CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 2, С. 46-57
УДК 517.955
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. Ф. Тедеев
В данной работе рассматриваются задачи Коши ньютоновской упругой фильтрации и изучается поведение разности решений уравнений при разных режимах.
Ключевые слова: слабое решение, задача Коши, локальная оценка, оценка градиента.
1. Введение
Пусть ж = (жь...,жN) € ^, N < 1, Бт = №ж(0,Т), 0 < Т < то, Вр = {ж £ , |х| < р}, р > 0.
Рассмотрим в области Бт задачу Коши для уравнения ньютоновской упругой фильтрации
пт — ё1у(|^и|р-2^и) = 0, р > 2, и(ж, 0) = По (ж).
Вместе с уравнением (1) будем рассматривать задачу Коши для уравнения:
Ьт - ё1у(|^ь|9-2^ь) = 0, д > 2, (2)
«(ж, 0) = ь0(ж).
Для определенности будем предполагать р > д.
В данной работе оценивается разность ад = и — V решений (1) и (2) в некоторой норме Ьт(Вр) в зависимости от близости начальных данных и близости р и д. Здесь всюду рассматриваются только положительные решения уравнений (1) и (2).
В доказательстве основной теоремы используется метод предложенный в [1], а также некоторые результаты работы [2].
2. Некоторые вспомогательные результаты и обозначения
Обозначим через
Х1ос(Бт) = ¿[ос(0,Т; )), У1ос(Бт) ^ 1^(0, Т; (^)),
о Г Р 0 1>Р ч
Х1ос (Бт) = { V € Хос(Бт) : (3 г > 0) V £ Ь^Т; Ш )(|ж| < г)}, (3)
о Г „ о ч
У 1ос (Бт) = {V € Уос(Бт) : (3 г> 0) V £ Ь^Т; Ш )(|ж| <г)}.
© 2008 Тедеев А. Ф.
Измеримую функцию и : Бт ^ назовем слабым решением уравнения (1), если о
для любого £ €Х (Бт) выполняется соотношение
II{ит£ + |Ви|р-2 ВиВ£} йхйт = 0. (4)
Ят
Аналогично определяется слабое решение для уравнения (2).
Если |Ви| € ^\ос(Бт), ит € Цос(Бт), то приведенное определение слабого решения уравнения (1) эквивалентно следующему:
Функция и — является слабым решением уравнения (1), если для любых ф € Х\ос(Бт) и £ € О0?(Бт) имеет место равенство
I! {ит(ф - и)+£ + |Ви|р-2ВиВ[(ф - и)+£]} йхйт = 0, (5)
Ят
где
ф < и
(ф - и)+ = <
I ф — и, ф > и.
Доказательство эквивалентности определений (4) и (5) приводится в [1] для случая 1 < р < 2. Для случая р > 2 доказательство полностью повторяется и мы не будем его приводить. Пусть х ^ ф(х) — гладкая срезающая функция в Б(1+а)р, а > 0, такая, что С(х) = 1, х € Вр, я(х) = 0, |х| ^ (1 + а)р, 0 < с(х) < 1, |Вя| < (ар)-1. Полагая в равенстве (5) £ = яр, мы получим
í
J J {ит (ф - и)+яр + |Ви|р-2ВиВ[(ф - и)+яр]} йхйт = 0. (6)
5
Здесь всюду мы будем предполагать выполненными условия
с1 и(х,Ь) ^ ди(х' Ь) ^ с2и(х,Ь), (7)
дЬ
С1У(х, Ь) < < С2у(х, Ь), (8)
С1 и С2 — положительные постоянные.
В дальнейшем все несущественные постоянные мы будем обозначать одной и той же буквой с.
Имеет место следующая
Лемма 1. Если и — решение уравнения (1) и, кроме того,
вир / ирйх = Ми (р) < то при р > 0,
<г<т ]
о<ь4Г
Б(1+ст)р
то имеет место оценка
У |Ви|р йх < ср-рМи(2р). (9)
Бр
< Положив в (6) ф = 2u, получим t
J J {uT uqp + | Du | p-2DuD(uqp)} dxdr = 0,
отсюда
t
11 {птпяр + + р|*п|р-2*пп<^р-1*} йх йт = 0.
8 ям
Продифференцировав последнее равенство по Ь и учитывая (7) получим
С1 / Лр йх + /| Оп пр йх - р /| Оп |р-Чр-1п I * I*, < 0.
