Алгоритмы оценки множественности стационарных состояний биотехнологического процесса получения молочной кислоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, АВТОМАТИЗАЦИЯ

УДК 574.6.663.1 ББК 30.16:28.072

Ю. Л. Гордеева, Л. С. Гордеев

АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВЕННОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ

Yu. L. Gordeeva, L. S. Gordeev

ALGORITHMS FOR EVALUATING THE MULTIPLICITY OF STEADY STATES IN BIOTECHNOLOGICAL PROCESS OF LACTIC ACID PRODUCTION

Разработаны алгоритмы оценки показателей биотехнологического процесса непрерывного способа получения молочной кислоты в условиях множественности. Первый алгоритм формирует область существования множественности (значения величин протока и концентрации субстрата в поступающем потоке). Второй алгоритм ориентирован на расчет показателей стационарных состояний при заданной величине протока, обеспечивающих заданное значение продуктивности по молочной кислоте. Третий алгоритм предназначен для расчета показателей множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке. Приведены численные данные расчетов реализации алгоритмов.

Ключевые слова: биотехнология, стационарные состояния, множественность.

The numerical algorithms for the parameters evaluation of the continuous biotechnological process of lactic acid production in the conditions of multiplicity have been developed. The first algorithm generates the area of existence of multiplicity such as values of the flow and substrate concentration in the inlet flow. The second algorithm deals with calculation of steady state parameters at the fixed value of flow controlling the fixed value of productivity of the lactic acid. The third algorithm is focused on calculation of multiplicity parameters at the fixed substrate concentration in the inlet flow. The results obtained by means of these algorithms are represented.

Key words: biotechnology, steady states, multiplicity.

Введение

Изучение непрерывных биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов и получения целевых продуктов показало, что для таких процессов существует множественность стационарных состояний [1—3]. Понятие множественности означает следующее. Если для заданной величины продуктивности по целевому продукту Qp г/(л • ч) задана величина протока D ч-1, то возможно наличие двух значений концентраций субстрата в поступающем потоке Sf г/л, обеспечивающих заданное значение продуктивности. И наоборот, если задана концентрация субстрата в поступающем потоке Sf г/л, то возможно существование двух значений величины протока D ч-1, обеспечивающих заданное значение продуктивности.

Для возможности оценки показателей процесса в условиях множественности необходимо определить область существования множественности, т. е. оценить предельные значения SfftD, которыми ограничена указанная область. Таким образом, алгоритмы оценки множественности должны включать определение области существования множественности и, соответственно, по заданным Qp и D — алгоритм вычисления двух значений Sf или при заданных значениях Qp и Sf— алгоритм вычисления двух значений D.

Для разработки указанных алгоритмов используем математическую модель непрерывного биотехнологического процесса получения молочной кислоты [3-5]:

где

Р = Ртх-сО, (1)

Р -Р

= "ц Х + Б, (2)

7 М>

х =-------^---------*, (3)

аГ>а + {Ртр-Р) К '

м м

с = -^,Ь = -^,а = -^. (4)

N N N

ЧХ р

=Ртг — Ріг, М. =Рт, — Р{., М„ =Рт„ — Р{„, (5)

х тх їх * б тд ь? ? р тр ір * \ /

(6>

^(5)=9ят +(К“+К^ + 32 ’ (7)

^ дртЮК,рКір+К+Кір)5 + 52' (8)

Соотношения (1)-(8) положены в основу разработки указанных выше алгоритмов.

Алгоритм формирования области существования множественности

Смысл данного анализа заключается в выявлении показателей технологического процесса <2Р, SfиD, для которых может иметь место множественность.

Прежде всего необходимо сформировать пределы значений ()р.

В [4] получено выражение для максимального ()р (оптимального по »5уи £>) в виде

и К Р2

тах£> =--------н'т” * ""----гг-. (9)

Значения О0рі и 5/ор1:

^-рЛ^+кІ1} '

и К Р

гтах ит:

т\ _______гтах ц тх______ /1 л\

С Рщх) ^ \ ( V V (Л 1Л

л./орі=---г;;-------х0^+\к1Ла) > С11)

где Хорі вычисляется по (3), а,Ьис вычисляются по (4)-(8) при

«“(ТАГ- (12)

Величина продуктивности ()р, очевидно, не может быть больше шахбр. В то же время при шахбр имеется единственное решение для £> по (10) и £/■ по (11).

Таким образом, существование множественности возможно только при значении ()р, удовлетворяющему неравенству

()р < тгх()р. (13)

Будем полагать, что в дальнейшем в соотношениях значение ()р принимается по условию (13). Запишем выражение для ()р, используя (1):

др=Р0 = 0(Ртх-с0). Решение (14) относительно 5 получаем из уравнения

52-4й)5 + ад,=0.

