CC BY
55
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ TECHNICAL SCIENCES
УДК 663.1:004.94 ББК 32.97 Л 82
Лубенцова Елена Валерьевна
Доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации производственных процессов Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, е-mail: elena-v-l@mail.ru Пиотровский Дмитрий Леонидович
Доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой автоматизации производственных процессов Кубанского государственного технологического университета, Краснодар, тел. (861) 2559392, е-mail: piotrovsky2005@yandex.ru
Моделирование и управление процессом ферментации с применением аппроксимирующих функций
(Рецензирована)
Аннотация. Приведено теоретическое обоснование и экспериментально проверено использование аппроксимирующих нелинейных функций при математическом моделировании и управлении процессом ферментации. Результаты проведенных исследований подтверждают эффективность использования аппроксимирующего управления потоками поступающего субстрата в аппарат и отбираемого из него продукта. Найденные значения концентрации субстрата и биомассы в сочетании с более быстрым протоком культуральной среды при увеличении управляющего воздействия на 20% обеспечивают максимум продуктивности процесса.
Ключевые слова: моделирование, управление, ферментация, поток субстрата, отбор продукта, аппроксимирующие функции.
Lubentsova Elena Valeryevna
Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Department of Automatization of Production Processes, Kuban State University of Technology, Krasnodar, е-mail: elena-v-l@mail.ru Piotrovsky Dmitriy Leonidovich
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Automatization of Production Processes, Kuban State University of Technology, Krasnodar, ph. (861) 2559392, е-mail: piotrovsky2005@yandex.ru
Modeling and control of fermentation process with the use of approximating functions
Abstract. The theoretical substantiation and experimental verification of the use of approximating nonlinear functions in mathematical modeling and control of the fermentation process is presented. Studies have confirmed the effectiveness of using an approximating inlet flow control apparatus and substrate in selected product from it. The found values of the substrate and biomass concentration in combination with а faster flow of the culture medium with an increase in the control action by 20% provide a maximum productivity of the process.
Keywords: modeling, control, fermentation, substrate flow, product selection, approximating functions.
Введение
При непрерывном культивировании подбором скорости протока можно стабилизировать скорость роста микроорганизмов в любой точке кривой экспоненциального роста микроорганизмов. На практике наиболее простым способом стабилизации является включение потока субстрата и удаление части популяции с использованием релейных управляющих воздействий. Однако в реальных биосистемах релейные (скачкообразные) воздействия приводят к возникновению переходных процессов, нежелательных в установившихся режимах роста микроорганизмов. Скачкообразные изменения параметров окружающей среды могут приводить к временным нарушениям характера изменения компонент матрицы внутриклеточных управлений в силу инерционности регуляторных систем клетки [1]. Кроме того, релейные воздействия в каналах управления создают в описании системы «разрывы», из-за которых систему нельзя представить в целом виде единым уравнением, что значительно ус-
ложняет моделирование, причем не только биотехнологических систем, но и технических. а также обуславливают динамические нагрузки на элементы системы. Характеристики с разрывами обычно аппроксимируются кусочно, часто кусочно-линейно [2], что, по нашему мнению, не является оптимальным при управлении слабовоспроизводимой биотехнологической системой, так как моменты переключения линейных участков при такой аппроксимации жестко фиксированы и не корректируются при изменившихся условиях управляемого процесса. Учитывая, что характеристики процесса ферментации носят нелинейный характер, вызывая определенные сложности при разработке алгоритмов управления этими процессами, необходимость исследования динамики процессов в системе является актуальной.
В данной работе предложено для аппроксимации релейного управления использовать гладкие непрерывные функции [ЛЕВ]. Такие аппроксимирующие функции могут быть получены на основе сигмоидной функции [3] и их комбинации [4]. При использовании такой функции в алгоритме управления, например при подаче субстрата в биореактор, обеспечивается плавность изменения регулирующих воздействий, то есть исключаются скачкообразные воздействия, что снижает динамические нагрузки на исполнительные устройства системы с одной стороны, и демпфирует реакцию биосистемы, с другой.
Сигмоидная функция - это функция вида:
/(х) = ь с) = ^ + Д х_с), (1)
где Ь, с - параметры настройки.
