Макрокинетика микробных популяций в почве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 631.46

МАКРОКИНЕТИКА МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ В ПОЧВЕ1 В.М. Гендугов, Г.П. Глазунов, М.В. Евдокимова

Модель макрокинетики микробных популяций в почве введена на основе предположения о том, что результирующий показатель продуктивности является следствием протекающих одновременно, но противоположно направленных процессов роста и отмирания, пропорциональных биомассе и обратно пропорциональных времени (для роста — времени, возведенному в степень, показатель которой больше единицы). Адекватность модели опыту подтверждена сопоставлением с надежными литературными данными по изучению в лабораторных условиях микробного роста в почве. С применением модели выявлены восемь интервалов на кривой микробного роста, каждый из которых характеризуется уникальным сочетанием состояний трех кинетических характеристик: показателя биомассы, скорости ее изменения и ускорения. Выявленные интервалы имеют строго определяемые границы и отвечают формальным представлениям о качественно различающихся фазах роста.

Ключевые слова: биокинетика, биотический отклик, состояние почвы, качество почвы, биотестирование, макрокинетика, моделирование, продуктивность, фаза роста.

Введение

Комплексная оценка состояния компонентов окружающей среды с целью выбора управляющих воздействий является актуальной задачей государственного управления природными ресурсами и сложной научной проблемой. В рамках этой проблематики нами разработан подход, основанный на представлении о том, что состояние почвы является ее свойством, имеющим количественную меру в виде показателя состояния, вычисляемого по результатам теоретического или экспериментального исследований собственно почвенного или биотического отклика на воздействие, испытываемое почвой [7]. В качестве индивидуального отклика — основы оценки — может быть использован любой процесс, протекающий в почве, который получил достаточно полное, т.е. дающее возможность содержательной интерпретации, кинетическое описание [1, 5]. Этому требованию к кинетическому описанию в наиболее полной степени отвечают математические имитационные модели микробного роста [6, 8]. Их недостатком применительно к решаемой проблеме является сложность параметризации, требующая постановки развернутых исследований с измерением множества параметров в каждом конкретном случае. Более приемлемыми в этом отношении являются так называемые базовые модели продуктивности, имеющие хорошее теоретическое обоснование и содержащие ограниченный набор параметров [6]. Однако, в отличие от имитационных, ни одна из базовых моделей не описывает кинетику ограниченного роста достаточно полно [8]. Причина этого кроется в том, что до сих пор не найдено подходящего кинетического уравнения, описывающего ограниченный рост и отмирание микробов в зависимости от времени. Настоящая работа, выполненная в рамках макро-кинетического подхода, позволяющего не вдаваться

в детали механизмов роста и отмирания микробов, посвящена выводу, проверке и исследованию модели ограниченного роста в зависимости от единственного параметра — времени.

Вывод уравнения. Построим модель, в которой текущая масса микробов q является функцией времени t. Будем рассматривать элементарный объем почвы, в котором изменение биомассы происходит исключительно за счет размножения, роста и отмирания микробов в нем, протекающих одновременно. При этом предполагаем, что скорость отмирания прямо пропорциональна самой биомассе, но обратно пропорциональна времени, а текущая скорость прироста биомассы за счет размножения и роста также пропорциональна самой биомассе, но обратно пропорциональна времени, возведенному в степень, показатель которой (1 + а) больше единицы. В таком случае математическое выражение скорости изменения биомассы имеет вид

йд _ Кд Ъд

Л

Д+а

Первое слагаемое в правой части (1) характеризует скорость прироста биомассы, а второе — скорость ее убыли. Соответственно K и Ь — коэффициенты прироста и убыли биомассы, которые являются положительными величинами, а а — эмпирический коэффициент. Разделим переменные уравнения (1):

йд Ч

к ь . ,

1---Л

Л+а

и проинтегрируем полученное выражение

1п д =---6Ы + 1пС

Здесь C — константа интегрирования. В результате потенцирования получаем

1 Авторы выражают благодарность докт. биол. наук С.В. Мамихину и докт. биол. наук П.А. Кожевину за обсуждение работы и ценные советы и замечания.

С (К

(2)

Уравнение (2) описывает зависимость текущей биомассы микроорганизмов от времени. Значения его констант должны быть получены на основе опытных данных.

Следует отметить, что при фиксированных значениях констант график уравнения (2) имеет форму колокола. Если коэффициент скорости отмирания Ь = 0, то график имеет вид возрастающей кривой, стремящейся к пределу. Если коэффициент скорости роста К = 0, график имеет вид убывающей кривой, стремящейся к нулю.

