CC BY
44
УДК 004.94:576 ББК 30.16:28.072
Ю. Л. Гордеева, М. Ю. Щербинин, Л. С. Гордеев, Ю. А. Комиссаров
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С НЕЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИКОЙ РОСТА МИКРООРГАНИЗМОВ. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ КОНЦЕНТРАЦИИ СУБСТРАТА В ПОСТУПАЮЩЕМ ПОТОКЕ
Yu. L. Gordeeva, M. Yu. Shcherbinin, L. S. Gordeev, Yu. A. Komissarov
STATIONARY STATES OF BIOTECHNOLOGICAL PROCESSES WITH NONLINEAR KINETICS OF GROWTH OF MICROORGANISMS. PLURALITY AT THE GIVEN VALUE OF SUBSTRATE CONCENTRATION IN THE INCOMING FLOW
Исследуются стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Получены оценки для области существования множественности стационарных состояний с заданной концентрацией субстрата в поступающем потоке. Приведены расчетные соотношения для вычисления показателей процесса. В зависимости от начальных условий определены три схемы, включающие решение задачи нелинейного программирования. Приведены примеры расчета для всех трех вариантов.
Ключевые слова: биотехнология, стационарные состояния, нелинейная кинетика, множественность.
The stationary states of biotechnological processes with nonlinear kinetics of microbial growth are studied. The estimations for the existence of a multiplicity of stationary states with the given concentration of substrate in the incoming stream are obtained. The calculated ratio is given to determine the process indicators. Depending on the initial conditions three schemes, including the solution of nonlinear programming task, have been identified. The examples of calculation for all three options are presented.
Key words: biotechnology, stationary states, non-linear kinetics, the multiplicity.
Введение
Особенности процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микробиологического синтеза связаны с возможностью возникновения неустойчивости поведения в предельных и нестационарных режимах. Анализ прогнозирования существования подобных режимов возможен с использованием методов математического моделирования. Методология моделирования и алгоритмы решения показателей процесса для приграничных условий культивирования рассмотрены в [1, 2].
В то же время в неизолированных условиях культивированиия возможно существование множественности стационарных состояний.
В [3] разработан алгоритм оценки существования множественности стационарных состояний для условий, когда задана величина протока D и величина продуктивности по целевому компоненту Qp. Алгоритм включает определение области существования множественности с учетом технологических ограничений, определение численных значений концентрации субстрата S на выходе из ферментёра при задании значения D, определение концентрации субстрата в поступающем потоке Sf и расчет показателей процесса для условий множественности. Одновременно определяются оптимальные условия проведения процесса, что позволяет сопоставить показатели для стационарных состояний множественности с показа-телями при оптимальных условиях.
Разработанная схема расчёта применяется и в настоящем сообщении, однако в данном случае алгоритм является более сложным в силу необходимости на различных этапах вычислений использовать численные методы, в том числе методы нелинейного программирования.
Задача формулируется следующим образом.
Задана величина продуктивности непрерывного процесса: Qp = (Р-Р), г/(л-ч).
Задана концентрация субстрата в поступающем потоке г/л.
Необходимо оценить возможность существования множественности стационарных состояний, определить параметры стационарных состояний процесса для условий множественности. Иными словами, если существует множественность стационарных состояний, необходимо определить величину протока р, обеспечивающую условия множественности при заданном значении 8/, и вычислить показатели процесса S, X, Р.
В расчетах приняты следующие условные обозначения: цтах - максимальная удельная скорость роста биомассы, ч-1; 8, X, Р - концентрации субстрата, биомассы и продукта соответственно, г/л; Рт - максимально возможная концентрация продукта, г/л; Кт - константа насыщения, г/л; К - константа ингибирования, г/л; Q - объёмная скорость потока, л/ч; Р = Q/V, величина протока, ч-1; V - объем заполнения реактора, л; Ух^ - стехиометрический коэффициент, г/г; а - константа, г/г; в - константа, ч-1.
Математическая модель процесса представлена уравнениями:
Р • X - ц • X = 0;
—Р • Р + (а • ц + в) • X — 0;
(1)
(2)
(3)
Ц — Цт
( \ 1—— Р
V т ;
К
(4)
Для формирования области существования множественности необходимо найти граничные значения Р и 8/ для заданного значения Qp.
