Математическая модель непрерывного процесса в биореакторе с рециклом субстрата и биомассы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: УПРАВЛЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК [30.16:36.87-1 ]:22.183.5 ББК [663.1:519.8]:579.6

Ю. Л. Гордеева, Л. С. Гордеев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОЦЕССА В БИОРЕАКТОРЕ С РЕЦИКЛОМ СУБСТРАТА И БИОМАССЫ

Yu. L. Gordeeva, L. S. Gordeev

MATHEMATICAL MODEL FOR CONTINUOUS PROCESS IN BIOREACTOR WITH SUBSTRATE AND BIOMASS RECYCLE

Приведены результаты моделирования непрерывного биотехнологического процесса в аппарате с рециклом. Технологическая схема включает узел выделения продукта. Рецикл содержит субстрат и биомассу. Получены зависимости концентрации биомассы, субстрата и продуктивности от величины объемной скорости рецикла, величины протока и концентрации субстрата в поступающем потоке. Показано, что практически для всех значений входных параметров продуктивность в процессе с рециклом выше продуктивности при отсутствии рецикла. При постоянной нагрузке по субстрату возможно существование скорости протока, при которой субстрат полностью вымывается и процесс синтеза не протекает.

Ключевые слова: биотехнология, рецикл, математическое моделирование.

The results of the simulation of continuous biotechnological process in the apparatus with recycle are presented. The technological scheme includes a filter for the product. The recycle contains substrate and biomass. The dependencies of biomass and substrate concentrations and the productivity on the value of the recycle speed, the value of flow and substrate concentration in the inflow are obtained. It is shown that almost for all the values of input parameters the productivity during the process with recycle is higher than the productivity without the recycle. At constant load by substrate the flow speed is possible; in this case the substrate is completely removed and the process of synthesis takes no place.

Key words: biotechnology, recycle, mathematical modeling.

Введение

Изучению процессов микробиологического синтеза в технологических схемах с рециклом посвящено относительно небольшое количество публикаций. Известна обзорная публикация [1], в которой обстоятельно рассмотрены особенности процессов с рециклом с ориентацией на анализ экономической привлекательности этих процессов. Исследование включает оценку влияния рецикла газовой фазы на показатели процесса, рецикла жидкой фазы на показатели процесса, рецикла твердой фазы (клеток).

В монографиях [2, 3] имеются небольшие разделы, в которых анализируется влияние рецикла на технологические показатели процесса.

Краткий анализ публикаций по применению рецикла в процессах ферментации показал возможность повышения эффективности как для производства биомассы, так и для получения целевых продуктов метаболизма. Отметим, однако, что системы без циркуляции могут приводить к исчерпыванию возможности повышения их эффективности за счёт достижения оптимальных условий функционирования.

Использование систем с рециркуляцией требует их изучения с технологической точки зрения. Анализ необходим для определения возможности реального осуществления процесса и включает оценки предельных значений протока D в зависимости от показателя объёмной ско-

рости рецикла DR, ограничений по концентрации субстрата в поступающем потоке Sf, возможности появления множественности стационарных состояний, устойчивости процесса и др. Получение этой информации возможно только с использованием математического моделирования процесса с последующей экспериментальной проверкой.

Описаны различные варианты соединения ферментера с системой разделения для различных способов функционирования (непрерывный, периодический, полупериодический, с подпиткой субстратом и др.).

Наибольший интерес представляет схема с непрерывным способом функционирования и непрерывным отводом продукта из потока рецикла после ферментации (рис. 1).

Математическая модель процесса представляет собой уравнения материального баланса по следующим компонентам: субстрату S, биомассе X и продукту P.

