Локальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений одномерного неизотермического движения газожидкостного слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

A.A. Папин

Локальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений одномерного неизотермического движения газожидкостного слоя

Для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ - твердые частицы) доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи.

1. Введение. Уравнения неизотермического движения газожидкостного слоя (газ - твердые частицы) имеют вид [1]:

3(1 - Ф)Рв 3t

d(.Pf Ф) dt

•div((l - ф)р⳥1) = $, (1)

• div(fjf фщ) = О,

ps(l - Ф) (it + • V)щ) —

= diva і + vecF + ps(l — ф)д,

Vp + F = 0,

(2)

(3)

(4)

дв

схр8(\ — ф) (^ + Щ • VOj = dги(к(ф)V0). (5)

Здесь ф - объемная концентрации; щ - скорость; pf - истинная плотность и p — давление в газовой фазе (р = фре, pe - внутреннее давление газа ); (1 — ф) - объемная концентрация, щ - скорость, ps = const > 0 - истинная плотность и <7i = (—ps + (As(ф) — 2ps(ф)/3)сИущ)1 + 2^s(ф)В\ - тензор напряжений в твердой фазе [ps = (1 — ф)р:зе, pse эффективное давление твердых частиц, pse = pe + /(ф)); As(ф), ps(ф) - коэффициенты вязкостей; I - единичный тензор, D\ - тензор скоростей деформации с компо-

нентами Вк1 = + , (М) е 0,2,3},);

щ = В(ф)(щ — щ) — ре^ф - обмен импульсом между фазами; д - ускорение силы тяжести; в - абсолютная температура; к(ф) - коэффициент теплопроводности смеси, с3 - теплоемкость твердой фазы при постоянном объеме; х = (х!,х2,х3) - независимые переменные; t -

а а \

оператор градиен-

з

dvl

время; V = (^, ёХ;, щ;)

та, divvi = Y1

к=1

dvk

dxk

Функции ф), ф), Цф), В(ф), к(ф) являются заданными, а функции ф щ, щ, ре 1 Рве, Р/> в

привлекается соотношение ре = ре(р^, в) [1].

2. Одномерное движение. В области Qt = П х (0,T), П = {х | 0 < х < 1},T >

0, рассматривается одномерное движение двухфазной смеси, описываемое системой уравнений

(1)-(5). Для простоты изложения предполагается, что g = 0, а зависимость pe = pe(pf ,ff) трактуется следующим образом: pe = Rpf в при в > 0, pf Ни pe = 0 при в < 0 или pf < 0, R = const > 0.

Введем следующие обозначения: s — 1 —

ф, p° = ps, pi = pse, p2 = pe, pc = f(s), cl — cs■

p

(5) можно придать вид (p(s) = As(s)+4^s/3 > 0)

ds д

d + dX{sv‘> = 0'

(6)

dd

-(p°(l — s))+-(p°(l — s)v2) = 0, (7)

P°is(^ + ^ dx) =

= — ^(p2 + spc(s)) + dX (v(s)dx),

B(s)(v2 — vi) + (1 — s) jX = 0,

Pl=P2+Pc, Р2=Р2ІР°,в),

(8)

(9)

o fдв дв\ д дв cip>s (at + v'ai) = (10)

На границах ^hi=1 рассматриваются следующие условия:

vi(— 0? ^ — ^2,

дХ 1^^^ o, dpx 1^^^ o,

x,t 0, i 1^2,

(И)

f 1^ 0, dx |^ 0.

Начальные условия для функций s, v^, в, p2 имеют вид

v^x,t) |^= v0(x), e(x,t) |t=0= в0(x),

s{x,t) |^= s°(x) p2(x,t) |^= p°{x).

(12)

Дополнительные условия для функций so(х) eo{х), po{х) имеют вид

якобиан перехода. Поэтому система уравнений

(6)—(10) в новых переменных принимает вид

0 < mo < so(х) < Mo <1, х € ft, 0 < m < po(х) < Mi < <х>, х € П,

0 < m < eo{х) < M < ж, х € О,

(13)

где ш01 Ы01 Ы\ - известные положительные

постоянные.