Опуская положительное слагаемое в левой части, получаем
1
| Du|pqp dx < pj | Du|p-\p-1u| D<j| dx < | Du |dx + c^ up |D<j|p dx,
rn
откуда
* < er-J uP >
Bp B2p
Аналогично для решения v уравнения (2) справедливо
J |Du|q dx ^ cp-q(Nv(2p)), (10)
Bp
где Nv (p) = sup J vq dx.
0<i<TB(l+f)p
В силу локальной суммируемости функции u имеет место следующая
Лемма 2. Если u — решение уравнения (1), то для 0 < s < t ^ T и любых p > 0, c < 1 выполняется
lim / / |uTlx{k < u < ck} dxdr = 0.
J J
sBp
Записав равенство (4) для функции v и выбрав £ равным (ф — u)+qp, получим: t
jJ {vt(ф — u)+sp + |Dv|q-2DvD[(- — u)+sp]} dxdT = 0. (11)
s RN
Используя (6) и (11), приходим к равенству
t t
J J {itW (Ф — u)+qP + JD(ф — u)+,p} dxdT = —pj J J (ф — u)+qp-1DqdxdT (12)
s RN s RN
для любого ф e Xloc(ST), где W = u — v и J = |Du|p-2Du — |Dv|q-2Dv.
Представим J в виде J = J' + J//, где
У = \Вп\р-2Вп -\ВУ\р-2ВУ
J" = \ВУ\р-2ВУ - \ВУ\9-2ВУ.
Тогда равенство (12) перепишется так:
í í í д
(13)
(14)
У J dw (ф - u)+qp + J J J'D(ф - u)+qp dxdr + J J J"D(ф - u)+qp dxdr
sRN sRN sRN
t t
= -pJJ J'(ф - u)+qp-1Dqdxdr - pj J /'(ф - u)+qp-1 Dq dx dr.
(15)
Полученное равенство (15) является отправным в наших рассуждениях. Имеет место следующая
Теорема. Если u и v — слабые решения уравнений (1) и (2) соответственно, w = (u — v)(t) ^ 0 в L[oc(RN) при t ^ 0, если, кроме того, выполнены условия:
Mu(p) = sup up dx < ж и Nv(р) = sup / vq dx < ж при p > 0,
0<t<T J 0<t<T J
Bp
Bp
то существуют такие постоянные ao, ро, Toa, a > 1, что для всех 0 < a < ao, р ^ ро, 0 < t ^ To, a > 1 и достаточно малом p — q выполняется оценка
1
a + 1
IW Г+1 dx
Bpx{t}
< di ^ p V + t ^ p V +11+1+p N (p-a)Kuv (P)IJ J IW |(a-1) ^ dxdr) J. ^ B2p ' '
Здесь kp и kq — постоянные Баренблата уравнений (1) и (2), K(p) — выражение, зависящее от Mu(p) и Nv(p).
< Положим
Un =
u, u ^ n, n, u > n,
0, w < 0,
w+, w < n, (16)
n, w ^ n.
В равенстве (15) выберем пробную функцию равной
ф = ui + -(W+ + e)a е Xioc(St),
£ £
где £ е (0,1), a > 0, n е N, ф е Xioc(St) П YÍoc(St).
и
v
n
Тогда из (15) будем иметь
£
У Ш(ф - п)+яр йх - I Ш(ф - п)+яр йх - I! шд (Ф - п)+яр йхйт
'х{в}
(18)
I I
+ Ц ,ГВ(ф - п)+яр йхйт ^У 1"Б(ф - п)+яр йхйт
в 5
í í
= /'(Ф - п)+яр-1 йхйт - У /'^(ф - п)+яр йхйт.
Перемножим обе части равенства (18) на е и перейдем к пределу в полученном равенстве при е ^ 0.
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости первые два слагаемых левой части равенства (18) стремятся к выражениям
У Ш(Ш+)аяр йх и у Ш(Ш+)аяр йх
(19)
х{£} х{в}
соответственно. Третье слагаемое равенства (18) после умножения на е можно переписать в виде:
£
-е J J Ш—(ф - п)+яр йхйт в
í
= -аЦ Ш(Ш+ + е)а-1 дШтГх{и ^ 1 + 1 (Ш+ + е)а| ярйхйт (20)
в
í
-// (1 - еп)х{1 < и < 1(Ш+ + е)а| ярйхйт = ^(е) + Ые).
