Устойчивость стационарных состояний процесса биотехнологического получения молочной кислоты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94.576

ББК 32.965.5:34.725.001.57

Ю. Л. Гордеева, Ю. А. Ивашкин, Л. С. Гордеев

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ ПРОЦЕССА БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ

Yu. L. Gordeeva, Yu. A. Ivashkin, L. S. Gordeev

STATIONARY STATE STABILITY OF THE PROCESS OF LACTIC ACID BIOTECHNOLOGICAL PRODUCTION

Получены соотношения для оценки устойчивости стационарных состояний процесса микробиологического синтеза молочной кислоты. В основу положены кинетические зависимости для удельной скорости роста биомассы, расходования субстрата и получения продукта. Оценка устойчивости проведена методом Рауса - Гурвица, элементы матрицы для которого получены линеаризацией уравнений нестационарной математической модели. Результаты оценки соответствуют понятию устойчивости по Ляпунову. Приведены численные результаты для некоторых стационарных состояний.

Ключевые слова: молочная кислота, стационарное состояние, устойчивость.

The equations for evaluation of the stationary state of lactic acid microbiological synthesis have been received. The kinetic dependencies for specific biomass growth rate, consumption of the substrate and lactic acid production are taken as a basis. Raus - Hurwitz method has been used for evaluation of the stability. The matrix elements have been determined by linearization of non-stationary mathematical model equations. The results of the estimation correspond to Lyapunov’s stability concept.

The numerical results for some of the stationary states are presented.

Key words: lactic acid, stationary state, stability.

Введение

Устойчивость стационарных состояний является основополагающим условием, определяющим формирование системы управления технологическим процессом. Понятие устойчивости по Ляпунову заключается в следующем. При малом отклонении параметров процесса от стационарных условий система с течением времени возвращается в исходное стационарное состояние. Такое состояние называется устойчивым. Если параметры процесса со временем продолжают отклоняться от стационарных условий больше и больше, то состояние неустойчиво.

Неустойчивость может привести или к затуханию процесса, т. е. к прекращению биосинтеза, или, возможно, к аварийным ситуациям. В этом случае необходимо использовать систему управления, обеспечивающую процесс синтеза в неустойчивой стационарной точке. Исследовать возможности процесса, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость, экспериментально крайне затруднительно или вообще невозможно, поэтому почти единственной возможностью прогнозировать состояние устойчивости того или иного стационарного состояния является математическое моделирование.

Моделирование нестационарного процесса биосинтеза

В настоящем сообщении рассматривается математическая модель процесса биосинтеза молочной кислоты, получившая обширные экспериментальные подтверждения в работах [1-7], выполненных на различных штаммах, различных питательных средах (субстратах), при различных показателях pH. Наиболее глубокое исследование кинетики приведено в [6-8].

В работе приняты следующие обозначения: D - величина протока (отношение объемной скорости к объему заполнения ферментера), ч-1; Ki - константа ингибирования продуктом, г/л; Ks - субстратная константа насыщения, г/л; P - концентрация молочной кислоты, г/л; Pi - предельная концентрация молочной кислоты, г/л; Pm - максимальная концентрация молочной кислоты, г/л; Qp - продуктивность, г/(л • ч); qpmax - максимальная удельная скорость образования продукта, г/(г • ч); qsmax - максимальная удельная скорость утилизации субстрата, г/(г • ч); S - концентрация субстрата, г/л; Sf - концентрация субстрата в поступающем потоке, г/л; t - время, ч; X - концентрация биомассы, г/л; a - константа модели Людекинга - Пайри, г/г; в - константа модели Людекинга - Пайри, г/(г • ч); m - удельная скорость роста биомассы, ч-1; mmax - максимальная удельная скорость роста, ч-1.

В основу оценки скорости образования продукта (молочной кислоты) положены следующие уравнения [9]:

(1)

(2)

Использование соотношений (1) и (2) приведено в работе [7], в которой введены понятия различающихся удельных скоростей образования биомассы, расходования субстрата и образования продукта при единообразии формы записи.

