Некоторые свойства решений нелинейного параболического уравнения 2-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 2-го ПОРЯДКА

© 2010 г. Ал.Ф. Тедеев

Северо-Осетинский государственный университет, North Ossetian State University,

ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362015, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362015,

indep@nosu.ru indep@nosu.ru

Рассматривается асимптотическое поведение решений нелинейного параболического уравнения щ — div(um—1\Du\p—z Du) = 0 в полупространстве R х {t > 0}, при p = 1. Параметр m удовлетворяет условию m > 2 и 2 __L<m< 2-

N

Ключевые слова: локальное решение, решение задачи Коши, оценка сверху, поведение решения, начальная функция, итерация.

We study the large and local time asymptotic behavior of solutions of the non-liner parabolic equation щ — div(um1 \ Du \p-z Du) = 0 in

Rn x{t > 0}, when p = 1. The exponent m satisfy m > 2 and 2 — _L < m < 2.

' N

Keywords local solution, solution of Caushy problem, asymptotic estimate, behavior of solution, initial datum, iteration.

Пусть х = () е , N > 1, ^ х{ > 0} = 0, В р = {х :| х |< р} - шар с центром в точке 0 и радиусом р ; Оы = (их ,...цх ) - градиент функции ы = ы(х,Г),

N

lDUl=i IS

Рассмотрим нелинейное параболическое уравнение вида

N д i i

ut -:N—(um-1\Du\

j=1 dxJ

p-2

uxj ) = 0 •

(1)

2N

N + 1

< p < 2 в [1] доказано свойство локальной ог-

loc

i}^ (RN) , u(x,t) ^ uo (x) при t ^ 0

uo e,

}1oc (Rn ) и установлена оценка

N (

||u|| = sup u(x, t) < ct k

P xeBp

J uodx

B V zp

k f t J

+ c

p

2-P

(2)

для Vt > 0, где к = N(p - 2) + p - постоянная Ба-ренблата.

В этой же работе доказано, что при p =

2 N

N д

ut - 2 —

j=1дхj

m-1

\ Du \

= 0 •

(3)

Если дополнительно

ы(х,^ ^ ы0(х) в ¿1ос ^) , Г ^ 0 (4)

то и(х,/) считаем решением задачи Коши (3), (4) с начальной функцией ыо (х). В дальнейшем существование локального решения в Q и решения задачи Коши будем предполагать заранее.

Пусть t > 0 и а е (0,1) фиксированы. Рассмотрим 2

последовательности: рп =р(1 + а2~"), tn =1 -а2-п).

2

Положим B„ = Bn

n pn

При т = 1 оно переходит в уравнение упругой фильтрации, при р = 2 - пористой среды.

Для уравнения упругой фильтрации в случае

0п = Вп х (^,о, п = 0,1,2,... . Пусть дп (х,г) - неотрицательная гладкая срезающая функция в 0п , равная единице в 0п+1, и такая, что

0 < (дп )т<

п+2

\Dgn \ <

п+1

раниченности решения задачи Коши в классе функ-

1 p 1 ции и eW, 'p (Q), ut e (Q), с начальной функцией

^ 0 в

or op

Рассмотрим возрастающую последовательность

к

kn = к--, n = 0,1,2,... где к > 0 произвольно.

Теорема 1. Пусть и(x,t) - локальное решение уравнения (3). Тогда для всех p > 0, t > 0 имеют место неравенства:

а) ||u|| „ = sup u(x,t) <

11 '4Q„ x.

xeQm

<7-^ JJ u(x,^)dxd^ + Y\p I

p Q0 V t У

1

p J m - 2

при m > 2;

N +1

свойство локальной ограниченности решения задачи Коши нарушается. Аналогичные результаты получены в [2] для уравнения (1). Для т + р > 3, р > 1 получены оценки, устанавливающие локальную ограниченность решения при локальной интегрируемости начальной функции и0 . Причем оценки имеют как локальный, так и глобальный характер по времени.

Возникает вопрос, сохраняются ли вышеприведенные свойства решения при р = 1 и при каких т имеют место соотношения вида (2).

