CC BY
30
УДК 544.27
И. Г. Ахмерова
Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной несжимаемой жидкости*
I.G. Akhmerova
Solvability of Boundary Problem for the Equation of Two-phase Incompressible Liquid One-dimensional Movement
Для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи с неоднородными условиями.
The local solvability of initial-boundary problem with heterogeneous conditions is proved for the system of equations of one-dimensional non-stationary movement of heat-conducting mixture of viscous incompressible liquids.
Ключевые слова: двухфазная смесь, взаимопроникающее движение, разрешимость.
Key words: two-phase mixture, interpenetrating movements, solvability.
1. Постановка задачи и формулировка основного результата. В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа:
др s dt
i = 1,2,
(1)
pi si
dvі
OvA Of dvi
' vi~— I — TT- I Pi Si~R— ox V ox
pi sig,
dx _ dpi
~-Si +
Sl + S2 = 1, ^1 = K(v2 — vi),
^2 = —<Pl, pi — p2=pC( Ч,в,
о /дв 2^ciPi *( dt i=l
(2)
(3)
(4)
решаемая в области (х,г) € Qт = ^ х (0,Т), П = (0,1). Здесь 'иг, рг - соответствен-
но скорость, объемная концентрация и давление г-й фазы; д - абсолютная температура среды (#! = #2 = $); д ускорение силы тяжести; постоянные > 0, > 0, сг > 0 - соответ-
ственно истинная плотность, коэффициент динамической вязкости и теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме; коэффициент взаимодействия фаз К(в1), коэффициент теплопроводности смеси хв) и разность давлений рс(^, д) -
заданные функции. Искомыми являются функции (вД х,г)^г( х,г),рг( х,г), д(х,г)).
Система (1)-(4) дополняется начальнокраевыми условиями:
=1= bi( t),
vi |t=o= vi(x), si |^= si(x),
dx X=0 = ^(^, dx |x=1= в2^), в |г
(5)
=o= ^(x)
Для данной системы рассматривается два варианта граничных условий: аг(г) =
ЬДг) = а(г) и v1 а^г), V! |ж=1 =
Ь^), V? |ж=о,ж=1= 0. Заметим, что из уравнений (1) с учетом равенства ^ + в2 = 1 вытекает соотношение = Ь(г), справедливое
для произвольной функции Ь(г), г € [0,Т]. В первом варианте граничных условий функция Ь(г) = а(г), т.е. предполагается известной, а во втором варианте - Ь(г) = в(0,г)^(г) и является неизвестной функцией.
Дополнительное условие для однозначного определения р (х, г) берется в виде
1
/„(мм-о.
(6)
* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^2010 гг.)» (код проекта №2.2.2.4/4278), а также при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» (государственные контракты №14.740.11.0355, №14.740.11.0878).
v
Относительно функций s0(x), 0o(x) предполагается выполнение неравенств следующего вида:
О < m0 < s0(x) < M0 < 1,
(7)
О < k— < 6°(x) < < ж
для всех x е [0,1] и при фиксированных постоянных mo, Mo, к\.
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(6) называется совокупность функций (si(x,t), vi(x,t), pi(x,t), 6(x,t)), i = 1,2 из пространств
Яо.
si е LTO(0,T-Wl(tt)), -t е U(QT),
(vi, в) e LTO(0, T wl(n)) П L2(0, T wi(n)),
Pi e LTO(0,T;Wl(n)), дщ дв dpi \ T Q
d,~di,~dx) e u{Qt),
ft =(0,1), Qt = SI x(0,T),
удовлетворяющих уравнениям (1)—(4) и неравенствам 0<s<l,0<e< ж почти всюду в Qt и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.
Определение 2. Классическим решением задачи (1)-(4) называется совокупность функций (v^ x,t),Si( x,t),pi( x,t),e(x,t)), i = 1,2,
если они обладают непрерывными производными, входящими в уравнения (1)—(4), и удовлетворяют уравнениям, начальным и граничным условиям как непрерывные в Qt функции.