График сигмоидной функции представляет собой ¿-образную симметричную кривую, принимающую значения от 0 до 1, наподобие сглаженной ступенчатой функции Хе-висайда. Параметр функции с задает точку перегиба, коэффициент Ь - крутизну и направление функции: чем больше он по модулю, тем «ступень» круче. Если Ь<0, то функция убывающая; если Ь>0, то функция возрастающая. Эти особенности сигмоидной функции позволяют хорошо передавать нечеткое условие при Ь>0, если х>с, то «да», а если х<с, то «нет», или отрицание этого условие при Ь<0. Чем больше по модулю Ь, тем более условие четкое. При получаем ступенчатую функцию Хевисайда, то
есть четкое условие. Сигмоидные функции реализуются как встроенные функции в программе МаЙаЬ и его инструменте БтиНпк.
При моделировании в качестве объекта управления рассматривается биотехнологический процесс выращивания дрожжей в ферментаторе (биореакторе) непрерывного культивирования. В начале процесса ферментатор заполняется субстратом и закваской до половины рабочего объема, и то, и другое вносится, как правило, в количествах максимально возможных или близких к этому. Затем включается аэрация, концентрация микробной биомассы увеличивается, и концентрация субстрата начинает уменьшаться. После уменьшения ее до определенного значения начинается доливка субстрата, а по достижению объема, близкого к рабочему, приступают к отбору дрожжей. Ферментатор входит в рабочий режим, и потоки субстрата (В*) и дрожжей (Ох) сравниваются Пя=Пх=П. Такую биосистему можно описать системой дифференциальных уравнений, описывающих изменение концентрации микробной биомассы (х) и концентрации лимитирующего субстрата (*) в условиях хемостатного культивирования, которые были выведены Ж. Моно, исходя из условий материального баланса [5]. В этой модели роста микробных популяций, кроме концентраций субстрата * и биомассы х, введена еще одна переменная - уровень И жидкости в ферментаторе. С учетом этого модель принимает вид:
^ = х - Ох (( * И)х,
т * + К
^ = А((*ИК -1 Мт—^;х-Ох((*И), (2)
т У * + К
т: = -°х(( * И)+( *, И)
т
где x - концентрация микробной биомассы; /т - максимальная скорость размножения;
^ - концентрация лимитирующего субстрата; K - константа Моно-Михаэлиса или константа полунасыщения, равная концентрации субстрата, при которой скорость их размножения
/(() = — равна половине максимальной; Y - так называемый экономический коэффициент dt
по биомассе к субстрату, равный отношению полученной биомассы к израсходованной массе Ax
субстрата, Y = —; Ds(x,s,h), Dx(x,s,h) - количество поступающего субстрата и количество As
сливаемого продукта.
В начальный момент времени h(ü) = 0,5 при нормальном рабочем объеме величина h =1. Регулирование работы ферментатора сводится к регулированию потоков, то есть к определению оптимального характера изменения функций Dx (x, s, h) и Ds (x, s, h).
Представим функции Dx (x, s, h) и Ds (x, s, h) с помощью сигмоидной функции следующим образом:
Ds (Л s h) = K2 • sigm(h,-ki ,l)sigm(s,-k3, Dx (x, s, h) = Ki • sigm(h, £2,1),
где К1, К2, k1, k2, k3 - настроечные коэффициенты (константы).
С учетом (3) алгоритм управления будет плавно включать долив субстрата при падении его концентрации s < so или при уменьшении относительного уровня h < 1, а также плавно включать отбор культуральной жидкости из аппарата при достижении уровня h > 1. Определим коэффициенты K1, K2, исходя из выполнения следующих условий:
Dx (), s(oo), h(oo)) = Ds (x(o), s(o), h(o)) = Dopt, h(o) = 1.
