Научная статья на тему 'Алгоритмы обеспечения реальных условий множественности в процессах микробиологического синтеза при заданной величине протока'

Алгоритмы обеспечения реальных условий множественности в процессах микробиологического синтеза при заданной величине протока Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
76
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ / МИКРОБИОЛОГИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ / МНОЖЕСТВЕННОСТЬ / АЛГОРИТМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВЕННОСТИ / СТАЦИОНАРНОЕ СОСТОЯНИЕ / ВЕЛИЧИНА ПРОТОКА / ПРОДУКТИВНОСТЬ / BIOTECHNOLOGICAL PROCESSES / MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS / MULTIPLICITY / ALGORITHMS OF MULTIPLICITY ENSURING / STEADY STATE / DILUTION RATE / PRODUCTIVITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гордеева Юлия Львовна, Меньшутина Наталья Васильевна, Гордеева Елена Львовна, Комиссаров Юрий Алексеевич

Разработаны алгоритмы и приведены результаты расчета показателей стационарных состояний для обеспечения реальных условий множественности, учитывающие технологические ограничения и требования. Алгоритмы включают процедуры оценки необходимых условий возникновения множественности и оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности при заданной величине протока. Рассмотрены два алгоритма, ориентированные на два вида технологической постановки задачи. В первом алгоритме задана величина продуктивности по целевому компоненту Qp. Собственно задание продуктивности подчиняется условию Qp < max Qp, где max Qp предварительно вычисленное значение продуктивности в оптимальных условиях. Таким образом, первый алгоритм включает в качестве составляющей части вычисление максимального значения продуктивности. Во втором алгоритме заданы показатели первого стационарного состояния, по которым определяются показатели второго стационарного состояния для одного и того же значения продуктивности. При этом необходимо вычислить координату оптимального состояния. Получены численные результаты реализации алгоритмов. По первому алгоритму для величины протока D = 0,15ч-1: max Qp = 4,061 г/(л · ч); Qp = 3,5 г/(л · ч); первое стационарное состояние: = 30,116 г/л; S 1 = 13,606 г/л; X 1 = 6,604 г/л; P 1 = 23,333 г/л; второе стационарное состояние: = 18,450 г/л; S 2 = 1,940 г/л; X 2 = 6,604 г/л; P 2 = 23,333 г/л. Отмечено, что стационарные состояния различаются только двумя показателями, а именно Sf и S. Аналогичный расчет выполнен для D = 0,26ч-1. По второму алгоритму вычисления выполнены для D = 0,15 ч-1: = 47,848 г/л; = 24,296 г/л. Первое стационарное состояние получено для = 32,99 г/л: S 1 = 18,839 г/л; X 1 = 5,66 г/л; P 1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л ч). Второе стационарное состояние получено для = 15,55 г/л: S 2 = 1,401 г/л; X 2 = 5,66 г/л; P 2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л · ч). Аналогичный расчет выполнен для случая, когда первое стационарное состояние определено значением = 20,0 г/л.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гордеева Юлия Львовна, Меньшутина Наталья Васильевна, Гордеева Елена Львовна, Комиссаров Юрий Алексеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ALGORITHMS ENSURING THE REAL CONDITIONS OF MULTIPLICITY IN THE MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS PROCESSES AT THE GIVEN DILUTION RATE

The algorithms are developed and the results of calculating the steady state parameters for real conditions of multiplicity, taking into account the technological limitations and requirements, are presented. The algorithms include the assessment of necessary conditions of occurrence of multiplicity and the assessment of the parameters of the steady states in the context of multiple for the given dilution rate. Two algorithms focused on two types of technological formulation of the problem are considered. According to the first case the value of productivity on the target component Qp is known. The value of productivity is defined from the condition Qp < max Qp, where max Qp previously computed value of productivity in optimal conditions. Thus, the first algorithm includes the part of the calculation of the maximum values of productivity. According to the second case the parameters of the first stationary state are known to compute the parameters of the second stationary state for the same values of productivity. Thus, it is necessary to calculate the coordinate of the optimal state. The numerical results of the algorithms have been obtained. For the first algorithm for the dilution rate D = 0.15 h-1: max Qp = 4,061 g/(l · h); Qp = 3.5 g/(l · h); the first stationary state: = 30.116 g/l; S 1 = 13.606 g/l; X 1 = 6,604 g/l; P 1 = 23.333 g/l; the second stationary state: = 18,450 g/l; S 2 = 1.940 g/l; X 2 = 6,604 g/l; P 2 = 23.333 g/l. It is noted that the stationary state differ by only two parameters, namely Sf and S. A similar calculation is performed for D = 0.26 h-1. According to the second algorithm the calculation is executed for D = 0,15 h-1: the limit value Sf = 47,848 g/l; = 24.296 g/l; the first stationary state obtained for = 32,99 g/l: S 1 = 18,839 g/l; X 1 = 5,66 g/l; P 1 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h); the second stationary state obtained for = 15.55 g/l: S 2 = 1,401 g/l; X 2 = 5,66 g/l; P 2 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l · h). Similar calculation is made for the case where the first stationary state determined by the value of = 20.0 g/l.

