CC BY
24
УДК 574.6.663.1
Ю. Л. Гордеева, В. М. Емельянов, Е. Л. Гордеева, С. А. Понкратова
ОПТИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ ПО ВЕЛИЧИНЕ ПРОТОКА
Ключевые слова: молочная кислота, биотехнология, оптимизация.
Получены соотношения для оценки оптимальных условий биотехнологического процесса получения молочной кислоты по величине протока. Разработан алгоритм вычисления оптимальных показателей процесса при заданном значении концентрации субстрата в поступающем потоке. Приведены численные результаты решения задачи оптимизации, позволяющие осуществить выбор наиболее приемлемого способа реализации процесса.
Key words: lactic acid, biotechnology, optimization.
The equations for estimating the optimal conditions of biotechnological process of producing lactic acid at a given dilution rate have been received. The algorithm was developed to calculate the optimal process parameters for a given value of substrate concentration in the inlet stream. The numerical results of solving the optimization problem, permitting selection of the most appropriate method of the process realization are presented.
Молочная кислота является одним из важных продуктов биотехнологического синтеза. Именно биотехнологический процесс позволяет получить продукт высокого качества, а именно Ь-молочную кислоту.
Исследования биотехнологического способа получения молочной кислоты достаточно обширны, их результаты отражены в работах [1-5].
В наших работах [6-8] затронуты различные аспекты получения молочной кислоты, одним из которых является оценка оптимальных условий её получения.
Задача оптимизации может рассматриваться в трёх вариантах: по оценке концентрации субстрата в поступающем потоке Sf с одновременной оценкой величины протока й; по оценке Sf при заданной величине протока й; по оценке й при заданном значении Sf [8]. Если первые два варианта допускают приемлемое аналитическое решение, то последний вариант более сложный и здесь предпочтение следует отдать численным методам.
Во всех задачах моделирования и оптимизации процесса в качестве критерия оптимальности используется величина
продуктивности по молочной кислоте Ор=Рй, где Р -концентрация продукта на выходе из ферментёра, г/л.
В данном сообщении в качестве критерия оптимальности также принимается величина продуктивности Ор, а показателем оптимальности - величина протока й, заданной концентрации субстрата Sf, поступающем потоке.
В качестве кинетических соотношений использованы формулы для вычисления удельных скоростей роста биомассы, образования продукта и расходования субстрата, получившие
экспериментальное подтверждение с высоким значением коэффициента корреляции от 0,978 до 0,999 [4]:
удельная скорость роста биомассы
условии ч-1 при
в
г/л
(
^х - Мппах
vKsx-
1-
P-R
IX
К;
IX
-
К;
IX
(1)
удельная скорость образования продукта
^р - Чртах
V
Kqn +S
ч /ч
1 —
P-R
V
IP
Рщр Hp
Ki
IP
+/
(2)
удельная скорость расходования субстрата
(
^s - 4smax
V
Kss +s
1 —
P-R:
IS
v
Ki
IS
+
(3)
"тэ _ пэ /V
Анализ соотношений (1)-(3) показывает, что если в процессе субстрат полностью исчерпывается ^=0), процесс синтеза заканчивается. Далее, если концентрация продукта достигает значения Ртх (соотношение (1)), рост биомассы заканчивается, в то время как образование продукта продолжается (если Р<Ртр) и продолжается потребление субстрата (если Р<Ртв). Наконец, если концентрация продукта достигает значения Ртр или Рт5, процесс синтеза заканчивается.
