Разрешимость "в целом" уравнений одномерного движения газожидкостного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

И. Г. Ахмерова, A.A. Папин

Разрешимость одномерного движения газожидкостного слоя

”в целом” уравнений

Для системы уравнений одномерного нестационарного движения нетеплопроводного газожидкостного слоя в случае однородных граничных условий доказана разрешимость ”в целом” по времени.

1. Введение. Динамическую систему уравнений движения N - фазной смеси составляют законы сохранения массы, импульса и энергии для г-й компоненты смеси (г = 1,N [1, 2]:

дрг

-д~ + div(Pi Щ) = тг;

дщ

Рг \ dt + V ' ЮЩ ) = div&i + ргЪг + тг

Р^+ ^ = а1 '■ &г - + Ег.

Здесь ръ, щ, аъ, и - соответственно приведенная плотность, вектор скорости, симметричный тензор напряжений и удельная внутренняя энергия г-й фазы; т\ т% Ег - соответственно ннтен-

N

спвность обмена массой тг =0), импульсом

г=1

N N

(^2(тъ + тгщ) = 0) и энергией (^2(Ег + т1(Щ +

1=1 1=1

• Щ) + тг • Щ) = 0) между г-й составляющей и другими компонентами смеси (и внешними источниками) в единице объема смеси и в единицу времени; щ - вектор внешних сил; Щ - вектор потока тепла; Въ - тензор скоростей деформации, компоненты которого в декартовой системе координат имеют вид

l,dv.

3v\

межфазные (массовое ш\ силовое m% энергетическое Ег) взаимодействия.

2. Основная модель. Следуя [3], рассмотрим движение двухфазной смеси (N = 2), состоящей из твердых частиц (г = 1) и газа (г = 2).

mi

объемная концентрация газа (пористость) равна ф. Тогда р2 = Pfф Pi = Ps(l - ф), где Pf, ps - истинные плотности газа и твердых частиц соответственно. Постулируется, что 72 = —pI; о\ = (—ps + (As(ф) — 2^)divF1)^ 2ps(ф)Бг, где p, ps - соответственно давления в газовой и твердой фазах; As(ф), ps(ф) - коэффициенты вязкостей.

Относительно внешних сил pb и величин m1 предполагаются выполненными следующие условия: ргЪг = (1 — ф)psg; p2b2 = Фpfg^, m1 = —m2 = F. Здесь g — вектор ускорения силы тяжести. Для конкретизации вектора F вводятся понятия внутреннего давления газа pe и эффективного давления твердых частиц pse, а именно, p = фpe, ps = (1 — fi)pse, причем pse = pe + /(ф), где /(ф) - экспериментально определяемая

функция ( lim /(ф) = +го, lim /(ф) = 0). То-

ф—+0 ф—— 1—о

гда F = Б(ф)(у*2 — F) + (1 — ф)с(ф)р^й^Г — ^dr) — peVф, где Б(ф), с(ф) - заданные функции dt = М + F -V-

После этих предположений уравнения сохранения массы и импульса принимают вид

с?-2+ тххк] €{1-2'3>,

где х = (х1,х2,хз) - независимые перемен-

П

ные; I ........... время; а : ^ ак1Вк1; V =

к,1=1

(дк, дк, _ оператор градиента, щ - V =

3 3 д ^

щкV** = Ё щк^, З/тщ = Ё Уравнение

к=1 к к=1 к

сохранения момента импульса не используется

ввиду симметричности тензора напряжений а.

Данная система уравнений является недо-

определенной. Для ее замыкания необходимо

конкретизировать величины, описывающие вну-

трифазные (силовое аъ, ^^^^^етическое Щ) и

djpsjl - Ф)) dt

d(.Pf Ф) dt

divi

div(ps(l - ф)Щ) = 0;

div(pf фтщ) = 0;

ps(l - Ф)^~ = divai + F + ps(l - ф)д; dt

, faF w F , ->

Pf = -yp - F + Pf фд-

Далее предполагается, что ps = const ^ pf Pf

и в представлении для F - отбрасываются. В результате приходим к системе

3(1 - Ф)

d(.Pf Ф) dt

■ di^l — ф)Щ\) = 0; (1)

div(pf фщ) = 0; (2)

k

ps(l - ф)^^г = divax + F + ps(\ - ф)д; (3)

dt

Vp + F = 0.

