Глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

И. Г. Ахмерова

Глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей

В работе доказана глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей.

1. Постановка задачи. В работе изучается следующая квазилинейная система дифференциальных уравнений составного типа в области Qт = {х | 0 < х < 1}х (0, Т).

Г\ Г\

-£ + дх^ = о, < = 1,2, (1)

о (дюл дщ \ д ( дщ \ _

дР , , о

= -Sl~fa ^ Pis±9,

др

— s2^------Ь ф2 “Ь Ро$29 = О,

дх

2

о .дв дв д . дв. ^CiPiSii д; + ч—) = —(х—

i=l

дх

дх дх

si + s2 = 1, фі = К(щ — щ), ф2 = —фі, Р2 — Рі=Рс( Sl,ff).

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь щ - скорость соответствующей фазы; в* - насыщенность = р°/рг); рг - приведен-

ная плотность; р° - истинная плоти ость; рг -давление; - коэффициент динамической вязкости фазы; = К(щ — щ), ф2 = —ф\\ К - коэффициент взаимодействия фаз (К =

Ko(si)s- в(S2

\—в—1

в > 1); g ускорение си-

лы тяжести; в - абсолютная температура; о = const > 0 - теплоемкость г-ой фазы при постоянном объеме ( i = 1, 2); х _ коэффициент

s

Первая краевая задача для системы (1)-(5) при постоянной температуре рассматривалась в работе [1]. Уравнение (4) получено в предположении равенства фазовых температур в каждой ввв

Система (1)—(5) дополняется начальными и граничными условиям:

Vi \dQT= 0,si |t=o= sUx),vi \t=o= v°(x), дв

дх \dQT= 0, в \^= в°(x). (6)

Преобразуем систему (1)-(4). Из уравнения (1), в силу (5) и (6), имеем равенство в]Щ1 + в2Ю2 = 0. Исключая в (2), (3) р и р2 с помощью (5), ПОЛуЧИМ (в = в1,в2 = 1 — в, Щ = — 1^1 ЩЬф1 = —К~^, ро = ро — ро)

дул

дв д дЬ дх

дщ

_ дрс

(sv^) = 0,

д ( дт\ дх V ^ дх

фі 1 - S

Р sg,

(7)

(8)

дв дв — (c^s + о^р^І — s)) + v1s — {ciPi — c2f4) =

д дв = дх дх

Vi \dQT= o, s |t=0= s°(х), щ \t=o= v°(х) дв

T~ \dQT= (^, в \t=0 = в<1{х).

(9)

дх

(10)

Определение 1. Обобщенным решением задачи (7)-(10) называется совокупность функций (в(х,^,щ(х,^,Йх,^),

Яо

з(х,г) е ьто(о,ТЖАЩ, ^ 6 и^), №), щ(*)) е ьто(о, Т шЦп)) п ь2(о, Т шЦп)),

дщ дй

{~дГ,т} е ь2^), п = (о,1), ^Пх(о,Т,

удовлетворяющих уравнениям (7)—(10) почти всюду в ^ = (ОД) х (0, Т) и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.

Теорема 1. Пусть начальные данные й° (х), в0 (х) ,Щ (х) обладают следующими свойствами гладкости:

(в0,у°,й0) е ^(П), щ°(0) = Щ>(1) = 0

и дополнительно известно, что

0 < шо < в°(х) < Мо < 1,

0<к-1 < во{х) < ki < ж,

\ p'cs \<

к

hx(i

рС < кігФв,

к— (s(l — s))n < х < ^(^ — s))n, п = const,

K = K0(s)s-/3(l - s)-в—, в > 1.

p° svfdx ■

Kv

о о

-

-\dxdr <

получим:

1

Тогда для всех конечных Т > 0 существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи в x, t s x, t тельные и ограниченные функции.

Если дополнительно s° € C1+“(fi),(vi,e°) €

C2+ “(П ),0 < а < 1 и начальные дан-

ные согласованы с граничными условиями, то решение является классическим s{x,t) € имеем

C+“(Q, vixt^ixf) € C2+а1+а(Q).

Теорема существования на малом промежутке времени [0, to] доказывается с минимальными изменениями так же, как в [4, с. 68] для системы вязкого теплопроводного газа. Поэтому основная трудность связана с получением глобальных

t

После этого локальное решение можно продолжить па весь отрезок [0,Т].

Поскольку 0 < m < s°(x) < M0 < 1 и О < к-1 < в°(x), то из уравнений (7) и (9) следует, что 0 < s(x,t) <1 и e(x,t) > 0.