Математическая модель непрерывного процесса синтеза в ферментере с перемешиванием имеет вид [4] и в наших обозначениях [8]:
N
774Pmx-P)X-DX-0,
М
NU
D(sf-SX^¡"(ms-Р)Х-0, aDX+^p^mp-p)x^DP-0,
где
Mx - Pmx - Rx, Ms - Pms - ^s
Mp - Pmp
,
Nx(s)-mmax-
KixS
^SX^ix
+ (KSX + Kix
)x+s'
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
«¡3Б
Квв^в + (Кзв + К1з)Б+Б<
(9)
Мр^)- Чртах-
КфБ
-2 • (10)
кэрк1р + ^эр+к1р Э + 3
Для дальнейшего использования уравнений (4)-(6) введем следующие обозначения:
М
а -
Ыг
Р . ь - М8
Мх
тт^; С--^ . (11)
N
N
х
Систему (4)-(6) перепишем в виде:
Р-Ртх-сО,
Х--
Рте -Р
ЬР
Х + Б,
аРР
(12)
(13)
(14)
аа°+ Ртр-Р )
Поскольку целевым продуктом является молочная кислота, величина продуктивности по молочной кислоте формируется из уравнения (12):
Ор-0Р-0(Ртх-с0). (15)
Критерий оптимальности Ор в уравнении (15) является функцией двух переменных й и Б. Особенность этого выражения заключается в том, что Б есть концентрация в выходном потоке из реактора. Задача же должна решаться по й при заданном значении Б) где Бf - концентрация субстрата в поступающем потоке. Эту концентрацию, если известны оптимальные значение й и Б, можно вычислить из уравнений материального баланса (12)-(14).
Таким образом, оптимальная задача должна решаться путем оценки й при заданном Б) доставляющих максимум Ор.
Вывод расчётных соотношений.
Для постановки задачи оптимизации необходимо оценить условия реальной организации процесса по заданию величины Бf и области существования величины протока й.
Величина концентрации в поступающем потоке задаётся исходя из технологических условий - возможности сырьевых ресурсов. Таким образом, величина Б)^ может быть ограничена только этими условиями.
Величина протока й ограничена нижним значением, т.е. й>0, в противном случае процесс синтеза неосуществим.
С другой стороны величина й должна быть ограничена сверху условием возможности процесса синтеза. Если величина й принимает значение, при котором субстрат полностью вымывается из аппарата, не вступив в процесс синтеза, т.е. Б=Б) реализация процесса не имеет смысла, т.к. в этом случае продукт не образуется. Это значение й обозначим как йпред (предельное).
Для вычисления йпред используем уравнение (4). Из уравнения (4) следует при Р=0: N
М
Х Рщх - ^пред ,
(16)
где в Ых (по (8)) входит значение Б=Б(^.
Таким образом, для йпред имеем:
п _ РтхМтах ^¡х^
пред -
будет:
Ртх-РхК5ХК|х + (Кзх + К|х)+з/
С учётом (17) область определения по й
0 < й < йпред. (18)
Однако, поскольку нижнее значение й=0 смысла не имеет, необходимо нижнее значение й принять исходя из возможностей технологии, т.е. принять Р=Р0. Тогда область по й будет
й0 < й < й
пред
(19)
Слева имеем нестрогое неравенство, справа - строгое.
Используя уравнения (13) и (12), получим: ЬР^ - Б)
X -
(Рте - Рщх
(20)
или
)+сй '
Используя уравнения (14) и (12), получаем:
х-_аР((*-СР)_. (21)
аай + ртр - Ртх )+ ей
Из (20) и (21) имеем: Ьй(БГ -Б)ааО + Р^ - Ртх ^ ей] -
-а0(Ртх -ей)(Рт8 -Ртх) + сО] 0(БГ + Р^ - Ртх }+сО] -
- ^0(Ртх - сОХРРтэ - ртх) + сП
(22)
. (23)
Уравнение (23) является нелинейным алгебраическим уравнением относительно Б при условии, что Б) и й определены. Это уравнение является основным для решения задачи оптимизации.
Используя (12), запишем выражение для критерия оптимальности:
Ор-ОРтх-сО
(24)
Уравнение (24) является функцией одной переменной Б, если известно й.
Таким образом, численно задача оптимизации решается следующим образом.