Основные результаты работы

При р = 1 уравнение (1) перепишется в виде

б) ||u|| = sup u(x,t) <

/-1 xeQm

N ( <7 N (m - 2)+1

Л

1

JJ u( x,r)dxdr

V Q0

N (m - 2)+1 f 1J2-m

+Ь J

при 2--< т < 2.

N

Здесь е»=Врх[^t,о> = Вра+а)[1 t(l-а),*),

у - несущественная константа, зависящая только от т и N.

Теорема 2. Если ы(х,t) - решение задачи Коши с начальной функцией ы0( х) е LUoc(RN), то для т < 2, t > 0, р> 0 имеет место оценка

1

(

Введем понятие локального решения уравнения (3). Пусть W~21(RN) - пространство Соболева, получающееся как пополнение C0o(RN) в норме ).

Неотрицательную измеримую функцию ы(х, ^ будем называть локальным решением уравнения (3) в 0 = RN х{ > 0}, если

т-1 Оы ~1 N

sup Ju(x,x)dx < J uq(x)dx + 7

0<T<tB

p

2p

t

\

N (m - 2)+1

P

2-m

Доказательство теоремы 1.

Пусть (u - kn ) + =

u - kn, i'öe u > kn

0

i'öe u < k„

Умножим обе части равенства (3) на (и -kn)+gn и проинтегрируем по Qn r = Bn х (tn ,r), r < t,

\ Du \

e }2,loc (0,OT;i~2,loc (rN)), ut e }loc\Q) n = 0,1,2,... Получим JJu¥(u -kn)+gndxdf +

и имеет место равенство (3) почти всюду.

Qn

1

У

1

u

x

+ II um 1 D ■ D[(u -kn)+çn]dxdr = 0 или

Qn

| Du |

(

1 T i - T -i --II [(u - kn )+]fÇndxdr + Л um 11 D(u - kn )+ ÇndxdT +

21 в

Y

IIl D[(u-kn)mçn] | dxdt

vQn j

1—a

T

ту..

+ I I ит-1(и - кп)+-БдСхСт = 0.

г В I Пи I

Последнее равенство после интегрирования по частям примет вид

1 2 1

- I(u - kn) Ç '

2 Bn (t) mQ„T

- I (u - kn )2Çndx + - II | D[(u - kn )mçn ]| dxdT<

m2

n+1

,n+1

<-II (u - kn ) dxdT +--II (u - kn )mdxdT +

Ol

Qn

Op Qn

+-Ц um-1(u - kn) dxdT.

°P Qn +

После элементарных преобразований получим оценку 1 ? 1

- J (u - kn ) ç„dx + — jj | D[(u - kn )mçn ]| dxdT <

■b„ (t)

m

Qn

Í „„r->n+1 „лп+2 , A

m2 и и m2 и цт-1

u ^ +

Ида.

Ol 11 llœ'Q0 op

u

=,Q(

jj (u - kn )+ dxdT .(5)

Qn

В силу условия теоремы 1 можно считать \U\\m q (в противном случае нечего доказывать). Поэтому из (5) имеем

1

1

- I (u - KYçndx + - II | D[( u - kn )mçn ]^т<

■b„ (t)

. m2n+\ um-1

mQ

(u - kn) dxdT .

op 11 Q n +

(6)

II [(u - kn+1) +çm ]mqdxdT

Qn

mq

x| meas(Qn n {u > kn+1}) | mq =

1

j

mq-1

f

Y

II [(u - kn+1)mçn]qdxdT

Qn

mq

mq-1

|meas (Qn n{u > kn+1})) mq <

f

Y

II (u - kn )m ÇndxdT

Qn

x( meas (Qn n{u > kn+J)j

x

mq-1 mq

Из последнего неравенства на основании (6) получим

JJ (u - kn+1) + çnm dxd t <

Qn

(m22n+31 m_x ^

Wn II (u - kn) dxdT

op ■■IU'Qo Qn

II (u - kn )m ÇndxdT

Qn

1-a

:( meas (Qn n {m > kn+11}) |

mq-1

mq

(7)