Определение констант уравнения. Рассмотрим простейший вариант, полагая а = 1. Тогда (2) имеет вид:

С ' <7 = рГехР

К г

(3)

Для определения констант с использованием (3) составили, задавая при ^ значения д{ (I = 1, 2, 3), систему уравнений, которую решали методом последовательного исключения неизвестных [4]. В результате нашли выражения: для свободного члена

съаф2 - съ1\а2 - схаф2 - с2афъ + + сха2Ъъ

1п С =

(4)

где а = —1Д-, Ь I = —1п с = д{ — текущая масса микробов в момент времени для коэффициента убыли биомассы

Ь =

с2а1 ~ с1а2 + (а2 ~ а\ )1п С Ь2С1\ - Ъ\а2

и для коэффициента прироста биомассы С\ — ЬЬу — 1п С

К =

а\

(5)

(6)

чвы) в увлажненный до 60% от полной влагоемкости образец обыкновенного чернозема, сохраняемый в ходе эксперимента в лаборатории при 20°. Наилучшее соответствие расчета опыту (рис. 1) достигнуто при тех значениях коэффициентов уравнения (2), которые были вычислены по (3)—(6) с использованием первой, третьей и пятой пар экспериментальных значений ^ и д: С = 58,06; Ь = 0,82; К = 5,95.

Исследование уравнения. График уравнения (3) имеет максимум дтах (рис. 1) в некоторый момент времени ¿4, находимый приравниванием нулю и решением уравнения первой производной (4) от уравнения (3) по времени:

д' = СГь-2(К-Ы)ехр("у]

(7)

Рис. 1. Изменение численности популяции ЯН 11вЬ шт ^иттоБагит 2К в образце обыкновенного чернозема, выдерживаемом в лаборатории при 20°, с течением времени: линия — по уравнению (3) , кружки — по данным [2]

При условиях опыта [2] величина д в уравнении (7) является показателем изменения (прироста или убыли) числа клеток в расчете на одно поле зрения микроскопа за сутки, т.е. скоростью процесса. Если происходит прирост числа клеток, то скорость положительна, если убывание, то скорость отрицательна. Решение имеет вид

.

о

(8)

В целях оптимального описания кинетической кривой из массива опытных данных следует выбрать три пары значений ^ и д, такие, что одна соответствует максимуму д1 = дтах или наиболее близка к нему, и две соседних, располагающихся по обе стороны от максимума. Вычисление искомых коэффициентов уравнения (3) проводится с использованием уравнений (4)—(6). При наличии достаточно большого количества пар значений и д1 искомые коэффициенты могут быть найдены подбором по способу наименьших квадратов.

Проверка адекватности уравнения опытным данным. Адекватность уравнения (3) опытным данным проверили по результатам опытов [2], авторы которых производили прямой учет с течением времени I (сутки) среднего для поля зрения микроскопа числа клеток ЯН 1гоЬшт ^иттоБагит 2К после внесения их вместе с глюкозой (в количестве 0,1% от массы по-

График уравнения (7) в свою очередь имеет два экстремума: максимум в некоторый момент времени ¿2 и минимум в момент времени ¿5 (рис. 2). Для нахождения ¿2 и ¿5 было привлечено уравнение второй производной (3) по времени, имеющее вид

д» = сгь~4 [(К - ы)2 - ¿(2 К- (9)

В данном случае д" является показателем скорости среднесуточного изменения (прироста или убыли) числа клеток в расчете на одно поле зрения микроскопа за сутки, т.е. ускорением процесса. Корнями уравнения (9) являются уравнения:

Ь =

^(1 + Ь-л/Г+б)

Ь + Ъ2

и

и =

^(1 + Ь + л/Г+б)

Ь + Ь2

(10)

(11)

Рис. 2. График среднесуточного изменения числа клеток в поле зрения микроскопа с течением времени согласно уравнению (7) при условиях опыта [2] в интервале 0—40 сут. и корень уравнения (7): ^ = t = 7 25

'тях ' ч^^

Рис. 3. График уравнения (9) при условиях опыта [2] в интервале 0—40 сут. (слева) и 10-40 сут. (справа) и корни уравнения (9): Ь1 = 1,88 и Ц = 12,63

которые определяют абсциссы двух точек перегиба (рис. 1) графика функции (3) и, следовательно, абсциссы экстремумов (рис. 2) функции (7).

Эти корни легко находятся также и с использованием графика уравнения (9) второй производной уравнения (3) по времени (рис. 3). Помимо значений ^ и на графике выявляются три экстремума: максимум при некотором значении минимум при Ц и второй максимум при

Для отображения на графике второго максимума потребовалось в сто раз изменить масштаб ординаты на отрезке 10 < t < 40 (рис. 3, справа).