2. Глобальные априорные оценки.

Лемма 1 [4, с. 50]. Для любого t € [0,Т] выполняются соотношения:

0 < s(x,t) < 1, x € [0,1],

1 1 = <“>

о о

и существует ограниченная измеримая функция a(t) такая, что

0 < a(t) < 1, s(a(t),t) = s°(a(t)). (12)

t € ,T

неравенство

(p°svD t

His(v! x

Kv

-

\p°svl

= sviPcx+ | Pisv^xx - -p1s^^ + p3svig.

После интегрирования no Qt = [ОД] x [0, t]

i t i

°

p° sv^dx + 2

о о

Kv

Mlsvlx

-s

dxdr =

1

4p°s°{

0

°0(v°)2dx + 2 I I svipjcxdxdr-\-

0 0

1 t

+2 J J p°svigdxdr. о о

Уравнение неразрывности представим в виде

x

д

svi = - дц 4^,td^.

Тогда

t 1

IЛt = J J Po svigdxdr = о 0

J g(x,o) ^p° j s°(£)dcj dx- J g(x,t) {p°f ^^,t)d^ \ dx+

0 t 1

< J p° s°(v°)2 dx + 2(p°J s°(x)dx)(J (\g(x,0)\+ 0 0 0 t 1 t 1

+ lg(:M) I)dx+j j\g tM)

0 0 t 1

о 0

gT(x,T) p° s(£,T)d£\ dxdr.

oo Vo

С учетом (11) получим

1 1

I°(t) < (p° J s°(x)dx)(J (\g(x,0)\ + \g(x,t) \) dx-\-0 0

t 1

-dxdr■

- dxdr. (13)

0 0 0 0 Доказательство. Уравнение (8) умножим v x, t

2svi(vit + vivix) = (svf)t + (svf)x,

J J \gT(x,r)\dxdr).

о о

Пользуясь неравенством Коши, получим: t i t i \ J J svip-xdxdr \ = \ J J(svi)xPcdxdr \= 0 0 0 0

s

t

t

x

s

t

t і t і

= \ J I (SxVl~^~sV1 Х)рс<іх<1г \<^J J s(vi)2 с1хс1т~\-0 0 0 0 t 1 9 9 t 1

+ — j J Pc x <bdT+-j j s(vi x)2 йхйт-\-

0 0 0 0 t 1

1 t f P (Іхліт.

о 0

на.

Тем самым приходим к (13). Лемма доказа-

Пусть фр(в) - решение уравнения фр(в) = в+3 , 0 < ког < Ко(в) < ко < ж,

в е [0, !]•

Лемма 3 [5]. Для любого £ е [О ,Т] справедливо неравенство

Последнее равенство проинтегрируем по Qt. Учитывая оценку

о ^ М1 2 , (р0)" 2

рЩЭх <— + ----SV1,

4в1 цг

получим неравенство

і і

2 7 ^ I о\2 . \р1) о/ о\2

, . sxdx < -— (sx^ 1 - '

4 J s x ~ J l4s^ Х

о о

^ f n 2j ^ i r^Ml / о%2 . о/ о\2т 7 I

- j —~sxdx < j [тто^) + -^s К) ]dx+

1 t і

/svidx + ро I I sv(Хdxdт+

о о t і

^~Ро J J sxgdxd^ + ^^^ J j sxpcxdxdт, (15)

о о в котором

о о

s x, t

t і

(sДx,t))2 + фр(s(x, t)) dx <

sо(х)2-

< 4JI^ PCsdxd^ J ]LS0nk('SХ(^

0 0 о

(ро\2

+2—-—s^ x)(vK x))2) + 4фр( s^ x))]dx+ Пі

і t і J1J f „„.2 x л „о f f -/-2

4vri/ J sv{dx ^4ро j j s(v{x)dxdт-\-o

t і дв

о 0 t 1

£l J J ~v дх о 0

о 0

х дх

t 1

sx sx

2 (s^ (visx)x) — =

v

s

I t —

о 0

—

-Krn сіхсіт,

(рої

1 J

0

— І І хй^^+гєі / / А2^^

+12р° //^9(х,т^ 1 + 19Ах,т) 0dxdт, (14)

о о

где ^—произвольное положительное число.