Для интеграла jj (u - kn)+ dxdT имеем оценку

Qn

jj (u - kn)+ dxdT >

Qn

> jj (u - kn )+ dxdT> (kn+1 - kn ) x

Qn >kn+1}

x meas (Qn {u > kn+i}) . Отсюда

2n+l

meas(Qn n>{u > kn+i}) <-jj (u -kn)+ dxdT .

k

Применим к интегралу JJ (u - kn+i )+ çjm dxdt нера-

Qn

венство Гельдера, а затем неравенство Соболева-

Гальярдо-Ниринберга

j_

JJ (u -kn+i)+çmdxdT <

Qn

1

( 1 V

Qn

Используя последнее неравенство, из (7) будем иметь JJ (u - kn+1)+ÇnmdxdT<

Qn

( 2 n+3

'НТп II(u - kn) dxdT

OP ■■"-'Q0 Q„

II (u - kn)m ÇndxdT

Qn

1-a

-II (u - kn )+ dxdt

k Q

V n

mq-1 mq

J

2a a , _ mq-1

a (n+3)—+(n+1)- y

< m m 2

(

m mq m

-a --1 ..(1--)

(op) mkmq u

=.Qo

II (u - kn)+ÇndxdT

Qn

n1+-(1-i) m q

a

<

x

m

x

+

a

<

x

m

x

x

a

<

x

<

x

m

x

x

<

x

x

m

x

x

Полученное неравенство можно представить в виде

Ц (u -kn+1) + dxdT < cbn х

Qn

\1+г

Ц (u - kn) + dxdr

Qn

1a 3a mq-1

, n = 0,1,1,..

^-1.. ..(1--)

где с = mm 1 m mq (ap) mkmq U m

II llOT,Q0

a ^ mq-1

1 L 1

1

b = 2m mq > 1, s = -\l--l, а=\1--lN.

m l q) l q) В силу произвольности k выберем его удовлетворяющим условию

2

JJ udxdт = c eb е . (8)

Qn

Тогда из [3, лемма 5.6] получим соотношение lim JJ (u - kn)+ dxdT = 0, из которого следует, что

IML Qao < k, где k определяется из условия (8), т.е.

(m- 1)q

aq /

k = 44X (aP) mq-1

(m-1)q

Л

Ц udxdr

v Qo

q-1

mq-1

a f

4 n - 44 mq-1 (ap) mq-1

II ' II Над,Q0 v r '

q-1

mq-1

JJ udxd т

Здесь а и q определяются из неравенства Соболе-

ва-Гальярдо-Ниринберга q eil, N |, а = 11 -1 N.

l N -1) \ q)

Применяя неравенство Юнга к (9), получим

"I4Q„ 0 <4< 1.

- 44х Q + r(S)(ap) íf udxdr ,

,Qo Qo

Рассмотрим две последовательности:

pn =p|#+Z 1-i=1

и tn = — n 1

1 - Z l-

no(£) = min\#+Z2-i > 1|, 0 <#< 1. n l i=1

Положим с = 2-(n+1}, Qn = (tn, t) ■ БРп n > no(4).

Очевидно Qn с Qn+X.

Напишем (10) для Qn и Qn+1, с = 2~(n+1) .

где

|leQ - 44^ +7(ö)1Nn p~N J udxdr .

Qn+1

Из последнего неравенства получим оценку

f n-1 ^

4 - зЧщ - +

1 "x,Qm " "«,Qm +n

Выбирая 4 =

42Nno Z (41N)1 j=o

ff 4dxd r .

J Qno +n

r^Nn o + N+1

и переходя к пределу при

n ^"Х, будем иметь

14| - 4P N íí 4(x,r)dxdr. (11)

",Qno ä»

Так как t <t, p >p, то с Q , Q^ с Qo

(й> i-no).

Следовательно, ||u|| 0 < JP N JJ u(x,T)dxdT .

Qo

Неравенство (11) получено при условии

1

II ||m-2 . p и и fp|m-2

u „ > —, или u >\ — l

II ll^,Qo t " "™,Q0 l t

1

Если 114 ^ - I P 1m 1, то

°,Qo V t J_

4L с -|P1 m=1

(12)

^ t

Из (11) и (12) для всех р и t окончательно имеем

1

Цы|| _ <ур~N Цu(x,т)dxdт +\Р\т 2, что и требо-00 ^ t -> валось доказать.