Предполагаются выполненными условия согласования:

aeo( х) дх

U=o—

aeo( х) дх

U=i= 0,

3po(х) _ 3po(х) _

Х=о— д------- X=i — и.

ds s2 Bvi

dt + s ~д£~ ,

o dvi 1 d .s^(s)dvi 1 d

Л ~Qf = ) — p

so 8C so df so d£

s(l — s) 3p2 B{s)so ~д£,

spd s)^

V2 — Vi =

ГЛ | X = U ГЛ

дх дх

Функции n(s), pds), B(s), k(s), > dd£ >

dBJss , dkJs непрерывны для всех s € (0,1) и удовлетворяют следующим условиям (условия А):

misni(l — s)”2 < n(s) < Ms^l — s)”4,

ms^i — s)”6 < p^s) < Ms^i — s)"8,

mis”a(l — s)”10 < B(s) < Ms^l — s)”12,

ms^i — s)”14 < < Misni5(i — s)”16,

щ = const, i = 1 — 16.

В обозначениях функциональных пространств и норм следуем [2, 3].

Основной результат работы составляет следующая теорема.

Теорема 1. Пусть начальные данные задачи (6)—(12) принадлежат пространствам непрерывных по Гельдеру функций:

s^х) € С1+“(П), (v^х), eo(х),po(х)) € С2+“(П)

и выполнены условия А и (13). Тогда задача (6)—(12) имеет классическое локальное решение,

to

s(x,t) € С1+“(QtJ,

(v^x,t),e(x,t),p2(x,t)) € С2+«Д+«/2(QtJ,i = ^2.

Более того, 0 < s(x,t) < 1, p2(x,t) > 0, e(x,t) >

0 в Qta.

3. Доказательство локальной разрешимости. При доказательстве сформулированной теоремы удобно использовать переменные Лагранжа [2]. Пусть y = y((,x,t) - решение задачи Коши: ddz = u(v,0, yl(=t = х. Положим £ = y((,x,t) |^=о и возьмем за новые переменные £ и t. Тогда s(i,t) = so(£)J(£,t), где J(£,t) -

o дв 1 д i s и \дв\

cip> so кмЩ]’

d s д

^(l — s)) + - ^(1 — s)v2) —

s d

—vi^ — s)) = o.

Поскольку

s d

v^ dt^1 — s))

sd o n ч ч s o, ,дщ

- soд£ 2 — s)vi) — sop2{1 — s)^t,

то последнее уравнение этой системы можно привести к виду

1 д 1 д

~sdi{{l — s^ + Т — s)v — vi))+

+-° Ж1 — sld£ = {i.

Используя уравнение неразрывности, полу-

^1 — б 1 д

1^—0 + То — ^ = 0-

Наконец, переходя от (£^) к массовым лагранжевым переменным (X, t) по правилу

5

б0(= йX, = / б0(п)^п е [0,1] и со-

о

хх

получим

ds

dt

о dvi

s 1^=°,

дх

o dv д { дщ\ д

pi Tit = ах1- p{s)s~ I “(p:

дх

дх

spc

oдв д i ki \дв\

^pi dt = ax^ax),

|(^s,^ft) = ^(^s,^ft|x),

(14)

(15)

(16) (17)

v

где

ф-е) = 1;м- к’’е) = двтг-

Разрешимость задачи (11), (12), (14)—(17) будет установлена с помощью теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке.

Теорема (Тихонова-Шаудера) [4]. Если

V - компактное выпуклое замкнутое множество

в

жает V в себя непрерывно в норме B, то на V имеется неподвижная точка.