Теорема 1. Пусть данные задачи (1)-(6) удовлетворяют следующим условиям гладкости
{vi, в0) е W^O), s0 е Wf(O), g е L2(0,T;W|(n)),
(виаиЬ) е Wl(0,T)
и условиям согласования:
vi>(0) = ai(0), ^(1) = bi(l), i = 1,2;
de°(x) I _в^ de°x I -вт
—dx— U=o— mUj, —dxx— \x=i~
Пусть K(si), pc(s1,ff), хЮ - достаточно гладкие функции своих аргументов, удовлетворяющие следующим условиям:
K(si) = K0(si)(sis2 )q,
0 < k— < Kq(si) < kg = const,
k— (sis2)qi < x(si) < fa(sis2)qi,
k— (sis2)q — < k1(s1s2)q —,
ds\
IKkiiss)q2 eq,
Idpc {вв) Khiss)q* ieq,
I dpi s,) Khiss) qe ieq,
ds\
d2pd si,< de2
< k1(s1s2)qs ieq,
Idps%e)I < ki(sis2)qi0mq",
где ki = const > 0, q, qi, ..., qn - фиксированные вещественные параметры, причем q3 > 0, q$ > 0, q7 > 0, qg > 0, qn > 0.
Если выполнены условия (7), то существует достаточно малое значение to > 0, to е (0, T) такое, что для всех t е (0, t0) существует единственное обобщенное решение (si, vi, pi, в) задачи (1)-(6).
Если дополнительно:
g е С1+ а’а!2 (QT) , (^,vi ,в) е ^ ^),
^(0) = a^O), ^°(1) = bi(l), i = l,2,
de°(x) . . . de°(x)
u=0= ei{0h “d-u=1= M1),
коэффициенты K(si) и x(si) - дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, то в Qto существует единственное классическое решение задачи, удовлетворяющее условиям
si е С+(Qto), (vi, в) е С2+(Qt0),
“p е С°а>*(Q„>,
причем найдутся числа 0 < m^ < M^ < 1, 0 < m^ < M^ < ж, такие, что
0 < m^ < si(x,t) < M^ < 1,
0 < m^ < e(x,t) < M^ < ж, {x,t) е Qto.
2. Локальная разрешимость. Следуя [2, 3] приходим к следующей задаче для s(x,t) = s±(x,t), u(x,t) = f3\vi(x,t) — f32v2{x,t), p\(x,t), e(x, t), R(x, t):
ds df p2sh\
+ (8)
т(^ и) + Ш + И ш-
_ У а'(В дид^_ у а''(в) и( О^У
Эх2 а(в) дх дх 2а(в) дх-'
(9)
_____к____и _ .З-ёрс _ дп - а, — о
Р°а(з)а1 и р0 дх д0 а1 — и,
Эрг д д 1 - в д а
= ^-(р1в^(—гти)-М —гги) -
дх дх дх а^ в)
дх ам(в)
Р~аРТ\ а(в)и2) - (Р? - ^дКЮи)
'М в/
а
дг
д / а д , Ь д Н
"зх^1ф2дх{а^)+рз(1 - в)—1дх{амв)
—
2р1а{з)в}Ни ^ 0 ^—Н^
ам ам
а
м
вН 2% д ^в^Н Р§(1 - в)—±Н
-рг(1 - в)( )") - т;т(
ам дг ам
+Р°ар(в)д + (I- в)~р, (Ю)
дд дд х°вдг + с°авидг+
; Н дд д , , дд .^
+ывт + м-дх ~ д.: ^эдд
(11)
дН тт/ \дЯ 1 „