1. Сканируется значение й в области (19)
йо < й < йпред,
где йпред вычисляется для заданного исходного значения Б) по (17).
Шаг сканирования И выбирается по условию требуемой точности расчёта Оорь т.е. Ь=йпред / П.
2. Для каждого шага сканирования вычисляется значение Б по решению нелинейного уравнения (23).
3. Для каждого шага сканирования по полученному значению Б и й вычисляется критерий оптимальности Ор по (24).
Из вычисленных значений Ор принимаем максимальное значение Ортах и соответствующие ему Б и й^.
4. Вычисляются недостающие показатели процесса для оптимальных условий:
P0pt =
Q,
ртах
D0pt bP0pt(Sf-s)
(РтЭ +
Результаты решения: Sf, г/л; й^, ч-1; Ро^, г/л; Хор4, г/л; Ортах, г/(л ч).
Численная реализация алгоритма. Для численной реализации алгоритма использованы данные табл. 1, опубликованные в работах [1-3].
Таблица 1 - Данные для численного расчёта показателей оптимального состояния
Для образования Значение
биомассы
Цтеж, ч 1,10
Ksx, г/л 1,32
Kix, г/л 304
Pix, г/л 1,39
Pmx, г/л 49,9
Для утилизации Значение
субстрата
qsmax, г/(г ч) 3,42
Kss, г/л 2,05
Kis, г/л 140
Pis, г/л 47,1
Pms, г/л 95,5
Для образования Значение
продукта
а, г/г 0,39
qpmax(=ß), г/(г ч) 3,02
Ksp, г/л 2,05
Kip, г/л 140
Pip, г/л 47,1
Pmp, г/л 95,5
В соответствии с блок-схемой алгоритма (рис. 1) данные табл. 1 вводятся в качестве исходной информации.
Кроме этого, исходными данными являются: шаг сканирования по й, например, И=0,05 ч-1; Р0=0,1 ч-1; вычисленное значение Sf и йпред.
Значения показателей, полученные при решения задачи оптимизации по величине Sf при заданном значении й, приведены в табл. 2.
Отметим, что значения показателей при оптимизации по й становятся близкими к значениям показателей оптимизации по Sf при исходных значениях Sf от 30 до 80 г/л [7].
Однако, что наиболее важно, близкое значение продуктивности для условий оптимизации по Sf и й получается при существенной разнице по концентрации субстрата в поступающем потоке Sf. Так, в первом варианте, например, при Sf=60 г/л продуктивность Ор=12,219 г/(л ч), во втором -Ор=12,424 г/(л ч) при Sf=46,69 г/л. Величина протока в обоих вариантах одинакова: й=0,50 ч-1.
Рис. 1 - Блок-схема алгоритма
Таблица 2 - Результаты расчётов оптимальных показателей при заданном Бг
Sf, Опред, S, Qp, P, X, Dof
г/л ч г/л г/(лч) г/л г/л ч
10 0,968 2,772 4,679 7,199 1,365 0,650
20 0,996 5,500 8,913 13,71 2,480 0,650
30 0,987 7,796 11,44 20,81 3,085 0,550
40 0,968 13,58 12,31 24,62 3,330 0,500
50 0,946 23,39 12,40 24,81 3,380 0,500
60 0,924 33,83 12,21 24,43 3,430 0,500
70 0,902 41,42 11,98 26,63 3,593 0,450
80 0,881 52,09 11,72 26,06 3,650 0,450
Таким образом, разные варианты решения задач оптимизации дают возможность выбора наиболее приемлемых технологических условий.