Пусть s0(x,t), в0(x,t),p0(x,t) - некоторые положительные ограниченные и достаточно гладкие функции. Рассмотрим следующую линейную задачу для определения функции p(x,t):

jft{ a(so,0o)p) = b(so,0o)po§;D,

È U=°= È U=i= °> p(x,t) b=o= p°(x)-

(18)

Уравнение для p(x,t) является равномерно параболическим. Единственное решение задачи (18) удовлетворяет оценке

(И): H2+a,l+a/2,Qto < C1 (У b+a.fi), В КО-

ТОРОЙ постоянная C зависит от min s°(x,t),

x,t

min0o(x,t), minpdx,^^axs^x,^^ax0^x,t),

x,t x,t x,t x,t

ПШХp°(x, \sot \a,a/2,Qt0 ? \sox \a,a/2,Qto ?

\@ot\a,a/2,Qt0i \@ox\a,a/2,Qt0i \po\a,a/2,Qt0 ■

При исследовании разрешимости задачи

(11), (12), (14)—(17) большое значение имеют следующие утверждения.

Лемма 1. Если p(x,t) - классическое решение задачи (18), то p(x,t) > 0 в Qto.

Доказательство. В уравнении (18) сделаем замену p(x, t) = -z(x,t). Тогда

Положим

Положим

atz + azt = (bpoZx

d-0 (x, t) = max{z,0},

^0(х,Ь) |(=о= тах{—ро,0} = О,

а£(х,^ = г'-0 (х,^(|^0 (х,^ I2 + е)—/2.

Уравнение для функции г умножим на ае и результат проинтегрируем по П. Получим равенство

dt j a(\d-o) \2 + є)1/2dx+

+ j a^zae — (\d0 \2 + є)1/2)dx+ (19)

o

+є JpobzxzX0 (\z(0 \2 + є — /2dx = 0.

Тогда

A+(t) = {x є il\z(x,t) > 0},

A-(t) = {x є Q\d.x,t) < 0}.

і

I“‘{ z°-— ('^ °’ p + d 1A) dx =

o

j ad\z\2 + є)—^dx — d!2 j atdx,

A+(t)

A~( t)

1

J a(\z(0 \2 + є)1/2dx =

o

S о(м'2+є)1n,ь+є'n /adx

At

A~( t)

1 1 J a(\z(0 \2 + є)1/2 \t=o dx = Є/2 J a !t=o dx,

1

/ d\z\2 + d1/2dx > a\z\dx = / ad0dx.

A+(i) A+(t) °

Проинтегрировав равенство (19) по времени, получим

1 1 !aiiz?+c)i n dx+e)i 4adx+

t

+є / p0b\zX0 \2dxdr =

0 A+(t)

t

є f f aT(\z\2 + d—/2dxr+

0 A+(t)

1

+d/2 j aTdxdr + d/2 J a !t=o dx.

A~( t) °

Следовательно,

i i min a j d0 dx < J ad0 dx < d/2 j adx+

A~( t)

є

0

0

0

0

0

0

г 1 1

+Е1 /2 J J 1ат 1йхйт + е1 J а к=о йх.

0 0 0 Переходя к пределу при е ^0 получим, что (17) в виде г(0 = ^ а р > д демма доказана.

Лемма 2. Если р{х,Ь) - классическое решение задачи (18), то существует такое значение что для всех t < ^ в Qг справедлива оценка 0 < Ш!(1 + 6)— < р(х^) < Мх(1 + 6) < ж.

Доказательство. Уравнение (18), после умножения на (р(х^)) 1,1 > 1, можно представить в виде:

Лемма доказана.

Положим у(х,~Ь) = щ{х,Ь) — у0{х), р(х,~Ь) = р2{х^) —р0(х) и представим уравнения (14), (15),

д 1 dv dvo

dt s дх ^ дх ,

p oW = I (МФ {I) + £ (м(Ф d-£) —

— 7h(p + po + spc),

^(apl)t+(l—1)bpopl 2pl+ l—^atpl = (bpopl Xpx

d (a(s, e)p) + po Sti a(s,e)) =

dt

= U b(s,e)(p + po)ddpp

(20)

(21)

(22)

Тогда

1 d l dt

f l , l — 1 ,at, Г l ,

ap dx < —-—max l — l ap dx. J l x a J

Следовательно l - 1

Причем у{х,Ь) |^= у{х,Ь) |х=о= у{х,Ь) |х=1 = 0,

рМ |^0= || |ж=0= || |ж=1=0.