Удельная скорость роста биомассы:

^ =т тах

V Кзх + 5 У

V

Р - Р ,

тх IX У

к

V К1Х + 5 у

Удельная скорость образования продукта:

ртах

5

К + 5

V зр

Р - Р

1р

1 -Р - Р

V *тр *1р у

К

гр

Кр + 5

V 1р У

Удельная скорость расходования субстрата:

(

* ^Бтах

5

л

V Кзз + 5

Р - Р

1 ± ± гз

V

Р_ - Р.

К

\

К, + 5

У V тз гз у\ гз

Математическая модель для нестационарного процесса имеет вид:

сК

:тп

К„5

С5

= О (5, - 5)- я

К,хК,х + ( К,х + Кх ) 5 + 52 Ртх - Рх

КЛ

Р - Р

тх -X - ОХ :

КК +(К*з + Кз)5 + 52 Ртз -Ргз

X.

(3)

(4)

сР

:а^п

К5

Р - Р

тх -X +

КзхКх + ( Кзх + Кх ) 5 + 52 Ртх - Рх

+я

К,р5

р тах

__________________________________ Ртр - Р

КзрКгр +( Кзр + Кгр ) 5 + 52 Ртр - Ргр

X - ОР.

Стационарное состояние процесса отвечает условиям:

dX|dt = С5/С1 = СР/ ^ = 0 .

(5)

(6)

Поскольку система уравнений (3)-(5) с учетом (6) является нелинейной, необходимо учесть возможность существования неединственного решения, т. е. множественности стационарных состояний.

Введем обозначения:

М = Р - Р • М = Р - Р • М = Р - Р •

1±х * тх * гх ’ 1± з * тз ±гз^ 1±р * тр * гр ?

N (5 )=тп

Кгх5

КзхКгх +( Кзх + Кгх ) 5 + 52

N3 (5 ) = Яз

Кгз5

КззКгз +( Кзз + Кгз ) 5 + 52 ’

Г

\

V

з тах

Ыр (5) = д 1р

Р тах К,рК1р +(Кр + К1р) 5 + 52 '

С учетом принятых обозначений система (3)-(5) примет вид:

^ = р (Х,5,Р) = М.(рш -р)X-ОХ ; (7)

^ = Р (X,5,Р =)О(5/ -5)-М-(Рт, -Р)X; (8)

(Р N —

— = р3 (X, 5, Р) = а —^ (Ртх - Р) X + —^ (Ртр - Р) X - ОР. (9)

м v ’ ыхУтх> ы^тр >

Показатели стационарных состояний - Xст, 5ст, Рст получаются в результате решения системы уравнений (7)-(9) при выполнении соотношения (6). Нестационарное состояние в малой

окрестности стационарного состояния описывается линеаризованной системой уравнений

(7)-(9) в виде:

= 0,5! + 6152 + сД; (10)

ж

^ = 025, + ^ + с^5з; (11)

м

^5з = о351 + Ь352 + с353, (12)

м

где 5Ь 5г, 53 - малые отклонения от показателей стационарного состоянияXст, 5ст, Рст соответственно.

Коэффициенты уравнений о, Ьь с рассчитываются с использованием разложения функций рь р2 и р3 в ряд Тейлора и сохранением членов ряда, зависящих от 5i в первой степени.

Таким образом, для о1 , Ь , и с имеем:

0 = (§ I; Ь = (§ )„; с = (§1 , ’=1'2,3

где частные производные вычисляются для соответствующего стационарного состояния. Формулы для вычисления коэффициентов ОI, ЬI, с I приведены в табл. 1.

