Задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.12

А.А. Папин, М.А. Токарева

Задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде*

A.A. Papin, М.A. Tokareva

The Sum about Movement of a Compressible Fluid in a Deformable Porous Medium

Рассматривается задача о движении сжимаемой жидкости в деформируемой пористой среде. Доказаны существование локального классического решения и теорема единственности.

Ключевые слова: фильтрация, пористость, сжимаемость, деформируемая среда, разрешимость.

1. Основная модель. В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа [1, 2]:

+ у - ((1 - Ф)рЛ) = о,

(1)

+ у - {р{фи^ = О,

кфп

ф{у} - щ) =--------(уР!+ Ргg), (2)

- фт фь в Лре (ч\

у-'"э =-------ре - ф Рф-т-, (3)

V аЬ

Ргаг= Ро - Рвдг = фР! + (1 - ф)рв]

(4)

Ре= ( 1 - ф)(Рэ - Р!) ■ решаемая в области (х,Ь) е Qт = 0 х (0,Т),

П е я3.

Данная начально-краевая задача описывает движение сжимаемой жидкости в вязкоупругой деформируемой пористой среде. Здесь р! ,р8 ,уе,г)! — соответственно истинные плотности и скорости фаз (/ - жидкость, в - твердые частицы); ф - пористость; д = (0,0, -д) -плотность массовых сил; к - проницаемость, р -динамическая вязкость жидкости ; п,вф,Ь,т -неотрицательные параметры среды, Ра = Ро + р3д{Н - ж3) - общее давление (заданная функция). Задача записана в эйлеровых координатах

The problem of moving compressible fluid in a deformable porous medium is considered. The existence of local classical solutions and the uniqueness theorem are proved.

Key words: filtration, porosity, compressibility, deformable medium, solvability.

x = (ж!,ж2,жз), t (начало отсчета - на глубине H от поверхности земли, ось хз направлена вверх, т.е. движение происходит при щ > 0), dt = dt + vS-^- Истинная плотность горной породы ps принимается постоянной. Искомыми

ЯВЛЯЮТСЯ ВеЛИЧИНЫ ф pf, Vs, Vf, Pf.

В одномерном случае система (1)-(4) замкнута, если pf = p(pf) или pf = const. В общем случае к системе (1)-(4) добавляется уравнение сохранения импульса системы «твердая матрица - поровая жидкость» [1].

Локальная классическая разрешимость задачи Коши для системы (1)-(4) в случае, когда pf

pf

ны в работе [3].

Особенностью системы (1)—(4) является необходимость обоснования физического принципа максимума для пористости ф и плотности pf:

0 < ф < 1, 0 < pf < ж.

2. Одномерная задача

2.1. Постановка задачи. Далее рассмо-

pf

Rpf, R = const > 0,po = 0,g = 0. Система уравнений (1)—(4) примет вид:

3(1 - Ф)ps , д ил ^ п -----dt—+ - ф>”-p-)= (3)

* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)» (проект № 2.2.2.4/4278), а также при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. (государственные контракты №14.740.11.0355, №14.740.11.0878).

д(р’ ф) д

-ш- + дХ(р’0-

Ф{ъ’ - vs) = -

кфп др’

(6)

(7)

р дх

дV

дх п ге ^ 1 ф аь

ФР! + ( 1 - Ф)Рв= 0;Ре=( 1 - Ф)(Рз - Р!)■ (9)

Данная система дополняется начальнокраевыми условиями

-8 |х=0,х=1 = 0, \х=0,х=1 =

-8 ^=о= -8(х), V! ^=0= ^(х), (10)

ф ^=о= ф0(x), р! Ь=о= р0(х)■

Определение 1. Классическим решением задачи (5)-(10) называется совокупность функций (ф vi, Рг, рД г = .[, в ф е С1+“(^), (-г, Рг, Р{) е С2+а,1+а/2 (Qт), удовлетворяющих уравнениям (5)—(9) и начальным и граничным условиям (10) как непрерывные в Qт функции.

В случае постоянства истинной плотности второй фазы система уравнений (5)-(9) становится замкнутой относительно неизвестных функций ф -г, Рг, р}, г = /, в.