Доказательство. В уравнении (8) производную щ х заменим из уравнения (1). Умножим преобразованное уравнение (8) на вх/в и с учетом соотношений

K = K0(s)s-e(l - s)-в-1.

s x, t

ds д

d + dx^sv‘) = 0

представим в виде

(Фв( s)) t + {.ф (s)vi )x = si^svisx,

где фр - есть решение уравнения ф'в = K0(s)s-2-e(l - s)-3-в, фв = de ^ив>1и K € [к-1, к], к = const > 0, имеем

Фв(s) > C(s-e+ (1- s)-1-в),

1 1 h(t) = - J Ф вe(s(x,t))dx + J ф e{s°{x))dx, о о

где C = ск,в > о.

g x, t

интегрирование по частям, а затем оценим полученное соотношение с помощью (11) и неравенства

(vit + vivix) sx = (visx)t — (vist)x — s(vix

получим

n (s^^ I о \ sx JS , о,

PlVlSx I ----— К^^ірУsv

s

—

о sv x

+VlSx(р0 vi+ni—))x = ро s(v! xY +gрl0sx + sxPc

max \g{x,t)\ < \g{x,t)\dx + / \gx(x,t)\dx.

0<x<l J J

о 0

В результате получим t i t i \p° 11 gsxdxdr\ < 3p°°J J[\g(x,r)\ + \gx(x,r)\]dxdr. oo oo

s

t

t

s

x

x

t

Рассмотрим последнее слагаемое правой части (15). Имеем

t і

t і

SxPcxdxdт = I I p'csis^2СхСт+

0 0 0 0 t 1

J Jp'cQSx^xdxd'r.

о 0

Второе слагаемое этого равенства оценим с помощью неравенства Коши

\ / I pfc9Sxвxdxdт \< ^ [ [ {РсХ (sxfdxdт+

0 о

о о

t 1

+ 7^У J х(вxf dxdr. о о

Тем самым приходим к (14). Лемма доказа-

на.

Уравнение (9) возьмем в форме (4) и умно-в х, t

1 .29 1 2 9 -^Zciрі siet + ~ 'Ечрїsiviex = Wxx.

i=l

i=l

Проинтегрируем последнее равенство по Qt и учтем граничные условия (10). Тогда

^ в2 ( 53 сІрї*) dx + f ( х іI dxdт =

дх

о о

J (в°)2 сірЇs^ dx. (!6)

Лемма 4. Для решения задачи (7)—(10) для любого £ е [0,Т] при в справедливы неравенства

v

(svfx + Kvf + хвx)dxdт < C, (17)

о о

0 < ш < ,?(х,Ь) < М < 1,

0 < ш' < й(х,1) < М' < /х,

где постоянные С, ш, М, ш', М' зависят только от данных задачи (7)—(10) и не зависят от ¿о-

Доказательство. Неравенство (13) умножим на А = const > 0 и сложим с (14) и (16). В результате получим

і

f рSV2 + П (s^ x,t))2 + фр( s(x,t))+

х, t

t 1

-¿в2^2сірїSi))dx+ I I s(vix)2{ 'nA —4рІ)с!хс1т+

i

t ^9 t 1 g

V dxd^+ ( f s(vi)2(—А )dxdт+

о о

—s

о 0

t 1

4)2

n

+ (1 — ~) J J х^)2СхСт <

о о

1

<J vn2 + S^isxi x))

Аро-оі-о^2 ' /,„о/'„,\\2

ро о о о

ро

+2^-s°( x)(vK x))2 + іфр( s% x))+

n

+ \в)2 Сірїs^ )с1х + 2А(ро І' s%xdx)■

1 t 1 ij{\g{x, 0 )\^~\g(x,t) \) dx +J J \gT (x,t) \dxdт)""f"

0 0 0 t 1

+ 12ро J J[\д{х,т) \ + \д^х,т) Уdx^^-

o о

t і

cx

9 9 t 1 9

+А I I p x (Іхліт Л------------------[ [ — сСхСт+

s П J J s

0 0 0 0

t 1

+2J J ^c9 (s^2СхСт

о о t і

+ УУ 4pCs( S^2 СхСт. (18)

о о

0

Тогда

y(t) < C2(l + J у{т)Ст)

t

и, следовательно, у(1) < С^еР^. Поэтому первая часть леммы 4 доказана. Тем самым функция

в (х^) , . /2

^(8) = / (-^7^) Лт ограничена. Поэто-

му при в > 1 существуют числа т и М, зависящие от данных задачи, и Т, но независящие от ¿о, и такие, что

О < ш < в(х,^ < М < 1, (х,1) е Qт. (19)