В расчетах использовались следующие условные обозначения: ц,тах - максимальная

P - концентрация продукта, г/л; Sf - концентрация субстрата в поступающем потоке, г/л; Рт -константа насыщения продукта, г/л; Кт - константа насыщения субстрата, г/л; К - константа

QS = DSf - нагрузка по субстрату, г/(л ч); Qp - продуктивность, г/(л ч); Ух/Б, а, в - константы. Кинетические соотношения [4]:

б б + QR

±6р = D(D + DR)P б + QR б

QR

Б, X

Рис. 1. Схема процесса биосинтеза с рециркуляцией биомассы и субстрата

удельная скорость роста, ч-1; X - концентрация биомассы, г/л; S - концентрация субстрата, г/л;

ингибирования, г/л; Q - объемная скорость потока через ферментер, м3/ч; V - объем заполнения ферментера, м3; D = Q/V - величина протока, ч-1; QR - объемная скорость потока циркуляции, м3/ч; DR = QR/V - объемная скорость потока циркуляции на единицу объема аппарата, ч-1;

Уравнения материального баланса:

БХ + цХ = 0,

(1)

-(D + DR ) Р + ( ац + в ) X = 0.

Количество выводимого продукта:

бр = (Б + Б,)Р .

(2)

Из системы (1) получаем уравнение относительно Б:

ЛБ2 - ВБ - С = 0.

Решение уравнения (3) имеет вид

S =■

(4)

где

^тах^Х/ХК1

(5)

(6)

(7)

По решению (4) вычисляются показатели процесса X, Р, С. Количество выводимого продукта Qp вычисляется по соотношению (2).

Математический анализ. Моделирование процесса

Существование решения системы (1) для исходных данных Q, QR, Sf означает, что технологический режим может быть реально осуществлён.

Однако особенности процессов микробиологического синтеза требуют введения технологических ограничений, которые необходимо учитывать при задании исходных данных для реализации процесса. Следующие ограничения очевидны:

Если концентрация S на выходе из системы равна Sf, это означает, что субстрат вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза.

Далее, процесс синтеза возможен только при условии

означает наличие в системе рецикла.

Если QR равно нулю, схема будет соответствовать однопоточной, т. е. без рециркуляции.

Приведёнными ограничениями (8)-(10) задача оценки возможности реального осуществления процесса не исчерпывается. Необходимо обратиться к условиям существования решения (4) в рамках технологических ограничений (8)-(10).

Учитывая по условию (8), что S > 0, рассмотрим условия существования решения (4) в зависимости от значений В, DR и Sf.

1. Если А > 0, В > 0, решение (4) принимаем со знаком корня «+».

2. Если А > 0, В < 0, решение (4) принимаем со знаком корня «+».

3. Если А < 0, В < 0, решение (4) с выбором знака корня из условия S < Sf. Здесь необходимо учесть ограничение по дискриминанту, т. е. выполнение условия

0 < S < Sf .

(8)

Q > 0, (D > 0) .

(9)

Условие

QR > 0, (DR > 0) .

(10)

При А = 0, В < 0 5

С

В

(11)

При В = 0, А < 0 решения не существует.

4. Если А < 0, В > 0 решения, (4) не существует.

(12)

(13)

Таким образом, условия возможности реализации процесса необходимо оценить значениями вектора О = (D, DR, Sf), обеспечивающими выполнение (11)-(13).

Определяем соотношения между D и DR при А = 0:

А = ( аР + в)-

(Р + ) РРт

т

ГДЄ т = ^тЛі8Кг •

Для любого Р вычисляем DR = по соотношению

( аР + в) РР_

т

(14)

Или для любого значения DR вычисляем значение В (обозначим В ), для которого А = 0:

. ( ат - РтВ}

В ___ _______т Л + ________т 1\ +

2Р

т у

2Р

вт

Р.

(15)

Соотношения (14) и (15) дают возможность оценить знак А в зависимости от DR (по формуле (14)) и В (по формуле (15)).

По численной оценке для данных таблицы получаем условие по Вр.

при > Р*к А < 0

при А = 0

при А > 0

(16)

Условие по Р:

Значения кинетических констант [5]

Цтах, Ч о! 4 Кі, г/л Yx/s, г/г а, г/г в, ч-1

0,48 50 1,2 22 0,4 2,2 0,2

при Р > Р* А < 0 при Р = Р* А = 0 при Р < Р* А > 0

Запишем условие для В = 0 по (6):

В = (аР + р)-

( Р + Рл ) Рт

Цшах¥Х

( Цшах - Р ) = 0.

