Автомодельное решение уравнений двухфазной среды (модель Х. А. Рахматулина) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

A.A. Папин. Н.С. Первова

Автомодельное решение уравнений двухфазной среды (модель Х.А. Рахматулина)

Введение. Рассматривается одномерное изотермическое движение двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с общим дав-

лением (гипотеза Х.А. Рахматулина) и в отсутствие фазовых переходов. Уравнения модели имеют вид [1]

dpi

dt

"(PiVi

дгч dt

Sl + S 2

pi

dvi

SiPi

дгч

дх 1 дх

1,2,

<Pi

V2 - Vi,

+ Ktpi;

if 2 = Vi - V2-

Здесь pi, , в,-, р - соответственно приведенные плотности, скорости, объемные концентрации и давление являются искомыми функциями переменных х^. Истинные плотности р°, коэффициенты вязкости рц и коэффициент взаимодействия фаз К — заданные положительные постоянные.

Для системы (1)-(3) рассматривается автомодельное решение типа "бегущей волны". Предполагая все искомые функции зависящими только от переменной £ = х — с1 (с — постоянный параметр) , приходим к следующей системе уравнений

(PiVi - cpiY = 0, i = 1,

(4)

щ (0) = v°, lim Щ (0 = u+, » = 1,2;

J-s-txi

si(0) = s°, lim si(0 =s+, » = 1,2, (7)

(~¥oo

где i>f, i>2,.s°,.s+ - заданные постоянные, удовлетворяющие условиям: ,s° ф i>f ф Поскольку из (4) следует

(i'i — с) = Ai, » = 1,2, (8)

то привлекая (6), (7) и (8), приходим к следующей системе уравнений для неизвестных постоянных Ai, А2, м+, с:

s°(v°i^ с) = Ai, 8+{и+ -с) = Ли

(1 - s°)(v°2 - с) = Ai, (1-S+K Решение последней дается формулами

(1)

(2) (3)

с) = А2.

s+(1

S+'bl?

Ао

Ai = s°(1 -e°)K

о\

1>2

s+

-Ал

8+

О,,о

8° Vi + (1 - S°)W|.

Pi(viv'i - cv'i) - (piSiVi'f = -Sip' + Kifii, (5)

где тптрих означает дифференцирование по Система (3)-(5) рассматривается при £ > 0 и дополняется граничными условиями

Рассматривая (5),(8) как систему относительно р'(0 и = 1 ), получаем (складывая уравнения (5) при 1 = 1 и г = 2) уравнение для р(£,):

2

Р!(0 = - «.■) + (9)

8 = 1

и (исключая из (5) р' и 1>,- ) уравнение для

2 0,8

-Ka3{s){s - 8+) = 0,

(10)

где

ai(s) : a2(s)

pi s

+

P'A

s2 (1 - s)2 '

P°i(s+)2 ^(1-.s+)2

aslsj

Л

s°)(v9

Пусть - решение задачи (7),(10). Тогда из (9) определяется давление р(£), а из (8)- скорости Таким образом, задача (3)-(7) эквивалентна задаче (7),(10).

Цель работы состоит в доказательстве существования единственного решения поставленной задачи.

Разрешимость задачи. Б дальнейшем предполагаются выполненными следующие условия на данные задачи (3)-(7):

А > 0, я+ ф я0 (я+,я°) е (0,1). (11)

Доказательство существования решения проводится на основе теоремы Шаудера [2| и использует стандартные вспомогательные построения. Обозначив а2(я) = а\(я), уравнение (10) представим в дивергентной форме

(ая')' + А—я' - К —(я - я+) = 0. (12)

-аз,

а а

Полагая «,(я(£)) = а(т)ёт, приходим к эквивалентной (7), (12) задаче

и" + ХЬ(и)и' - Кй(и)и = 0;

«(0)=/ а{т)(1т = и о, и(оо) = 0, (13)

Л+

где

О!(«(«)) а(я(и)) и

Постоянные К и А положительны по условию задачи; функции ¿(я), а (я) и аз (я) положительны для всех я £ (0,1). В дальнейшем считаем

я+ < я0 (случай я+ > я0 рассматривается аналогично) .

На отрезке [0, п] рассмотрим вспомогательную задачу для «(£) = а(т)йт:

и" + А 6(и)г/ — К (!(«)« = 0;

«(0) = «о, и(п) = 0.

(14)

Решения последней в силу принципа максимума удовлетворяют неравенствам «о > «(£) > 0 для всех £ £ [0, п]. Поэтому функции 6(и) и (!(«) являются строго положительными и ограниченными. Положим

а0(т) = у//Л1Я+(1 ^т)2 + М2(1 ^я+)т2, 60(г) = (я?(я+)2( 1 - г)3 + рЦ1 - я+)2т3)/а2.

Тогда

а0(т)

т( 1

Ь(т) =

Ьд(т)

т(1 — т

тё,(т) =

а0(т)т(1 - т)'

Пусть «1, а-2 -минимальные значения функций «о(т), 6о(т), а р1,!% - соответственно их максимальные значения при я 6 [0,1] (ясно, что а.{, р{ строго положительны и зависят только от р,у я+;г" = 1,2). Тогда, положив аз = тт(а:1, а-2,\/р%), рз = гпах(Р\, /?2,1/«1), получим

«з

<

«3

<

я°(1 - я+) - я(«)(1 - я(«)) - \<ф) - я+ '

Производная решения задачи (14) в точке £ = п неположительна, поскольку предположение и'(п) > 0, ввиду граничного условия и(п) = 0, приводит к противоречию с неотрицательностью «(£). Представив уравнение (14) в виде

/•V

ф> = КъЩк) > о, ф = 1>' + А / Ь(т)йт, (16)

J о

выводим, что монотонно возрастающая функция ф(£.) является неположительной. Поэтому 1)1 (О < 0 и 1}"(0 > 0 в силу (14) для всех С € [0, п]. Из (16) и (15) следует + Хри < 0. Поэтому

1.(0 < «Осхр(-А/?0; (17)

Н<£)| > А/?«0 схр(—А/?^).