Пункт б) теоремы 1 доказывается по той же схеме.

тт /сч II цт-2 р

Из соотношения (5) при условии ||ы||^ ^ < — получим

1 9 1

. (9) - I (ы - kn)2gndx + - Я|О[(ы - kn)mgn]|dxdт<

■Bn (r)

m

Qn

ml

n+1

< —-—14 ^ Q JJ (u - kn)+ dxdT .

На основании (13) для интеграла 1

(13)

(10) JJ (u - kn+1)+ gm1 dxd т имеет место неравенство

Qn

íí (4 - k„+1)+gmdxdr<

Qn

fm1"+3

4 „ II (4

at 11 "®,Qo

íí (4 - kn )+ dxd r

1-a

для

íí (4 - kn )'mg„dxdT

Qn

mq-1

x|meas (Qn > kn+1 })| mq .

Используя оценку для выражения

, smq-l

\meas(Qn п{м >kn+j})j , будем иметь

1

Jí (4 - kn+1)+gm dxdr-

Qn

1a (n+3)a+(n+1)mq_1 a a

- mm 1 m mq a mt mk mq

x

n Q

n

n

a

m

-

x

n

Q

n

4

1

X

a+(m-1)(1-a) /

Ц (u - kn)+ dxdr

.Qn

Л1+-(1-m q

Полученное неравенство можно представить в виде

ч1+г

Ц (u -kn+1)+ dxdr < cbr

Qn+1

JJ (u - kn) + dxdr

Qn

где

2a 3a mq-1 a a l-mq a+(m-1)(1-a)

c = m m 2 m mq a mt mk mq

a mq-1

a+ 1I 1

b = 2 m mq > 1, e= -|1 - 1

ll«,Q0

m V q

1 1

Если к выбрано так, чтобы jj udxdz = c sb E , то

Qo

на основании [3, лемма 5.6] получим соотношение

lim jj (u - kn )dxdr = 0.

Qn

Следовательно,

INI ^k. (14)

При этом для k имеем равенство

q[a + (m-1)(1-a)] mq-1

»,Qo x

q-1

aq aq

k = r(a, m, q)a mq-1t mq-1 |u

f

\

mq-1

|| иСхС Т

во у

Применяя неравенство Юнга к правой части (14) „ 1

при 2 - — < т < 2 , получим

_ N _ N

и п <у(б)а~^т-2)+1 Г~N(т-2)+1 х II II®,в® >

(

\

1

N (m - 2)+1

+ ^ML q Для некоторого 0<5<1

|| иСхСт

в

Из последнего неравенства, применяя уже известную процедуру, использованную при доказательстве

N

пункта а), будем иметь ||и|| _ < у t N(т-2)+1 х

и и®,в®

Л

1

N (m - 2)+1

N

U п <у t N(m-2)+1 11 !4Q„

N(m-2)+^ It t_I 2-

т T _i Du • Dc J j utg(x)dxdt +J J um 1-- dxdt = 0.

0 B(1+a)p 0 B(1+a)p \Du \

Отсюда J u(x,x)g(x)dx — B(1+a)p

Yx -1

— J u0(x)g(x)dx--J Jum dxdr < 0.

B(1+a)p P0 B(1+a)p

Пользуясь определением функции c(x) для 0 < т<t, получим

Ут -1

sup Ju(x,T)dx < Ju0(x)dx + — J Jum dxdT.

0<T<t Bp B2p p 0 B(1+CT)p

Применяя неравенство Гельдера к последнему интегралу правой части, будем иметь sup Ju(x,T)dx < Ju0(x)dx +

0<T<tB„

+ £ p

J J udxdr 0 B(1+a)p у

?2p m-1

(t •pN )2-m или

sup Ju(x,r)dx < JUo(x)dx +

0<r<t B

p

2p

+ r-

t

2 - m I

p

N (m - 2)+1

\ m-1

J J udxdr

V 0 B(1+a)p у

< Ju0(x)dx + r-

t

2p

p

N (m-2)+1

^ Л

sup J u( x,r)dx 0<r<t B(1+a)p

m -1

Применяя неравенство Юнга ко 2-му слагаемому правой части (15), получим

sup Ju(x,T)dx < Ju0(x)dx +

0<r<t Bp

+ r($) -

Vp

0 <S< 1.