Получим:
K1 ^2 = K2 • 2• 2 = Dopt, K1 = 2Dopt, K2 = 4Dopt. (4)
Коэффициенты k1, k2, k3 определяют, насколько плавным будет включение / выключение потоков. Задав функции Dx (x, s, h) и Ds (x, s, h), выбрав коэффициенты
k1 = k2 = 20, k3 = 2,0 и приняв следующие значения констант:
/т = 0,34; s0 = 40; K = 9; Y = 0,8; h(0) = 0,5; x(0) = 20; s(0) = 40;
Dopt = /т
/ K 1
1 -
1 s0 + K )
= 0,2; so=V(s0 + K)K - K = 12,
получим математическую модель процесса, включающую три выходные переменные - концентрацию биомассы х, концентрацию субстрата - и уровень в аппарате И:
— = 0,34—-—х - 2 • 0,2^ш(И,20,1) х, dt - + 9
— = 4 • 0,2 • ^ш(И,-20,1) ^ш(-,-2,12) 40 ——0,34—^х - 2 • 0,2^ш(И,20,1) -, (5) dt 0.8 - + 9
— = - - 2 • 0,2^ш(И,20,1) + 4 • 0,2 • ^ш(И,-20,1) • ^ш(-,-2,12). dt
Система уравнений (5) решена в пакете Ма1ЬаЬ БтиНпк [6]. Полученные динамические характеристики процесса представлены на рисунке 1. Из рисунка 1 видно, что все характеристики имеют плавный характер. После резкого снижения концентрации субстрата в начале процесса регулятор на основе сигмоидных функций поддерживает значение концентрации субстрата вблизи желаемой величины -=12 г/л. Это осуществляется за счет увеличения притока (х, -, И), что приводит в начале процесса к небольшому перерегулированию
Рис. 1. Графики решения системы уравнений Моно в Simulink: 1 - объем жидкости в реакторе (V); 2 - концентрация биомассы (х); 3 - количество поступающего субстрата (DS0); 4 - количество сливающегося субстрата (Dx);
5 - концентрация субстрата (5)
Рассмотрим возможности интенсификации и повышения продуктивности процесса биосинтеза за счет создания оптимальных условий по концентрации субстрата sr во входном потоке и скорости разбавления D. Изменяя скорость разбавления, можно получать режимы, обеспечивающие различную скорость роста популяции. При медленном протоке среды, то есть при медленном росте, культура испытывает сильную лимитацию по данному субстрату. При быстром протоке среды, то есть при быстром росте, степень лимитирования слабая, приближающаяся к условиям экспоненциального роста. Хемостатный способ культивирования в строго контролируемых условиях является основным. В турбидостате скорость разбавления сама устанавливается в соответствии с заданной плотностью популяции. Этим турбидостат отличается от хемостата, в котором фиксируется скорость разбавления, соответственно которой устанавливается концентрация биомассы.
Хотя теоретически взаимосвязь между концентрацией биомассы и скоростью разбавления подчиняется одним и тем же закономерностям, что в хемостате и турбидостате, методы управления процессами различны. В связи с чем проведено исследование влияния концентрации субстрата и объемной скорости среды через аппарат на величину интегрального про-100
дукта Ix+ = J Dx (t)x(t).
0
Концентрация субстрата sr изменялась в пределах от 11 до 13 г/л, величина D варьировалась в пределах от 0,17 до 27 ч-1. Исследования проводились при номинальном значении максимальной удельной скорости ¡лт =0,34 1/ч. В результате численного решения сис-
100
темы уравнений (4) получена зависимость интегрального продукта I х+ = J Dx (t) xtt )dt от
0
D и равновесной концентрации sr (рис. 2). В итоге найден максимум Ix+=473,2099 ед. при D0pt = D = 0,2 и s^= sr = 12,5.
Отметим, что теоретические исследования проводились при номинальном значении максимальной удельной скорости /лт =0,34 1/ч. Однако на практике в процессе биосинтеза
возможны проявления неконтролируемых возмущений, что отражается на изменении кинетической характеристики, преимущественно на величине максимальной удельной скорости
роста цт. Поэтому следует считать, что имеет место параметрическая неопределенность в модели биосистемы по удельной скорости роста.
Рис. 2. График зависимости интегрального показателя 1Х+ от концентрации субстрата и скорости разбавления
В связи с этим проведены исследования, в которых неконтролируемое возмущение р.т изменялось по гармоническому закону /лт=А-£т(м?). На рисунке 3 приведены динамические характеристики процесса по изменению уровня в аппарате (объема заполнения реактора), потока поступающего субстрата (О£0), потока сливаемого субстрата (Ох) и концентрации субстрата (•) на выходе из аппарата при изменении максимальной удельной скорости роста /лт.
л, 8 У.М3 кг/м3 ИЯо.Ю!.
и ■ М Ч
..................
J о |
3
.5
i i
Рис. 3. Динамические характеристики процесса при изменении максимальной удельной скорости роста 1 - объем жидкости в реакторе (V); 2 - концентрация биомассы (х);
3 - количество поступающего субстрата (О^0); 4 - количество сливающегося субстрата (Ох);
5 - концентрация субстрата (5)
Как видно из рисунка 3, имеют место незначительные колебания переменных процесса. Перерегулирование по уровню жидкости в ферментаторе составило 7,5% при максимальных значениях 050=0х=60 кг/м3ч. Это объясняется тем, что равновесные концентрации, входящие в управляющие воздействия (х, 5, И) и Бх (х, 5, И), при максимальной производительности и хш не зависят от ¡лт . От этой величины зависит лишь поток, и поэтому
наличие множителя в выражении для потока Дя, зависящего от концентрации субстрата я, приводит к тому, что система с небольшими колебаниями поддерживает концентрацию субстрата вблизи равновесной концентрации я=12 г/л.