При построении оператора для задачи (11), (12), (14)—(17) следуем работе [5]. В качестве банахова пространства выберем пространство ^2+р,\+в/где в - любое число из отрезка (0, а), а е [0,1). Положим

y'(t) < l—^ max |—ly(t), y\t)= [(a1 /lpldx V= {(v(x,t),p(x,tj) € C+a’1+a/2(QtJ|

l x a J

y(t) < y(0)exp{l-^ f max| — d}.

l f x a

из

V |г=о= V |х=о= V |х=1 = 0, др др р |^_ дх |^_ дх |^^ ^

0 < Ш1 (1 + 6)— < р + р0 < Мг(1 + ^ < ж, (М1+а,(1+а)/2^0 , Щх+а,(\+а)/2&ь0) < К, (М2+а,(2+а)/2^Ьо , |р|2+ а,(2+а) / 2&^) < К + К },

где К - произвольная положительная постоянная, а положительная постоянная К будет указана позже.

Построим оператор Л, отображающий V в V.

, . , /г |а^ т ^ 1 , Г Пусть V, р € V. Определим функцию б Л х,Ь) из

условия t < ехр^ тах|а щт} <1 + 6, ^ ^ ^ <°\ > >

После предельного перехода при I ^ ж, получим

г

тахр(х^) < тахр0(х)ехр{ / тах | — йт}.

х х ] х а

0

Учитывая, что тахр0(х) < М и выбирая t

приходим к утверждению леммы об оценке сверху. Для получения оценки снизу уравнение (18) представим в виде (г(х,^ = 1/р(х,^)

■1(аг1)г+ (¡+1)Ьр0г1-2 гХ — ^-^-агх1 = (Ър0г1-1 х^х.

Откуда сначала получим неравенство 1 1

равенства 1

1

s^tr^x ^+1 dr*l:c’T}dT. (23)

Существует такое значение t2(m0,K), что при всех t < t2 справедливо неравенство

1 d l dt

/l l 1 1 at I f l

azldx < —;—max | — ^ azldx, l x a J

а затем и оценку 1

max —----------

x p х, t

< max —exp{ i max I — Idr) <

x p o х x a

0 < mo — S < so(x, t) < Mo + S < 1. (24)

Из (23) также получим (to < max(ti,t2))

|so UQte < С2{T,K1, |so|ajn , ^1+a,fi), (25)

1 + S |sox|aJQto < CKl)(l to | vxx UaqJ , (26)

\sot\a,Qto < C4(mo,Mo)\'vx\a,a^^Qto . (^7)

m

o

o

t

o

o

o

t

o

Используя 'д(х,^ и *0(х,^, найдем функцию в0(х,^ как решение задачи (здесь и далее предполагается, что начальные и граничные условия согласованы):

ар0д-к = и *0^80)^),

~дХ |х=о= ~дХ |х=1= о, (28)

Мх,^ |г=о= в0(х).

Из теории линейных равномерно параболических уравнений следует, что для фиксированной функции *^х^) е С1+аД+а/2^го) существует единственное решение задачи (28), причем верны оценки ([3]):

Ш1 < гшпв0(х) < 60(х,^ < тах 0о(х) < М\,

хх |Qо|a,a/2,Qto < С5,

|0о|2+ a,í+a/2,Qto < С6 о|а,а/2,QtoJrоx8оx\а,а/2,Qto где постоянные С5, С5 зависят от т0,М0 и не К

ные неравенства Ниренберга - Гальярдо [2] вида

^х^о^ < С|и|2+а,1+а/2^ Ма,а/2^, а = (3+2а) ,

|их|0^ < СМг+аД+а/г^Ма.а/^, Ь = д + 2а

и учитывая оценку (26), окончательно получим №о Ь+а,1+а/2&о < С т0, М0

(29)

+tP|vxx|Pа,а/2,QtJ, р = 3 + 2а.