(14)

Решение имеет вид

А(О)

1+

АЦО)

и

1- 1

^2(о)

где

до)=+*А

{Р^-Рир1 V “

(15)

(16)

(17)

Таким образом, в зависимости от £> для любого принятого значения ()р существуют две функции 51, обеспечивающие одинаковое значение ()р. Значение Sf для любого -О может быть вычислено по уравнениям (1)-(3) с использованием (4)-(8), (15)—(17).

Решение (15), (16) определяет предельное значение А(П) по соотношению

1 4К*хК1х _п

Л2(я)

Из (18) имеем

А{0)=±2{КЗХК1Х)]1.

В (19) следует принять знак «+». Тогда, с учетом (17), получаем

(*

М'тах-^и {Р?пх^ 0-р ) Л^1 2 , 1^1 2^ _ ^

■ зх ВС / *

{Рщ'-РиУ?

Решение (20) относительно -О дает два предельных значения:

(18)

(19)

(20)

1-

1 4 др{к12+к12)

р1м

тх

тах Б = Б2 =

РМ

тх

где

(<2+42)2

V

М'тах-^г;

Р1М

тх

(21)

(22)

М =-

Р -Р.

тх гх

Отметим, что если подкоренное выражение в (21) и (22) равно нулю, то значение 0Р = тах^, естественно, при одном значении £>:

В = = Г) 2 = £>ор1.

Таким образом, для принятого ()р получаем граничные значения по £>: £>1 и £>2 по (21) и (22) при одном значении 50:

*о=*,=*2=^ = («Л2- (23)

Используя значения Дь £>2 и 50 по (23) и уравнения материального баланса (1)—(3), получаем:

---V-----, (24)

] а£>, а + (р -)+ с£>,.

] \ тр тх / ]

^ = ~Гр)+С°' ■ (25)

где7 = 1,2;а,Ь,с вычисляются для 50, рассчитанному по (23).

В результате определяем координаты границы области множественности по £>:

(А > ^/1) I {рг»*^/2 ) •

Вычислив разность - 5у2, получаем условие

5л-5/2>0 1

т. е. 5|у1 > 5^2 |

Обращаясь к соотношениям (15) и (16), отметим, что область множественности ограничена по 5 этими двумя функциями в пределах £>2, А, которые используются для максимального и минимального значения £/■ в области множественности. В дальнейшем максимальное значение

5/^обозначим и соответствующее значение £> - через £>1, минимальное значение ^обозначим 5^ и соответствующее значение £> - через ГУ2. Значения , 5^, £>1 и £>2 находятся численно - по одному из известных методов нелинейного программирования для поиска экстремума функции одной переменной. Поскольку аналитически функции Sf в области определения по £> не заданы, для их вычисления и решения задачи оптимизации используются уравнения материального баланса (1)—(3) и соотношения (4)-(8).

Завершается формирование области множественности получением следующих показателей:

- граница области по £>: А и £>2; соответствующие значения по 5/ 5/1 и 5^;

- граница области по 5/: 5^ и 5^; соответствующие значения по £>: £>1 и £>2;

- принятое значение 2 < тахС?р ■

На рис. 1 показана блок-схема алгоритма вычисления указанных показателей.

В качестве исходных данных используются кинетические параметры, а также значение Ор, которое принимается по условию (13) после предварительного вычисления тах<2р по формуле (9), и 50, вычисленное по (12).

В блок-схеме алгоритма задача оптимизации решается методом сканирования (это не исключает возможность использования любого другого метода).

Численные расчеты в соответствии с блок-схемой (рис. 1) выполнены для данных табл. 1. Максимальное значение продуктивности тах<2Р = 12,42 г/(л • ч); значение 5о= 20,032 г/л; значение <2Р, принятое в расчетах, - 11 г/(л • ч).

Таблица 1

Числовые значения кинетических параметров

Для образования биомассы Для утилизации субстрата Для образования продукта

Цтазд Ч г/л Кь, г/л Рь, г/л Ртх, г/л 1,10 1,32 304 1,39 49,9 &ШК, г/(г ч) г/л г/л Рц, г/л Рш, г/л 3,42 2.05 140 47,1 95.5 а, г/г 9р™*(= Р), г/(г ■ ч) КзР, г/л К,р, г/л Р1р, г/л Ртр, г/л 0,39 3,02 2.05 140 47,1 95.5

Рис. 1. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса, формирующих область существования множественности

Получено:

А = 0,329 ч"1; А = 0,667 ч"1;

5/ = 56,34 г/л; 5^= 37,55 г/л;

£>1 = 0,43 ч"1; Ш = 0,58 ч"1;

5} = 106,78 г/л; 5} = 27,48 г/л.

На рис. 2 показана область существования множественности для ()р=11 г/(л • ч).

Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине протока

Исходные данные включают:

- значение (2Р, которое принимается по условию (13), где тах<2Р рассчитывается по соотношению (9);

- значение А удовлетворяющее условию А < £> < А, где А рассчитывается по соотношению (21), А - по соотношению (22);

- значение Р, рассчитанное по соотношению Р = .

Принятые значения ()р, £> и Р вносятся вместе с кинетическими константами в исходные данные алгоритма.

Результаты реализации алгоритма дают значения показателей стационарного процесса:

- стационарное состояние 1: <2Р, А Р, 5ь Хи 5/1;

- стационарное состояние 2: ()р, Д Р, 52, Х2, 5/2, где 5/1 и 5/2 - значения 5/в стационарных состояниях.

Блок-схема алгоритма показана на рис. 3.

Приведем численные результаты расчета в соответствии с блок-схемой (рис. 3) для ()р = = 11 г/(л • ч).

Значение гоах<2Р= 12,42 г/(л ч); А = 0,329 ч-1; А = 0,667 ч-1; принятое значение £> = 0,6 ч-1; Р= 18,33 г/л.

Стационарное состояние 1: ()р = 11 г/(л • ч); £> = 0,6 ч-1; Р = 18,33 г/л; 51 = 49,19 г/л; Хх = = 3,01 г/л; 5/1 = 68,65 г/л.

Стационарное состояние 2: ()р= 11 г/(л • ч); £> = 0,6 ч-1; Р = 18,33 г/л; 52= 8,16 г/л; Х2 = 2,84 г/л; 5/2 = 27,66 г/л.

Рис. 3. Блок-схема вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной величине протока

Алгоритм оценивания показателей множественности при заданной величине концентрации субстрата в поступающем потоке

Подготовка исходных данных включает расчет значения ()р, которое принимается по условию (13), где тах(3р рассчитывается по соотношению (9).

В исходные данные заносятся результаты реализации алгоритма, определяющего границы области множественности:

(Д, 5Л); (АЛ2); (Л1,5»; (2)2, 5’),

где £>1 и Дг — границы множественности по £>; и 5^ — границы области множественности по 5/.

В исходные данные заносится значение 5°, величина которого определяется условием

< 5 ° < 5) .

На рис. 4 показана блок-схема алгоритма вычисления показателей процесса при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке 5/. Алгоритм формируется в зависимости от

условий задания 5°:

- если < 5/ < , то в расчете первого и второго стационарного состояния использу-

ется значение 5, вычисленное по соотношению (15);

- если 5; < 5° < 5/2 , то в расчете первого и второго стационарного состояния используется значение 5, вычисленное по соотношению (16);

- если 5/2 < 5° < , то в расчете первого стационарного состояния используется значение

5, вычисленное по соотношению (16), второго - с значение 5, вычисленное по соотношению (15).

А, о2, т, т, З/ч, 5у2. 5}. , 5°, ш

кинетические константы

А.

д1 =т х\ =х,б\ = б-, р/ =р

Вывод результатов:

Состояние 1: £)р, Р}1, Х\, , Д1.

Состояние 2: Р,1, , $ , ИХ ,

Я=(£)2-А)/й

м—

£> = £> + й

Вычисление Л (О) по (17)

Вычисление 51 по (15)

Вычисление по (6), К по (7), Ир по (8)

Вычисление МХ,М5, М. по (5)

Вычисление а, Ь, с по (4)

Вычисление Р по (1)

Вычисление Xпо (3)

т

Рис. 4. Блок-схема алгоритма вычисления показателей стационарного процесса в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке (см. также с. 15)

Вывод результатов:

Состояние 1: £)р, , />3, X?, 5^, Д3

Состояние 2: ()р, 5° , р\ ,Х\,8\,Э[

Конец

Вывод результатов:

Состояние 1: ()р, , />2, X,2 , ^ , Д2

Состояние 2: 0,, £» ; р2; х| > ^2 ^ д2

Рис. 4. Окончание

Заключение

В заключение приведем таблицу результатов численных расчетов показателей процесса

в условиях множественности при заданной концентрации субстрата в поступающем потоке 5^.

Отметим, что с технологической точки зрения для одного и того же значения продуктивности по молочной кислоте <2Р для разных состояний в условиях множественности такие показатели, как количество образуемой биомассы в единицу времени ()х = г/(л • ч) и количество остаточного (неиспользованного) субстрата 0, = 05 г/(л • ч) различаются.

Численные значения, приведенные в табл. 2, получены для <0^ =11 г/(л • ч) с данными для границ множественности, полученными ранее.