Сформулируем основные результаты.

Теорема 1. Пусть данные задачи (5)—(10) подчиняются следующим условиям гладкости: фО е С+“(П), ,-в,р°) е С2+“(П), условиям

согласования: |х=0,х=1= \^0,х=1= 0, а

также удовлетворяют неравенствам

0 < шо < ф°(х) < М0 < 1,

х

Это решение обладает свойствами х(т;0,і) = 0, х(т; 1,і) = 1, х(г-,х,і) є (0, 1),

Ут є [0,Т], х є (ОД).

Точка (х,і) = (х(0;х,і),і) - лагранжева кох, і

(х, і) к (х, і) : х(х, і) = х(і, х,0),і(х, і) = і.

Уравнения (5)—(9) в переменных Лагранжа принимают вид

д (р’Т^) + ^/(1 - Фдх{рф{І} - щ)) = 0,

тдрл

ф(-8 - ! = к(ф) у7 дх ) ’

4| = ~а{фРе- афтъ •

где 7{х,Ь) = дХ(х,Ь) - якобиан перехода от переменных {х,Ь) к {х,Ь) , к(ф) = кфп/р,^(ф) = фт/V, а2(ф) = фьвф.

По определению производной по времени в переменных Лагранжа имеем

д(1 - Ф _ д(1 - ф) д(1 - ф)

і

і

х

и, следовательно, из (5) выводим 1 — ф(х, і) =

0 < т± < р0(х) < Мі < ж, х є П, = (1 — фо(х(0; х, і))) ехр{-[ (хіт;, х, і), т)йт}

х

где шо> М0, ш1, М1 — известные положительные постоянные.

Тогда задача (5)-(10) имеет классическое ло-

Ь

кое, что

фх,Ь) е С1+ “( Qt0 ), (-г(х,Ь),Рг(х,Ь),Р!) е

е С+а*+а/*(^),г = /,в■

Более того 0 < ф{х,Ь) < 1, р^х,Ь) > 0 в Qto.

2.2. Локальная разрешимость. При доказательстве теоремы 1 удобно использовать переменные Лагранжа [4; 5, с. 47].

Можно однозначно построить траекторию движения частиц х = х(т,х,Ь), как решение задачи Коши

ах

— = -8(х,Ь), х |^^ х■ ат

о

Тем самым приходим к представлению t

х -8

—(т;х,ь) = вхР{- дх (х(Цх,ь),1)а1}

т

Откуда получаем, что

/д V

-^~г (х^ х, і), т)в,т}. х

Таким образом, 1— ф(х,і) = (\—фа(х)).1(х,і). Далее, опуская «крышки», получим:

д ( Ф

ді \Р’\ — ф) ' 1 — фо дх

1 д

(Р’Ф^’ — v^^ o,

s

і

г

д(1 — Ф) , (1 — Ф)2 дvs

ді

1 — фо дх

,

1 — ф д р’ 1 — фп дх

а

р’

Ф

д

ді V ’ 1 — ф) дх д(1— ф)

— (р’ф(и’ - 0,

ді

І <Л Т—ф)- -х1р> НФ)((- 1 - = °.

Из второго уравнения системы следует, что

1 д(1 — ф)

д

—

(р'т—ф)--хр к(Ч( 1-ф)в(р

у—ф дф = оЛФт+ъш--’ ,

м^хі— ф—х \х=а>х=1= ^ р’ ^=0= РQ{Х), ф г=0= ф0(х).

,

Далее для любого п е (0,1] рассмотрим следующую вспомогательную задачу Ап:

1- ф д-8 /ал (А.\дРе

— ж = ~^(фРе - аЛф)Ж.

х, Ь

менным Лагранжа (у, Ь) по правилу

X

(1 — фа{х))З,х = Зу, у(х) = !(1 — фоПЗ є [0,1]

и формально заменяя у на х, учитывая, что ре = —Кр’, получим:

Ф(vs- ’ = МФ) ^(1 — фК~§х^,

(1 — Ф)—х = аіфР’ + а2ф-р .

