О задаче Коши для уравнений движения газожидкостного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.49

И. Г. Ахмерова

О задаче Коши для уравнений движения газожидкостного слоя

Рассмотрим движение двухфазной смеси N = 2), состоящей из твердых частиц (г = 1) и газа (г = 2).

d(ps(l ~ ф)) dt

d(.Pf ф) dt

div{ps{l — ф)щ) = 0, (1)

• div(pf фщ) = О,

(2)

ps(l — ф) = divai

dt

F + ps(l — ф)д., (3)

Ур + F = О,

(4)

Гдв

д

д'Х2

д

дх3

оператор градиента, divvi = ^

к=1

Функции Л^ф), ps(ф), /(ф), В{ф), к(ф) являются заданными, а функции ф, F\, щ, pe, pse, pf, в - искомыми. Для замыкания системы привлекается соотношение pe = pe(pf, в) [1].

В области QT = О х (0, T), П = {ж | О < x < 1},T > 0 рассматривается одномерное движение двухфазной смеси, описываемое системой уравнений (1)—(5). Для простоты изложения предполагается, что д = 0, а зависимость pe = pe(pf, в) трактуется следующим образом: pe = Rpf в при в >0, pf > 0 и pe = 0 при в < 0 или pf < 0, R = const > 0.

Введем следующие обозначения: s = 1 —

ф, p° = Ps, Pi = PSe, P2 = Pe, Pc =

c = cs

После исключения р\ системе уравнений (1)— (5) можно придать вид (р(в) = в)+4ря/3 > 0)

ds д

dt+dXx{'v'> = 0'

(6)

дд

-(p§(l — s)) + -(pO(l — s)v2) = 0, (7)

СзРз(1 — Ф) удг+ Р ' ) = л™(ЧФ) Ув). (5)

Объемная концентрации газа (пористость) равна ф р/, ре - истинные плотности газа и твердых частиц соответственно; щ,щ- скорость для каждой из фаз. Тензор напряжения в твердой фазе имеет вид: аг = (-рв + (Ля(ф) —

2/Зря(ф))Ллущ)1 + 2ря(ф)^1, где рв — давление в твердой фазе; Л^ф), р^ф) - коэффициенты вязкостей; В\ - тензор скоростей деформации; I -единичный тензор. Для конкретизации вектора Р вводятся понятия внутреннего давления газа ре и эффективного давления твердых частиц рве, а именно: р = фре, рв = (1 — фрве, причем ряе = ре + /(ф). Тогда Р = В(ф)(щ — щ) — реУф;

силы тяжести; в - абсолютная температура; к(ф) коэффициент теплопроводности смеси; с3 - теплоемкость твердой фазы при постоянном объеме; х = (хх, х,х)~ независимые переменные; Ь — время; V =

p°°s{ д~й+ v! fx) =

= — J|(p2 + spc(s)) + ддх (p(s) дХ),

B(s)(v2 — v!) + ( 1 — s) дх = О, Pl=P2+Pc, P^P2(pO,^,

(8)

(9)

(дв дв\ д дв С1Р> -'{й + '^^эХ^эХ^ (10)

Начальные условия для функций ' в, рз имеют вид

«Дх,ь) |^= '?(х), г = 1,2,

в(х,ь) |^= в°(х), в(х,г) |^= в°(х) (п)

р2{х,г) |^= р°{х).

При рассмотрении задачи (6)—(11) удобно использовать переменные Лагранжа [2]. Пусть у = у((,х, Ь) - решение задачи Коши: =

Ну, О, Ук=г = х. Положим £ = у(С,х,Ь)|с=0 и возьмем за новые переменные £ и Ь. Тогда '(£,£) = '°(0^£,Ь), ГДР ^£,Ь) - якобиан перехода. Поэтому система уравнений (6)-(10) в новых переменных принимает вид

д' в2 д'х

дь + ' ~д£ ~ ,

o dv 1 д s^(s) dv 1 д

pi = Voд({—ж* — so+ spc>s>>'

s — s др ' B(s)so ~д^,

о дв 1 д ( s и \дв\

cip> slii = so T((So кМТ(]’

д s д

— ю) + - —

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

' д

—'11°° — =0-

Поскольку

' д

"V щ<р°{1 — -')) =

= ' д£[р°[' — — ' ^ — ‘'Ж'

то последнее уравнение этой системы можно привести к виду

13 13

'^((1 — ')р°) + - д:(р°(1 — ')('2 — '!))+

+у° р°(г — 'дг = °.

Используя уравнение неразрывности, получим д 1 — в 13

т{—р°) + Ю д-:Ш1 — ')('2 — ^ = °.