в
Последнее слагаемое в силу леммы 2 стремится к нулю при е ^ 0, при фиксированных Б и п, действительно:
£
|^(е)| < е ^ У |Ш | д^п х{ 1 < и < 1 (Ш+ + е)а| яр йхйт
в í
<// (п + V) дт х{ е < и < 1(Ш+ + е)а| яр йхйт
^ т кр р Р
ж _р_
кр р р-2
дп
+ С / т кц р
Ж я кц р я-2
дт дп
х{ 1 < п < 1 (Ш+ + е)а\ярйхйт
дт
1 1
Х\- < п < - + -(Ш+ + е)М яр йх йт
ее
£
£
^ С8 кР рР-2
ди
дт
в
*
-л ^ [ [ ди [1 1 1 , 1ЧЛ Р , ,
+ С8 к9 р9-2 ~дт Х{~ ^ и ^ - + - (п + 1)" > йхйт,
в
каждое из которых стремится к нулю при - ^ 0.
* +
Первое слагаемое равенства (2) стремится к выражению —а/ / (№,+ )" )Эгп йхйт, которое можно представить в виде
—аЦ (№+)айхйт = — У (№п+)а+1 йх + I (№+)а+Ч' dx,
в х{*> х{в}
отсюда и из (19), после предельного перехода при - ^ 0 для первых трех слагаемых равенства (18), получим выражение
' п ) ^ """ I " \" п
х{ 1 < и ^ 1 + 1(п + 1)а
У № )°+Ч' йх + 0+1 I (^,+)а+1йх,
'х{*} х{в}
а / ч "+1 ' , а
а +1 У а + 1
х{*} х{в}
которое оценивается снизу выражением
а
а + 1 У (№+)а+Ч' йх —у №+(№+)а,' йх. (21)
х{*} х{*}
Докажем, что четвертое слагаемое в равенстве (18) имеет неотрицательный предел при - ^ 0. В самом деле,
-УУ^ОД — и)+,'йхйт = аЦ + е)а-Ч'х|и ^ - + 1 (№+ + е)°| йхйт
в в
+ JJ /0(1 — -и),'х 11 < и < 1 + -(№+ + е)°| йхйт;
в
второе слагаемое данного равенства стремится к 0 при - ^ 0, поскольку функции |0и| и |0и| — локально ограничены [2, теорема 1]. J/ можно представить в виде
1
J' = |0и|'-20и — = 1 | (|0(^и +(1 — е)^)|'-20(^и +(1 — Ои)}
0
/|0ки+(1—°1')Г2 «ь
+(p - 2) ^ I |D(£u + (1 - 6v)|p-4D(£u + (1 - £)v) j DW
Перемножая обе части последнего равенства на DW скалярно, получим: 1 1 J'DW = | |D(£u + (1 - e)v)|p-2 de|DW|2 + (p - 2) У |D(£u + (1 - £)v)|p-2 d£|DW|2
0 0 1
= (p - 1) | |D(£u +(1 - e)v)|p-2 de|DW|2, 0
отсюда следует, что J'DW ^ 0.
Поскольку J'DW,+ = J'DW%{(x,t) : 0 ^ u-v ^ n}, то и J'DW+ ^ 0, следовательно,
t
lim eJJ J'- u)+^p dxdr ^ 0. (22)
s Rn
Оценим пятое слагаемое равенства (18) сверху после умножения на e:
t
eJJ J'D(^ - u)+<jp dxdr
s RN
t
< aJJ |J''|(W+ + e)a-1|DW+|^p^|(x,t) : u(x,t) < 1 + ^(W+ + e)°j^ dxdr
s Rn
t
+ JJ |J''|D(1 - eu)<jpx | (x,t): 1 < u < 1 + 1 (W+ + e)ttj dxdr,
s Rn
последнее слагаемое стремится к 0 при e ^ 0 в силу локальной ограниченности функции |Dv| и |Du|.