Используя первое и третье уравнения данной системы, получим:

д-8

дх (1 - ф)2 дЬ

Подставляя дх в четвертое, выводим:

1-ф дф = ,нфр' + <п(ф)(т-■

Тем самым приходим к следующей задаче для функций р! ,ф

д_ ( п Ф" ді \Р’і - ф"

д ( дрп

-х[РПКІх

’

,

1 дф" др" = а\(ф") Кр" + а(Ф") + п)К

1 - ф" ді

’

ді ,

др"

к(Фп)(1 - фп)дХ |х=о,х=1= 0,рП к=о= р (х), фп ^=о= Ф{х)

п

щен. Тогда уравнение для ф можно представить в виде

д(С(ф) - р^ _ ^(ф)

і

аъ{ф)

ф

С(ф) = (■

ф

(1 — з)К^(з

р’,

■Зз.

После интегрирования по времени получим

г

&(Ф)=р’- р°(х)+1 а}ф)р’ЗЗ;.

о

Положим

аф = т^k, ьф = кт - Ф)R, з(ф) = ^т^.

1 — ф а(Ф)

Система для р’ и ф принимает вид:

I = дх (ьфр’тх) •

г

С(ф) = Р’ - р0(х)+ ! З(ф)р’Зі.

о

р х, і р’ х, і — р х

следующей задаче для (р, ф)

д Шір + р°)) = -х

(11)

С{ф) = р+ J З(ф)(р + р0)Зі, (12)

р ^=о= к(ф)(1 - ф^х |х=о,х=1 = 0,ф ^=0= ф0(х)■

х

Разрешимость задачи (11)-(13) устанавливается с помощью теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке: если V - компактное выпуклое замкнутое множество банахова пространства В и оператор Л отображает V в себя непрерывно в норме В, то на V имеется неподвижная точка [6].

В качестве банахова пространства выберем пространство С2+в>1+в/2где в """"" любое число из отрезка (0, а), а е [0,1)- Положим

V = {(ф(х,Ь),р(х,Ь)) е С2+а’1+а/2О70)| р

р ^=0= дх lх=Vх=^= 0, ф Ь=о= Ф°(х),

О < - р°(х) < р(х, Ь) < 2М\ - р°(х) < ж,

°<ш < Ф(х,Ь) < М°£ 1 < 1, {х,Ь) е Qt0 ■

(|ф|1+а,(1+а)/2&ч , |р|1+а,(1+а)/2^0) < К1,

(|ф|2+ а,(2+а)/2^0 , |р|2+ а,{2+а)/2^0) < К1 + К2 }, где К — произвольная положительная постояп-

К

зана позже.

Построим оператор Л, отображающий V в V. Пусть ф,р е V. Используя (11), определим р х, Ь

лее предполагается, что начальные и граничные условия согласованы):

д д (

— (а(ф)(р + р0)) = -х [Ь(Ф)(Р + р

р р

х

р

р 1 г=о— —х Х^с^х^і— 0.

(14)

р х, Ь

параболическим. С учетом свойств ф(х, Ь) и рх

[7]. Кроме того, имеем следующую оценку:

| \<co(шo,мo,кl,к2)■

При дополнительном условии малости на величину интервала времени справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. При малых Ьо < Ь\, Ь\ = 1п2/С0(ш0,М0,К1,К2) классическое решение задачи (14) удовлетворяет в Qtn неравенству

0 < т < р(х,Ь) + р0(х) < 2М < ж.

Доказательство. Полагая и(х, Ь) =

р(х,Ь) + р0(х), и0(х,Ь) = р(х,Ь) + р0(х), задачу (14) представим в виде

К а(ф)и) = Іх(. ЪШо д£), дХ 1х=о,х=1= 0, и |^о= р0(х).

(15)

Сначала покажем, что и(х, Ь) > 0, (х, Ь) е Qto. В уравнении (15) сделаем замену и(х,Ь) =

-г(х,Ь). Тогда

д а д г д дг

Положим

г^(х,Ь) = тах{г, 0},

г(°\х,Ь) ^=о= тах{-ро,0} = 0,

ае(х, Ь) = г^(х,Ь)(\^(х,Ь)|2 + е)_/2,е > 0-

Уравнение для функции 2 умножим на ае и результат проинтегрируем по П. Получим равенство

1 1

а(|^^ + е)1 /2ах + I ^(га£ - (\^)|2+

О о

1

+є)1/2)Зх + є ! РоЬ--—^— (|^^2 + є) 3/2Зх = 0.