Х/Б

Решение (18) относительно DR будет:

=

- Р,

(17)

(18)

(19)

где п = БУХ,8 ц

/ Х/Б Цшах •

Используя (18), запишем соотношение для В:

В _

Р (и - ) - ап

т тах R

2Р

Р (и - ) - ап

т тах R

2Р

Р и В - вп т тах R

Р

Соотношение для Sf по (18) будет

£** _ Рт (В + ВК )(итах - В)

f итах^Х/£ (аВ + Р)

По численной оценке для данных таблицы для В^

при DR > В^* В < 0 при DR _ В^* В _ 0 при DR < В^* В > 0

при В < В * В < 0 при В _ В * В < 0 при В > В * В > 0

при Sf < £** В < 0 при Sf _ £* В _ 0 при Sf > £* В > 0

Получаем для В:

Для Sf получаем:

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Запишем условие неотрицательности дискриминанта в (4). Условие относится к варианту, когда А < 0 и В < 0.

В соотношение

В2 + 4АС _ 0, А < 0,

подставим выражения (5)-(7). Получим

^ (о° + Р)-( В + 1" ) Рт ( Итх - В)

Мтх^

>±2-

(В + DR ) ВРтКт

Цтах^

(В + Вк ) ВРт

Мтх^

-(аВ + Р)

12

. (25)

Из формулы (25) формируем условие для Sf.

Sf >/ 1 ч

f (аВ + Р)

(В + DR) Рт

Мтах^

(итах - В)± 2

(В + DR ) ВРтКт

1/2

итсХ

-(аВ+Р)

итах'^Х^

. (26)

Соотношение (26) дает два значения для Sf.

Sf 1 >/ 1 ч

f1 (аВ + Р)

(В + DR) Рт

Мтах^

(итах - В) + 2

(В + DR ) ВРтКт

Мтах^

12

-(аВ + Р)

12

» + ,

итах'^Х^

, (27)

+

т

т

т

S.2 i(D + Dr]Pm -D)-2

f2

( aD + Р )| .max^X/S

Численный анализ показал:

(D + Dr ) DPKm

12

.maxY

X/S

(D + Dr ) DPm

.maxY

-(aD + p)

X/S

1/2"

если Sf < Sf 2, то B2 - 4AC > О;

если Sf > Sf1, то B2 - 4AC > О ; если Sf 2 < Sf < Sf 1, то B2 - 4AC < О .

. (28)

(29)

(30)

(31)

Таким образом, к ранее полученным ограничениям необходимо добавить условия (29) и (3О).

Соотношения (15)-(24) и (27)-(31) являются основой формирования условий возможности реального осуществления процесса синтеза.

Моделирование процесса выполняем для реальных условий его осуществления. Необходимо задать исходную информацию в соответствии с технологическими требованиями. Задание на моделирование в наиболее общем случае включает:

- область значений Sf, определённую технологическими возможностями:

min Sf < Sf < max Sf .

- область значений величины протока D:

О < min D < D < max D .

Значение величины потока циркуляции изначально может не задаваться и выбираться в результате расчета. Ограничение по Dp имеет вид (1О).

Для вычисления величины потока циркуляции на границе области задания по D используем уравнение (15), в котором обозначим:

У _

am - PmDR

2Pm

Тогда по (15) запишем:

У2 + fim.

p,

D _ У + ]/

Используя выражение (33) и учитывая (32), получаем выражение для DR:

(32)

(33)

m

Dp _^— I a + —г I-D .

в

Р I В

т V

Так как на границе области задания D может принимать значения или т1п В илитах В, получим значения Вк на границе области по В:

Dp ( min D )_ m

P

a + -

P

\

D

- D ,

m V min J 1

Dp ( max D )_ ^

(

a+

P

m V max D J

- D ,

Из соотношений (34) и (35) следует:

DR ( min D )> DR ( max D) .

Если Dr = О, значение D* по (15) будет

(34)

2P \

m '

f Y/2

a m 2P

m /

+ . (36)

Pm

Поскольку для процесса с циркуляцией Вк > 0, очевидно ттВ и тахВ должны удовлетворять условию:

В < В0,

В < В0, (37)

mm

max

Так как maxD >mmD, условия (37) и (38) преобразуются в одно:

maxD < D0. (38)

Из соотношения (39) следует, что если в исходной постановке имеет место

maxD > D0, (39)

то исходное задание по maxD должно быть скорректировано, т. е. уменьшено с учетом (38).