Текст научной работы на тему «Алгоритмы обеспечения реальных условий множественности в процессах микробиологического синтеза при заданной величине протока»

УДК 574.6.663.1

Ю. Л. Гордеева, Н. В. Меньшутина, Е. Л. Гордеева, Ю. А. Комиссаров

АЛГОРИТМЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ МНОЖЕСТВЕННОСТИ В ПРОЦЕССАХ МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ПРОТОКА

Разработаны алгоритмы и приведены результаты расчета показателей стационарных состояний для обеспечения реальных условий множественности, учитывающие технологические ограничения и требования. Алгоритмы включают процедуры оценки необходимых условий возникновения множественности и оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности при заданной величине протока. Рассмотрены два алгоритма, ориентированные на два вида технологической постановки задачи. В первом алгоритме задана величина продуктивности по целевому компоненту Qp. Собственно задание продуктивности подчиняется условию Qp < тах Qp, где тах Qp - предварительно вычисленное значение продуктивности в оптимальных условиях. Таким образом, первый алгоритм включает в качестве составляющей части вычисление максимального значения продуктивности. Во втором алгоритме заданы показатели первого стационарного состояния, по которым определяются показатели второго стационарного состояния для одного и того же значения продуктивности.

При этом необходимо вычислить координату оптимального состояния Б. Получены численные результаты реализации алгоритмов. По первому алгоритму для величины протока Б = 0,15ч-1: тах2р = 4,061 г/(л • ч); Qp = 3,5 г/(л • ч); первое стационарное состояние:

= 30,116 г/л; Б1 = 13,606 г/л; X1 = 6,604 г/л; Р1 = 23,333 г/л; второе стационарное состояние: = 18,450 г/л; 52 = 1,940 г/л; X2 = 6,604 г/л; Р2 = 23,333 г/л. Отмечено, что стационарные состояния различаются только двумя показателями, а именно Б/ и Б. Аналогичный расчет выполнен для Б = 0,26ч-1. По второму алгоритму вычисления выполнены для Б = 0,15 ч-1: Бпред = 47,848 г/л; Б0"= 24,296 г/л. Первое стационарное состояние получено для

Б) = 32,99 г/л: Б1 = 18,839 г/л; X1 = 5,66 г/л; Р1 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л ч). Второе стационар-

?2

ное состояние получено для Б/ = 15,55 г/л: Б2 = 1,401 г/л; X2 = 5,66 г/л; Р2 = 20,0 г/л;

Qp = 3,0 г/(л • ч). Аналогичный расчет выполнен для случая, когда первое стационарное

состояние определено значением Б^ = 20,0 г/л.

Ключевые слова: биотехнологические процессы, микробиологический синтез, множественность, алгоритмы обеспечения множественности, стационарное состояние, величина протока, продуктивность.

Введение

Практическая реализация процессов микробиологического синтеза с учетом множественности стационарных состояний базируется на решении уравнений математической модели. Рассмотрим процесс, математическая модель которого имеет вид [1-3]:

-DX = 0, (1)

D (Sf - S )--f- |Х = 0, (2)

Yxjs

-DP + (a| + ß) Х = 0. (3)

Кинетическое соотношение:

l = lm

1-P

л

KS

■m J KmKi + KS + S2

(4)

Решение системы (1)-(4):

5 = В + ,

2 А \

5 = А

где

В

2

С

+ —

2 А) А

В

2

С

+ —

2А ) А

(5)

(6)