Уравнение (14) разрешим относительно первой

производной

«'(С) = «'(0) схр(—Ау>(и(£))) + П(1,(0), (18)

где

.) о

Из (15) следует < <р(£) < р£, а из определения «(£) с учетом (15) имеем г>(£)/р < — я+ < «(£)/а. Используя эти неравенства, получаем последовательно:

< В(п) ЕЕ Г П(№ < % < оо.

ас" л ас" л"

Проинтегрировав (18) по £ от 0 до п, найдем зна-

чение первой производной в точке £ = О и° +

/о"

Эта величина конечна для всех п > 0,так как

«о/3(а2А2 + К)

19)

HQ)I<

а2А(1 — ехр(—А/Зп))

N.

С помощью (19) и (18) оценим г/(£) снизу, а из (14) оценим Vй (£) сверху. Тогда дополнительно к (17) получим

|г/(£)| < N ехр(—Аа£),

(20)

< А/ЗЯ ехр(-Аа£) + Ки0- ехр(-А/9£).

а

Представим решение задачи (14) в виде Г*

= «о + т(г') / ¿-хч>МУ)»ау + В{ь) ЕЕ Т(г'),

(21)

где функционал гп(г') = г/(0) определен в (19). В пространстве непрерывных функций С[0, п] рассмотрим замкнутое, ограниченное, выпуклое множество М = {и(£)| 0 < г>(£) < «о, € [0, п]}. Оператор Т определен на множестве М, и в силу принципа максимума имеет место вложение Т(М) С М. Непрерывность Т проверяется непосредственно с помощью представления (21). Из оценок (17),(20) следует, что Т является вполне непрерывным. Следовательно, по теореме Шаудера на множестве М задача (14) имеет по крайней мере одно решение. Это решение единственно, если (г'(1(г'))(, > 0. Действительно, пусть /(£) - достаточно гладкая функция, определенная на интервале [0,п| и равная нулю при £ = 0 и £ = п. Умножим обе части уравнения (14) на /(£) и проинтегрируем полученное равенство по £ от нуля до п, сбрасывая производные с г(£) на /(£). В результате приходим к следующему интегральному равенству:

рп î'V

/ (vf'-Xf Ь{т)(1,т — Kfvd(v))

Jo Jo

v(0)f(0).

(22)

Пусть »1, 1'2 - два различных решения задачи (14). Для их разности ш = — »2 справедливо вытекающее из (22) равенство

/п

«,(/" - \ох (Ог - ко2(от = 0, (23)

где £>2(£) = МЫ " МЫ)/«> > 0, £>,(£) =

1/ш

С Н

т)(1,т. Определим /(£) как решение следующей линейной задачи:

г-А£>! т'-КОзШ = а«), /(0) = Яп) = 0,

где Л(£) - произвольная непрерывная функция. Известно [2|, что данная задача разрешима при любой непрерывной правой части. Поэтому из (23) следует ш = 0.

Решение задачи (7),(10) на бесконечном интервале получим как предел последовательности {г„ (£)} решений г-п (£) задачи (14) при п —>• оо, используя независящие от п оценки (17),(20). В силу единственности решений задач (14) ограниченная последовательность {г„ (£)} монотонно возрастает и, следовательно, сходится к некоторой функции «(£). Осуществляя предельные переходы в равенствах (21), записанных для г-п (£), получим аналогичное равенство для предельной функции. Последнее означает, что «(£) является классическим решением задачи (7),(10). Асимптотическое поведение решения определяется неравенствами (17),(20).

Сформулируем достаточные условия единственности решения задачи (14) в терминах начальных данных задачи (7),(10). Условие (ус1(у)У > 0 эквивалентно следующему: г(в)/в5(1 — в)5а3(в) > 0. Знаменатель данной дроби всегда положителен для в £ (0, 1), а числитель имеет вид

г(з) = щз+(1 - з)2д(з-,з+) +

где д(т; 1]) = 2г2 — 31]т + 1] = 2т(т — 1]) + 1]( 1 — г). Отметим, что д(т; г]) > 0 при 1] < 8/9, т £ (0,1).

Пусть 5° > Тогда в0 > > и

</(в;5+) > 0. Для положительности д( 1 — в; 1 — ) достаточно потребовать выполнения условия 1 - < 8/9, т.е. > 1/9. Тогда ф) >*0. Ана-

логично

при s0 < s+ имеем s0 < s(£) < s+

g(l—s; 1—s+) > 0. Для положительности g(s; s+) достаточно потребовать s+ < 8/9 и получить r(s) > 0. Если s+ < 1/9 (или s+ > 8/9), то условие г (s) > 0 может нарушаться (это легко увидеть, если рассмотреть предельное значение г (s) при s+ —>• +0 или s+ —>• 1 — 0). Поэтому для любых fii, fi^ при s0 > s+ и s G (0, 1) можно указать значения s+ £ (û,sf), sf < 1/9, при которых r(s) < 0. Аналогично при s0 < s+ существуют значения s+ £ (s*, 1), s* > 8/9 такие, что r(s) < 0 для любых fi\, ¡1,2 и s G (0, 1). Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема. Существует единственное классическое решение s(£) задачи (7),(10), если дополнительно к условиям (11) значения s+ таковы, что функция r(s) из (24) положительна.

Литература

Нигматулин Р.И. Динамика многофазных 2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциаль-сред. М., 1987. ные уравнения. М., 1970.