Устойчивость стационарных состояний процесса микробиологического синтеза Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. Л. Гордеева, В. М. Емельянов, Л. С. Гордеев

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ ПРОЦЕССА МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

Ключевые слова: микробиологический синтез, стационарное состояние, устойчивость.

Получены соотношения для оценки устойчивости стационарных состояний процесса микробиологического синтеза. В основу положены кинетические зависимости для удельной скорости роста биомассы, расходования субстрата и получения продукта. Приведены численные результаты для некоторых стационарных состояний. Результаты оценки соответствуют понятию устойчивости по Ляпунову.

Keywords: microbiological synthesis, steady state, stability.

The equations have been received to evaluate the steady state of the process of microbiological synthesis. These relationships are derived from kinetic models of biomass specific growth rate, consumption of the substrate and product processing. The numerical results for some of the stationary states are presented in this report. The results correspond to Lyapunov stability concept.

Оценка устойчивости стационарных состояний процесса микробиологического синтеза в непрерывных условиях функционирования необходима для разработки и реализации системы управления ферментера. Так, если стационарное состояние устойчиво, система управления фактически должна обеспечивать стабилизацию входных переменных. В противном случае, необходимо обеспечивать условия стационарного состояния, которое при наличии возмущений, может привести к отклонениям от требуемых показателей процесса. Оценка стационарных состояний осуществляется в результате решения уравнений математической модели процесса. В работах [1, 2, 3] рассмотрены вопросы расчета стационарных состояний для процесса с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Нелинейные соотношения не дают возможности аналитически интегрировать уравнения математической модели. Численное решение не позволяет заранее прогнозировать число стационарных состояний и показатели процесса при различном наборе численных значений кинетических параметров. Поэтому наиболее приемлемым вариантом исследования устойчивости является использование качественной теории

дифференциальных уравнений, разработанной А. М. Ляпуновым, с последующим использованием этой теории применительно к общей проблеме устойчивости.

Математическая модель

В настоящем сообщении рассматривается математическая модель процесса, уравнения которой для непрерывных условий функционирования имеют вид [4]:

dX

-dj- = F1 (X,S,P) = -DX + цХ; dS

dS 1

— = F2 (X,S,P)=-D(Sf - S)--— цХ;

dt

Y,

(1)

(2)

СР

Ср = Рз (,Б,Р) = -РР + (ац + р)Х,

СИ (3)

где X, Б, Р - концентрация биомассы, субстрата и

продукта, соответственно, г/л; Sf - концентрация

субстрата в поступающем потоке, г/л; Р - величина

протока, ч-1; Р=у/У, у - объемная скорость потока

через ферментер, м3/ч; V - объем заполнения

ферментера, м3; ц - удельная скорость роста

биомассы, ч ; Ух/8, а, р - константы; 1 - время, ч.

Удельная скорость роста имеет вид:

ц

= Цт (1 - P/Pm)

S

Km + S + S2/^

(4)

где цт - максимальная удельная скорость роста, ч ; Рт - константа насыщения продукта, г/л; Кт -константа насыщения субстрата, г/л; К - константа ингибирования, г/л; Р - концентрация продукта, г/л; Б - концентрация субстрата, г/л.

Оценка устойчивости стационарных состояний в малом (по Ляпунову) осуществляется с использованием линеаризованной системы уравнений (1)-(3), коэффициенты которой рассчитываются по результатам решения стационарной задачи, т.е. по результатам решения системы уравнений:

F-, = -DX + цХ = 0 ;

F2 = D(Sf - S)-------------------— цХ = 0

Y,

x/s

F3 = -DP + (ац + p)X = 0 .

(5)

(6) (7)

решения

Результаты аналитического приведены в работах [2, 3].

Условия устойчивости по Ляпунову

Линеаризованная система уравнений (1)-(3) имеет вид:

x/s

“dj1 = 3-5- + Ьі§2 + с-5з;

(8)

сі52

dt

С5.

dt

— ас5- + Ь252 + Сс5з;

!- — Эз5! + Ьз52 + С35з .

(9)

(10)

где 51, 5 2, 5 з - малые отклонения от стационарных

состояний по X, Б и Р, соответственно.

Коэффициенты уравнений (8)-(10) рассчитываются с использованием разложения функций Р1, Р2 и Р3 в ряд Тейлора в малой окрестности стационарных состояний с использованием членов разложения, включающих приращения первого порядка. Таким образом, коэффициенты а^ Ь^ С вычисляются по соотношениям:

Э, —

5Х

;ь,—|^

1 'дБ

;с, —

5^

5Р

, — 1, 2, 3 .(11)

Частные производные (11) вычисляются для стационарных условий. Формулы для вычисления коэффициентов Эь Ьь c¡ приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Соотношения

коэффициентов уравнений (11)

для расчета

Коэффициент Расчетная формула

а- 0

Ь- □ХстФст )КтКк;Б2т Н-тК,Бст

с- ° X Рт-Рст ст

а2 й Ух/е

Ь й 0 х ы(б )КтК; -Бст Ух/з ст 1 ЦтК,Б2т

С2 0 X У (р Р )ст 1 ж/э V, т гст /

Эз ай + р

Ь со К К б2 айХстЫ(Бст )КтК; Бст ЦтК,Б2т

Сз Н х° О Ч-" 8аР 1 а і

М(БСт) КБст Цт КтК; + К,Бст + Б2т

Начальные условия для (8)-(10) имеют вид: при 1=0 51 = 50; 52 = 52; 53 =50 , (12)

где 50, 50, 53 - малые возмущения (малые

отклонения от стационарного состояния в начальный момент времени).