А = а - а2 Б В = а15/ - а2а3Б

С = а2 Б2 КтК,

(7)

а1 = аБ + в

а2 = Рт/т

(8)

а3 = К т - Б)

т = К?х/^т ,

В соотношениях (1)-(8) обозначено: ц - удельная скорость роста, ч-1; цт - максимальная удельная скорость роста, ч-1; Рт - константа насыщения продукта, г/л; Кт - константа насыщения субстрата, г/л; К - константа ингибирования, г/л; Р, 5, X - концентрация продукта, субстрата и биомассы соответственно, г/л; 5/ - концентрация субстрата в поступающем потоке, г/л; Б = Q/V - скорость разбавления (величина протока), ч-1; Q - объемная скорость потока через аппарат, л/ч; V - объем заполнения реактора, л; Ух/8, г/г; а, г/г; р, ч-1 - константы.

Реализация процесса синтеза связана с выполнением ряда ограничений, накладываемых на входные переменные 5/ и Б.

Приведем некоторые результаты анализа, необходимые для формирования условий множественности.

Отметим ограничения, невыполнение которых приводит к невозможности технологической реализации процесса.

По соотношениям (5) и (6) значение 5 будет больше нуля для А > 0. Если же А < 0, условие 5 > 0 выполняется только если В < 0. В последнем случае требуется еще учесть и условие неотрицательности дискриминанта в (5) и (6), т. к. значение С всегда больше нуля.

Знак А определяется величиной Б. Условие А = 0 будет при Б = Б , где

Б* = -^ +

2а2 \

' а >

+

в

(9)

2 )

Таким образом, А > 0, если Б < Б* и А < 0, если Б > Б*.

Далее, если в процессе ферментации значение 5 в аппарате равно 5/ (т. е. концентрации субстрата на входе), очевидно, что процесс синтеза не протекает. Это условие определяется величиной Б = Бпред, которое получаем из (4) при условии ц = Б по (1). Так как процесс синтеза не протекает, то Р в (4) равно нулю.

Из (4) получаем:

Бпред = _

КтК: + К5/ + 5

(10)

V

2

а

2

2

откуда следует, что значение Б по технологии должно удовлетворять неравенству

Б < Бпред.

Максимально возможное значение Бпред для любого значения 5/ получаем по необходимому условию экстремума функции Бпред(5/):

max (Дпред )=-Ь»— . (11)

( K_ Л

1 + 2

v K у

Соотношение (11) означает, что для любого значения 5/ значение Б должно удовлетворять условию

Б < тах(Бпред). Значение тах(Бпред) получено для 5/ = (КтК1 )1/2.

Соотношение (10) дает возможность оценить предельное значение 5/ (обозначим 5/пред) для любого значения Б. Это значение вычисляется по формуле

S пред _ a3 +

f 2D У

\2

2D ) - K~K • (12)

Следовательно, если для реализации процесса принято значение Б, то значение 5/ необходимо принять по условию

5/ < 5 7ед .

Если для реализации процесса задано значение 5/, величина Б должна быть принята по условию

Б < Бпред < тах(Бпред).

Выполнение вышеприведенных ограничений дает возможность получить решения уравнений математической модели, отвечающие условиям практической реализации процесса синтеза.

Условия множественности

Понятие множественности стационарных состояний используется при анализе биотехнологических процессов [3-5], что дает возможность выбора альтернативного варианта организации процесса.

С математической точки зрения при использовании математического моделирования появление множественности связано с получением двух или более решений уравнений математической модели, приводящих к выполнению одинаковых требований, предъявляемых к процессу. Возможность появления множественности решений заложена в нелинейности кинетических соотношений.

С биологической точки зрения множественность можно объяснить изменением структуры метаболических цепей под влиянием внешних воздействий, таких как величина протока Б и концентрация субстрата в поступающем потоке 5/. Различная комбинация численных значений Б и 5/ может давать одинаковые значения продуктивности по целевому компоненту Qp.

Более точное содержание понятия множественности формулируется следующим образом: множественность существует, если при заданном значении Б (с учетом всех ограничений) найдется неединственное значение 5/, обеспечивающее одно и то же значение продуктивности Qp = РБ.