Для нахождения абсцисс точек экстремумов численным методом воспользовались уравнением третьей производной уравнения (3) по времени:

,„ = сгь-6

X

Рис. 4. График уравнения (12) при условиях опыта [2] в интервале 0-4 сут. (слева), 17,960-17,963 сут. (справа) и корни уравнения (12): ^ = 0,99; ^ = 2,82

и ^ = 17,96125 = 17,96

нием символов: знак «+» для кодировали словом «ускоренный», знак «-» — словом «замедленный»; для ^ эти знаки кодировали соответственно словами «увеличение скорости» и «снижение скорости», а для # — словами «рост» и «отрицательный рост = отмирание». В результате словесная характеристика интервалов (таблица) получена автоматически.

-3К1 tip + 2)+ (Ь2 + 36 + 2)(3Kt2 -Ыъ)]х К^

Показатели макрокинетики роста почвенных микробов

хехр -

t

(12)

По точкам пересечения с абсциссой линии графика уравнения (12), построенного с использованием пакета прикладных программ «Scientific Workplace» [9] при найденных значениях коэффициентов (C = 58,06; b = 0,82; K = 5,95), определены три его корня (рис. 4): t1 = 0,99; t3 = 2,82 и t6 = 17,96. Заметим, что для отображения последнего из них масштаб ординаты графика уравнения (12) пришлось изменить в 107раз (рис. 4, справа).

Найденные особые точки на графике функции (3), формулы для их вычисления, а также графики (рис. 1—4) дают возможность проанализировать кинетику продуктивности q, скорости q и ускорения q" роста, опираясь на границы, задаваемые этими особыми точками. В каждом интервале каждому из указанных параметров присваивали код «+» — в случае его возрастания в этом интервале или «—» — в случае убывания (таблица). Словесную характеристику процессов роста в каждом интервале получали кодирова-

№ Интервал q q Словесная характеристика интервала

1 t0 < t < t1 + + + ускоренное увеличение скорости роста

2 t1 < t < t2 — + + замедленное увеличение скорости роста

3 t2 < t < t3 — — + замедленное снижение скорости роста

4 t3 < t < t4 + — + ускоренное снижение скорости роста

5 t4 < t < t5 + — — ускоренное снижение скорости отмирания

6 t5 < t < t6 + + — ускоренное увеличение скорости отмирания

7 t6 < t — + — замедленное увеличение скорости отмирания

Обсуждение результатов

Работа выполнена в рамках макрокинетического подхода, позволяющего, не детализируя механизмы биохимических превращений, лежащих в основе роста и отмирания почвенных микробов, обратиться непосредственно к формулированию уравнения скорости

роста в функции времени. При формулировании уравнения (1) исходили из общепринятого представления о том, что и рост и отмирание микробов протекают одновременно, но с разными скоростями, пропорциональными текущему значению биомассы [3, 6, 8]. Кроме того, при выборе вида уравнения (1) исходили из того, что его интегральная форма должна соответствовать колоколообразному виду графика зависимости результирующего роста от времени. Поэтому при моделировании роста в зависимости от времени остановились на обратной пропорциональности скорости роста показателю времени, возведенному в некоторую степень. Этот подход приводит к широко используемым экспоненциальным формулам скорости роста [6, 8]. Использование фиксированного значения а = 1 в уравнении (2), означающее признание обратной пропорциональности скорости роста времени, возведенному в квадрат, принято в качестве первого приближения из соображений простоты анализа получаемого целевого уравнения (3). В дальнейшем, перебирая возможные значения коэффициента а, можно будет добиться улучшения качества моделей, особенно на участках начального роста.

При моделировании отмирания микробов в зависимости от времени оказалось, что свобода выбора показателя степени для переменной, описывающей время в уравнении (1), отсутствует. Единственное значение показателя степени, позволяющее смоделировать рост, ограниченный во времени, равно единице. Оно и было использовано.

На основе указанных предпосылок было выведено уравнение (3), адекватность которого опыту подтверждена с использованием общепризнанных экспериментальных данных [2]. В отличие от известных базовых (т.е. выводимых из самых общих и общепринятых предположений) моделей, уравнение (3) описывает не только рост, но и отрицательный рост, т.е. отмирание микробов во времени. В то же время, поскольку уравнение (3) легко сводится к известным экспоненциальным и логистическим уравнениям скорости роста [6, 8], его можно рассматривать в качестве их обобщения. В отличие от более сложных синтетических моделей [8], которые в техническом плане описывают кинетику жизненных проявлений микробов в почве не менее качественно, чем уравнение (3), последнее позволяет исследовать изменение биомассы микробов во времени на строгой количественной основе, с использованием производных высших порядков.