Зависимость Qp от Р и 8 имеет вид
Q — Р • Р — С • Р2
л-'р т
(5)
где
С—
т т г г
Ц т
В [3] для вычисления максимального и минимального значения Р для любого значения Qp по (5):
Р__ —-
Ц т
1 + 2 •(Кт/Кг )0
1 + 1
2
1 + 2 •(Кт/К, )0
1 + 2 (Кт / К, )0
1 — 1
1 + 2 ( Кт / К, )0
(6)
(7)
Используя решение (5) относительно 8 и уравнения материального баланса (1)-(4), получим уравнения для 8/\ и в зависимости от значения Р:
8/1 —
В( Р)
1 + 1 —
4К • К
В 2(Р)
+ -
Qp
'(а•Р + в)
(8)
2
Ц
т
2
В( О)
1 - 1-
4Кт • К В 2( О)
+ -
в,
¥х ж '(а'О + Р)
(9)
где
В(О) = Кг і Цт (О Рт ) -ц.
(10)
Оба уравнения - (8) и (9) - формируют в плоскости 8/ - Р область существований множественности.
Условие
1 - 4Ка_К. _ 0
В'- (о)
(11)
определяет граничные значения для С/ при любом О:
С * _ В(О) +
Л/1 _ +
Я,
- ¥Х / 8 •( а • О + Р )
-
С * _ В(О) + С/- _ +
е,
- /8 '( а • О + Р )
откуда следует, что для любого Р будет иметь место равенство
с* _ о*
С/1 _ С/- •
Решение (11) относительно О даёт
^ т
О _
- •
1 + - ( Кт / К, )0
1 ± 1-
46,
Рт • К
1 + - ( Кт / К )0
(1-)
Полученные соотношения (1-) полностью совпадают с (6) и (7), т. е. граничные значения по О для (8) и (9) равны Отах и Отт.
Таким образом, поскольку граничные значения О известны - формулы (6) и (7) или (1-), можно вычислить значения С/ для граничных значений О:
С/(О,,*) _
С/ (Отах) _
Вфтш)
-
В( Отах)
+
е,
¥Х Ж •( °тт • а + Р )
+
в,
где
- ¥Х Ж '( Отах • “ + Р )
В( Отах) В(От1П)
(13)
(14)
-
-
_(К • К,)0,5.
\ т і /
Область существования множественности формируется уравнениями (8) и (9) с координатами на границах От1П и Отах:
[ Оті„, С/ ( Оті„ ) ] ; [ Отах, С/ ( О^ ) ] .
На рис. 1 показаны линии постоянного значения Qp в плоскости 8/ - Р для Qp = 3,0; 3,5; 4,0 г/(л-ч). Видно, что зависимость 8/от Р имеет максимум по уравнению (8) и минимум по уравнению (9), т. е. существуют предельные значения для 8/, при которых имеет место множественность.
О, ч"
Рис. 1. Линии постоянного значения Qp = 3,0; 3,5; 4,0, г/(л-ч *)
Для поиска экстремума значений 8/ удобно использовать метод нелинейного программирования для функции одной переменной - метод половинного деления [4].
Поиск максимального значения 8/ осуществляется в области Р:
О . - О .
тт тах
Критерий поиска:
С/1 _
В (О)
1 + 1- 4Кт • К
В-(О)
+
Ух С (а • О + в)
_ тах .
(15)
(16)
Поиск минимального значения 8/ осуществляется в той же области Р (15). Критерий поиска: в (Р)
-
1 - 1 - КК
В- (О)
+
^х / С (а • О + в)
_ тт
(17)
В результате поиска определяются значения Оі и Стах и значения О- и С/ т1п.
На рис. - показана линия постоянного значения Я, = 3,0 г/(л-ч) и отмечены границы области по О(От1п, Отах) и по т1п, С/ тах). На этом же рисунке показаны возможные варианты задания С/ (см. постановку задачи).
-
Р ч1
Рис. 2. Линия постоянного значения Qp = 3 г/(л-ч-1). Возможные варианты задания 8/(1, 2, 3) Задание Qp для существования множественности, очевидно, должно удовлетворять условию
Qp <Qpтах,
где Qpmx вычисляется для оптимальных условий [5].