——Ьи 1в, и)-^— = -—— а (в)а(в)иН (Н - Ь(в)и) -дг дх 2р
К 6 а(в)
- —~и'
аМ
и(Н - Ь(з)и)
а(в)аМ р а
М Г“
ди —1 (1 - в) - —2в
дх раМ
+Р°до —дх + -а2 = fl(s,u,Н), (12)
в которой введены следующие обозначения
г1 Ро
—- — Р-, р — р1 + р2, а- — Р-, г — 1,2,
р
в(1 - в)
а(в) =-, аДв) = —1(1 - в) + —2в,
ам
= р/р°, Р° = Р! + Р2, аД в) = а( 1 - в) + а2в;
/ \ ах(1 — в^ — а^в^ / , ч &а\
а1\в) = --------------------------^-, а1 (в) = ~Т~,
ам ав
м
Хо(в) = слр\в + с2р°(1 - Ю, с0 = ^р? - ^^,
Щх,г) = Н\(х,г)-Н2(х,г), н-(х,г) = р-
р- дв-вг дх
КЮ = р , ^ рр - р1Р2, до = а - а2)д,
ам
и (в, и = а1 (^и -
вв-
Сг = 4вд(-> — вu01ЭL(-nвt^-)l^-ви
Р0 дг ар
ам дх ам
в д , д . Н д Н ■——(—) Ь-)-1-Юи^дх(“)
2 дх ам р° " дг ам
Н , д ,(1 — в)и, 02 д . Н ^ 02 —
^■L-rг) + TшW] + -в- •
ам дх а
д в - в дв в Н I рв----------------------------— I-------------------
дх
а дх в
м
.дг П- д^ КН— --)
дх р аМ дх р°в(1 - в)ам'
а2 — —(— -ам
(1 - в)—16 д ^в)
-----------)и^-(-------
амр дх вам
(1 - в)—2р\. д 1 — ^ д ^^и,
-—:----->иа;<-)- (—)-(—.
амр
дх
-
в—1Р2\ д 1 ,в—2б д а(в)
ам дх ам
Ы-(
амр дх - в
— ^ д ^(^^ | Нд ^ 1
амр дх ам
ам дх ам
^2—^ д ^(^ | ^1^ д 1 амр дх вам
ам дх ам
амр дх (1 - ^ам
в х, г и х, г
р х, г д х, г Н х, г
уравнений (8)—(12) и условиям
и |^^= —1а!.(г) - —2^{г)-> и |^= —^^) - —2Ь2{г),
и |(=0= и0(х), д |^= ^(х, дд дд дх |^^— ^(^, эх |^^_ ^(^,
1
в |(=о= ^(х, JР1{х,г)ах = о, (13)
о
Н Ь = 0= , р NN д\х + ^^(х)^(х) +
а в х дх
6 Н(0)
р ам в х
= Н}(х).
2.1. Построение галеркинских приближений. Уравнения (8)—(12) представим в виде
дв 1 а в а в Н6
-тгт = -а в)и((Н - Ь{в)и)----------------------—,
дг р амр
м
м
м
м
м
м
а
м
V
V
а
м
eehttv г.< \ °s) a(s)hS^ ^ b0 {s)(a\ s)a(s)u5\
——{(R — b^-^ — ОУ )— Gj = Wl "vp* j +
—"'s7T = h(u's'R' <14* +вф- ((R — b(s)u)— — °s^h\ bn(s)u+
dx a, V p a,y )
Li(s,u,R,в) = “P — 1, м / / ^ 2/ a(s)$^ , , , л"'(s) du a(s)5
i —
dt dx \ dx ) +7;bo(s)a,i (s)u2 ( 5-)+vbQ(s)—— — (-
2 a,p "(s) dx a,M
du
+b.(s)U(R — b(s)uf + b2(s)ud-+ a11 (s) f na2(s),„ 7/ , ,S a2(s)S2h
dx —vbQ\s)—гт-u —2—^— (R — b(s)U 1
ди а в ам р амр
+Ьз(в)и2 (Н - Ь(в)и) + Ь4(в)—(Н - Ь(в)и) + „
дх +С1(Н,в,и,Н).