Уравнение (9) умножим на функцию вк( х,Ь) = шах{в(х,1) — к,0}, к =

шащ<х<\в°(х), результаты проинтегрируем по Qt. Получим

^ / 9 \ t 1 9

\Jср°Лх+//Х(~дх^ ЛхЛт =

О 'г=1 ' 0 0

Здесь 0 < шт{с1р\,с2р2) < ^¿=1 сг9Ч < шахСр^сър®)- Из леммы Гронуолла получим вк(х,Ь) = 0, т.е. 6(х,1) < шащ<х < 60(х). Рассматривая функцию в1{х,Ь) = шах{—в(х,1) — 1,0}, I = —шгщ<х<1 в°(х), получаем оценку 6{х,Ь) > шгщ<х<1 в°(х). Тем самым лемма 4 доказана.

Рассмотрим уравнение для температуры

^а0 ""Ь @ха1 — {x@x)x,

где а0 = '¡Г^=1 СчрЧ вч, а! = ^=1 Сгр°г ЧЮг-

Умножим это уравнение на 0хх/а$ и проинтегрируем по П. Получим

Для второго слагаемого правой части уравнения имеем неравенство

1 11 J аавхеххЛх < у J в2ххЛх+ С^^ 92хЛх).

x xx xx

о о

.

Выбираем £ч > 0,г = 2,3 настолько малыми, чтобы ^2 + £з < Ь- Тогда получаем, что

»дх "2+1 <» Тг ^ +»дх "2>* < С*. <20»

о

Из уравнения (8) умножением на хх/в, поступая аналогично доказательству (20), нетрудно получить оценку

t

2)С,т < с.

(21)

Из уравнений (7) и (8) следует, что функция Е = рОщ + ! вх удовлетворяет уравнению

sR t + SVxR x = spcx

Фі

—

p°gs.

Уравнение (22) умножим на Еп-1 (х,Ь) , п > 0 и полученное равенство проинтегрируем по х е ,

1

2п

1 1

j(sRn)tdx = j spcxRn—dx+

—х^xxdx = a0

1 1

= I Хв^х @х@ххЛх I @х@ххЛх.

а0 а0

0 0

В правой части для первого слагаемого имеем неравенство

[ ^x^xx^ <

as

0

1 1

< 0<x<l \ вx \ (/ Sxdx^/ ^xxd^ <

о о

1 11

< у j ^xdz+^i J sldx)4 J ^x^).

о о 0

Ко^п-1^ } KRn-^_dx

р°sgЩn—dx —

0

0

—s

в котором каждое слагаемое правой части оценивается по неравенству Гель дера. Тогда получаем

1

2п

J (sR2n)tdx <

2n-l

Ce[ j/\sR ?nd,xj jj dx

2 n — 1

j [R\2ndx\ ij\sx\2ndx

2 n—1

I \sR! pn dx^j ^ [v-h p ndx

t

s

2n

2n-l

\sR |2ndx^ \p|sg\2ndx

.1 /2п

Для функции y(t) = If sR ndx ) получим неравенство

dy{t)

dt

Тогда

< Ц \0æ\2ndxj J\Vl \2ndx

fl \ ¿тг

J \g\2 n dxj +y(t).

max I R |< max I R I e'

0<æ<l 0<æ<l

+ei e-T^a^ \вх \ \ g \

J 0<æ<l 0<æ<l

■ max \ Щ \ dT].

0<æ<l

(23)

Непосредственно из неравенства (23) вытекает, что \ вх \< С.

Таким образом оценки для обобщенного решения не зависят от ¿о. Поэтому локальное решение может быть продолжено на интервал [0,Т]. Теорема 1 доказана.

Доказательство глобальной классической разрешимости системы (7)—(10) проводится аналогично доказательству глобальной классической разрешимости для системы вязкого теплопроводного газа [4, с. 62].

¿n

Литература

1. Папин А.А., Аносова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения// Известия АГУ. Барнаул, 2002. .V" 1.

2. Pukhnachov V.V., Voinov O.V., Petrova

A.G., Zhuravleva E.N., Gudz О.A. Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration // Interfacial Fluid Dynamics and Transport Processes. Lecture Notes in Physics, Springer, 2003.

3. Gard S.K., Pritchett J. W.B. H. Dynamics of gas - fluidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. №10.

4. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов

В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, 1983.

5. Папин A.A. Об одном решении в ’’целом” для уравнений неизотермического движения двухфазной смеси// Деп. ВИНИТИ, 2005. №1109.