Что касается первого слагаемого, то его можно оценить так: t
a f i |7''|(W + , p Г.......1 1
/ / |J''|(W+ + er-1|DW+kPx{(x,t): u(x,t) < 1 + 1 (W+ + e)aj dxdr
s Rn
t t < ac^ J |Dv|p(W+ + e)a-4p dxdr + ac^ j |Du|p(W+ + e)a-4p dxdr
s RN s rn
t
+ ac(p - q)//(W+ +e)a"4p dxdT
< ad I т-(1+ N)(p-q+a)pЧрЛа) [ |Dv|q-a(W+ + e)a-4pdxdr
+ J т (1+£ )ap ^ J |Du|p-a(W+ + e)a-4p dxdr
t
t
р-а N1Р-а
+(р - - в) р р V р
2(р:1+а) ( -(1 + Ж )(р-«+а)
(Ш+ + е)(а-1)а йхйт
в В(1+<г)р
^ аЫ р я-2 т
|Dv|q йх
I —(1 + Ж )а 2а
+ т кр' рр-2
В(1+<г)р
^п|р йх
)
ц-а 9
р-а Р
(Ш+ + е)(а-1)а й^ йт
чВ(1+^)р '
\ а \ р
(Ш+ + е)(а-1)а й^ йт
р-а ^р-а + (' - - в) р р р
чВ(+5)р (Ш+ + е)(а-1)а йхйт
^ а^ р я-2
_ £
2(р-я+а) „ \ я / /" -_¡^ Л N
№ (4р))) ( I т я-а (1+ )(' - д + а)йт
kq,
в
ц-а Ч
+
в В(1+<гр) £
(Ш+ + е)(а-1) а йх йт^
+рр-2 (Ми(4р))^ / т (1+Жр)а
+(р - д)(£ - в)^рм^
(Ш+ + е)(а-1)а йх] йт
(Ш+ + е)(а-1)а йхйт
в В(1+<г)р
/ 2(р-я+а) +0,^
< ас(р я-2 +а q
« V-я-а(1+Ж)(р^+") - в1-я-а(1+Ж)(р^+«л «
в В(1+<г)р
. г Л\1 \Я 2а р-а
(Ш+ + е)(а-1) а йх йт I + рр- (Ми(4р))"
1--(1+Ж )а 1--(1 + Ж )а
р- а к р- а к
X £ р-а^ кя' - в р
Ж)а р
(Ш+ + е)(а-1)а йхйт
р-а ^р-а + (р - - в) р р р
в В(1+<г)р
в В(1+<г)р
(Ш+ + е)(а-1) а йх йт^
/ 2(р-ц + а) +а q+ Ж а я-а а / 1 Я (1+Ж
< аЫ р я-2 (^(4р))~ ^ - в)ря Г я-а(1+ кя
^ в)--я-а(1+кя)(р^+«) - в1-я-а(1+кя)(р^+«)^ ~
+рр- +а-р(Ми(4р))~- ^р
Д--(1 + кЖ)а 1--(1 + Ж )а
р- а к р- а к
Ж)а р
+ (р - д)(£ - в) р р
р-а N ( р-а) р ^ ^ р '
(Ш+ + е)(а-1)а йхйт
в В(1+ст)р
£
£
ч
X
р
X
р- а
р
р
р- а
р
Из последнего неравенства при выполнении условий
1--— |1 + ^ (р - д + а) > 0 и 1 - Р
д - а \ к.
1 + — ) а > 0 р - а \ кп
(23)
(условие (23) достигается за счет малости а и (р - д)), получим
2(р-9 + а) + + N2 1+ ^^--Ч— (1 + N )(р-9+а)
^ аС р 9-2 +" У+ РЧ р 4Ь д-а кч'У' 4 '
еуу 3"В(ф - и)+ярйхйт
Ч-а 2а Р-а - (1+М )а р-а р-а N (р \\
х(Ж(4р)) ч + рЬ р (Ми(4р)) р +(р - д)Ь р рТ(р-аМ
( 1 \ а х(1 / +£)(а-1) а йхйт Г,
^ 5 Б(1+ст)р '
отсюда вытекает, что существуют такие ао > 0 и ро > 0, что при всех 0 < а < ао, р ^ ро и 0 < Ь ^ Т выполняется неравенство
^ I 7"В(ф - и)+ярйхйт
^р-)--д__ (1+ N )(р-?+а) М (р-а)
^ асЬ ч-а^ 4^ 'р р
, г ч а
х( (^ (4р)) ^ + (Ми(4р)) У № + е)(а-1) а йхйтГ + ^е)
5 Б(1+<г)р
следовательно, при выбранных а, р имеет место неравенство
Иш
е^о
^р-)--
^ асЬ рч 9
-«(1 + кЧ)(р-?+«)рN (р-а)
eJJ 7"В(ф - и)+ярйхйт х((Ж(4р))^ + (Ми(4р))У / (^+)(а-1)а йхйтГ,
б Б(1+(г)р '
здесь с зависит от р, д, ао, ро,Т.