(4)

Относительно уравнений сохранения энергии постулируется: фазовые температуры в каждой точке среды совпадают Т = Т2 = в); иг = егв, ег - теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме. Тогда уравнение сохранения энергии смеси представим в виде

Р1 = Р2 + Рс- Также подставим в уравнение (8) Б = В(в)(щ - Щ1)+Р2 §Х. Слагаемые вдх и Р2 §х сокращаются. С учетом этих равенств система уравнений (6)—(Ю) принимает вид

ds д dt ^ дх

(su) = 0;

(12)

fhs

du du\ B(s)u d(spc

dt

cips(l -ф)

дв

dt

■ F • Ve)+C2pf Ф ( — + V2 • Ve

= div(qi + q2) — a : D — a2 : D2.

(5)

ps

S = l - ф 1 - S = ф ff° = Ps

P2 = Pe\ Pc = f(s).

ds d

at + ax{svi) = °l

dt

-

d_

dx

- s v

(6)

(7)

o dvA _ dps , d f (\dvA,F PlS(^t + Vl^x) - - ~dX dX [Ks)^x)+F;

(8)

F = 0, (9)

dp

dx

ds

dx -

d f du

+ dX {MdX

dp B s u

dx

dx

s

Также предположим, что qiJrq2 = —к(ф) У в, к(ф) - коэффициент теплопроводности смеси, а слагаемые ^ : Di, описывающие механическую работу, пренебрежимо малы.

Система (1)-(5) замыкается либо заданием уравнения состояния pe = pe(pf ,в), либо предположениями pf = const, в = const, которые и принимаются в данной работе.

3. Одномерное движение. В области Qt = О х (0,T), П = {x | 0 < x < 1},T > 0 рассматривается одномерное движение газожидкостного слоя, описываемое системой уравнений (1)^(5) ПрИ g = о. Введем следующие обозначе-

p p p c

(13)

(14)

(15)

pi =

Тогда система уравнений (1)-(5) принимает вид (p(s) = Л^s) + ips/3 > 0)

u \dQT= 0, u \t=o= u°(x); s |t=0= s°(x). (16)

В системе (12)—(15) основными являются

s

u

му в дальнейшем рассматривается система (12), (13) при соответствующих граничных и начальных условиях.

Как известно [4, с. 50], решение уравнения (12) обладает свойствами: существует ограниченная измеримая функция a(t) G [0, T] такая, что s(a(t),t) = s°(a(t)).

Условие А. Относительно функций pc(s), n(s), B(s) требуем:

pc(0) = 0, lim pc(s) = +ж,Б(0) = 0, lim B(s) = +ro,

s— s—

p(ö) = o, (spc)s > 0, p'ds) = dC.

Существуют постоянные K > 0 и ß >2:

x - x

dxd£ > Ki (

(1 - s)ß s ’

Р1=Р2+Рс, Б = В(в)(щ2 - щ1)+р2 — . (Ю)

Эта система уравнений рассматривается при следующих начальных и граничных условиях(дфу = дП х (0,Т)):

Щг \ддт= 0, щг |^= х), в |4=0= в°(х).

(11)

Поскольку из уравнений неразрывности имеем равенство вщ + (1 — в)щ2 = 0, то, полагая VI = и, получим, что щ = —ви/\ — в, щ — щ = —и/1 — в, дх = Ви,/{\ — в)2. Заменим в уравнении (8) Ра = вРх с учетом равенства

при в(х,^) < М < 1 выполняются условия

\^(.Рс);\< К„44 < < Кг.

Определение 1. Сильным решением задачи (12), (13), (16) называется совокупность функций (з(х,^),и(х,^)) из пространств

дв

з(х,г) е Ьж(0,Т-ШЦЩ- — е ЫЯУ, и е Ьж(0,Т-№(0.) )П Ь2(0,Т;ШЦП));

ди

д е ЬМ

d

s

удовлетворяющих уравнениям (12), (13) почти всюду в Qт и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.

Основной результат по глобальной разрешимости поставленной задачи формулируется следующим образом.