Дифференцируя уравнение (3) по времени и решая получаемые уравнения, нашли выражения для характерных моментов времени, разграничивающих фазы роста и отмирания микробов. Уравнение (8) определяет время ^ = ^ах достижения

целевой функцией (3) своего максимума, в нашем случае — время достижения наибольшей биомассы почвенных микробов. Уравнения (10) и (11) определяют время достижения точек перегибов графиком целевой функции (3), которые являются границами смены тенденций в изменении кинетики, охарактеризованными в таблице. Решениями уравнения (12) определяются две точки наибольшей вогнутости (^ < ^ах и к > и одна точка наибольшей выпуклости (^ < ^ах) кривой уравнения (3). Отсутствие второй ожидаемой, судя по форме графика (рис. 1), точки наибольшей выпуклости в диапазоне t > справа от максимума можно объяснить изломом функции (3) в точке максимума.

Время t1 достижения точки наибольшей вогнутости на левой ветви графика является границей перехода от ускоренного увеличения скорости роста к замедленному увеличению скорости роста. Время t3 достижения точки наибольшей выпуклости на левой ветви графика является границей перехода от замедленного снижения скорости роста к ускоренному снижению скорости роста. И, наконец, время ^ достижения точки наибольшей вогнутости на правой ветви графика является границей перехода от ускоренного увеличения скорости отрицательного роста к замедленному увеличению скорости отрицательного роста.

Заключение

Показатели макрокинетики изменения численности популяции Rhizobium leguminosarum 2К в образце обыкновенного чернозема, вычисленные по материалам работы [2] и проанализированные с использованием разработанной модели (таблица), свидетельствуют о некоторых возможностях в деле уточнения существующих представлений о фазах микробного роста и количественных методах их разграничения с использованием кинетических подходов, предоставляемых предлагаемой моделью.

Поскольку модель выведена при минимальных допущениях, не усматривается оснований для каких-либо ограничений по направлениям ее использования; она может быть применена к анализу кинетики любых жизненных проявлений, в основе которых одновременно идущие противоположно направленные процессы ассимиляции—диссимиляции, размножения—отмирания и которые, как правило, описываются кинетическими кривыми в форме колокола. При ее применении все многообразие биологических особенностей и экологических условий организмов и их сообществ находит свое количественное выражение в трех коэффициентах модели. Областями ее применения могут быть биокинетика в широком смысле и нормирование качества природной среды на основе методов биотестирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Звягинцев Д.Г., Бабьева И.П., Зенова Г.М. Биология почв. М., 2005.

2. Звягинцев Д.Г., Кожевин П.А. Изучение динамики популяции клубеньковых бактерий в почвах с помощью им-мунофлуоресценции // Микробиология. 1974. Т. 43, № 5.

3. Кожевин П.А., Полянская Л.М., Звягинцев Д.Г. Динамика развития различных микроорганизмов в почве // Микробиология. 1979. Т. 48, № 4.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1968.

5. Полянская Л.М., Иванов К.Е., Гузев В.С., Звягинцев Д.Г. Оценка динамики численности грамотрицательных бактерий в почве // Микробиология. 2008. Т. 77, № 6.

6. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., 1993.

7. Яковлев А.С., Гендугов В.М., Глазунов Г.П. и др. Методика экологической оценки состояния почвы и нормирования ее качества // Почвоведение. 2009. № 8.

8. Panikov N.S. Microbial Growth Kinetics. L.; Glasgow; Weinheim; N.Y.; Tokyo; Melbourne; Madras, 1995.

9. Scientific Workplace. http://www.mackichan.com/

Поступила в редакцию 10.08.2009

MACROKINETICS OF MICROBIAL POPULATIONS IN SOIL

V.M. Gendugov, G.P. Glazunov, M.V. Yevdokimova

A model of soil populations macrokinetics was deduced on the assumption that the resulting indicator of microbial productivity follows from the simultaneous processes of microbial growth and death both being proportional to the microbial mass and inversely proportional to time. In the case of growth the time must be raised to power bigger than unity. The adequacy of the model was verified against experimental data on microbial growth in soil samples. The model was used to reveal eight distinct intervals of microbial growth with the unique combination of the microbial mass and the rates of growth and acceleration. These strictly defined intervals conform to the notion of the consecutive microbial growth and death phases.

Key words: biokinetics, biological response, soil status, soil quality, biotesting, macrokinetics, modelling, productivity, growth phase.

Сведения об авторах. Гендугов Владимир Михайлович, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики механико-математического ф-та; тел.: 8 (495) 939-37-54. Глазунов Геннадий Павлович, докт. биол. наук, профессор каф. земельных ресурсов и оценки почв ф-та почвоведения; тел.: 8 (495) 939-44-25, e-mail: Glazng@mail.ru. Евдокимова Мария Витальевна, аспирант каф. земельных ресурсов и оценки почв; тел.: 8 (495) 939-44-19, e-mail: mawkae@gmail.com