В соответствии с качественной теорией дифференциальных уравнений система (8)-(10)

приводится к одному дифференциальному уравнению третьего порядка:

Ро

Сз51

С251 С51 „ „

- + р2 “С^ + рз51 — 0

(13)

где Р0 = Ь1; Р1 = [- (в1Ь1 + М2) - (сзЬ - С1Ьз)];

Р2 = [- (М1Ь1 - М2Э1) - Ьз (а^ + М3 ) + Сз (а^ + М2)] р3 = [- а3А - Ь3 (М1С1 - М3Э1) + С3 (М1Ь1 - М2Э1)];

М1 = Ь1а2 + С1аз ; М2 = Ь1Ь2 + С1Ь3 ; Мз = Ь1С2 + С1С3; А = МзЬ — М2С1.

Необходимое и достаточное условие устойчивости для дифференциальных уравнений третьего порядка получено И. А. Вышнеградским и, независимо, К. Максвеллом [5]:

Р, > 0 ; Д —

Рі Ро Рз Р2

> 0. (14)

устойчивости

Численная оценка стационарных состояний

Для численной оценки устойчивости выбраны три стационарных состояния.

Первые два стационарных состояния отвечают одинаковому значению продуктивности по целевому продукту ОР=йР. Третье стационарное состояние отвечает максимальному значению продуктивности.

Первое стационарное состояние: й=0,15 ч_ Бг=25 г/л; Бст=5,89 г/л; Хст=7,64 г/л; Рст=27 г/л; ОР=4,05 г/(л ч).

Второе стационарное состояние: й=0,15 ч_ Бг=23,6 г/л; Бст=4,48 г/л; Хст=7,64 г/л; Рст=27 г/л; ОР=4,05 г/(л ч).

Для приведенных стационарных состояний данные получены из решения уравнений (4)-(7) для численных значений параметров из таблицы 2.

Таблица 2 - Численные значения параметров

-і

-і

Ух/Б, а, Р’, Цт, Рт, Кт, К;,

г/г г/г -1 ч -1 ч г/л г/л г/л

0,4 2,2 0,2 0,48 50 1,2 22

На рис. 1 и 2 показаны кривые переходных процессов в окрестности стационарных состояний 1 и 2, соответственно, при следующих начальных условиях (величинах возмущений):

50 =52 =53 = 0,1.

Стационарное состояние для максимального значения продуктивности получено из решения оптимальной задачи, где в качестве критерия оптимальности использовалась величина ОР, а параметрами оптимизации были й и Б^ При этом решалась система уравнений:

— 0; 5^ — о.

5БГ

(15)

ст

ст

0,20

Заключение

1,4

Рис. 1 - Кривые переходных процессов в

окрестности стационарного состояния 1

Рис. 2 - Кривые переходных процессов в

окрестности стационарного состояния 2

Третье стационарное состояние [4]: й=0,1636 ч-1; Бг=23,4 г/л; Бст=5,14 г/л; Хст=7,3 г/л; Рст=25 г/л; тахОР=4,09 г/(л ч).

На рис. 3 показаны кривые переходных процессов в окрестности стационарного состояния 3. Начальные условия приняты следующие:

50 =52 =53 = 0,1.

Рассмотрена методология оценки устойчивости стационарных состояний для процесса микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Результаты численного моделирования показали, что для рассчитанных устойчивых стационарных состояний длительность переходных процессов примерно в 6-7

раз превышает среднее время пребывания т = V / V . Показатели устойчивости стационарных состояний зависят от численных значений кинетических параметров.

Литература

1. Kumar, G. P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / G. P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya Sastry, M. Chidambaram // Can. J. Chem. Eng. - 1993. - № 71. - P. 766769.

2. Ruan, L. Comparison of several periodic operations of a continuous fermentation process / L. Ruan, X. D. Chen // Biotechnol. Prog. - 1996. - № 12. - P. 286-288.

3. Гордеева, Ю. Л. Моделирование процесса непрерывной ферментации с нелинейной кинетикой роста / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев // Вестник МИТХТ. - 2011. - № 2. - С. 94-97.

4. Saha, P. Maximing productivity of a continuous fermenter using nonlinear adapting optimizing control / P. Saha, S. C. Partwardhan, V. S. Ramachandra Rao // Bioprocess Engineering. - 1999. - № 20. - P. 15-21.

5. Фельдбаум, А. А. Теоретические основы связи и управления / А. А. Фельдбаум, А. Д. Дудыкин, А. П. Мановцев, Н. Н. Миролюбов. - М.: Госуд. изд. физ-мат лит. 1963. - 932 с.

Рис. 3 - Кривые переходных процессов в

окрестности стационарного состояния 3

© Ю. Л. Гордеева - канд. техн. наук, доц. каф. компьютерных технологии и систем Московского государственного университета пищевых технологий, [email protected]; В. М. Емельянов - д-р. техн. наук, зав. каф. химической кибернетики КНИТУ, [email protected]; Л. С. Гордеев - д-р техн. наук, проф. каф. кибернетики химико-технологических процессов Российского химико-технологического университет им. Д.И. Менделеева, [email protected].