Об единственности решения одной задачи о движении двухфазной смеси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

A.A. Папин Об единственности решения одной задачи для уравнений движения двухфазной смеси

Для уравнений движения двух взаимопро- Система (1)—(3) дополняется условиями: пикающих вязких несжимаемых жидкостей доказана теорема единственности решения.

t’i |а<3т= 0, Vi |(=о= <(х).

1. Постановка задачи

«1 |r=o= s°(x), f p(x,t)dx = 0.

(4)

Рассматривается одномерное изотермическое движение двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с общим давлением (гипоте- 2. Преобразование уравнений за Х.А. Рахматулина [1, 2]) и в отсутствие фазовых переходов. Уравнения неразрывности и импульса для каждой из фаз (I = 1,2) имеют вид [1.2]

Из (1) в силу (3), (4) имеем (в = в:)

+ (1 — в)»з = 0, = 1 — в. (5)

Положим р = рх + р?, р\ = Р\/Р, /?2 = Р2/Р и введем новую искомую функцию и(х,<) = /3)1/] (х,<) - /?2«2(*><) • Используя (5), получим

1 — в в «1 —--------и, иг =----------и,

Здесь и,- скорость соответствующей фазы; где = /?i(l — s) + /?2в- Положим

pi - приведенная плотность, связанная с истинной плотностью р° и объемной концентрацией Sj соотношением pi = Sip°. Условие si + «2 = 1 является следствием определения pi. Для тензора напряжений фазы <т, принимается аналог гипотезы Стокса [3]: сг, = —P + Pi^fc, где р - давление (общее для фаз); pi - коэффициент динамической вязкости фазы. Постулируется, что силы Fi имеют вид [2, 3]: F, = р^ + <р, + Pig, где Ifi! = Л>2 - Vi ); <f>2 = —V?Г. Л - коэффициент

взаимодействия фаз, д - ускорение силы тяжести. Условие р° = const приводит к замкнутой системе уравнений для s,(jr,<), Vi(x,t) и p(x,t) в вид области Qt = {ж | 0 < х < 1} х (0,Т):

<p(x,t) = ^u(x,t)£(x,t),

P(x,t) = p(x,t) + <fi(x,t). Из (6) и (7) следует, что

dvi (1 — s) du

(6)

(7)

И1~дх = /*1"

Чи

дх s ди

dvi

р2 — = -р-2----Д---Ч>-

дх аи ох

Поэтому уравнениям (1), (2) можно придать

1+!<“<■'")=°' ,8>

= —Si ff + 'fi + p°stg,

Sl + *2 — li

(1)

(2)

(3)

где р°, pi - заданные положительные постоянные; К - заданная функция концентраций [2].

P°2S2^ = —^(/i2a(s)|i')“

—i2 §7 + <P§Z +<fi2+ P°2s2g,

где использованы обозначения (i = 1,2)

diVt di<i . dvi , 4 s(l-s)

= — + Vi—, a(s) = — ------------.

(9)

d,t

at

dx '

Исключая из (9), (10) функцию Р(х,<), прихо- где (?<,(<) - произвольная функция времени. Ис-дим к уравнению для к(х,<) : пользуя последнее условие в (4), получим

т№и) + + 5аИ8)«2й-

Qo(t) = j>- 7^-ФОМ)-

. д^и .. а/ (9) du дз

(11)

(15)

_t/07}U(|?)2 + p°a(,)alU~ 9о = 0,

Г 1

в котором учтено, что a'(s) = (ßi(l — s)2 — ß2s2)/af„ a"(s) = —2ßiß2/a^ и введены обо-

значения rip = Qi(l-s)-t-Q2.s, Oj = p°ilp°, i = 1,2,

В равенстве (13) главными членами являются вторые производные по х от и(х,<) и $(х,<). Если последние находить из уравнения

О 0,0 / \ / /1 \2 2\ / 2 // \ _ (8), то возникнут производные третьего поряд-

р° = />“ + Р2, Оцв) = («1(1-8) -02« )/Ои,а1(* ) = / ^ V « *

1 * ' ' ' ' ' " ' ка от и(х,<). Укажем другой способ вычисления

у = ^/р°, р0 = («1 - а2)5.

Таким образом, искомые s(x, t) и г«(аг, <) удовлетворяют системе уравнений (8), (11) и услови-

u |t=o= ß\v°(x) - ß2v%(x) = u°(x), u |sqt= 0, s |t=0= s°(x).