+Ыв)и - Ыв,тн - Ь(в)и)- При 0 < в(х,г) < 1 коэффициенты
_Ь (в д)—-Ь (в)а -Ш = 0 (15) ар(в),ам(в),Ьов,Хо(в) удовлетворяют неравен-
7 дх 0 3 , ствам
дд д дд
L2(s, u,R,e) = — — “x (^8^)““ J + 0 < niin(ai,a2) < ap(s) < max(a,a2) < 1,
,ь/\дв и\\дв 0 < min(e, в) < a^ s) <max (Д,^<1,
+b8(s)u------b10{s) (R — b(s)u) “—Ь
x x n „ min(Д,^^^ ^ тах(Д,в)
дв 0 < ---- ------ < b0(s) < ------ < ж,
(bn(s) + bi2(s))—=0, (16) max(a, «2) min(ai,a2)
dx
dR dR 1 0 < minCpJ, c^) < Xo(s) < max(ciPi, c2p2) < ж.
h U(s, u)—~ =-------a11 (s)a(s)uR-
dt dx 2p Коэффициенты bj(s),j = 0,.., 12 удовлетво-
K S a(s) Ряют условиям
■ (R — b(s)u)-- u------------— u
a{s)av, P "ц с_ ^ b9(sh к С
du (3i(l — s) — p2s \ < a(s),aq_1 (s)' a(s) ' x{s) < '
dx Pa
u R-bs u
др С- <(-^^1 ,а„(в^цв,^^ЬМ) < С,
+р% - дрс + НС2 = Мв,и,Н). (17) -Кх(вНвУ М ; КЬа(в) К^~ ,
дх
Здесь введены следующие обозначения: |Ь2(в)| + |Ьз(в)| + \Ь^(в)| < С,
п Гч Ыв,д)|<с(в(1 - в)),
Ь м = аДв) Ь = —1—2 а,{в) I V > л V V >> II.
аД ^, 1в /р ар«^ вУ Ып,#) |<С^ - Ю) ,
Ь1 в С
Ь2(в) = а2(в), ^(в) = Ь0(в)а1(в) + а(в) ^ву только от данных задачи.
Положим и(х, г) = ш(х, г) + гФ(х, г), д(х, г) =
Ыв^Мв)—,^^^вШ+а1 (вШ, Нх,г) + ФМ, ф(х,_% = (1 - х)и^г) +
р хи2(г), Ф(х,г) = - - х + \д2(г), тогда
, , ч_ , ча1 П ч и |^^^ ш 1х=1= 0^ ш |^^^ ш0(х) = и°(х) -
р 0 0 Ф{х,$), дх |^= дх |х=1= 0. Заменяем в (14)-
КЬ0(в) , , п, Ь0(в) а(в) дрс( в,д) (171и(х,г )^^ез ш (х,г, а д(х,г) через в(х,г^
Ь5{в) — о ( \ 2( \ ,Ьб\в,д) ~ о д , Решение (в,ш,д,Н) уравнений (14)—(17) с
р а{в}ам\ в) р р дв
м
, Ь0(в) а(в) дрс(в,д) _ а(в) ми условиями построим как предел прнбли-
' р° р дд , 8 ^Хо^^ женных решений (вп,шп,6п,Нп), где шп(х,г) и
/ ч / ч / ч дп(х,г) представляются в виде конечных сумм:
7 / \ _ Х\в) I / Л — „ Х\в) а(в) п п л
хо(в), 10 _ 0Х(Ю р , Ешп(^п(п*^ Е дп{г)ъ>8{-кох), п = г^^..
г=1 3=0
Н а(в)Н6 с неизвестными коэффициентами ип(г), г =
Ьи{в) - Хо{в){—1+ —>0^П) , ~ ам(в)р2 , ^2, ...,'П дп(г)^ = 0Д^, ...,п. Для определения
последних предполагается, что уравнения (15), (16) выполняются приближенно:
+Ъ10(вп)(Яп - Ъ(вп)(ип + ф))
. 8(0* + ф)
дх
Ь (вп, ип, вп, Яп)вт(піх)с!х = О,
(18)
і = 1, 2,..., п,
Ь2(вп,ип,вп,Яп) сов(п]х)в,х = О,
і = 0,1,2, ...,п.