И наоборот, множественность существует, если при заданном значении 5/ найдется неединственное значение Б, обеспечивающее одинаковое значение продуктивности Qp.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Необходимое условие существования множественности теоретически обосновано для первого варианта (т. е. для 5/ при заданном Б) [3, 5] и сводится, по существу, к условию существования экстремума Qp в области значений 5/, отвечающих технологическим требованиям.

Рассмотрим зависимость ((р от концентрации субстрата Б/, полученную решением уравнений (1)-(6) для Б = 0,15 ч-1 (рис. 1).

Рис. 1. Зависимость продуктивности от концентрации субстрата в поступающем потоке при Б = 0,15 ч-1: Ь1 = 15,55 г/л; Ь2 = 32,99 г/л; Ь3 = 47,85 г/л; Б^1 = 24,296 г/л; шахбр = 4,06 г/(л ■ ч) Расчет выполнен по данным таблицы [2-5].

Численные значения констант

Ц т, ч 1 Рт, г/л Кт, г/л К, г/л Ух/Б, г/г а, г/л в, ч-1

0,48 50 1,2 22 0,4 2,2 0,2

Максимальное значение (р (шах(р) вычислялось с использованием зависимости (4):

((р = РБ = РтБ

р т

(1 _ ПКтК + + Б2 Л

V ^ т

КБ

/

По необходимому условию экстремума

¿Б

= 0; Б ор =( КК)

12

(14)

Далее вычисляем шах(р с подстановкой Бор в (13):

шах(р = РБ = РтБ

( Л Б 2 ( Кт Л 1/2 " Л

1-- т + 1

^т V V К V /

(13)

Значение Б 0р вычисляем, используя уравнение материального баланса:

2 А \

В ] с

2 А ] А '

в которое подставляем значение Б = Бор\ найденное по (14). Получаем:

АКтК, _ В(КК )1/2 _ с = 0.

По соотношениям (13) запишем:

(а _ 2а2Б2)(КтК{ )12 + а2а3Б = а1Б

ор1

Значение Sf для оптимальных условий:

5 o p =

1 2«2 D

1--2—

(KK f + d .

a

(15)

На рис. 1 видно, что существуют два значения 5/, обеспечивающие одинаковое значение Qp < maxQp. Эти значения определяются условиями 5:/ < 5^ и 5^ > 5^. Так, для Qp = 3,0 г/(л ■

ч) значения 5/ и будут: Ьх = 5;/ = 15,55 г/л и Ь2 = 5/ = 32,99 г/л. Для вычисления координат

двух стационарных значений ( 51/ и 5 2/ ) использовались соотношения, полученные по (13), (1)—(3) для заданного Qp:

где

S1 = ^

2 1

2

У I - KmK

S2 = ^ + ,

2

2

у I - KmKr

a4 = Ki

( P D - Q

m ^p

D2 P

^m - 1

(16)

(17)

(18)

и далее

s1 -sf -

Qp +(aD + ß)Yx/sS1 (aD + ß) Yx/S

(19)

s 2 = Qp +(aD + ß)Yx/sS sf -

2

(aD + ß) Yx

(20)

По формулам (16)-(20) для каждого значения Qp (Qp < mаxQp) получаем два значения 5: 51 и 52 и, соответственно, два значения 5/: 51/ и 5/2 , по которым вычисляются остальные показатели для двух стационарных состояний по (1)-(3).

Для числового примера при Qp = 3,0 г/(л ■ ч) (рис. 1) было получено:

51 = 18,84 г/л; 5} = 32,99 г/л;

52 = 1,40 г/л; = 15,55 г/л.

Обратимся к условиям, выполнение которых дает возможность оценить существование множественности по 5/. Будем полагать, что по технологическим требованиям задано максимальное значение 5/: тах5/ и, естественно, задано значение Б с учетом ранее обозначенных ограничений.

Если 5> тах5/ , множественность для любого 5/ < тах5/ не существует, т. е. стационарное состояние будет единственным.

В случае тах5/ = 5 единственное стационарное состояние будет оптимальным, т. е. Qp= maxQp.

Таким образом, множественность существует при выполнении одного из неравенств:

S fpt < S;ред < max Sf ,

S fpt < max Sf < Sпред .

(21) (22)

a

Область существования множественности по Sf зависит от численного соотношения между maxSf, S 7ед и S ;pt.

Если выполняется неравенство (21), то множественность имеет место для всех значений Sf.

о < Sf < s ;pt и s fpt < Sf < s 7ед.