На рис. 2 показаны три возможных варианта задания 8/: - линия 1, линия 2 и линия 3. Для линии 1:
Для линии 2:
Для линии 3:
8/ ( Рт1П )< 8/ < 8/ ( Ртах ) .
8/ ( Ртах )< 8/ < 8/ ( Ртт ) .
8/ < 8/ (Ртах ) .
(18)
(19)
(20)
Пересечения линий 1, 2 и 3 с линией, ограничивающей область множеств, есть решение задачи, т. е. дают координаты множественности состояний 8/ и Р, по которым вычисляются остальные показатели процесса: X, Р, 8.
Таким образом, если заданное значение 8/ находится в области (18), координаты стационарных состояний вычисляются по условию минимизации функции
Г,— 8/ —
В (Р)
1 + 1 — 4 К‘ Кг
В (Р)
+ -
Qp
а-Р + в
(21)
При этом находятся два решения в области Р:
Р„.„ < Р < Р
Р < Р < Р„
где Р\ - значение Р при максимальном значении 8/.
2
Если заданное значение 8 находится в области (19), первое стационарное состояние определяется условием минимизации функции ^2:
В (D)
1 - 1 -
4K -K,
В (D)
+ -
Q,
a-D + в
В области D
Второе решение вычисляется минимизацией F1 в области D:
D2 < D < Dmax ,
где D2 - значение D в точке минимума <Sy.
Если заданное значение Sf находится в области (20), оба стационарных состояния вычисляются минимизацией F2 в области D:
D . < D < D2;
mm 2 ’
D2 < D < D .
2 — ^ — ^max
Данными для расчета являются: значения параметров кинетического соотношения (табл.), величина продуктивности Qp, г/(л-ч) и концентрация субстрата в поступающем потоке Sf, г/л.
Таблица
2
Параметр Yx/s а в ^т Pm Km Ki
Значение 0,4 г/г 2,2 г/г 0,2 ч-1 0,48 ч-1 50 г/л 1,2 г/л 22 г/л
Принимаем заданное значение Qp и 5/ для одного из трёх вариантов в соответствии с (18), (19) и (20):
ЬР = 3,0 г/(л* ч):
1. 5/ = 34,23 г/л (по (18)).
2. = 19,26 г/л (по (19)).
3. 8 = 14,66 г/л (по (20)).
Вычисляем максимальное значение Qp [5]:
Qp
Pm
1 + 2 ( Km / K )0
= 4,09 г/(л-ч).
4
Показатели процесса:
5 = 5,138 г/л; Р = 25,0 г/л; X = 7,304 г/л; = 23,4 г/л; £ = 0,1636 ч-1.
1. Проверяется условие: Qp < QРmax, если имеет место Qp = Qpmax — решение единственное; если Qp > Qpmax — решения не существует. 3,0 < 4,09 — условие выполняется.
2. Вычисляется минимальное и максимальное значение Д по формулам (6) и (7):
Д™ = 0,0791 ч-1; £тах = 0,2481 ч-1 .
3. Вычисляем значения 8/ в точках Дть и Дтах по формулам (10), (13), (14):
8(Дтт) = 25,18 г/л 5Дтах) = 15,175 г/л.
4. Вычисляем максимальное значение Sf и минимальное значение Sf, используя метод половинного деления для функции Sf1 (16) и Sf2 (17). Получаем: (Dl, Sfmax) и (D2, Sfmin) Di =
= 0,11 ч-1; Sfmax = 37,31 г/л D2 = 0,22 ч-1; Sfmin = 13,51 г/л.
5. Расчёт стационарных состояний:
а) для варианта (18):
Sf = 34,24 г/л.
25,18 < 34,24 < 37,31.
Минимизация F1 по (21) даёт два значения D.
Стационарное состояние 1 :
D = 0,09; Sf = 34,24.
ВычисляемX, S, P по (1)—(3): X = 7,54 г/л; S = 15,39 г/л; P = 33,33 г/л.
Стационарное состояние 2:
D = 0,1424 ч-1; X = 5,85 г/л; S = 19,6 г/л; P = 21,13 г/л.
б) для варианта (19):
Sf = 19,26 г/л.
15,175 < 19,26 < 25,18.
Стационарное состояние 1:
D = 0,10 ч-1; X = 7,14 г/л; S = 1,40 г/л; P = 30,0 г/л.
