Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругои горной породе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

А.А. Папин, М.А. Токарева

Модельная задача о движении сжимаемой

и и Ф

жидкости в вязкоупругой горной породеа*

Ключевые слова: сжимаемая жидкость, вязкоупругость, разрешимость.

Key words: compressible fluid, viscoelastic,

solvability.

Рассматривается движение сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе. Исследована разрешимость одномерных начальнокраевых задач.

1. Постановка задачи. В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа:

d(fif Ф) dt

d(Ps(l-Ф)) dt

d(fif faf) _ dx

= о,

d(ps(l-фу

dx

Ф&В - vf) = ЦФ)(

dPf

dx

dX = -аі(ф)Ре - а2(ф)(

,

Pf gb

(1)

(2)

(3)

(4)

В настоящей работе установлена локальная классическая разрешимость задачи Коши для системы (1)-(4) в случае, когда функция

давления. При постоянстве pf доказана разрешимость “в целом” по времени.

Рассмотрим на О и Пт = Л х (0,Т) ряд функциональных пространств, придерживаясь обозначений, принятых в [3, гл. 1]. Пусть

||.| 1^ - норма в пространстве Лебега ЬЧ(И), ц €

[1, те]. Положим для краткости || . ||^ = || . ||д,п, || . || = || . |Ь,п- Также используются пространства С.Л. Соболева Wlp(íí), I - натуральное, р €

I

[l, те], с нормой ||f ^(П) = Ё

т=0

Для функций, определенных на Пу, нам потребуются пространство Ьч,г (Пт) с норм ой |||| . Цд,п||г,с, О = (0,Т), ц,г € [1, те] и пространство Ьг(0 ,Т^1р{Щ с нормой Ц.Цьао ,т-жт) =

1111

\G-

Ре={ 1 - Ф)(Рз — Pf),

Фр^( 1 - Ф)р*= Ptot;

Данная система описывает одномерное нестационарное изотермическое движение сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе [1]. Здесь pf ,ps,vs,vf - соответственно истинные плотности и скорости фаз; ф - пористость; g - плотность массовых сил; к(ф) - проницаемость; ai(^), а2(ф) - параметры горной породы; ptot = pQ+psg{H—x) - общее давление (заданные функции). Задача записана в эйлеровых координатах x, t (начало отсчета на глубине H от

x

движение происходит при x > 0, po = const).

ps

мается постоянной. Искомыми являются величины ф, pf, vs, vf, pf. Система уравнений (1)—(4) замыкается либо заданием уравнения состояния pf p pf

pf const >

Система (1)-(4) близка по структуре системе уравнений движения смеси газа с твердыми частицами [2]. Особенностью системы (1)-(4) также является необходимость обоснования физического принципа максимума для пористости ф вида 0 < ф <1.

2. Локальная разрешимость. При исследовании системы (1)—(4) используются переменные Лагранжа [4, с. 47]. Пусть у = у(£,х,Ь) -решение задачи Коши: щ = ’иЛУ, О, У^=* = х € [0,#]. Положим £ = у(£,х,Ь)|^=о и возьмем за новые переменные £ и Ь. Тогда (1 — ф)(£,Ь) = (1-Ф°)(£)Л£,Ь)> гДе А£,Ь) = Ц - якобиан перехода. Переходя от (£,Ь) к массовым лагранже-вым переменным (X, Ь) то правилу (1—ф°)(£)ё£ = 5

3X, х(£) = /(1 — ф°)(ц)^ € [0,1] и сохраняя о

хх уравнений (1)—(4) в новых переменных примет вид

— {Pf ф(Vf - vs)) = 0, (5)

д(! - ф , /•, r^dvs п

-^ + ( 1-ф)ж = °,

ф(«э - vf) = Мф)((! - ф)

dPf

дх

Pf gb

— ф)dXï - —аі(ф)ре— ^(ф)

Ре= ( 1 - Ф)(Рэ - Pf) ,

dt

(6)

(7)

(8)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-01-98002 —р_сибирь_а) и при поддержке ведомственно-аналитической программы "Развитие научного потенциала Высшей школы 2009-2010” (проект №2.2.2.4/4278.)

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

фр^{ 1 - ф)р5= Ptot.

(9)

В уравнении (5) заменим ф(vf — у3) из закона Дарси (7), а в уравнении (8) заменим ^ из уравнения неразрывности (6). Учитывая (9), приходим к следующей системе уравнений относительно неизвестных и ф:

ш( т-ф р^ = Ш Pf Мф)((! — ф) Ш + Pf д),

Pf= p(ff) , j_d(i—Ф) = аіфре + а2ф ,

(1 — 0) dt

(10)

(и)

Pe = Ptot - Pf —

Здесь к(ф) = фп, р^ = Ар^ к0,^,А - положительные постоянные. Для системы (10), (11) рассмотрим условия:

Pf |t=o= Р°(х), ф к=о= ф0(х).

(12)

vs 1^=о,^=и— 0, Vf |^=o,^=h— 0, Vs |t=o= vSX, Vf |^= vf(x), ф t=o= ф0(х), Pf t=o= P0(x).