Если выполняется неравенство (22), то множественность имеет место для всех значений Sf.

S° < Sf < S f и S;pt < Sf < maxSf . (23)

В соотношении (23) значение S0 есть значение Sf < Sfpt, при котором значение Qp то же

самое, что и значение Qp для max Sf.

Для вычисления S0 , т. е. границы области существования множественности слева от S;pt,

необходимо выполнить следующий расчет.

Для значений max Sf и D вычисляется S по (5) или (6) в зависимости от соотношения между D и D , где Sf в (7) равно maxSf.

Вычисляется Qp по соотношению

Qp = (aD + р)Yxls (maxSf -S). (24)

Так как нижняя граница множественности слева от S;pt есть Sf0, запишем условие для одного и того же значения Qp:

Qp =(aD + р) Y^s (SO - S). (25)

Здесь 5 вычисляется по (5) и (6) с учетом соотношения между Б и О* где Sf в (7) равно 5f . Чтобы различить значения 5 в (24) и (25) обозначим 5 в (24) как тах5, в (25) - тт5. Используя (24) и (25), получаем:

mаxSf - тах5 = 50 - тт5 . (26)

Левую часть (26) обозначим как М, величина которой известна, т. к. известно значение тах5/. Получаем:

М = maxSf - тах5,

и, следовательно, по (26),

М = 50 - тп5 . В результате 50 вычисляется по следующим соотношениям:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

SO = M + a (l-V1 - a2 KK ), (27)

где

a = 2[Mo£+P)] ; д = a _„ = DK (D -1.. (28)

(аО + р)М + N 1 2 Г,,, (ц.

Рассмотрим общий случай вычисления показателей стационарного состояния для условий множественности. Этот вариант предполагает, что задано одно (первое) стационарное состояние в области существования множественности: 51 и О. При этом 5f может быть больше 5 или меньше.

По заданному значению Б| вычисляем Б1, используя (5) или (6) в зависимости от соотношения О и О* при этом в (7) необходимо подставить Б у = Б |.

Далее вычисляем значение М:

М = Б} - Б1.

Значение Б 2 (координата второго стационарного состояния) вычисляется в зависимости от следующих условий:

если < Б} = М + - (1 + ^ 1 - а2КтК.); (29)

если > Б°р\ ^ = М +1 (1 1 - а2КтК), (30)

где значение а вычисляется по (28).

Таким образом, мы получили возможность по данным одного стационарного состояния оценить показатели второго стационарного состояния в условиях множественности.

Алгоритмы расчета показателей стационарных состояний в условиях множественности практически ориентированы на два вида технологической постановки задачи.

По первому варианту показатели вычисляются для заданного значения Qp, при этом собственно значение Qp принимается (или задается) в процессе реализации алгоритма по условию Qp < maxQp, если тахБу > Б^ред, или Qp(maxS) < Qp < maxQp, если Б< тахБу < Б^ред.

По второму варианту задается первое стационарное состояние (т. е. Бу и О) с учетом реальных условий организации процесса. Затем вычисляются показатели второго стационарного состояния, обеспечивающие значение Qp такое же, как и для первого стационарного состояния.

Реализация обоих алгоритмов требует предварительных вычислений: вычисляется максимум Опред, по которому задается значение О < тахОпред; вычисляются Би Б^ед для принятого О, которые вносятся в исходные данные. В исходные данные вносится также тахБу.

Алгоритмы расчета показателей процесса в условиях множественности

Для формирования задания на вычисление показателей процесса в условиях множественности необходимо выполнить предварительные расчеты показателей, обеспечивающих достаточность условий существования множественности для реального процесса.

1. Для выбора величины D вычисляется maxD4^ по (11), т. е. max(Дпред) = -

1 + 2

( K v/2

Km

V Ki У

Значение О принимается по условию О < тахОпред.

2. Для принятого значения О вычисляются значения Б^ед (по (12)) и Бур1 (по (15)), для вычисления которых рассчитываются а1, а2, а3 (по (8)), т. е.

а =аО + р;а2 = Рт1т ;аз = К, (^ -О),

затем:

s 7ед =+.

f 2D \

2D У " KmKi ;

О opt _ Sf -

, 2а2 D2 1 ——-

(KmKi Г+ ^ D . а

а1

Полученные значения определяют условия существования множественности.