Для того чтобы исключить колебания переменных процесса и перерегулирование по уровню, необходимо, чтобы регулятор полностью компенсировал возмущение по /лт. Для этого функции Дя (х, я, к) и Дх (х, я, к) предложено реализовать в следующем виде:
Д (Л ^ И) = 4 Дор1 • sigm(и,-Лl,l)sigm(s,-Лз, Дх (х, я, И) = 4 Дор1 • sigm(И, k2,l)sigm(x, к4, хш),
где к2, к4 - коэффициенты, которые должны быть такими, чтобы возмущение по ¡лт перестало сколько-нибудь серьезно сказываться на концентрациях субстрата и продукта; к1, к3 -
коэффициенты, которые должны быть такими, чтобы потоки включались тогда, когда уровень в аппарате приблизится к номинальному, и концентрация субстрата уменьшится приблизительно до величины 12 г/л.
Путем несложного подбора были получены значения коэффициентов ((,к2,к3,к4) = (11.5,27,1.5,1.5) и реализованы в модели системы MONOmodel1m1.mdl. При
наличии возмущения по ¡лт в системе с такими коэффициентами получен режим, при котором изменяется поток, концентрации биомассы и субстрата стабилизируются, производительность максимальна (рис. 4). Влияние скорректированных управляющих воздействий на переменные состояния и производительность имеет тот же качественный характер, что и в случае первоначальных аппроксимирующих функций. Из полученных результатов видно, что время, за которое система приходит в стационарное состояние (когда все параметры биосистемы, концентрации биомассы и субстрата, уровень в аппарате постоянны во времени), по сравнению с системой, в которой возмущение по ¡лт отсутствует, в данном случае незначительно увеличилось (в 1,2 раза), но колебания концентраций субстрата и биомассы полностью исключены. Перерегулирование по уровню жидкости в аппарате отсутствует, что объясняется ускорением слива в 1,3 раза при более быстром протоке среды и сигнале управления, увеличенном в начале переходного процесса на 20% (Дя0=Дх=72 кг/м3ч).
/ Л --
L3
—-------
J . i
Рис. 4. Графики решения системы уравнений Моно в 8тиИпк: 1 - объем жидкости в реакторе (V); 2 - концентрация биомассы (х); 3 - количество поступающего субстрата (ДS0); 4 - количество сливающегося субстрата (Дх);
5 - концентрация субстрата (я)
Предложенный способ управления биосистемой реализует широко используемый в промышленности хемостатный принцип культивирования (поддержание постоянной концентрации лимитирующего субстрата и постоянной концентрации биомассы), поскольку в тече-
ние длительного непрерывного культивирования Дх=Дя и обеспечивается возможность поддержания равенства Д=н, ds/dt и dx/dт=0. В хемостатном режиме культивирования функционирование ферментационной системы происходит следующим образом: повышение ¡лт,
а следовательно концентрации клеток, ускоряет проток среды и наоборот; поступление свежей питательной среды и вымывание биомассы повышает скорость деления клеток и в результате разбавления культуры снижается концентрация веществ, лимитирующих ростовые процессы, и скорость роста культуры повышается; увеличивающаяся популяция сопровождается снижением концентрации субстрата, что в свою очередь приводит к торможению роста культуры. Конечным итогом этих процессов (после затухания колебаний на интервале времени 0<Т<23,5 ч (см. рис. 4)) является установление равновесия между скоростью роста культуры и ее разбавлением. Заметим, что колебания необходимо уменьшать, так как в противном случае при этом возможно замедление роста клеток и снижение количества получаемой биомассы [7, 8].
При численном моделировании оказалось, что существуют ограничения по концентрации яш = яг и хш = хг , то есть при некоторых значениях яг и хг биосистема становится либо неустойчивой к возмущению по /лт, либо процесс практически не реализуется. Для подтверждения этого проведено исследование системы и получено численное решение системы дифференциальных уравнений Моно, но с зависимостями Дя (х, я, к) и Дх (х, я, к) уже
с 4-мя коэффициентами и варьировании яш = яг и хш = хг , определяющих точки перегиба сигмоидных функций в регуляторах потоков. По аналогии с ранее проведенными экспериментами получен график зависимости интегрального продукта от яг и хг, приведенный на рисунке 5, и найден максимум интегрального продукта. Отметим, что и в данном случае максимум получен при величинах яг и хг, близких к теоретическим. Если же в модели значительно уменьшить величины равновесных концентраций, то есть принять яш = яг << 12 г/л и хш = хг << 22,4 г/л, то биосистема в этом случае выходит на эти концентрации, но при этом она становится неустойчивой к возмущению по /ит. Если же существенно увеличить хш = хг >> 22,4 г/л, то система будет со временем стремиться к переполнению; если же существенно увеличить яш = яг >> 12 г/л - к опорожнению. При значениях яг=12,8 г/л и хг=22,8 г/л система обеспечивает максимум интегрального продукта 473,6687 ед.