Наконец, переходя от (£,Ь) к массовым лаграп-жевым переменным (х, Ь) то правилу з°(£)З,£ = 5

Зх, х(£) = I '°(П)Зц € [0,1] и сохраняя затем о

хх

дв

, дщл

дї + в~^-0, о дщ д ( дьЛ д(р2 + врс)

р ж = зі І^ж)---зі— ■

д (1—в о\ _ ^({ 1- „о др2

в Р) дх

дЬ

В (в) Р дх

дв д

дв

дЬ дх при начальных условиях

(12)

(13)

(14)

(15)

^{х,Ь) |(=о= <(Г, в{х,Ь) |^= во(х,

(х,Ь) |(=о= во{х), р°{х,Ь) |4=о= рО,{х). (16)

Введем обозначения - = в,

І-5 р° = р, то-

Преобразованная система уравнений (16)-(20) имеет вид:

дг

С(Вв г)— = Н{Баг), г(х,0) = го( х), (21)

м (1 0 0 0\

р 0 і 0 0

в , 0 0 і 0

V* 0 0 У

Н =

■__ д_

р_ дх

(р(ї

\ 1. ду ' в дх

\

_а_

дх

1________

СіРі О дх

5-1 §3Б( 5

д (К

ду

дх

р_ £і п р дх,

1 в дх)

вРс)\

Здесь В" обозначает производную

дИ

дх^1 ... дхП

гда система уравнений (12)—(15) примет вид:

щ - целые неотрицательные числа. Предполагается, что С и Н задаются от указанных производных до порядка Щ < 1, |а| <2.

Пусть X — одномерное пространство, Qт = {{х,Ь) ■. х Є Х,0 < Ь < Т < то}, а через Qт - замыкание Qт• Пусть г(х,Ь) =

(щ(х,Ь),и(х,Ь)), щ(х,Ь) = з(х,Ь), и(х,Ь) =

(щі(х,Ь),р(х,Ь),в(х,Ь)), далее = (^,...,ф есть 6-мерный вектор в | < 1, упорядоченный согласованно с Вви. Аналогичны обозначения для двумерного вектора пв = ІПі ,...,цв) и 9-мерного вектора £а, |а| < 2. Пусть Z1 -пространство векторов ,пв), ^ - некоторая открытая выпуклая область пространства Z1. Точки ^ ,П7)|^|<і пространства Z1 бу-

дем обозначать через г1. Для вектор-функции г(х) = (и(х),щ(х)) ниже употребляется обозначение го(х) = {В1 го(х)) |7|<і-

Для вектор-функции г(х,Ь) Є Ш^(X) при каждом Ь и г(х,0) = го(х) употребляется краткое обозначение

^Ь) = [ВТ г{х,Ь),Вт г{х,і))3.х, (22)

^ |= 0,1

дв дщ\

дЬ дх ,

(17)

дщ 1^/1 дуі\ 1 д . \ і \

= дх — ро ді(р+’рс> ■ (18>

др

дЬ

д_

дх

в — 1 др2

дв _ 1 д

дЬ ^ р о дх

К{в)\дГх

(19)

(20)

где (-, •) скалярное произведение в евклидовом пространстве. Всюду ниже обозначает

произвольную, но фиксированную, положительную непрерывную выпуклую в области П функцию, неограниченно растущую при приближении к произвольной конечной точке границы области П. Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

V

П

1. Функции }л(з),Б(з),к(з) — определены и непрерывно дифференцируемы до первого порядка и положительно определены при в € (0,1).

2. Начальная функция г°(х) и Н° = Н(0) при Ь € [0, Т] принадлежат Wl(X), I >1/2 + 3.

3. Замыкание множества значений вектор-функции г°(х) = (Б1 г°(х))принадлежит области П, т.е. вир ад(г°(х)) < то.

X

4. О < т < з(х,Ь) < М < 1, в(х, Ь) > 0, р(х, Ь) > 0.

Тогда, каковы бы ни были числа

К > К° = ейрад(,г°(х)); Е > Е° = /(0),

X

можно указать такое Ь° > 0, Ь° < Т, что в полосе Qto задача (10) имеет единственное решение

х{х, Ь), непрерывное в Qto вместе с производными первого порядка по Ь и до второго порядка х, для которого выполнены неравенства

/^) < Е, вир,ш{г°{х)) < К, 0 < Ь < Ь°, (23)

,, дv ..

sup У дт \\i-i,2 (t) < M,

o<t<to д

Ьо

/(II и ||?+1,2 Ь + IIд-У— ,2тг < м, (24)

о

Здесь /(Ь) - функция для решения

г(х, Ь); М = М(К, Е) - некоторая константа.

Эта теорема доказывается методом, изложенным в работе [3].

Библиографический список

x

1. Gard, S.K. Dynamics of gas - fluidized beds / S.K. Gard , J. W. Pritchett // Journal of Applied Phisics. - 1975. - V. 46, №10.

2. Антонцев, C.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С.Н. Антонцев, А.В. Кажихов, В.Н. Монахов // Новоси-

бирск, 1983.

3. Вольперт, А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных диффренци-альных уравнений / А.И. Вольперт, С.Н. Худяев // Математический сборник. -1972. - Т.87(129), №4.