Рассмотрим два алгоритма оценки показателей стационарных состояний в условиях множественности в соответствии с технологическим заданием. По первому алгоритму задается величина продуктивности Qp, для которой вычисляются показатели стационарных состояний. Задаваемое значение Qp принимается в процессе реализации алгоритма по условию

Qp < maxQp,

где maxQp вычисляется в процессе реализации алгоритма.

В связи с этим в алгоритм включены процедуры вычисления показателей для оптимальных условий, в том числе вычисления maxQp.

Блок-схема алгоритма приведена на рис. 2.

В блок-схеме (рис. 2) пунктиром выделена часть, относящаяся к вычислению показателей процесса для оптимальных условий. Полученный результат используется в алгоритме для задания Qp < maxQp.

Однако если по технологическим требованиям выполняется условие maxSf < S, то

необходимо вычислять нижнюю границу задания Qp. Эта часть вычисления также реализована в алгоритме.

Результаты вычислений представлены тремя группами показателей: группа показателей для оптимальных условий и две группы показателей для стационарных состояний в условиях множественности при заданном значении Qp.

Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма.

Предварительные расчеты: maxD4^ = 0,32717 ч-1; максимальное значение max Sf = 33,0 г/л.

1 1

Численный расчет приведен для двух значений D: D = 0,15 ч- и D = 0,26 ч- . Для D = 0,15 ч-1: S ^ед = 47,848 г/л; Sf = 24,296 г/л.

Для D = 0,26 ч-1: S 7ВД = 17,069 г/л; S ;pt = 13,782 г/л.

Результаты расчета для D = 0,15 ч-1: D* = 0,253 ч-1; D < D*

Оптимальные условия: S ;pt = 24,296 г/л; Sopt = 5,138 г/л; X°pt = 7,663 г/л; Popt = 27,076 г/л; maxQp = 4,061 г/(л ■ ч).

Имеем: S^ед > maxSf ; вычисляем Qlp = Qp (maxSf):

Qp = 3,0 г/(л ■ ч). Принимаем Qp из условия Qp < Qp < maxQp : Qp = 3,5 г/(л ■ ч). Стационарное состояние 1:

S1 = 30,116 г/л; S1 = 13,606 г/л; X1 = 6,604 г/л; P1 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л ■ ч).

Стационарное состояние 2: S2f = 18,450 г/л; S2 = 1,940 г/л; X2 = 6,604 г/л; P2 = 23,333 г/л; Qp = 3,5 г/(л ■ ч).

-1

Результаты расчета для D = 0,26 ч- : D* = 0,253 ч-1; D > D*

Оптимальные условия: Sf = 13,782 г/л; Sopt = 5,138 г/л; X°pt = 3,457 г/л; Popt = 10,266 г/л; maxQp = 2,669 г/(л ■ ч).

Имеем: Sf?ед < maxSf ; принимаем Qp по условию Qp < maxQp: Qp = 2,0 г/(л ■ ч). Стационарное состояние 1:

S) =16,1 г/л; S1 = 9,624 г/л; X1 = 2,591 г/л; P1 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л ■ ч). Стационарное состояние 2:

S f = 9,220 г/л; S2 = 2,743 г/л; X2 = 2,591 г/л; P2 = 7,662 г/л; Qp = 2,0 г/(л ■ ч).

Отметим, что для варианта D = 0,15 ч-1 расход субстрата в обоих стационарных состояниях одинаков:

D(Sf - S1) = 2,4765 г/(л ■ ч); D(S2 - S2) = 2,4765 г/(л ■ ч).

Таким образом, хотя стационарные состояния различаются, затраты субстрата при одном и том же Qp одинаковы.

Такая же ситуация имеет место и для D = 0,26 ч-1:

D(5^ - 51) =1,6838 г/(л ■ ч);

Рис. 2. Блок-схема алгоритма первого варианта

Рассмотрим второй вариант. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 3. По этому варианту необходимо задать первое стационарное состояние, исходные координаты которого Sf и D. Условия задания D известны, и, следовательно, значение Sf необходимо задавать в области существования множественности.

Если имеет место неравенство Sпед < maxSf, то значение Sf может быть задано как

Sf < s;pt или Sf > s o°pt.

В том случае, когда имеется неравенство SJ1 < max Sf < Sf5ед , значение Sf может быть задано как S J1 < Sf < max Sf или S °pt > Sf > Sf.