Таблица 1

Формулы для вычисления коэффициентов

Коэффициент Расчетная формула

ах 0

Ьі К К 52 ОХсЛ (5ст ) " К 52СТ "тах Кіх5ст

Сі 0— х ст Ртх - Рст

аг - М ( Р„ - Рст ) N ( 5ст )

Ь 1 К К 52 -О - М (Р» - Рст ) ХсЛ (5ст ) 55 К / Шз д5 тах КІ55ст

С2 - М XстМ, ( 5ст )

аз «° + М- (Ртр - Рст ) N ( 5ст )

Продолжение табл. 1

Коэффициент Расчетная формула

Ь К К С 2 1 К К С2 «озд () КгК—^++М- (РтР — р) X стлР () ;р К " г^шахК/ХСст М р ЧршахК/рСст

съ ——Х„ — XСТЛ„ () — В Мх ст Мр рУ ст;

Л ( С ) = II К/хС ст . Д ст] ^ к^/х +(К + К/х ) ССт + Сс2т ;

Л ( С ) = ч КхСст , 5 \ ст/ шах А_1 ЪГ -1- V С л_^2 ’ К33Ки +(К55 + К/) Сст + Сст

К С ~\Т ( С' \ /р ст р ( ст) = ЧР шах КрКр + (Кр + Кр) Сст + Сс2т

Условия устойчивости

Условия устойчивости сформулированы для линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения п-го порядка имеет вид

р0гп + р1гп"1 + р2гп~2 +... + Рп = о . (13)

Необходимым и достаточным условием устойчивости по Раусу - Гурвицу [10] является положительность п первых диагональных миноров матрицы:

Р1 ро 0 0 0 ...

Рз Р2 Р1 Ро 0 0 0 ...

Р5 Р4 Рз Р2 Р1 Р0 0 0 ...

Р7 Рб Р5 Р4 Р3 Р2 Р1 Р0 0 ...

Диагональным минором /-го порядка называется определитель, который получается, если в матрице отделить / столбцов слева и / строк сверху. Если в уравнении п-го порядка (13) отсутствуют какие-либо коэффициенты, они в матрице заменяются нулями.

Рассматриваемая система уравнений (10)-(12) приводится к одному дифференциальному уравнению 3-го порядка:

й 351 й 261 йЪ1 _ .

Р0 ~3~ + Р1—72Г + Р2 ~Г + Р361 = 0, (14)

йГ Ж й

где

Р0 = А; (15)

Р1 =- [°1А+(Н3Ь1 - н2с1)]; (1б)

Р2 = — [М1А + Л2 (а1с1 + М3 ) — Л3 (а1Ь1 + М2 )] ; (17)

Р3 = — [лА + Л2 (М1с1 — М3а1) — Л3 (М1Ь1 — М2а1)] . (18)

Коэффициенты в соотношениях (15)-(18) рассчитываются по следующим формулам:

М1 = Ь1а2 + с1а3; М2 = Ь1Ь2 + с1Ь3 ; М3 = Ь1с2 + с1с3;

Л1 = М2а2 + М3а3; Л2 = М2Ь2 + М3Ь3; Л3 = М2с2 + М3с3 ;

А = М3Ь1 — М2с1.

Таким образом, необходимое и достаточное условие устойчивости для дифференциальных уравнений 3-го порядка будет иметь вид:

Pi >0;

p1 P0 0

Pi P0 > 0;

Pз p2 Pi

Pз P2 0 0

Pз

> 0.

(19)

Нетрудно видеть, что условия (19), кроме тривиальных (р1 > 0, / = 0,1, 2,3), включают одно нетривиальное условие:

Р1Р2 — Р3Р0 > 0. (20)

При этом, если р1 р2 — р3р0 будет равно нулю, система будет находиться на границе устойчивости.

Отметим, что соотношение (20) для дифференциального уравнения 3-го порядка было получено И. А. Вышнеградским и К. Максвеллом.

Численные результаты исследования устойчивости

Для численного исследования устойчивости были использованы данные, приведенные в табл. 2 [2].

Для оценки выбраны три стационарных состояния.