= (Ъп(вп) + Ъ12(вп))д—^-Ф}соя(п]х)ё>х. дх
Функции вп(х,Ь), Яп(х,Ь) определим из решения задач
(19) двп
~т
= Ь{ип,вп,Яп) = /п, вп |^= 80(х). (21)
Тогда шДг), дп(г) находятся из решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
гЪп/, ,п , ,п. Пп Г\п. Пп Г>п\
— -Фі(ш1,...,шп, Уо,...,0п, в ,я )
сівп йі А3^ з
= \зЩ( и!,...,^-, вп ,...,вц; вп,Яп)
1
иДО) = 2 J и0(х) sїn(пix)dx,
0^0) = 2 / в0(х'№х,
(20)
ді
и пдт = М“п, вп,яп, вп) = /п, Яп |і=о= Я0(х),
(22)
где ип = Щвп,ип) = а'(вп)ип и в силу (19): двп/дх = а(вп)(Яп - Ъ(вп)(ип + ф))/р - аіїЩЬ. Соответствующая (22) характеристическая система имеет вид [4]:
= ип(уМ,і), у |^0= Є,
с!г = /ИУ(і,0,і,яп), Еп |і=о= ЕЧО,
(23)
вДО) = 2 / в0(x)cos(пjx)dx, і = 1,2,...,п.
где у(г,£) = х, я (г,0 = яп(у,г) и для
I = дуимеем д£
Здесь Ао = 1, Аз = 2, і = 1, 2, ...,п,
-Ь(вп)(ип + ф) (яп - Ъ(вп)(ип + ф)У --Ъ2{вп){ип + ф)^ Ф - Ъ^вп)(ип + Ф)2•
(Яп - Ъ(вп)(ип + ф)) - Ь(вп
д(ип + ф) ^ дх
• Яп - Ъ(вп)(ип + ф)) - Ъ5(вп)(ип + ф)--Ъ6(в,вп + ф)(Я - Ъ(в)(ип + ф))-
-Ъ7(вп, (вп + ф))двд^ Ф - Ъo(в)go}sm(пix)dx,
•*п
О
-Ъ,(вп)(ип + ф)
д(вп + ф) дх
і
I = ехр І ФіУт.^тМт,
Ф1=а'(в~диЧ + ф> • ~">п> п
дх
двп
а"(вп)(ип + ф) — .
Н х, г
границе х = 0 в случае ип(0,г) > 0 (на правой границе х = 1 в случае ип(1,г) < 0). Неиз-
Нг
заменим па Нп(г) = вп(0,г)^(г) (в дальнейшем пН
Таким образом, приближенное решение (шп, вп, дп, Нп) удовлетворяет задаче Коши (20)-(22). Локальная разрешимость этой задачи при
п
Коши-Пикара для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
г
ная задача на интервале [0,го] разрешима для п
мерные по п оценки для шп, вп, Нп, дп в том чи-
еле и оценки снизу и сверху для вп,дп. Положим
гп( г) = ||шп( г) ||2 + ||нп( г)||2 + ||шп( г) ||2+
Ч|нп( г)||2 + ||дп( г)\\2 + т г) ||2
(24)
+ ||фх( г) ||2 + ||Ф(г) ||2+|Н(г) |2 + +№) ^Щг) Г), а||НДг)||2< (£8 + £в)|Кх(г)112^
(28)
+ С(е$,ед) (||д0 х(г) 1Г + 2п(г) + гЩг) + гЩг)+ + ехр ЪС{ч+1К^г) + ||фДг)||4 + ||фДг)||2+
О < т < вп < М<1,
О < т^ <дп< < оо.
-Ш г) 114+11Фп( г) 112+11Фп( г) Ц + Ш г) Н + |Н(г) Г
Щг)^Щг)|6 + |Нx(г)|2 + / ^хНЩОх). (29)
где ||ш(г)||^ = /ш2(х,г)ах, шх = дх, шхх = дх,
О
к € (0,1) — вещественный параметр.
Искомые оценки имеют вид [2, 3]
С
„п(х,г)(1 - ,»(х,т < ,) + »Фх<г»+
-|Нр + ||Ф(г) II2).
(25)
С
п
Для шп(х,г) и шх(х,г) верны следующие оценки [2, 3]:
Здесь
а вп
П1(вп,шп,Нп,дп) = рСз(вп,дп)^-^(Нп - ьп
р
•( шп + Ф)) + рСе( вп,дп) {дп + ф х.
Теперь получим необходимые оценки для
ддх,г) и дп(х,г)-.