(16)

х х

о

Положим

А+(і) = {х є 0| г(х,і) > 0}, А-(і) = {х є Л| х{х,і) < 0}.

Тогда

і

/—^ -Ц^>|2 + є)1 /2)Зх =

о

=-^ у —а(и2+є—/2Зх - є*/21 —аЗх,

А+(1)

А-{ і

1

У а(|^0^|2 + є)1/2Зх = J а(+ є)1/2Зх+

о А+(г)

є / аЗх,

А-{ і

і і J а(^] |2 + є)1 /2 |^о Зх = є/2 I а \г=

о о

1

/ а(\г\2 + е)1/2Зх > а\г\ах = / аг^^х^

А+(Ь) А+(Ь) О

Проинтегрировав равенство (16) по времени, получим

1 1

/а(М* + .-)■ ^ ах + е ^ аах+

z

+є / Pob —д— |2dxdт =

О A+(r)

t

= є ( f IzI2 + є)-1 '2dxdт+

A Т т

1

+Є1' J —dxd^ + Є' j a |t=o dx.

A- Т

Следовательно,

a z dx az dx < є ' adx

<x<

A- t

t 1 1

+Є1'2 J j I — |dxdт + Є' J a |t=o dx.

о 0

Переходя к пределу при е ^0 получим, что г^ = 0 , т.е. и >0.

Уравнение (15), после умножения на и{х,Ь), / > 2, можно представить в виде:

1 3(aU1

l dt

Тогда

(l — 1 )bU0U l-2(-f

l-n dpX2,l — 1 jl da =

x l t

= hw°Ul-1 §>-

1 d f Tjll l — 1 ,1 da. [ ,

— — aJ dx < —;— max — — aJ dx.

l dt l <x< a t

Следовательно,

... l — 1 .Id a. . .

y{,) < t.I aei|y(t)-

y’(t) - JW!lpUx,

0

t

y(t) < y(0) exp{ / max \ -dt\dT}.

I j o<x<i a ot

о

После предельного перехода при I ^ ж, получим

t

max U(x,t) < max p0(x)exp{ max I — — IdT) o<x<i v J - o<x<i^ w 1 \J o<x<i adt' J

Учитывая, что тах р°(х) < М\, и выбирая

0<х<1

а

Ь из условия Ь < Ьх, ехр{ тах \--^-\ат} < 2 ,

<х< а Ь

о

приходим к утверждению леммы об оценке сверху. Для получения оценки снизу уравнение (15)

г х, Ь /и х, Ь

1 д(аг1) ,9.дг.9 /+1 ,да

1даГ + {1 + 1>ьиг‘ '(-ху - —гт =

э

z

Откуда сначала получим неравенство

1 d } и /+ 1 Л da. } -

— — azldx < —;— max — — azldx,

l dt l <x< a t

о о

а затем и оценку

1

max

<

<х< и х, Ь t

а

< тах п/ . ехр-^ тах --г-\ат\ < —■ <х< р х <х< а Ь ш

о

Лемма 1 доказана.

Далее, используя шаудеровские оценки, пор

р

(14) представим в виде:

др Ь(ф)(р+р°) д2р , 1 Щф)(р+р0) др

dt а(ф) дx2 а(ф) дx дx

—p+ (b№)(p+ (17)

і _ 1 да(ф)ф°

~Tp> дx а(ф) дx ,

L b(fy(p + p0) 32p 1 ЗЬ{ф{^ + p°) дp

L

і(ф) dx ^ф) dx dx

1 3a{fy

a(ф) dx

f

1 d (

p

1 д^ф)ф°

аф—х {ьф(р+р)—х)- оф^^.

Поскольку ф,р,р° Є С2+“Д+“/2^іо), то коэффициенты оператора Ь и правая часть / есть функции класса Са,а/

t

Тогда получаем, что [5]

|р|2+а,1+а/2,Ч4о < С1 Ь+а,П + \ф\а,а/2^ь^ ,

С

ентов оператора Ь.