Таблица 2

Численные значения показателей процесса

№ п/п Условия, 5“ , г/л D, ч 1 X, г/л Я, г/л Р, г/л е» г/(л ■ ч) а, г/(л ■ ч) Расход субстрата, %

56,34 <5° <106,78

1 5“ =84

Состояние 1 0,55 3,27 62,82 19,96 1,7985 34,551 25,2

Состояние 2 0,35 3,71 49,67 31,51 1,2985 17,385 40,8

27,48 <5“ <37,55

И 5“ =28

Состояние 1 0,53 3,11 5,90 20,78 1,6483 3,127 78,9

Состояние 2 0,61 2,79 8,98 18,03 1,7019 5,478 67,9

37,55 < 5° < 56,34

ш 5“ =45

Состояние 1 0,34 3,46 9,90 32,35 1,1764 3,366 78,0

Состояние 2 0,66 2,69 27,32 16,69 1,7754 18,031 39,3

Из табл. 2 следует, что наименьшее количество использованного субстрата получается для условий I. Поскольку цель процесса заключается в получении заданной продуктивности, концентрация продукта Р в данном случае значения не имеет. Количество же образуемой биомассы в единицу времени лежит в пределах от 1,17 до 1,80 г/л.

Таким образом, расчет показателей множественности дает дополнительную информацию по выбору условий реализации технологического процесса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kumar P. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities / P. Kumar, J. V. K. Subrahmanya, M. Chidambaram// Can. J. Chem Eng. 1993. N 71. P. 766-770.

2. Гордеева Ю. JI. Информационные системы в биотехнологии. Множественность стационарных состояний / Ю. JI. Гордеева, С. А. Понкратова, JI. С. Гордеев // Вестн. Казан, технол. ун-та. 2011. Т. 14, № 18. С. 137-145.

3. Гордеева Ю. Л. Стационарные состояния биотехнологического процесса получения молочной кислоты при заданной величине протока / Ю. JI. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, JI. С. Гордеев // Теорет. основы хим. технологии. 2013. Т. 47, № 2. С. 196-200 [Gordeeva Yu. L., Ivashkin Yu. A., Gordeev L. S. Steady states of a biotechnological process for producing lactic acid at a given dilution rate. Theor. Found. Chem Eng. 2013. Vol. 47, N2. P. 149.]

4. Boonmee M. Batch and continuous culture of Lactococcus Lactis NZ133: experimental date and model development / M. Boonmee, N. Leksawasdi, W. Bridge, P. L. Rogers // Biochem. Eng. J. 2003. N 14. P. 127-135.

5. Гордеева Ю. Л. Алгоритмы оптимизации непрерывного процесса биосинтеза молочной кислоты / Ю. JL Гордеева, Ю. А Ивашкин, J1 С. Гордеев // Программные продукты и системы. 2012. № 3 (99). С. 244—249.

REFERENCES

1. Kumar P., Subrahmanya J. V. К., Chidambaram M. Periodic operation of a bioreactor with input multiplicities. Can. J. Chem. Eng., 1993, no. 71, pp. 766-770.

2. Gordeeva Iu. L., Ponkratova S. A., Gordeev L. S. Informatsionnye sistemy v biotekhnologii. Mnozhest-vennost' statsionamykh sostoianii [Information systems in biotechnology. Multiplicity of steady states]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2011, vol. 14, no. 18, pp. 137-145.

3. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S. Statsionamye sostoianiia biotekhnologicheskogo prot-sessa polucheniia molochnoi kisloty pri zadannoi velichine protoka [Steady states of biotechnological process of lactic acid production at the fixed value of flow]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii, 2013, vol. 47, no. 2, pp. 196-200. [Gordeeva Yu. L., Ivashkin Yu. A., Gordeev L. S. Steady states of a biotechnological process for producing lactic acid at a given dilution rate. Theor. Found. Chem. Eng., 2013, vol. 47, no. 2, p. 149].

4. Boonmee М., Leksawasdi N., Bridge W., Rogers P. L. Batch and continuous culture of Lactococcus Lactis NZ133: experimental date and model development. Biochem. Eng. J., 2003, no. 14, pp. 127-135.

5. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S. Algoritmy optimizatsii nepreryvnogo protsessa bios-inteza molochnoi kisloty [Algorithms of optimization of indiscrete process of biosynthesis of lactic acid]. Pro-grammnye produkty i sistemy, 2012, no. 3 (99), pp. 244—249.

Статья поступила в редакцию 22.10.2013

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гордеева Юлия Львовна — Московский государственный университет пищевых производств; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Информационные технологии и автоматизированные системы»; [email protected].

Gordeeva Yuliya Lvovna — Moscow State University of Food Production; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Information Technologies and Automated Systems"; [email protected].

Гордеев Пев Сергеевич — Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов; [email protected].

Gordeev Lev Sergeevich — Russian Chemical Technological University named after D. I. Mendeleev, Moscow; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Cybernetics of Chemical-Technological Processes"; [email protected].