Теорема 1. Пусть начальные данные в°(х), и°(х) удовлетворяют следующим условиям гладкости (в°; и°) е и согласования и°(0) =

и° ,

О < т° < в^х) < М° < 1; х е О,

и дополнительно известно, что выполняется условие А. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (12),(13),(16), причем существуют постоянные 0 < т < М < 1 такие, что т < в(х,Ь) < М, (х, Ь) е QT.

Если дополнительно в° е С1+“(П), и° е С2+“(О) и начальные данные согласованы с граничными, то решение является классическим:

дв 0 ди

аі + 3'дї = 0’

(19)

° ди д ди д вРс В в и

Р дЬ дх\ дх) дх в(1 — в)2

(20)

Начальные и граничные условия записываются в виде

и ^т= 0, и \^= и°(х), в \^= в°(х). (21)

Лемма 1. Для любого Ь е [0,Т] справедливы соотношения [5]:

1 г 1

1и1'1х+7,1 / Мв>в{1х>ч

О 0 0

Б(&

з(1 -

;)с!хс1т ■

Р°

а(в)3в =

/2 г р Гх)

(м2 + роа(в°(хтх,а(*)= у

0 а(г)

Теорема существования на малом промежутке времени [0, і] и теорема единственности обобщенного решения доказывается с минимальными изменениями так же, как в книге [4] для системы вязкого теплопроводного газа. Поэтому будем считать, что па промежутке [0, і°] существует классическое решение задачи (12), (13), (16), причем 0 < в(х,і) < 1,(х,і) Є О,і ^0,і°]. Основная трудность связана с получением априорных оценок, независящих от величины і°. После этого локальное решение можно продолжить на весь отрезок [0,Т].

4. Доказательство глобальной разрешимости. При выводе глобальных оценок удобно использовать систему координат Лагранжа [4]. Пусть у = у((,х,і) - решение задачи Коши, щ = и(у,С), у\(=г = х. Положим £ = у((,х,і) |£=о и возьмем за новые переменные £ и і Тогда в(£,і) = в°(£)7(£, і), где .Ц£,і) -якобиан перехода. Поэтому система уравнений (12), (13) в новых переменных принимает вид

(22)

Iі2

(1 - в)в

2)йх-\-

г і

+2у у ^в^ддх'^^Рс^ вРс)ЗхЗт < N, (23)

о о

где N - постоянная зависящая от данных задачи и независящая от Ь$.

Доказательство. Для получения равенства (22) уравнение (20) умножим на функцию и(х, Ь) х

-¿х =

дв в2 ди ~ді + д£ ~ ’

(17)

1° (I / 9, //ч 9, [ Б(в)и2

2Рі х]и-*х +] М™-,¿х + /

0 0 о

= j ихвр-3х, о

и,

ди

д£

1 д{вр-д£

Б(в)и з(1 -

1° (I ^9 ^ / ч 9, [ Б(в)и2

2Рі х]и-*х +] м™-,¿^¡^-7)

0 0 о

-¿х =

(18)

Наконец, переходя от (£, і) к массовым лагранжевым переменным (х,1;) по правилу в°(£)й£ = ¿х, х(£) = /д в°(ц)йц Є [ОД], полу-

= - ш}а№-

Откуда и следует (22).

в

и

О

в

Для получения неравенства (23) в уравнении (20) их заменим из уравнения (19). Получим [5]

° ди дг д(вРс) В(в)и

Р1 дЬ дЬ дх в(1 — в)2,

где г(х,Ь) = дх' Умножим это уравнение на г х, Ь х

/ ^¿х+! ^~хр-^¿х+

ді У £2 ] у2(1 - уУ

а г а г

ЗуЗ£ =

° [ в2р(в)иХ ° з г

= р1 ------------Зх — Рі~ игЗх.

в

Зі

о

о

і

/<

22 + —----- + и2)Зх+

4 (1 — в)в

о о

вХХ(рс + вр-) — р°ц\ви, ЗхЗт < N.

Лемма доказана.

Замечание 1. Из Леммы 1 и условия А следует оценка

Доказательство. Умножим уравнение (20) на

О^П_1

и п и проинтегрируем полученное равенство

х

1 1

I и2гпЗх+{2т — 1) [ 4(в)ви2т~2( ——)2Зх~\~ т дх

о о

+ / Зх = — / и — ддх Зх.