Ri=p?vi + U--^-, <=1,2. (16)

(12) Производную ^ выразим из уравнения (1)

dv{ _ ÖSi dsi

S> dx dt V> dx

Пусть я(х,<) и и(х,<) - решение задачи (8),

(11), (12). Тогда скорости г>,- находятся по формулам (6), а производная давления % - из урав- ип подставим в уравнение (2). Получим (л =

нения (9) или (10).

Однако удобнее использовать другое представление для Р{х,1). Сложим уравнения (9) и (10), умноженные соответственно на р2 и р°\■ Используя (5) и введенные обозначения, получим

■^(р1р°2(8у1 -(- (1 - в)в|) + =

= ~Р°ар^ + (р° ~ Рг)ч>^ + Р°\Ч>2+

+р2^1 + Р°\Р°19,

ГДе 6 = р2р° ~ 1‘1Р2- ПОЛОЖИМ

X

Ф(х, <) = / [(р1 - р°2)( ^ + п) + р1рЖ-

ди

-p\pI{*A + (1 - *)*>!) - Sa(s)fc'

Pi Si)

д д 2. д . dsix

dt{piVi)+di{piVi)+di{«Ji)+

д_ дх'

д , dsi dp

+ ^iVid^) = -Sidi + ^i+pi9-

Данное равенство с учетом (16) приводится к виду

J^(s.ßi) + £:(SiViRi) = + v>i + Pig-

где x0 e [0,1]. Тогда

S£. = А(_1_ф+

дх ox'p°ap '

+*?£ f М(М)%((>*№)

To "

и, следовательно,

P(x,t) = Q0(t) + ^Ф(х,/) +

(13)

Из (17), используя (1), имеем

дВ{ <9Я< др <р{ 0

~дГ+щ^-~д^ + 1;+^9-

Введем функцию Д(х,<), положив Я(х,<) = Я)(х,<) - /?2(х,<) —

= + Ь(5К 6(я) = р°т£-

Тогда

Я, +*!!!!>„,

ац рац

Яа = _АЛл+М£)

(17)

(18)

и,следовательно,

тр = —(Я - 6(8)и). дх ц

Исключая в (18) давление и используя (6) и (19), приходим к уравнению для Я(х,<)

Ю + ^е.«)» =

= -Ха"(в)а(в)иЛ(Я-6(в)и)

-Ь(«)и)) - ^ту^т« + р°9о-Здесь 1/(«,и) = а'(в)и. Из (12) имеем

р I ____ и ,

Я 1*=0— а(,"(г)) Эг

+6(80(ж))и°(х) = R°(x).

(25)

(20)

(21)

Кроме того, для функции у>(я,<) из (7) имеет место представление

(22)

<p(x,t) = /?i/?2^«(*,<)

**

(R(x,t) - b(s)u(x,t)).

3. Основные результаты

Далее используются обозначения, принятые

рез Я. Получим

fc-•'&(*•<•)£)+

+6i(s)u(fi - 6(s)u)2 + Ms)“i?+

+63(s)u2(fl - fc(s)u) + Ms)§7(fi~

—b(s)u) + 6s(«)u — b0(s)g0 = 0.

Здесь введены следующие обозначения:

a^s) . _ Kb0(s)

Ш ~ ap(s) ' Ш " р°а(8)аЦ*)'

Ы«) = — 2^2 a"(s)a(s)^°(s),

62(s) = b0(s)(ai(s) + “(*)^y)-63(s) = ^(slafsH^Ks) + a'

64(s) = -^(b'o(s)a(s) - 60(s)a'(s)),

Коэффициенты bj(s),j — 0 — 5 удовлетворяют условиям

0 < a,,(s) <1, 0 < a„(s) < 1,

min(/?i,/?г) ^ < max(/?i,ft¡)

max(ori,Q2) — ° _ rnin(Qi,Q2)'

C~ls{\ -e) <6i(s) < Cs(l — s),

|63(s)|<C, |64(*)|<С,

c~l , , s с И1-*)]-*-1 -Ms) - Wi--)]-'»-1’

в [4, 5]. Предполагается, что начальное значение где ^ _ положительная постоянная, зависящая

<•(*) строго меньше единицы и строго положи- от т.п А-о(в)1 тах КоИ

тельно:

Теорема 1 [6]. Пусть данные задачи (1)-(4) 0 < т0 < 8°(х) < М„ < 1, 1бП, (23) удовлетворяют условиям

и . /V (8) € с2(0,1), д е Ь7(0,Т-,УУЦП))

а коэффициент взаимодействия А есть функция

в(х,/) (модельная зависимость К = А0(5)[5(1 - и дополнительно к (23): (я°(х),«“(х)) £ И/22(П),

в)]-19; 0 - вещественный параметр; К0 - доста- „«(о) = г°(1) = 0, х = 1,2.