Используя V(х,^, р(х,^, 80(х,^ и в0(х,^, найдем функцию р(х, t) как решение задачи:

ш( а(*о А)р) + р0^( ^*о,0о)) =

= £( ъ(*о,во) (р+гоЩР), (зо)

§х и=о= х=1= o, р(х,ь)^=0= о.

Уравнение для р(х,£) является равномерно параболическим. Единственное решение задачи (29) удовлетворяет, в силу леммы 2, неравенству т0(1 + 6)— < р(х,^ <

М0(1 + 6) при t < ^ и оценкам ([3]):

|p|а,а/2,Qto < С8) |p|2+а,l+а/2,Qto < Св(1 +

|р0|2+а,П + |воxpx|а,а/2,Qto + |Qг|а,а/2,Qto +

|P'Х80Х|а,a/2,Qto), в которых постоянная С зависит от т0, М0, т, М\, К и те зависит от К. Используя (29), получим

|р|2+а,l+а/2,Qto < СЮ^+ПОхх Ц,а/2Я0

p = 3 + 2а.

v х, t p х, t so х, t

v х, t

pi oi*,=d (Aso) sot) +

+ d (A(so) solx ) —

(31)

— ^(p+p^ sopc(sJ),

v |x=o= v |x=i = 0, v{x,t) |^^^ 0.

Единственное решение задачи (30) удовлетворяет оценкам ([3]): Ща1а/2^г <

C10) |v|2+ a,l+a/2,Qto < Clo(l + |v0|2+ a,Q +

^oxUa^Q^ + ^x^oxUa^QtJ, в которой ПОстоянная Cio зависит от mo, Mo, m±, Mi, K и не зависит от K .Следовательно,

),

|v|2+ a,l+a/2,Qto < Cll(Kl)(l + ^^xx ,

p а.

Без ограничения общности можно считать, что С < Сп и Cn < K + Ю/2. Тогда при to < (K+K)-1 получим ^2+ a,l+a./2,Qto < K + K2, |v|2+a,l+a/2,Qto < K1 + K2j T.e. OCTa-ется проверить условия |p|i+a,(l+a)/2,Qto < K,

|v|l+a,(l+a)/2,Qto < K‘

Интегрируя уравнения (30), (31) по времени, получим

|p|0,Qto < C12to, |v|0,Qto < C13to.

Затем, используя неравенство вида

|v|l+a,(l+a)/2,Qto < C^O-Qto ,

c= (1 + а)(2 + а)—,

получим, что существует достаточно малое зна-to K K

ВеДЛПВЫ ИСКОМЫе ОЦеНКИ |p|1+a,(l+a)/2,Qto < K) |v|l+a,(l+a)/2,Qto < K'

Таким образом, оператор Л отображает мно-

V to

пользуя полученные выше оценки, легко показать непрерывность оператора Л в норме пространства C2+в,1+в/2(Qto). Согласно теоре-

ме Тпхонова-Шаудера существует неподвижная v, p € V

ность решения доказывается стандартным образом. Теорема 1 доказана.

Библиографический список

1. Gard, S.K. Dynamics of gas - fluidized beds / S.К. Gard, J.W. Pritchett // Journal of Applied Phisics. - 1975. - V. 46, №10.

2. Антонцев, C.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С.Н. Антонцев, A.B. Кажихов, В.Н. Монахов // Новосибирск, 1983.

3. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа /

О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева // М., 1967.

4. Эдвардс, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардс. - М., 1969.

5. Kaliev, I.A. Well-posedness of a gas - solid transition problem / I.A. Kaliev, A.V. Kazhikhov // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. - 1999. - V. 1.