1 а 20т
г(г) 1Г + 1|дп( г) 10+
|
шДг)||2 + ^||шДг)II2 < сЬ(г) 11*
^(в^(дп^ + Ю2)ах < СгЩгЩг)
+ 2п(г) + 2Шг) + Н^п(г) 1Г + Г+ (^б)
где
+т г + т г + т ^,
0ИшЩг)||2 + 2щЦшпх(г)||2 <^^КхСг) 1Г
а г
+С( Ь(г )f + ||Dn(г )||2 + г^г) + 4(г)+ '•ехр ЗС^ + гКп(г) + Цф{г)||6 + Цф{г)||4+
к
| Фх |
|Н | |Н | |Н | |Н | . Здесь введены следующие обозначения:
D(вn,шп,Нп,дп) = Ьв(вп,(дп + ф))(Нп - Ь(вп)
•(Шп + ф)) + ЬЧ{вп, (дп + Ф))(дп + фх. Оценки для НДх,г) и НДх,г) имеют вид: а
а
|НДг)Г< С(||д0(г| + гДг) + гЩг)+
+ 4(г ) + UD (г) ||2 +6ХР 2СЧ+1Кп(г) + ||ф(г) це
Ь вп Ь вп
Z{г) = тах 1(П ; 1--------- 1---------
тах
тах
0<х<1 Ьд(вп) 0<х<1 Ъ(вп) 0<х<1 Ьд(в
тах
Ь вп Ь вп
тах
тах
0<х<1 Ьд(вп) 0<х<1 Ьд(в
Ь1 вп а вп
0<х<1 Ьд(&
ИФЛг )Г + ЦФх(г |
|Н | |Н | |Н | .
Ь Ь Ь Ь
дующие оценки:
Ь^4 < СЩ -Ю)-91+2, -Ю),
Ь в Ь в
Ь^в < -ю)91+1, -ю)-д1+2,
Ьв
(Ь9(в)а(в))
Ь9(вп)
В силу неравенства (25) существуют постоянные &2 > 0 и &з >0, зависящие только от
п
п
С, Ч1 и независящие от п и такие, что Z^t) < к2 ехр(кз2п(г)). Тем самым имеем
£( Цдп(. г) Г + ЦдпЛ. г) 1Г)+
1
1ывПЖР + Ю2)ах <
(30)
< Ск2(гп(г))2 ехр(к3гп(г)). Складывая неравенства (26)-(29) получим
а
аг'
(Цшп( г) ||2 + ||шп( г) ||2 + ||нп( г) ||2 + ||нп( г) ||2)+
|К(г)II2 + 2щЦшпх(г)Г < Ее^хМ)1Г
г=5
+С( 1Ыг) 1Г + ||до х(г) 1Г + гп(г)+ +гп(г) + гп(г) + ехр ЗС^ гп(г)+ к
1
+||Dn(г) ||2 + ||Dn(г) ||2 + | ^ хНЩах+
ИФг(г) ||2 + ||Фх(г) ||2 + |Н(г) Г), (32)
Сп дует равномерная по п ограниченность гп(г) при
г< г
1
го < С " ехр(-С{гп(0) + ^У(||до(т)|| +
о
+Ь Л Т) И^ИФЛ г) ^!ФЛ г) ^!ФхЛ г) 112+
+11Ф(г) Ц6 + ИФг( г) ||2 + ||Фх( г) ||2) 0т }). г
п
о < т < вп(х,г) < ы < 1, (х,г) € о х (о,г0),
тах Цшп{г)||2 + тах ||дп(г)|| о<г<г0 о<г<г0
+Ш г) Г + ЦФх( г) Г + ЦФхх( г) ||2+
мт) Г + т Г). (31)
Оценим теперь слагаемые правой части неравенства (31). Поскольку Ь§(вп,дп) < С(в(1 -в))92+1|дq и Ь7(вп,дп) < С(в(1 - в))94+1 |д|®, то
к > к >
С Ч Ч Ч Ч п
итакие, что ||D(г) 1 ^1 (^ ||2 < к4 ехр(к52п(г)).