(13)

Здесь к(ф) > 0, при ф > 0, к(ф) = 0, при ф < О,

Р^ Ро — Ре-

Из уравнений неразрывности (1) имеем равенство фvf + (1 — фvs = 0, и, следовательно, vs — vf = ф'- Вместо (1)-(4) получим следующую систему

дЛ1—ф + т о, ^к{ф)ар

дvs . дре дре.

дх = + .

В переменных Лагранжа эта система принимает вид:

dt

VS = к(ф)(1 - ф) д-,

(Л дРе (Лг\

(1 — фдх^ = —а'21>Г, Р^Р°— Ре■ ( '

В рассматриваемом случае из первых уравнений (14), (15) выводим следующее представление для Ре(х, Ь):

Ре(х, Ь) = —1п -—+Ро+Р0(х). (16)

а2 1 — ф\х)

Из условий (13) и закона Дарси также следует, что к(ф)(1 — ф = 0 при х = 0их=Н,а, из (16) имеем:

др- і дф

dx аг( 1 — ф) dx

G(a

(17)

G(x) = -

а^І — dx

dx

Заменяя vs в уравнении неразрывности из закона Дарси, а дХ - из (17), приходим к следующей задаче для ф(х, Ь):

Классическая локальная разрешимость задачи (10)—(12) при достаточно гладких начальных данных (р°(х),ф°(х) Є W|(fi),0 < ф0(х) < 1, l > |) следует из результатов работы [5].

3. Случай несжимаемых сред. В случае Pf = const рассмотрим модельную задачу (1)-(4), с условиями аі(ф) = 0, а2(ф) = const > 0,g = 0 решаемую в области (x,t) Є 0T = Л х (0,Т), О = (0,И), при краевых и начальных условиях

д

д (к(ф) дф dt У1 - ф) дх \ а2 дх

ф

■ к(ф)(1 - ф^х)

(^а^дд^ + кт - ф)^х)) и^^и— o,

ф |t=o= ф°{х).

(18)

(19)

Следует отметить, что уравнение (18) вырождается на решении (к(0) = 0) [4, с. 208].

Определение 1. Ограниченную измеримую в Пт функцию ф(х, Ь) назовем обобщенным решением задачи (18), (19), если 0 < ф{х,Ь) < 1 почти всюду в Пт, к1 /2(ф)(1 — ф)-1 € Ь2(Пт)

и для произвольной функции ф(х,Ь) € ^^(Пт), ф(х,Т) = 0, х € О и при почти всех Ь € [0,Т] выполняется тождество

н

— !( фх,Ь Жх,Ь)----------ф°[х] Жх,0))3х =

' 1 - ф(х, t)

- ф х

t и

дФ(х,т) кфдф

( дх ( — — + М^1 - ф)ОД)-

а2 дх

о о

____фхТ W(x,T) ч ,,

! — ф(х,г) дт )ихш .

(20) к ф G х

условиям

ф

сф = I^ - ^к(^^ - 0, ф , ^

^ - о, х Є(0,Я),

^) - 0, G(H) < 0.

дф°(

др0(

x

x

Теорема 1. При выполнении (21) существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи (18), (19).

Доказательство. Положим

Ф

i(s) =

Ms)

1 — ф х ’ ^(1 + s

Задача (18), (19) принимает вид ds д ( , , ds

Ъ{х, s) =

k(s)

dt

(a(i

дх \a(s)ßX + })(x,SGX

—s

1 дх

Ъ(х, s)G(x)) |^=о,^=^= О,

s |í=o—

Фх

— ф х

Существование обобщенного решения этой задачи (в смысле определения 1) доказывается известным способом с помощью е-регуляризации и метода Галеркина (см.: [4, с. 222]). Поэтому установим физический принцип максимума 0 < ф(х,~Ь) < 1.

В тождестве (20) сделаем замену в =

г

1—ф- Положим -ф(х,1) = 8 J х,т)3т, =

г-8

t+s

^ J г(х,т)3,т, z(x,t) = max{z(x,t),0}, z(x,t) = t

— s(x,t). Посте предельного перехода при S ^ 0 получим

t H

іі2

о о

t H

dz dz a(s)—— — dxdr = дх дх

д—

G(x^(—)^—dxdT = дх

о о

= J (G(H)c(—(H,T)) — G(Q)c(—(Q,T)))dT— о

t H

cz

дG(x) дх

dxdT.

о о

С учетом (21) получаем, что ||2 < 0. Откуда следует, что г = 0 почти всюду в П. Следовательно, в > 0, а значит 0 < ф <1.

Библиографический список

1. Connolly, J.A.D. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock / J.A.D. Connolly, Yu. Yu. Podladchikov // Geodinámica Acta. -1998. - Vol. 11, №2-3.

2. Gard, S.K. Dynamics of gas-fluidized beds / S.K. Gard, J.W. Pritchett // Journal of Applied Physics. - 1975. - Vol. 46, №10.

3. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, П.П. Уральцева. - М., 1967.

4. Антонцев, С.П. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С.П. Антонцев, A.B. Кажихов, В.П. Монахов. - Новосибирск, 1983.

5. Вольперт, А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Вольперт, С.И. Худяев // Мат. сб. - 1972. - Т. 87, №4.

s

t