та*(|х+) =473.6537 «г =22.8 гг=12 8
11.5 21.5
Рис. 5. График зависимости интегрального показателя 1х+ от концентраций яг и хг
Таким образом, на основе исследования процесса биосинтеза выявлены управляющие воздействия на приток субстрата и отбор культуральной жидкости из биореактора и сформи-
рованы законы их реализации с помощью сигмоидных функций.
Установлено, что равновесные концентрации и величина потока, входящие в одни и те же управляющие воздействия, по-разному зависят от максимальной удельной скорости роста микроорганизмов /лт. Это необходимо учитывать при настройке разработанного алгоритма управления для поддержания требуемого состояния биосистемы.
Показано, что при некоторых номинальных значениях параметров и коэффициентов модели биосистемы синтезированный нелинейный регулятор потоков на основе сигмоидных функций компенсирует возмущение по ¡лт. Полное исключение колебаний переменных процесса ферментации и обеспечение получения максимума интегрального показателя качества процесса достигается за счет корректировки параметров сигмоидных функций.
Примечания:
1. Управление процессами ферментации с применением микро-ЭВМ / Н.Р. Юсупбеков [и др.]. Ташкент: Фан, 1987. 200 с.
2. Федосов Б.Т. Описание и моделирование нелинейных объектов управления. Аппроксимация статических характеристик, имеющих экстремумы. URL:
http://model.exponenta.ru/bt/bt_154_Extrem_Contr.ht m#L11 (дата обращения: 12.04.2015 г.).
3. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия: Телеком, 2001. 382 с.
4. Лубенцов В.Ф., Лубенцова Е.В. Метод синтеза нелинейных систем с аппроксимирующими законам управления // Вестник СКФУ. 2015. № 6 (51). С. 14-21. Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2015.
5. Паников, Н.С. Кинетика роста микроорганизмов. Общие закономерности и экологические приложения. М.: Наука, 1991. 309 с.
6. Дьяконов В .П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. 2-е изд. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 800 с.
7. Харитонова Л.Ю. Закономерности процесса культивирования аэробных микроорганизмов в одно- и двухсекционном биореакторе: автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.17.08 / Московская гос. акад. тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова. М., 2003. 22 с.
8. Володин А.А. Системный анализ и управление сложными биосистемами на базе нейро-нечетких регуляторов: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01. Ставрополь, 2014. 214 с.
References:
1. Control of the fermentation process using microcomputers / N.R. Yusupbekov [et al.]. Tashkent: Fan, 1987. 200 pp.
2. Fedosov B.T. Description and modeling of nonlinear objects of control. Approximation of static characteristics with extremums. URL:
http://model.exponenta.ru/bt/bt_154_Extrem_Contr.ht m#L11 (access date: 12.04.2015).
3. Kruglov V.V., Borisov V.V. Artificial neural networks. Theory and practice. M.: Goryachaya Liniya: Telecom, 2001. 382 pp.
4. Lubentsov V.F., Lubentsova E.V. Method of synthesis of nonlinear systems with approximating laws of control // Bulletin of SKFU. 2015. No. 6 (51). P. 14-21. Stavropol: SKFU Publishing House, 2015.
5. Panikov N.S. Kinetics of growth of microorganisms. General laws and environmental applications. M.: Nauka, 1991. 309 pp.
6. Dyakonov V.P. MATLAB 6 / 6.1 / 6.5 + Simulink 4/5. Bases of application. Complete user manual. 2nd ed. M.: SOLON-Press, 2004. 800 pp.
7. Kharitonov L.Yu. Regularities of the process of cultivation of aerobic microorganisms in one- and two-section bioreactor: Diss. abstract of the Cand. of Technology degree: 05.17.08 / Moscow State Acad. of fine chemical technology of M.V. Lomonosov. M., 2003. 22 pp.
8. Volodin A.A. System analysis and control of complex biosystems based on neuro-fuzzy regulators: Diss. for the Cand. of Technology degree: 05.13.01. Stavropol, 2014. 214 pp.
