а концентрация целевого продукта достигает максимального значения (Р = Рт). При этом производительность Qр отличается от показателя на рис. 1, а незначительно, а время синтеза отличается приблизительно в 1,5 раза.

На рис. 2 приведены результаты моделирования по оценке величины Qр в зависимости от начальной концентрации субстрата. Время завершения процесса ^ для каждой рассчитанной точки на рис. 2 указано в скобках.

Рис. 2. Зависимость производительности по целевому продукту Р с единицы объёма реактора от начальной концентрации субстрата Я/. В скобках указано время ферментации в часах

Результаты моделирования подчёркивают две особенности процесса.

Во-первых, существует начальная концентрация субстрата Я/, при которой производительность ферментера достигает максимального значения.

Во-вторых, для любой начальной концентрации субстрата (кроме отвечающей максимуму Qр) существует другая начальная концентрация, обеспечивающая такую же величину производительности.

Интересно отметить, насколько меняются показатели процесса при обеспечении одинаковой производительности Qр(tк) для двух разных значений начальной концентрации. Результаты расчёта показаны в табл. 2 для Qр(tк) = 1,51 г/(л ■ ч).

Таблица 2

Показатели процесса для производительности Qр(tк) = 1,51 г/(л • ч) для начальных концентраций субстрата Я/ 25 и 37 г/л

Sf, г/л «к, ч S, г/л Х, г/л Р, г/л 1Р /г сЗ

25 24,35 0,0 10,1 36,93 1,51

37 33,10 7,839 7,84 50,00 1,51

На рис. 3 приведены результаты моделирования изменений показателей процесса в зависимости от начальной концентрации субстрата Я/. Здесь же приведена зависимость производительности Qp от начальной концентрации субстрата. В верхней части рис. 3 отмечено время ферментации в часах. Из рис. 3 следует, что в области начальной концентрации Я/» 30 г/л субстрат в процессе исчерпывается полностью. При Я/> 30 г/л в аппарате всегда остаётся неиспользованный субстрат, при этом концентрация продукта достигает максимального значения.

(14,1) (16,79 (1ЗД (23?9 (29,89 (32ДІІ) (34# (ЗВД>

50

■Й 40 І—і

сег

30

ьч

20

10

- 1

- 1 р У \ і і

. 1 уТ : : :

і і і і £

і ^ і—і , УҐ

1 1 1 І

10 15 20 25 30 35 40 45

г/л

Рис. 3. Результаты моделирования изменений показателей процесса в зависимости от начальной концентрации субстрата Яу

При оценке работы ферментера по показателю производительности, как отмечалось ранее, существует неединственность режима с одинаковой производительностью, но с разным временем ферментации. При этом наблюдается и слабо выраженный экстремум по концентрации биомассы X.

На рис. 4 и 5 показаны кривые фазового перехода системы по показателю производительности от начальной концентрации субстрата к конечной.

На рис. 4, а показана кривая фазового перехода Qp, г/(л • ч), от начальной концентрации субстрата Яу = 25 г/л к конечной Яу = 0,0 (окончание процесса при ^ = 24,35 ч) при максимальной удельной скорости тт = 0,48 ч-1. На рис. 4, б показана подобная фазовая траектория для Яу = 37 г/л (окончание процесса при ^ = 33,10 ч).

Стрелка на рисунках показывает направление движения системы. Сопоставление фазовых траекторий на рис. 4, а и 4, б подтверждает неоднозначность результата процесса при более высоких начальных концентрациях субстрата.

Ор, г/(л■ ч) Єр,г/(л-ч)

2

1,5

0,5

2

Ч 1,5

\ч 1 \

" \ 0,5 " \

і , N 0 1 1 її

10 20 30 10 20 30 40

£ г/л £, г/л

а 6

Рис. 4. Кривые движения системы по показателю производительности Qp, г/(л-ч) при = 0,48 ч-1: а - от начального состояния (Бу = 25,0 г/л; X = 0,1 г/л; Р = 0,0 г/л) до конечного (Я = 0,0 г/л); б - от начального состояния (Бу = 37,0 г/л; X = 0,1 г/л; Р = 0,0 г/л)

до конечного (Б = 7,84 г/л)

Такой же результат получается при значении mm = 0,52 ч 1 (рис. 5).

Qp, г/(лч)

2

1.5

1

0.5

10 20 30 40

S, г/л

Рис. 5. Кривая движения системы от начального состояния (Sf = 37,0 г/л; X = 0,1 г/л; P = 0,0 г/л) до конечного (S = 6,67 г/л) при = 0,52 ч-1 по показателю производительности Qp, г/(л • ч)

Вторая ветвь на рис. 4, б и 5 показывает, что движение системы с некоторого значения S может быть в одном направлении, но по двум траекториям.

Заключение

Анализ результатов моделирования процесса микробиологического синтеза в периодических условиях функционирования показал следующее. Для любых заданных начальных условий (концентраций субстрата, микробной массы, продукта) показатели процесса по его завершении всегда носят однозначный характер.

В то же время, если к процессу предъявляются требования по повышению эффективности (в рассмотренном варианте - обеспечение заданной или максимальной продуктивности), возникают условия неоднозначности, которые необходимо прогнозировать. В этом случае требуется учитывать по крайней мере три фактора. Прежде всего, это показатель продуктивности Qp, далее - время достижения этого значения продуктивности ^ и количество остаточного субстрата при завершении процесса S(tH). Для получения этих оценок необходимо использовать уравнения модели с заданными требованиями к результатам процесса и алгоритмы расчётов, отвечающие конкретным постановкам задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Henson M. A., Seborg D. E. Nonlinear control strategies for continuous fermentors // Chem. Eng. Sci. -1992. - N 47. - P. 821-835.

2. McLain R. B., Kurtz M. J., Henson M. A. Habituating control for nonsquare nonlinear Processes // Ind. Eng. Chem. Res. - 1996. - N 35. - P. 4067-4077.

3. Ruan L., Chen X. D. Comparison of several periodic operations of a continuous fermentation process // Bio-technol. Prog. - 1996. - N 12. - P. 286-288.

4. Saha P., Partwardhan S. C., Ramachandra Rao V. S. Maximing productivity of a continuous fermenter using nonlinear adapting optimizing control // Bioprocess Engineering. - 1999. - N 20. - P. 15-21.

5. Гордеева Ю. Л, Винаров А. Ю, Ивашкин Ю. А. Численное моделирование статики непрерывного ферментативного процесса в аппарате с перемешиванием // Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-21): c6. тр. XXI Междунар. конф., 27-30 мая 2008 г. - Саратов, 2008. - Т. 6. - С. 109-110.

Статья поступила в редакцию 23.11.2010

MODELING OF PERIODIC PROCESS OF MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS WITH NONLINEAR KINETICS OF MICROBIAL GROWTH

Yu. L. Gordeeva, Yu. A. Ivashkin, L. S. Gordeev

An element of information technologies basis for biotechnology processes- mathematical modeling of microbial synthesis in periodic culture conditions is considered in the paper. The nonlinear kinetic dependence of microorganism growth on the substrate concentration is the main specific feature of these processes. It is shown that the existence of two regimes with different initial substrate concentration providing the same performance is possible if the target product performance in the system is used as a process characteristic. Besides, there is a possibility to select the initial substrate concentration for maximum value of the target product reaching. Estimations of the process duration are done for two conditions, when the substrate is exhausted completely, and when the limit values of product concentration is reached.

Key words: informatics, biotechnology, periodic processes, nonlinear kinetics, mathematical modeling.