На рис. 2 приведены зависимости показателей процесса от величины протока D при Dr = 0,4 ч-1 и Sf = 32,99 г/л; на рис. 3 - для DR = 0,2 ч-1.

Поясним рис. 2 и 3. Область изменения величины протока D удовлетворяет ограничениям на условия реальной осуществимости процесса. Это же относится и к выбору значения Sf для моделирования. Ограничений на величину циркуляционного потока DR нет.

Таким образом, для рис. 2 имеем: D (по (15)) = 0,061 ч-1; D (по (20)) = 0,321 ч-1; условие A < 0 будет для D > D ; B < 0 - для D < D ; максимальное значение D = D0 (по (36)) = 0,252 ч-1; максимальное значение D по условию дискриминанта равно 0,246 ч-1. Таким образом, значение maxD должно быть принято равным 0,246 ч-1.

Для рис. 3 имеем: D* (по (15)) = 0,123 ч-1; D** (по (20)) = 0,266 ч-1; условие A < 0 будет для D > D ; B < 0 — для D < D ; максимальное значение D = D0 (по (36)) = 0,253 ч 1; максимальное значение D по условию дискриминанта равно 0,215 ч-1. Таким образом, значение maxD должно быть принято равным 0,215 ч-1.

5, X, Р, Qp

Рис. 2. Зависимости концентрации биомассыX, г/л; концентрации субстрата Б; г/л; концентрации продукта Р, г/л; продуктивности QP, г/(л. ч), от величины протока В, ч-1, при Sf = 32,99 г/л и Вк = 0,4 ч-1

Рис. 3. Зависимости концентрации биомассы X, г/л; концентрации субстрата Б, г/л; концентрации продукта Р, г/л; продуктивности Qp, г/(л. ч), от величины протока В, ч-1, при Sf = 32,99 г/л и Вк = 0,2 ч-1

На рис. 4 приведены зависимости показателей процесса от Sf при В = 0,15 ч-1 и Вк = 0,4 ч-1. Поскольку значения В и Вк находятся в допустимых пределах, необходимо уточнить область

определения по Б/. Б** (по (28)) = 89,18 г/л; = 101, 98 г/л, Бр2 = 76,376 г/л (по формулам (27),

(28)). При Бр> 5/1 В > 0, А < 0 и в соответствии с (13) решений нет. Таким образом, тахБрдолжно быть принято равным 76,376 г/л.

На рис. 5 приведены зависимости показателей процесса от величины объёмной скорости циркуляционного потока Вк при Бр = 32,99 г/л и В = 0,15 ч-1. Поскольку все исходные данные находятся в допустимых пределах, ограничений на величину Вк нет.

Рис. 4. Зависимости концентрации биомассы X, г/л; концентрации субстрата Б, г/л; концентрации продукта Р, г/л; продуктивности QP, г/(л ч), от величины Бр, г/л, при В = 0,15 ч-1 и Вк = 0,4 ч-1

5, X, Р, Ц,

30

25 20 15

10

5

0

Рис. 5. Зависимости концентрации биомассы X, г/л; концентрации субстрата Б, г/л; концентрации продукта Р, г/л; продуктивности QP, г/(л. ч), от величины потока циркуляции Вк, ч-1,

при = 32,99 г/л и В = 0,15 ч-1

По приведённым результатам моделирования отметим следующее. Изменение В (рис. 2 и 3) и изменение Бр (рис. 4) фактически означает увеличение общей нагрузки по субстрату на микроорганизмы. Если величину нагрузки по субстрату принять в виде Qs.

Qs = ВБр ,

нетрудно видеть, что для данных на рис. 2 эта нагрузка меняется от 1,65 до 8,08 г/(л. ч); для рис. 3 - от 1,65 до 7,06 г/(л. ч); для рис. 4 - от 1,5 до 11,4 г/(л ч), хотя изменение нагрузки для рис. 2-4 происходит по разным причинам.

На рис. 6 приведены зависимости показателей процесса от В при Вр = 0,4 ч-1 и постоянной нагрузке по субстрату Qs = 2 г/(л. ч). Максимальное значение В здесь получилось равным 0,326 ч-1, при этом Бр = 6,144 г/л и значение Б на выходе из ферментёра равно также 6,144 г/л.