Стационарное состояние 1. Отвечает максимальному значению продуктивности шах^Р процесса по молочной кислоте, где Qp = ВР. Стационарное состояние характеризуется следующими значениями показателей: В = 0,5 ч-1; X = 3,37 г/л; С = 20,032 г/л; Р = 24,9 г/л; Б- = 46,8 г/л; maxQp = 12,42 г/(л • ч).

Стационарное состояние 2. Отвечает максимальному значению продуктивности процесса при условии, что величина протока В задана и существует ограничение сверху на концентрацию субстрата в поступающем потоке Б- Стационарное состояние характеризуется следующими значениями показателей: В = 0,8 ч-1 (задано); шахСу = 100 г/л (ограничение по Б-); X = 1,72 г/л; Б = 20,032 г/л; Р = 9,82 г/л; Б- = 30,39 г/л; maxQp = 7,85 г/(л • ч).

Стационарное состояние 3. Отвечает максимальному значению продуктивности при условии, что задана величина концентрации субстрата в поступающем потоке - Б- Стационарное состояние характеризуется следующими значениями показателей: В = 0,49 ч-1; X = 3,45 г/л; Б = 33,3 г/л; Р = 24,95 г/л; Б- = 60 г/л (задано); maxQp = 12,23 г/(л • ч).

Таблица 2

Данные для кинетических соотношений

Для образования биомассы

.1 Цшах? ч 1,10

Ksx, г/л 1,з2

Kx, г/л з04

Pix, Г/Л 1,з9

Pmx, Г/Л 49,9

Для утилизации субстрата

qsmax, Г/(Г ■ ч) з,42

Kss, Г/л 2,05

Kis, г/л 140

Pis, Г/л 4?,1

P ms, Г/л 95,5

Для образования продукта

а, г/г 0,з9

qPmax(=P), Г/(Г ■ Ч) з,02

Ksp, г/л 2,05

Kip, г/л 140

Pip, г/л 4?,1

Pто, г/л 95,5

Численные значения показателей стационарных состояний получены при решении соответствующих оптимальных задач.

зі

Вычисление коэффициентов характеристического уравнения (14) по формулам (15)-(18) с использованием соотношений из табл. 1 и оценка условий устойчивости по соотношениям (19) показали, что все три рассмотренные стационарные состояния являются устойчивыми.

На рис. 1-3 показаны кривые нестационарных процессов, рассчитанные по уравнениям (10)-(12) для трех стационарных состояний. Величина возмущений для первых двух стационарных состояний принята в положительном направлении:

— для стационарного состояния 1: при t = 0 5° = 5^ = 63 = 0,1;

— для стационарного состояния 2: при t = 0 50 = 5^ = 63 = 0,05 .

6, г/л

5, г/л

Ь ч

Ь ч

Рис. 1. Переходный процесс в окрестности Рис. 2. Переходный процесс в окрестности стационарного состояния 1 при величине стационарного состояния 2 при величине

возмущений 50 = 52 = 50 = 0,1

возмущений 50 = 50 = 50 = 0,05

5, г/л

Ь ч

Рис. 3. Переходный процесс в окрестности стационарного состояния 3 при величине возмущений 50 = 52 = 53 = —0,1

Для стационарного состояния 3 величина возмущений принята в отрицательном направлении: при t = 0 50 = 50 = 50 = —0,1.

Все кривые на рис. 1-3 представляют собой затухающие процессы, что и следует из условия устойчивости. Однако отметим значительную длительность процесса, превосходящую величину среднего времени пребывания (величина обратная В) в несколько раз.