Обозначения
К|р - субстратная константа ингибирования производства молочной кислоты, г/л;
К|5 - субстратная константа ингибирования потребления субстрата, г/л;
К|х - субстратная константа ингибирования роста биомассы, г/л;
Крр - субстратная константа ингибирования продукта для производства молочной кислоты, г/л;
Кр5 - субстратная константа ингибирования продукта для потребления субстрата, г/л;
Крх - субстратная константа ингибирования продукта для роста биомассы, г/л;
Ksp - константа, ограничивающая концентрацию субстрата для производства молочной кислоты, г/л;
Kss - константа, ограничивающая концентрацию субстрата для потребления субстрата, г/л;
Ksx - константа, ограничивающая концентрацию субстрата для роста биомассы, г/л;
P - концентрация молочной кислоты, г/л;
Pis - предельная (threshold) концентрация молочной кислоты для концентрации субстрата, г/л;
Pix - предельная (threshold) концентрация молочной кислоты для роста биомассы, г/л;
Pip - предельная (threshold) концентрация молочной кислоты для потребления субстрата, г/л;
Pms - максимальная концентрация молочной кислоты для потребления субстрата (или образования молочной кислоты), г/л;
Pmx - максимальная концентрация молочной кислоты для роста биомассы, г/л;
Pmp - максимальная концентрация молочной кислоты, г/л;
qpmax - максимальная удельная скорость производства продукта, г/(г ч);
qsmax - максимальная удельная скорость утилизации субстрата, г/(г ч);
S - концентрация субстрата, г/л;
X - концентрация биомассы, г/л;
а - константа растущих ассоциатов по
модели Luedeking-Piret, г/г;
-1
ц - удельная скорость роста, ч ;
Н-тах - максимальная удельная скорость
роста, ч-1.
Литература
1. R. Luedeking, E.L. Piret, J. Biochem. Microbiol, 1, 393412 (1959).
2. C.J. Gadgil, K.V. Venkatesh, J. Chem. Technol. Biotechnol. 68 (1), 89-93 (1997).
3. J. M. Monteaguado, L. Rodriegues, J. Rincon, J. Fuertes, J. Chem. Tech. Biotechnol, 58, 271-276 (1997).
4. M. Boonmee, N. Leksawasdi, W. Bridge, P.L. Rogers, Biochem. Eng. Journal, 14, 127 (2003).
5. A. D. Nandasana, S. Kumar, Biochem. Eng. Journal, 38, 277-284 (2008).
6. Ю.Л. Гордеева, Ю.А. Ивашкин, Л.С. Гордеев Теоретические основы химической технологии, 46, 3, 324 (2012).
7. Ю.Л. Гордеева, Ю.А. Ивашкин, Л.С. Гордеев Теоретические основы химической технологии, 47, 2, 196 (2013).
8. Ю.Л. Гордеева, Л.С. Гордеев Теоретические основы химической технологии, 48, 3, 282-286 (2014).
© Ю. Л. Гордеева - канд. техн. наук, доцент кафедры информационных технологий, математики и физики Московской государственной академии ветеринарной медицины и биотехнологии им. К.И. Скрябина, l.s.gorod@yandex.ru; В. М. Емельянов - д-р техн. наук, заведующий кафедры химической кибернетики КНИТУ, emelianov@front.ru; Е. Л. Гордеева - канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики Российского химико-технологического университет им. Д.И. Менделеева, l.s.gorod@yandex.ru; С. А. Понкратова - канд. техн. наук, доцент кафедры химической кибернетики КНИТУ, kiberponk@front.ru
© Y. L. Gordeeva - PhD in Technical Sciences, associate professor, department of information technology, mathematics and physics, K.I.Skryabin Moscow State Academy of Veterinary Medicine and Biotechnology, l.s.gorod@yandex.ru; V. M. Emelyanov - PhD in Technical Sciences, professor, chair of chemical cybernetic department, KNRTU, emelianov@front.ru; E. L. Gordeeva - PhD in Technical Sciences, associate professor, Higher mathematics department, D. Mendeleyev University of Chemical Technology of Russia, l.s.gorod@yandex.ru S. A. Ponkratova - PhD in Technical Sciences, associate professor, chemical cybernetic department, KNRTU, kiberponk@front.ru.