Правую часть равенства (18) после умножения на е можно представить в виде:
г
-р^У У 3(ф - и)+яр-1Вяйхйт
г
= -р У У 3(+ е)аВях | (х, Ь)и(х'г) < 1 + 1 (+ е)а | йх йт
5 Б(1+<г)р
г
-ре У У 3(1 - еи)Вях|(х,Ь): 1 ^ и(х,Ь) ^ 1 + е+ е)°| йхйт,
(24)
г
г
откуда будем иметь:
* *
ре^ У J(^ — и)+,'-10,йхйт < рУ У |0и|'-1(№+ + е)а|0,| йхйт в в В(1+ст)р
+рУ У |0и|9-1(№+ + йхйт + ^ У (|0и|'-1 + |0и|9-1) йхйт
в в В(1+ст)р
+Р-У У (|0и|'-1 + |0и|9-1)и|0,| йхйт < 0р У У |0и|'-1(№+ + -)айхйт
+
в В(1+<г)р
ср р
в В(1+<г)р
У У (|0и|9-1(№+ + -)а) йхйт + Ср У У (|0и|'-1 + |0и|9-1) йхйт
в В(1+<г)р
в В(1+<г)р
+0| М <
Р
р — а Р
У (|0и|'-1(№+ + -))^ йхйт
в В(1+<г)р У
У У (№+ + -)("-1) а йхйт) +|у у (|0и|9-1 (№+ + -)) р^ айхйт
р — а Р
в В(1+<Г )р
в В(1+<г)р
X
У У (№+ + -)(а-1)айхйИ + с^кррр—Р2 + *к9р^ + •
в В(1+<г)р
Из последнего неравенства после предельного перехода получим
Иш
е^0
р-У У J(^ — и)+С'-10(йхйт < р |У У (|0и|'-1(№+))^йхйт
р р — а
р — а р
4 в В(1+<г)р
+ (/ / |9-1(№+))^йхйт
^ в В(1+<г)р
(* \ а/'
У У (№+)(а-1)айхйИ + ^рV + *^рV).
в В(1+<г)р '
Оценим выражение стоящее в квадратных скобках соотношения (25):
(25)
р—а / *
р
У У (|0и|'-1(№+))р—а ¿хйт! " + |У У (|0^-1(№+))^ йхйт
р — а р
в В(1+<г)р
/ * ЛI
1 / *
р
J у ирйхйт1 1у J
в В(1+ст)р ' ^ в в(1+ст)р
4 в В(1+<г)р
(р—1)р |0и|р—а—1 йхйт
р—а—1 р—а—1
р \ р йх йт
X
+
пр йх йт
8 Б(1+а)р
р — а — 1
(9-1)? \ Р
| р—а—1 йхйт ^ с
8 Б(1+а)р
пр йх йт
8 Б(1+а)р
р — а — 1
— (II Ж ) 2ар _4ар_
- ( + кр ) р — а — 1 р (р — 2)(р — а — 1)
р —2а —1
|*п| р—а—1 йхйт
Б(1 +а)р
+с
4а . аМ
^ срр—2 р
1
пр йх йт
8 Б(1+ст)р +
)' р — 9 — а9 ^ р — 9 — а9 Ь д(р—а—1) р д(р—а—1)
9 — 1 9
пр йх йт
8 Б(1+а)р
8 Б(1+а)р
-(1 + Ж) 2ар
кр ' р — а — 1
1 / ь
р
р—2а—1 \ р — а — 1
р — а — 1
\ р
^Вп^йхЛ йт
р — 9 — а9 N р — 9 — а9
+ СЬ 9(р — а — 1) р 9(р — а — 1)
■Б(1+а)р +
пр йх йт
8 Б(1+а)р
9—1
* ^ йх йт
8 Б(1+а)р
1+1 _ (1+ Ж) 2ар 4а , аМ ^ р —2а
< сЬ + р (1+кр)р—а—1 рр—2+—-(р_2а-1) (Ии(4р)) —
1+11 + р — 9 — а9 N р — 9 — а9 1 д — 1 \
+Ь1 + рр + 9(р —а —1) рП 9(р — а —1) (Ми(4р)) р (Му (4р)) 9 .