в — в дх

О О

Оценим правую часть по неравенству Гельдера:

г и п- щр, зх <

дх

2т / 1

<1 I тЗх\ І I Л,.2т-Ъ т,

дх

чО

У (и2т 1)2т— Зх

і

і

/

Коши для слагаемого р° £ игЗх. В результате,

о

учитывая условие А, получим

/1 \ 2т

Тогда для функции у (і) = I / и2тЗх ) получим неравенство

Зу(і) ^ І I' \д{врс)

|2т

Зі < I/ \-дГ' Зх

\0

из которого следует

МЬт.о < \\и°\\2т^ + | I || \ - |\2т,ПЗт | .

д(вр-

дх

(25)

Из неравенства (25) после предельного перехода при т имеем (24).

Положим г(в) = {вРс)X и уравнение (20)

представим в виде

ди В в и дг

Р

ді в - в ді

= 1^7+ г(в)2 =

\ /п(1 — в(х,і)) — /п(1 — в°(а(і))) \<

< С

/л(в)вх

в(1 — в) в/‘

Зх

< С{Щ < ж,

С

сюда следует, что в(х,Ь) < М < 1 для всех

{х,Ь) е Qт■

Лемма 2. Для любого Ь е [0,Т] и т >1 справедливо неравенство [5]:

г

° д вРс

тах |и(х,Ь)\ < тах |и°(х)|+ тах | ——— \Зт

о<х<1 о<х<1 у о<х<1 \ дх

о

(24)

Уг(в)Зв / г(в)Зв

д

= е о — г • во

дЬ

Последнему равенству можно придать следующий вид:

г г

/г(в)Зв / г(в)Зв

° ди В в и

ш[г'е° И0 ‘■-Р° дЬ - мГ-в^^

Ь

г(в)Зв

г(в)Зв

■ р.О

Ри

2т— 1

2т

г

г

в

гг

t J r(s)ds^

+р° J ^r(s)u ■ е° \dr—

t , / r(s)ds

B(s)u

о

sU -s)

= 0

dr.

В результате, учитывая условие А, имеем

max \z(x,t)\ < С( тах \zo(ж)I + max |u°(x)| + 0« ' ’ - 'о<ж<1 0<ж<1

max \и(ж,т)Ыт).

0<ж<1

С учетом леммы 2, выводим

max \u(x,t)\ < С( max |u°(x)| +

0<ж<1 ' ’ - 0<ж<1

t T

max \и{ж,т)\dT + max \u{x,y)\dydT).

0<ж<1 J J 0<ж<1

\ и х, Ь \

<х<

ВИД

$(Ь> < с<$<°>+ > + ’■«>• т

ег Ь

Зщ З^щ)

И® < С^^^СЩЬ).

Откуда следует, что щ(Ь) < С^¿#(0), т-е-

приходим к неравенству тах \и(х,Ь) \ <

<х<

С и° х .

<х<

в х, Ь

\ln ^,*1 \ < í\ d{lns

>№))'

f\\dx < ¡ zdx < J dx J p

i

dx o < max \ z(x,t) \ \ — \ < С max \ u°(x) \,

(x,t) eQ J P xeQ

0

0 o

т.е. в(х, Ь) > т > 0.

Таким образом, 0 < т < в(х,Ь) < М < 1. Тогда уравнение (13) является равномерно па-

ЯЗщ раболнческим и проверка остальных условий те-

тах \и(х,у)\ЗуЗт, щ(0) = — (0) = 0. оремы становится стандартной.

< х< ЗЬ

Положим

t T

о о

Литература

1. Нигматулин I’.II. Динамика многофазных сред. - М., 1987. - Ч. 1.

2. Rajagopal К. L. Mechanics of mixtures / K.L. Rajagopal , L. Tao. - London, 1995.

3. Gard S.K. Dynamics of gas-fluidized beds / S.K. Gard , J.W. Pritchett // Journal of Applied Phisics. - 1975. - V. 46. - №10.

4. Антонцев C.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С.Н. Антонцев,

A.B. Кажихов, В.Н. Монахов, бирск, 1983.

Новоси-

5. Вайгант В.А. Разрешимость начальнокраевой задачи для уравнений баротроп-ного газа с вязкостью, зависящей от плотности / В.А. Вайгант, A.A. Папин // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1987. - Вып. 79.

t

v