5, X, Р, Ц„

35

30 25 20 15 10 5 0

0 ОД 0,2 0,3 0,4

Рис. 6. Зависимости концентрации субстрата в питании ^ г/л; концентрации биомассы X,г/л; концентрации субстрата Б, г/л; концентрации продукта Р, г/л; продуктивности QP, г/(л. ч), от величины протока В, ч-1, при QS = 2 г/(л. ч) и Вр = 0,4 ч-1

Заключение

Результаты моделирования показали следующее.

1. Введение рециркуляции повышает продуктивность процесса по сравнению со схемой без рециркуляции (на рис. 2 и 3 показаны значения продуктивности в схеме без рециркуляции).

2. Введение рециркуляции увеличивает область нагрузки по величине протока D по сравнению со схемой без рециркуляции.

3. Увеличение потока циркуляции увеличивает величину продуктивности QP, однако скорость возрастания QP при некоторых DR уменьшается, что дает возможность ограничить величину Dr при достижении необходимого значения QP.

4. Использование технологических и математических ограничений определяет возможности реального осуществления процесса. Этот прогноз не может быть выполнен на основании только экспериментальных исследований.

5. Показано, что при сохранении единого значения нагрузки по субстрату QS возможно существование условий для полного вымывания субстрата. Так как это наблюдается при уменьшении Sf и увеличении D, можно предполагать, что при этом уменьшается скорость потребления биомассы с одновременным уменьшением среднего времени пребывания (т = 1/D ).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hamer G. Recycle in fermentation processes / G. Hamer // Biotechnol. and Bioeng. — 1982. — N 24. — P. 511—531.

2. Иванов В. Н. Клеточный цикл микроорганизмов и гетерогенность их популяций / В. Н. Иванов, Г. А. Угодчиков. — Киев: Наук. думка, 1984. — 280 с.

3. Бирюков В. В. Основы промышленной биотехнологии / В. В. Бирюков. — М.: Колосс; Химия, 2004. — 296 с.

4. Гордеева Ю. Л. Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. — 2011. — № 1. — С. 37—42.

5. Гордеева Ю. Л. Моделирование процессов микробиологического синтеза с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов / Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев, М. Б. Глебов. — М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2011. — 100 с.

REFERENCES

1. Hamer G. Recycle in fermentation processes. Biotechnol. and Bioeng., 1982, no. 24, pp. 511—531.

2. Ivanov V. N., Ugodchikov G. A. Kletochnyi tsikl mikroorganizmov i geterogennost' ikh populiatsii [The cell cycle of microorganisms and heterogeneity of their population]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1984. 280 p.

3. Biriukov V. V. Osnovypromyshlennoi biotekhnologii [The basics of industrial biotechnology]. Moscow, KolosC, Khimiia Publ., 2004. 296 p.

4. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S. Modelirovanie protsessov mikrobiologicheskogo sinteza s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Modeling of the processes of microbiological synthesis with nonlinear kinetics of microorganisms’ growth]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo uni-versiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel’naia tekhnika i informatika, 2011, no. 1, pp. 37—42.

5. Gordeeva Iu. L., Ivashkin Iu. A., Gordeev L. S., Glebov M. B. Modelirovanie protsessov mikrobiologicheskogo sinteza s nelineinoi kinetikoi rosta mikroorganizmov [Modeling of the processes of microbiological synthesis with nonlinear kinetics of microorganisms’ growth]. Moscow, RKhTU im. D. I. Mendeleeva, 2011. 100 p.

Статья поступила в редакцию 16.04.2013 ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гордеева Юлия Львовна - Московский государственный университет пищевых производств; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Компьютерные технологии и системы»; [email protected].

Gordeeva Yulia Lvovna - Moscow State University of Food Production; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Computer Technologies and Systems"; [email protected].

Гордеев Лев Сергеевич — Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов»; [email protected].

Gordeev Lev Sergeevich — Mendeleev’s Russian Chemically-Technological University,

Moscow; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Cybernetics of Chemically-Technological Processes"; [email protected].