К

бы ВЫПОЛНЯЛОСЬ неравенство |р|2+ а!+а/2 <

КК

Кроме того, из уравнения (17) после интегрирования по времени от 0 до t получим, что \р(х,Ь)\ < | /0 (Ь(р) + /)Л\ < С2Ь с некоторой постоянной постоянной С2, зависящей от К, К2^ После этого, используя интерполяционное неравенство Ниренберга-Гальярдо [1, с. 35], получим

|р|1+&,(1+а)/2,дч < С\р\2+а^+а/2,дм Ио,

с = (1 + а(^+а—■

Таким образом, для всех Ь < Ь$(К\,К2) справедлива оценка:

|р|1+а,(1+а)/2,3*о < Сз(С(К1+К2)Г^о)1 °

Ь

\р\1+а,(1+а)/2^и, < К1^

Лемма 2. В условиях теоремы 1 для решения задачи (14) выполнено неравенство тах |рf - р° \ < СвЬ, где С6 зависит от

<х<

т,М,К,К-

Доказательство. Уравнение (14) представим в виде

p a a p

a-dp + PlZ+Pl^—Am+P^

a

’at

, д a д

dt dx

x

д

p

in 4p + p )-*-

x x

Умножим это уравнение на (?, I > 1 и по-

x

p21 2dx.

Обозначим последнее слагаемое за I. Имеем

I < max (1/a1/1 (/ ap2ldx^

l- 'l

l

'l

1

Положим y2 = j(ap2l)1/ldx . Тогда

l

y

y<

l

max

2l (x,t) eQt

1 da a dt

yl

Cy

l

где C± = const.

Преобразовывая это неравенство, получим

w < CA^eAt — ^

где C5 = c4/2, w = y2,A= 2^ max | iff |.

(x,t) eQt

Заметим, что имеет место очевидное неравенство

eAt -!< C6t,

00 В

где C = AeAT\

Поэтому переходя к пределу по I неравенстве для ш, получим

max Ipf — p0 I< Ct.

<x<

Лемма 2 доказана.

Установим физический принцип максимума для ф. Используя найденное риф, найдем функцию ф(х, Ь) как решение задачи:

hdijpl‘adx+jт —1) (p+p”'pl-,<- gw = p+ f‘ ^§<p+ ^dt це»

0 0 JO a2W)

2l — 1 2l d a

2l P dt

x

x

После некоторых преобразований выводим неравенство

Id/1 9l , 2l — 1

----p* ladx < ------- max

l dt l <x<

1 da a dt

p2 adx+

С

зависящая от т,^о,М,К,К, такая, что

\с(Ф) \<сь.

Лемма 3. При Ьо < гш п(Ь1,Ь2),Ь2 =

т1п{2^, , }, С = 2Ст^ - то)(КвФ + !)

классическое решение задачи (18) удовлетворяет в Qto неравенств у 0 < т < Ф < М°2+1 < 1-Доказательство вытекает из представления (18) и свойств функции С(ф).

Дифференциальные свойства ф, входящие в определение пространства V, следуют из представления (18).

Таким образом, оператор Л отображает множество V в себя при достаточно малых Ь.

Установим непрерывность оператора Л в гельдеровских нормах.

Пусть р1,р,ф,ф, р1, р2, фг, Ф2 - попарно различные, но близкие в гельдеровских нормах значения соответственно функций р, ф, р, ф.

Рассмотрим уравнение (14) для попарно различных функций с индексами 1 и 2 {г = 1, 2):

д

ХЬ (аШ (рг+ р0)) =

д (’Ф\<р , о^(р* + рр)

= —х {',ш (рг + р)^дГ-

Положим р = р - р2,ф = ф - Ф2, р = Л - р2,Ф = Ф - Фг- Функции риф удовлетворяют уравнению

д

— (а(ф)(р1 + р0) - + р0)) =

д (и1м- , Олдр+р°)

= —х(чь(ф)(р1 + р)^^--к^х+^дх + р0)

—р дЬ

= Ь\р + ^,

р

—х\х=о,х=1 — 0,рк=о — 0,

Ь

Ь = ь(ф)(р1_+р°)—2р . 1 д’(^(рг+р0)