Отсюда при соответствующем подборе ао и ро из (25) при всех 0 < а < ао, и 0 < Ь ^ Т получим оценку
Иш
е^0
ь
'Р£ I ! /(<ф - п)+(р_1П(йхйт
8 ЯМ
1 р—2 .1 9—2
^ с ( Ь кр р кр + Ь к9 р к9 + Ь
11 + р — 9 — а9
Д + +
р 9 9(р — а — 1)
х(Ии(4р)) р (Ыи(4р))~р (Му (4р)) 9
(^+)(а-1)а йхйт
а/р
8 Б(1+а)р
где с зависит от р, д, ао, М, Т, ро.
Итак, из (18) на основании (21), (22), (24), (26) будем иметь
1
а + 1
У (^+)а+1 йх - I йх
Брх[г]
(1 р —2 1 9 —2 1+1 _ 1 + р — 9 — ад Ж ( ) , 9 —а р — а х
Ь кр р кр + Ь к9 р к9 + ¿1 + р 9 + 9(р —а —1) р р (р а)( (Му (4р)) 9 (Ми(4р)) р )
+(Ми(4р))+ (Ми(4р))р(Му(4р))^ / (^+)(а-1)а йхй^ .
Брх{8}
8 Б(1+а)р
(26)
ь
V
ь
V
X
9
Переходя к пределу при в ^ 0 в последнем неравенстве, получим оценку
/11-, / -1 Е-2 1 З-! II 11 + р-д-ад
Ах ^ СИ кЕ Р кЕ + г кЗ Р кЗ + г ЕЗ + з(р-а-1) р
а + 1
B(l+a)p
q — a p — a p — 2a 1 q — 1
x((Nv (4p)) — (Mu(4p))— + (Mu (4p))— + (Mu(4p))p (Nv (4p))~) (27)
Jj J (W+)(a-1)a dxdr) .
\ n B2P '
0 В2р
Меняя местами и и V, и записав (27) в этом случае, мы приходим к оценке
1 Г 1 ! 1 Е-2 1 З-2 11 , р-з-ад N ( — )
а+1 I 1^+|а+1 Ах ^ с\г кр р кр + г кз р кз + г1+Ез+з(Е-а-1) р а>
J I W+Ia+1 dx ^ kp p+ t kq pq— +11 *Kuv (p)(j J IW+ |(a-1) a dxdr)
Bpx{t}
/ t \ a/p\
, I I IW+l(a-1) a j™ rlr
L uv(
П B2p
где
(28)
з-а р-а р-2а 1 з-1
Ки/и(р) = N(4р))— (М«(4р))— + (Ыи(4р))— + (Ии(4р))-р N(4р)) —.
Окончательно для 0 <а<ао, р>ро, 0 < г ^ Т, после предельного перехода в неравенстве (28) будем иметь
1 Г I .1 --2 1 1 1 1 1 р-з + аз N / \ _ ШПа+1 ^^ ^ ^ I 1 кр п кр \ р- з + з(р-а-1) п р (Р-а>
а + 1 J
Bpx{x}
IW|a+1 dx ^ с tkp p kp + Г+p q + q^p—a—1) p~p (p-a)Kuv(p)
J J iw i(a-1) a dxdrV 1. >
n B2p ' '
t
X
Литература
1. Benedetto E. D., Herrero M. A. Non-negative Solutions of the Evolution p-Laplacian Equation. Initial Traces and Cauchy Problem when 1 < p < 2 // Trans. Amer. Math. Soc.—1989.—V. 314.—P. 225-290.
2. Benedetto E. D., Herrero M. A. On the Cauchy problem and initial traces for a degenerate parabolic equation. // AMS.—1989.—V. 314, № 1.-61 p.
3. Shelepov V. Yu., Alexander F., Tedeev A. F. On an inequality for solutions of elliptic equations and its application in the theory of boundary properties // Soviet Math. Dokl.—1991.—V. 42, № 3.—P. 732-736.
4. Тедеев Ал. Ф., Шелепов В. Ю. Об Ьр-граничных решениях эллиптических уравнениях в негладких пространственных областях // Нелинейные граничные задачи.—Донецк: АНУ ИПММ.—1992.— № 4.—С. 52-100.
5. Шелепов В. Ю. О граничных свойствах решений эллиптических уравнений в многомерных областях, представимых с помощью разности выпуклых функций // Мат. сб.—1987.—Т. 133 (175), № 4.—С. 446-468.
Статья поступила 10 января 2007 г.
Тедеев Александр Федорович Северо-Осетинский госуниверситет им. К. Л. Хетагурова Владикавказ, 362040, РОССИЯ