Значение Б0 вычисляется в процессе реализации алгоритма.

Ниже приведен пример численных результатов реализации алгоритма для Б = 0,15 ч-1. Предварительные расчеты: тахБпред = 0,32717 ч-1; максимальное значение тахХ} = 50,0 г/л; Б 7ед = 47,848 г/л; Б °р' = 24,296 г/л.

В соответствии с алгоритмом Б^ед < шахБ} .

Принимаем первое стационарное состояние по условию Б1/ < Б;ред , 4 = 32,99 г/л.

Вычисленное значение Б1 = 18,8396 г/л.

Значение Шх = 14,15. Тогда Б2 = 15,55 г/л; Б2 = 1,401 г/л.

Стационарное состояние 1 (заданное по условию):

Б} = 32,99 г/л; Б1 = 18,8395 г/л; X1 = 5,66 г/л; Р1 = 20,0 г/л; = 3,0 г/(л ■ ч).

^ Начало ^

X2 = В2 /2А + ^/(В2 /2А)2 + С/А 1 Б2 = В2 /2А-^(В2 /2А)2 + С/А |

X 2 = Гх/Б ( б2 - Б2)

Б1;, б1, X1, Б2, X2, X2 Р,

^ Конец ^

Рис. 3. Блок-схема алгоритма второго варианта

Стационарное состояние 2:

5^ = 15,55 г/л; 52 = 1,401 г/л; X2 = 5,66 г/л; Р2 = 20,0 г/л; Qp = 3,0 г/(л ■ ч). Расчет для условия шах5/ = 32,992 г/л, т. е. шах5у < 5^ед. Значение по алгоритму: 50° = 15,55 г/л.

Выбираем первое стационарное состояние 5^ по условию: 50 < 51 < 5. Принимаем 5^ = 20,0 г/л.

Вычисляем: 51 = 2,404 г/л; М = 17,596; 5^ = 28,574 г/л; 52 = 10,97 8 г/л. Результат:

Стационарное состояние 1 (заданное по условию):

51 = 20,0 г/л; 51 = 2,404 г/л; X1 = 7,038 г/л; Р1 = 24,869 г/л; Qp = 3,73 г/(л ■ ч). Стационарное состояние 2:

52 = 28,574 г/л; 52 = 10,978 г/л; X2 = 7,038 г/л; Р2 = 24,869г/л; Qp = 3,0 г/(л ■ ч).

Заключение

Рассмотренные алгоритмы обеспечивают реальную возможность организации процесса микробиологического синтеза с выбором альтернативных вариантов: оптимального для максимальной продуктивности или одного из двух вариантов для одинакового значения продуктивности. В последнем случае, когда расход субстрата для обоих вариантов одинаков, исходные значения Sf и значения S на выходе из аппарата существенно различаются. Реализация алгоритмов практически не требует применения специальных численных методов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине протока / Ю. Л. Гордеева, М. Ю. Щербинин, Л. С. Гордеев // Энциклопедия инженера-химика. 2012. № 8. С. 23-27.

2. Гордеева Ю. Л. Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев, М. Б. Глебов. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2011. 100 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Kumar G. P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / G. P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya Sastry, M. Chidabaram // Can. J. Chem. Eng. 1993. Vol. 71. P. 766-770.

4. Koppel L. B. Input multiplicities in process control / L. B. Koppel // Chem. Eng. Educ. 1983. Vol. 17, no. 2, pp. 58-92.

5. Гордеева Ю. Л. Алгоритмы расчета показателей процесса микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Комиссаров, А. Г. Бородкин // Вестн. Астра-хан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2. С. 128-137.

Статья поступила в редакцию 7.02.2016

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гордеева Юлия Львовна - Россия, 109472, Москва; Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии им. К. И. Скрябина; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Информационные технологии, математика и физика»; [email protected].

Меньшутина Наталья Васильевна - Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов»; [email protected].

Комиссаров Юрий Алексеевич - Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Электротехника и электроника»; [email protected].

Гордеева Елена Львовна - Россия, 125047, Москва; Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Высшая математика»; [email protected].