1р а(ф) дх2 а(ф1) дх р,

а - правая часть

Я =

1 д(р0 + р2)(а(ф!) - а(ф2))

а(фх) дЬ

( р р

х х

(б(ф1)р + ^(КФ) - КФг))+ +^(КФ) -

Используя шаудеровские оценки, получим:

|р|2+аД+а/2,д4о < С (|ф|2+ а,\+а/2&ь0-\

|р|2+а,1+а/2&ь0 )■

(19)

Для 0{ф) имеем: С{фг) = рг ""Ь

./о а2 {Фг Рассмотрим разность:

-(рг + р )*■

-С(ф2) = р+[ ■)а

а1 (ф1 а2 (Ф1

, , ДА МФ),

-(р1+р )----тгт (р

Тогда

аз(ф1) ^(Фз)

№,) - сш\ <

х

Чтобы воспользоваться шаудеровскими оценками, представим это уравнение в виде:

< Св(т0,М0,М1,К1) (И2+а,1+а/2&ь0+ (20)

+ |ф|2+ а,\+а/2&ь0 )■

Отсюда в силу непрерывности О(ф) аналогичное неравенство верно для ф - ф2.

Оценки (19), (20) гарантируют непрерывность оператора.

Таким образом, оператор Л обладает следующими свойствами: отображает компактное выпуклое замкнутое множество банахова пространства в себя непрерывно в норме этого пространства. Следовательно, на V имеется неподвижная точка, т.е. для любого п > 0 существует решение (фп,рп) ■

В силу леммы 3 имеем неравенство т < фп < м$+\ ^ ПОЭТОМу фуНкция а2{фп) + п >

(т)в вф равномерно по п• Тогда из равенства (18) (после дифференцирования по време-

п

производной . После этого можно осуществить предельный переход в задаче Ап и получить утверждение теоремы 1.

2.3. Единственность

Теорема 2. Пусть ^ = 0^ Тогда классическое решение задачи (5ф(10) единственно.

Доказательство. Пусть существуют два различных решения задачи рfi,фi,г = 1,2 (5)-(9). Обозначим разность двух различных решений р = рд -рf 2, ф = ф -ф2- С учетом (11), (12) эти функции удовлетворяют следующим уравне-

—ьІAlР+A2ф)-—L(Bз^+BlР+B2ф},

(21)

P = Dф,

где

Ai — 2a(^i), A2 — 2

p

ф — Ф2

(^ф) — ^ф^

Bi = Ьф

B

д(ц+ p2)

dx , Bp2 \2 КФ) — НФ2)

дх ) ф - Ф2 ’

в3 = + Ы, А = (Оф) - о{ф2))/ф.

Уравнение (21) умножим на функцию Я, обладающую свойствами Г(х,Т) = О,

дх\х=0,х=1 = 0. После некоторых преобразований получим

Г ( дЯ дЯ

у ф ( (А^1 + А2)—Ь (В1^1 + В^д)х^

32F

Hx

+B3D1^^-dxdt = 0.

Для Я рассматривается задача

дЯ дЯ

(А^! + а2)—ь— (-ВВ + В)—хх^

д2Я

+В3Б1—хЖ = Ь,

дЯ

Я(х,Т) = 0, —х |^=о,х=1 = о

где Н{х,Ь) € Са,а/2 ^т) - произвольная непрерывная функция, (В^1 + В2) > 0, (А^1 +

А>

Данная задача разрешима [7] и, следовательно, ф = 0, р = 0. Теорема 2 доказана.

Библиографический список

1. Мопегсу С., Huismans R.S., Beaumont С., Full-sack P. A numerical model for coupled fluid flow and matrix deformation with applications to disequilibrium compaction and delta stability // Journal of geophisical research. - 2007.

- Vol. 112.

2. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998. - Vol. 11.

3. Папин А.А., Токарева M.A. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе // Известия АлтГУ. -2010. - Ж (65).

4. Akhmerova I.G., Papin A.A. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture / / Mathematical Notes. - 2010. - Vol. 87, JYS2.

5. Антонцев С.П., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск, 1983.

6. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М., 1969.

7. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Ураль-цева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М., 1967.