Заключение

Сформулированы этапы оценки показателей устойчивости стационарных состояний непрерывного процесса биосинтеза молочной кислоты: расчет стационарных состояний по ма-

тематической модели; расчет коэффициентов линеаризованной модели; сведение системы трех дифференциальных уравнений 1-го порядка к одному дифференциальному уравнению 3-го порядка; расчет коэффициентов и использование метода Рауса - Гурвица. Численные расчеты для трех стационарных состояний для значений параметров, приведенных в табл. 2, показали устойчивость этих состояний. При других численных значениях параметров, естественно, могут возникнуть условия неустойчивости. Анализ кривых переходных процессов показал их значительную длительность по сравнению со средним временем пребывания в ферментере. В результате исследования имеется практическая возможностью оценить устойчивость стационарного состояния для заданных технологических показателей процесса - величины протока D и концентрации субстрата в поступающем потоке Sf для любых значений продуктивности Qp до максимально возможного значения. Разработанная методология дает возможность теоретического анализа устойчивости стационарных состояний при наличии их множественности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rogers P. L., Bramall L., McDonald I. J. Kinetic analysis of batch and continuous culture of Streptococcus cremoris HP // Can. J. Microbiol. - 1978. - N 24. - P. 372-380.

2. Nielsen J., Nicolajsen K., Villadsen J. Structured modeling of a microbial system: II. Experimental verification of a structured lactic acid fermentation model // Biotechnol. and Bioeng. - 1991. - N 38. - P. 11-23.

3. Concomitant substrate and product inhibition kinetic in lactic asid production / L. M. D. Gonsalves, A. M. R. B. Xavier, J. S. Almeida, M. J. T. Carrondo // Enzume Microb. Technol. - 1991. - N 13. - P. 314-319.

4. Kinetics of lactic asid fermentation on glucose and corn by Lactobacillus amylophilus / P. Mercier, L. Ierushalmi, D. Pouleau, D. Dochain // J. Chem. Tech. Biotechnol. - 1992. - N 55. - P. 111-121.

5. Kinetics and modeling of lactic asid production by Lactobacillus plantarum / F. V. Passos, H. P. Fleming, D. F. Ollis at al. // Appl. Environ. Microb. - 1994. - N 60. - P. 2627-2636.

6. Kinetics of lactic asid fermentation by Lactobacillus delbrueckii grown on beet molasses / J. M. Mon-teaguado, L. Rodriegues, J. Rincon, J. Fuertes // J. Chem. Tech. Biotechnol. - 1997. - N 58. - P. 71-276.

7. Batch and continuous culture of Lactococcus lactis NZ133: experimental date and model development / M. Boonmee, N. Leksawasdi, W. Bridge, P. L. Rogers // Biochem. Eng. Journal. - 2003. - N 14. - P. 127-135.

8. Nandasana A. D., Kumar S. Kinetic modeling of lactic asid production from molasses using Enterococ-cus faecalis RKYJ // Biochem. Eng. Journal. - 2008. - N 38. - P. 277-284.

9. Luedeking R., Piret E. L. A kinetic study of the lactic acid fermentation // J. Biochem. Microbiol. -1959. - N 1. - P. 393-412.

10. Теоретические основы связи и управления / А. А. Фельдбаум, А. Д. Дудыкин, А. П. Мановцев,

Н. Н. Миролюбов. - М.: Физматгиз, 1963. - 932 с.

Статья поступила в редакцию 18.01.2012

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Гордеева Юлия Львовна - Московский государственный университет пищевых производств; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Компьютерные технологии и системы»; [email protected].

Gordeeva Yulia Lvovna - Moscow State University of Food Production; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Computer Technologies and Systems";

[email protected].

Ивашкин Юрий Алексеевич - Московский государственный университет пищевых производств; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Компьютерные технологии и системы»; [email protected].

Ivashkin Yuriy Alekseevich - Moscow State University of Food Production, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department "Computer Technologies and Systems"; [email protected].

Гордеев Лев Сергеевич - Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, Москва; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Кибернетика химико-технологических процессов»; [email protected].

Gordeev Lev Sergeevich - Russian Chemical Technological University named after D. I. Mendeleev, Moscow; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department "Cybernetics of Chemical and Technological Processes"; [email protected].

зз