Стационарное состояние 2:
D = 0,232 ч-1; X = 4,223 г/л; S = 8,702 г/л; P = 12,931 г/л.
в) для варианта (20):
Sf = 14,66 г/л.
14,66 < 15,175.
Стационарное состояние 1:
D = 0,17 ч-1; X = 5,23 г/л; S = 1,59 г/л; P = 17,65 г/л.
Стационарное состояние 2
D = 0,25 ч-1; X = 4,036 г/л; S = 4,497 г/л; P = 12,146 г/л.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордеева Ю. Л., Ивашкин Ю. А., Гордеев Л. С. Моделирование периодического процесса микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 1. - С. 37-42.
2. Гордеева Ю. Л., Ивашкин Ю. А., Гордеев Л. С. Алгоритмы расчета показателей процесса микробиологического синтеза в периодических условиях культивирования // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер. : Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 2. - С. 7-14.
3. Гордеева Ю. Л., Щербинин М. Ю., Гордеев Л. С. Стационарные состояния биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов. Множественность при заданной величине протока // Энциклопедия инженера-химика. - 2012. - № 8. - С. 23-27.
4. Ивашкин Ю. А. Системный анализ и исследование операций в прикладной биотехнологии. - М.: МГУПБ, 2005. - 196 с.
5. Гордеева Ю. Л., Щербинин М. Ю., Глебов М. Б. Повышение эффективности биотехнологических процессов с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов // Энциклопедия инженера-химика. - 2012. -№ 8. - С. 28-31.
REFERENCES
1. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S. Modelirovanie periodicheskogo protsessa mikrobi-ologicheskogo sinteza s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Modeling of periodical process of microbiological synthesis with nonlinear kinetics of microorganisms’ growth]. Vestnik Astrakhanskogo gosu-darstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel’naia tekhnika i informatika, 2011, no.
1, pp. 37-42.
2. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S. Algoritmy rascheta pokazatelei protsessa mikrobi-ologicheskogo sinteza v periodicheskikh usloviiakh kul'tivirovaniia [Algorithms of calculation of indices of the process of microbiological synthesis in periodical conditions of cultivation]. Vestnik Astrakhanskogo gosu-darstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel’naia tekhnika i informatika, 2011, no.
2, pp. 7-14.
3. Gordeeva Iu. L., Shcherbinin M. Iu., Gordeev L. S. Statsionarnye sostoianiia biotekhnologicheskikh protsessov s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov. Mnozhestvennost' pri zadannoi velichine protoka [Stationary conditions of biotechnological processes with nonlinear kinetics of microorganisms’ growth]. Entsik-lopediia inzhenera-khimika, 2012, no. 8, pp. 23-27.
4. Ivashkin Iu. A. Sistemnyi analiz i issledovanie operatsii v prikladnoi biotekhnologii [System analysis and investigation of the processes in applied biotechnology]. Moscow, MGUPB Publ., 2005. 196 p.
5. Gordeeva Iu. L., Shcherbinin M. Iu., Glebov M. B. Povyshenie effektivnosti biotekhnologicheskikh protsessov s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Increase in efficiency of biotechnological processes with nonlinear kinetics of microorganisms’ growth]. Entsiklopediia inzhenera-khimika, 2012, no. 8, pp. 28-31.
Статья поступила в редакцию 11.07.2012
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Гордеева Юлия Львовна — Московский государственный университет пищевых производств; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Компьютерные технологии и системы»; [email protected].
Gordeeva Yuliya Lvovna — Moscow National University of Food Production; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Computer Technologies and Systems"; [email protected].
Щербинин Максим Юрьевич — Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва; аспирант кафедры «Кибернетика»; [email protected].
Shcherbinin Maxim Yuryevich — Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow; Postgraduate Student of the Department "Cybernetics"; [email protected].
Гордеев Лев Сергеевич — Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов»; [email protected].
Gordeev Lev Sergeevich — Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Cybernetics of Chemical and Technological Processes"; [email protected].
Комиссаров Юрий Алексеевич — Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Электротехника и электроника»; [email protected].
Komissarov Yuriy Alekseevich — Mendeleev Russian Chemical and Technological University, Moscow; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Electrical Engineering and Electronics"; [email protected].