Yu. L. Gordeeva, N. V. Menshutina, E. L. Gordeeva, Yu. A. Komissarov

ALGORITHMS ENSURING THE REAL CONDITIONS OF MULTIPLICITY IN THE MICROBIOLOGICAL SYNTHESIS PROCESSES AT THE GIVEN DILUTION RATE

Abstract. The algorithms are developed and the results of calculating the steady state parameters for real conditions of multiplicity, taking into account the technological limitations and requirements, are presented. The algorithms include the assessment of necessary conditions of occurrence of multiplicity and the assessment of the parameters of the steady states in the context of multiple for the given dilution rate. Two algorithms focused on two types of technological formulation of the problem are considered. According to the first case the value of productivity on the target component Qp is known. The value of productivity is defined from the condition Qp < maxQp, where maxQp - previously computed value of productivity in optimal conditions. Thus, the first algorithm includes the part of the calculation of the maximum values of productivity. According to the second case the parameters of the first stationary state are known to compute the parameters of the second stationary state for the

same values of productivity. Thus, it is necessary to calculate the coordinate of the optimal state S.

The numerical results of the algorithms have been obtained. For the first algorithm for the dilution rate

D = 0.15 h-1: max Qp = 4,061 g/(l • h); Qp = 3.5 g/(l • h); the first stationary state: S} = 30.116 g/l;

51 = 13.606 g/l; X1 = 6,604 g/l; P1 = 23.333 g/l; the second stationary state: S2f = 18,450 g/l;

52 = 1.940 g/l; X2 = 6,604 g/l; P2 = 23.333 g/l. It is noted that the stationary state differ by only two parameters, namely Sf and S. A similar calculation is performed for D = 0.26 h-1. According to the second algorithm the calculation is executed for D = 0,15 h-1: the limit value Sf = 47,848 g/l;

= 24.296 g/l; the first stationary state obtained for S) = 32,99 g/l: S1 = 18,839 g/l; X1 = 5,66 g/l;

P1 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l • h); the second stationary state obtained for Sf = 15.55 g/l: S2 = 1,401 g/l;

X2 = 5,66 g/l; P2 = 20,0 g/l; Qp = 3.0 g/(l • h). Similar calculation is made for the case where the first

stationary state determined by the value of S:f = 20.0 g/l.

Key words: biotechnological processes, microbiological synthesis, multiplicity, algorithms of multiplicity ensuring, steady state, dilution rate, productivity.

REFERENCES

1. Gordeeva Iu. L., Shcherbinin M. Iu., Gordeev L. S. Statsionarnye sostoianiia biotekhnologicheskikh protsessov s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoi velichine protoka [Stationary states of biotechnological processes with non-linear kinetics of microorganism growth. Multiplicity at the given dilution rate]. Entsiklopediia inzhenera-khimika, 2012, no. 8, pp. 23-27.

2. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S., Glebov M. B. Modelirovanie protsessov mikrobi-ologicheskogo sinteza s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Modeling of the processes of microbiological synthesis with non-linear kinetics of the microorganism growth]. Moscow, Rossiiskii khimiko-tekhnologicheskii universitet imeni D. I. Mendeleeva, 2011. 100 p.

3. Kumar G. P., Subrahmanya Sastry J. V. K., Chidabaram M. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities. Can. J. Chem. Eng., 1993, vol. 71, pp. 766-770.

4. Koppel L. B. Input multiplicities in process control. Chem. Eng. Educ., 1983, vol. 17, no. 2, pp. 58-92.

5. Gordeeva Iu. L., Komissarov Iu. A., Borodkin A. G. Algoritmy rascheta pokazatelei protsessa mikrobi-ologicheskogo sinteza s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Algorithms of calculation of the parameters of microbiological synthesis process with non-linear kinetics of the microorganism gwoth]. Vestnik Astrakhan-skogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2014, no. 2, pp. 128-137.

Gordeeva Yulia Lvovna - Russia, 109472, Moscow; Moscow State Academy of Veterinary Medicine and Biotechnology named after K. I. Skryabin; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Information Technologies, Mathematics and Physics"; [email protected].

Menshutina Natalya Vasilievna - Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Cybernetics of Chemical and Technological Processes"; [email protected].

Komissarov Yury Alekseevich - Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Electrical Engineering and Electronics"; [email protected].

Gordeeva Elena Lvovna - Russia, 125047, Moscow; Mendeleev Russian Chemical and Technological University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Higher Mathematics"; [email protected].

The article submitted to the editors 7.02.2016

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.