Кроме того, с учетом свойств р"88, р"вв, р”вв для последнего слагаемого в правой части неравенства (29) имеем, что
1 1
I №хНщах < 11ь9(вп)дпх!2ах+
+С(||Нп(г)||" + квехр(к7гп(г))),
к > к >
С Ч , ... , Ч п
Сложим неравенства (30) и (31) и выберем в
е5 - е8 го условия Е ег = 2щ - к (если щ < 1, то
г
положим к = щ/2 и е5 - е8 выберем из условия в
Е ег = 3^о/2; если щ > 1, то положим к = 1/2,
г
9
а ег выберем из условия 5]е^ 2щ - 1/2). Уси-
г
ливая правую часть полученного неравенства, выводим
- тах ||Нп(г)|Г+ тах ||Нп(г)Г о<г<г0 о<г<г0 хчл|
го 1
шпх(г)И^Цд^^)Г)аг < с (зз)
О О
агп{ г)
аг
< С( ||до(г) 1Г + ||#0 х(г) 1Г + еХР Сгп(г) +
Сп го решения также имеет место принцип максимума для температуры в следующей форме:
< д х < д х, г < д х
<х< <х<
всюду в Qt0 (см. [5]).
2.2. Предельный переход. Оценки (33) позволяют выделить из последовательностей {вп,шп,Нп дп} сходящиеся подпоследовательности. Полученные равномерные оценки по п
следовательности:
шп, Нп, дп, ш1, щ ^ ш, н, д, шх, Нх слабо в Ь2(0,го; Ь2(П)), шхх, шп ^ шхх,шг слабо в Ь2^г0),
Qt0 = (о,г0) х(о,1).
Из равномерных оценок шп в Ь2(0, £2(Щ),
^2 (Q^ и шП в Ь2^го) возможно выделить под-шп ш
в Ь2(0,го; Ь2(П)) [6]. Из (33), очевидно, вытекает сильная сходимость вп к в в Ь2^го). В качестве
примера рассмотрим один из главных нелинеи- так как ных слагаемых в (15)
В= / Ьз(вп){шпУНпга$г0 ^
Яь0
^ [ Ь3(в)ш2НFаQt0, п ^ж, УЯ € Ь2^т). Яь0
Очевидно, имеем В = В\ + В2 В3. Причем В1= I Ь'3(0(вп-в)(шп)2Нпяа$г0 ^ О, п ^ж,
Яч
так как
| В < тах | Ь'3 (0(шп(х,г)У х,г:ее<Ят
1/2
1/2
вп в аг
цнпя ||2 аг
так как
вп ^ ^ ^тно в Ь2^го). Аналогично
В2= ( Ь3(в)(шп - ш)
Яч
| В |< | Ь в шп ш
х,г,веЯт
/
/
шп ш аг
цнпя ||2 аг
•(шп + ш)НnFаQto ^ 0, п ^ж,
Библиографический список
шп ^ ш сильно в Ь2^(о).
Рассмотрим
В3= [ Ь3(в)(ш)2(Нп - Н)яацч ^ о, п ^ ж,
Яч
Нп ^ Н слабо в Ь2^(о), а Ьз(в), шп - ограничены.
Предельный переход в слагаемых, содержащих Нп и Нп, обеспечивается сильной сходимость
Нп(г) к Н(г) и стабой сходимостью Нп(г) к Нг(г) в Ь2(0,Т).
Предельным переходом в равенствах (18), (19), (21), (22) показывается, что предельные функции {в(х,г),ш(х,г),Н(х,г),д(х,г)} дают обобщенное решение на промежутке [0,г]-
Повышение гладкости обобщенного решения до классического (при соответствующем повышении гладкости данных задачи) проводится так же, как в работе [3, с. 140; 186].
1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М., 1979.
2. Папин А.А., Ахмерова И.Г. Задача протека- Ладыженская О.А., Солонников В.А.
квазилинеиных уравнении и их приложения к газовой динамике. - М., 1978.
ния для уравнении движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей. - Новосибирск, 2004. - Деп. в ВИНИТИ, Ш7-В.
3. Папин А. А. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. - Барнаул, 2009.
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы
Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М., 1967.
6. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М., 1973.