точно гладкая положительная и ограниченная функция ).

Тогда найдется /0 > 0, <о Е (0, Т) такое, что для всех < < <о существует обоб-Уравнение (8) представим, используя связь щенное решение (в, , и,-,р) задачи, обладающее свойствами: в,(аг,<) е Ьоо(0, ¿о; И^2(^)).

& € 1во(0,<о;И^(П)), & 6 1а(9|.),«ч(*.0 €

и R, в виде

§7 = -^a'(«)“(s)u(fi-

-b(s)u) - a(s)§^.

¿оо(0,<о;^(П))П^(0-<о;^2(П)),

dbt

dt

(24) ¿2(Qí„)i p(».0 € ¿oo(0,ío; ¿2(íí)). € MQtJ

и существуют числа m, M такие, что для всех (x,t) € Qt0 = П х [O.íJ

В уравнении (11) раскроем производную по

времени и заменим §у из (24), а выразим че

0 < m < s(x, t) < М < 1.

(26)

Если дополнительно д(х, t) G Cl+“’1+a/2(Qto), (s°(x), u°(z)) е C2+“(d) и выполнены условия согласования начальных и граничных данных, то существует классическое решение задачи, удовлетворяющее неравенству (26) и обладающее свойствами (v,(x, t), s,(z, <)) 6

+a/2(QtB), ff S C“'“/2(Qt0).

Введем обозначения: t

Slip max |5o(x, r)\dr < Д2,

0<t<oo J 0<ar<l

шах |и°(х)| < Дь Д = тах{Д1, Д2}.

ичГч 1

Теорема 2 [7]. Утверждения теоремы 1 справедливы для всех / € [0,Т], где Т удовлетворяет неравенству СТД < 1, а С - независящая от времени абсолютная постоянная, зависящая только от данных задачи.

Теорема 3. Задача (1-4) имеет единственное решение, если 0<т<в<М<1,а функции и(г,<) и Я(л,<) удовлетворяют условию

1Ы0112 + отах, ||Д«(01|2+

т

■ J

т)\\2dr = N < оо.

Доказательство. Пусть существуют два различных решения (я^1), Я(1>) и

(в<2>,и(2>,Я<2>) задачи (12, 24), (12, 25), (20, 21). Их разность в = и = — и^2',

я = я^-я'2) есть решение линейной однородной системы:

8[ +С1(х,«)в + С2(х,/)и +

+с3(х, <) Л + с4(г, 1)их - О,

и, -1/^0(х,<)иг с/х (а:, <)в)аг +^2(х,<)5+ ¿з(х,*)и + d4(x,t)R + dь{x,t)xlx = 0,

Я( + е0(х,<)Я* + е^х,*)« -(- е2(х,<)«+

+е3(х,<)Я + е4(х,*)иг = 0,

с нулевыми начальными и граничными условиями. Коэффициенты первого уравнения системы имеют вид (ДЬ(г) = (¿(г(1>) - &(г(2)))/(г1 - г2)):

с\ = — и*^Я^' Д(а'(»)а(в))+

+ —(г1(1))2Д(а'(«)а(«) —) + и[1)Да(в),

Р аи

С2 = ^а'(5^2^)а(8(2))[я(1) +

сз = а' (я^)а(в(2))и^ / с4 = а(е*2').

и являются ограниченными функциями для всех х 6 [0,1],* 6 [0,<о]. Коэффициенты второго уравнения системы соответственно равны

d0 = 60(в(2)) > 0, с?1 = «[1)Д60(в),

d2 = и‘1)(Я<1>)2Дб1(в)+2Я(1>(и(1))2 Д(61(8)6(«))+(«(1))3Д(61(5)62(8)) + +и(1)и'.1)ДЬ2(8) + Я(1)(и(1))2Д63(в)+ +(и(1))3Д(Ы*Ж®)) + Я(1)и<.1)Д64(в)+

+ и(1)«[1>Д(64(5)6(;!)) + +и(1,Д&в(*) - </оД60(в),

d3 = б!(в(2>)(Я(1))2 + 2б1(8(2>)6(в(2))

Я(1)(и(1) + и<2>) + (б1(в(2))62(«(2>)+ +6з(я^)6(^2')((и^)2 + и^и^2)-!-+ (и(2))2) + 62(в<2))41) + 63(8<2))(и(1) + -И/2))Я^ — 64(в^2^)6(*^2))и^1)-)-+65(в(2^)и(1), d4 = ь1^sW)uW(Ril) + R{2))+

+2Ь1(8^)Ь(8^)(и^)2+

+Ы*(2))(«(2>)2 + 64(в(2))и[2),

dь = 62(в(2))«(2) + 64(«^2^)(Я^*+

+6(в(2>)и(1))-

Здесь d0 И ¿5 являются ограниченными функциями, а d\ — dл удовлетворяют неравенствам

t

/

( max |rf,(x, r)\)2dr < CN.

0<г<1 -

Коэффициенты третьего уравнения системы имеют вид

е0 = a'(s(2))t/2\ е! = «^(Я^)3

Abs(s) + R^(u^)2Ab9(s) +

Д6ю(*) + (и^^ДбпМ + u(1)A6i2(s)-

и^Я^ДаЧя), е2 = 68(«(2))(Я(1))2 + 69(«(2))Я(1)(и(1,+ +и,2)) + 6io(s(2))t4^ + 6n(s(2))((u(1))2+ 4.и(1)и(2) + (и(2))2) + 612(5( 2))_

ез = &8(*<2))и(2)(Я<1’ + Я<2>)+

+Ь9(в(2))(и(2))2, е4 = 6ю(«(2))и(2).

Здесь е0, ез и е4 являются ограниченными функциями, а е1, е2 и еох удовлетворяют неравенствам

Г

/( шах

0<х< 1

(max |е„(х,т)| + ||еі(г)|| +

0<х< 1

+|Mr)||2)dr<CW.

Кроме того, учитывая связь x,t) и Я(,1(х,<), имеем

ds

дх

= rl(x,t)s + г2(х,<)Я + r3(x,i)ti,

где /лп(х,<) = Я(1)Да(в) — u("A(a(s)6(s)),

/jr2(x,i) = a(s<2>), /ir3(x,t) = -a(s<2))6(s(2)).

Функции ri,r2,r3 являются ограниченными.

Из первого уравнения системы после умножения на s(x,t), интегрирования и применения неравенства Коши с е0 > 0 выводим

¿1И0Н* < *>1М0Н*+

+С(е0) шах (|с]| + с^+с§)г(<),

0<r< 1

г(<) = ||5«)||2 + И<)1|2 + ||Я(<)||2.

Из второго уравнения системы после умножения на u(x,t) и последующего интегрирования выводим (и0 = и min b0(s))

v 0<j<1

-d|u(OI|2 + "olMOII2 < Comaxi(|<fal+

+d2 + dj 4- dj 4- ^5)~ (^)-Из третьего уравнения аналогично получаем

¿IIW)ll2<<TilMOII2 + C(eiM<)+

+ max |s(x,i)l • IMOII • ИЖ0Н+

0<х<1

+ max >(М)НМ01Н|Я(011+

0<г< 1

+ „me |еох(*,<)| • ИЖОН2.

0<х<1

Для s(x,t) справедливо неравенство :

s2(*,0 < С1И01ММ011 < С(1И0112+

]

+1И0Н • НЖОН + N011 • IKOII). / *(*.О«** = 0.

О

Поскольку u2(x,t) < 2||ti(<)||-||tix(0||. то окончательно получаем

¿||Л(01|Я < («1 Ч-е2)|[и1(<)||2 +С(е„еа)(1 +

+ max |еО1(х,01 + Цс1(01|2 + 1Ь(0Н2М0-0<1<1

где £\, £2 ~ произвольные положительные числа. Складывая почленно полученные неравенства и выбирая £o,Sl,£2 ИЗ условия £0 + 61 + ¿2 = "о/2, приходим к неравенству

dz

dt

< A(t)z(t), z(0) = 0,

в котором А(0 € ¿:(0,Т). Отсюда следует, что я = 0, и = 0. Тогда из (6), (14),(15), (22) вытекает единственность решения р задачи (1)—(4).

Литература

1. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. 1956. Т. 20. №2.

2. Нигматулин РИ Динамика многофазных сред. М., 1987. Ч. 1.

3. Файзуллаев Д.Ф., Умаров А.И., Шакиров A.A. Гидродинамика одно- и двухфазных сред и ее практическое приложение. Ташкент, 1980.

4. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, 1983.

5. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Ураль-

цева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967.

6. Папин A.A. Разрешимость ”в малом” по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1999. Вып. 114.

7. Папин A.A. Разрешимость ”в малом” по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2000. Вып. 116.