2p

t

N (m-2)+1

2-m

+ £ sup J u(x,r)dx,

0<r<tB(1+CT)p

По известной процедуре окончательно будем

иметь

(

sup Ju(x,r)dx < Ju0(x)dx + r 0<T<tBn B-

t

N (m - 2)+1

p

2-m

JJ udxd r

Q0 j

При всех значениях p и t окончательно получим

-р В2р Теорема 2 доказана.

Приведем некоторые следствия из теорем 1, 2. Следствие 1. Если и = и( х, t) - локальное решение уравнения (3), то существует такое То > 0, зависящее только от т и N что при любых т > 2, р > 0 и

1

р | т-2

0 < t < 70 имеет место оценка u

b„

<r

t

|| иСхС г

V во

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2.

Умножим уравнение (3) на $(х) и проинтегрируем по области {(0,г)хВ(1+Ст)р}, г<t, 0<а< 1.

Следствие 2. Если и = и( х, t) - локальное решение уравнения (3), то для любого р > 0 существует такое

tо = tо (р) > 0, что для всех t > ^ и 2 - — < т < 2

N

имеет место оценка u _ < r

11 и®, B„

t I 2-m p

m

X u

u

t

<

1

1

X

1

1

Следствие 3. Если и = и(х,t) - решение задачи Коши с начальной функцией ио (х), 2 - -1 < т < 2, то

для любого р > 0, t > 0 имеет место неравенство

N-1

u < r t N(m-2)+1

и ik Bp '

\

J u0( x)dx

V B4p

_1_

N (m - 2)+1

+ r

tN(m - 2)+1 + 1

Л _ _J_

t I 2-m p

cp\t)g (p) -ym-1(t) S

N | , x.^

g ГТ Ix I

j=1

= 0 или

и(х, t) = (N(m - 2) +1)2—т 2 т .

Отсюда следует, что оценки в следствиях 1 и 2 не-улучшаемы. При т = 2 уравнение (3) имеет частное

решение вида и(х,0 = еХ(+|х|) | х |-(N-1.

Следовательно, при т = 2 локальное решение уравнения (3) не может удовлетворять ни одному из неравенств, полученных выше.

Из теоремы 1 при 2 - — < т < 2, в частности, сле-

N

Доказательство следствий 1, 2 следует из теоремы 1 и метода итерации.

Следствие 3 вытекает из теорем 1, 2.

Неулучшаемость полученных неравенств

Построим некоторые специальные решения уравнения (3). Рассмотрим решения, представимые в виде и(х,t) = р^) • §(| х |), положив р=|х |. Подставляя в уравнение значения производных и градиента, получим

дует, что

N

sup u(x, t) <rt N(m-2)+1

|x|=p

Л

JJ u( x,z)dxdz

Q0

1

N (m-2)+1

( Л

+ r

vpj

2 - m

т.е. любое локальное решение при 2--< т < 2 при-

N

нимает конечные значения для всех х Ф 0 и t Ф 0 . Это свойство локального решения нарушается при

т = 2 - — . В этом случае уравнение (3) имеет ло-

0 (} (р) - рт-1 (о( (т -1) Ят-2 + Ят-1 ^ ^ = 0.

Отсюда = (т\р+ gm—2 —1.

<рт~х(1) р р

Обозначим правую часть через 2 . Тогда для определения <р и g получаем 2 уравнения:

Ср о т- / -14 „т—3 . „т-2 N -1 о

— = Хр (t), (т -1)£ gp+ g -= 2.

С р

Интегрируя каждое из них, для <) и g(р) получим 1

значения р($) = ((2 - т)2) 2-т ,

1

, ч ( 2(т - 2) ^ т-2

g р) = 1 ТГ,-

V N(т - 2) +1

Следовательно,

N

кальное решение вида u( x, t) =

1 - N

N

\N

N ) ^ \ x \ln\ x \) Если \ x \= 1, t > 0 , то u(x,t) = . Таким образом, функция u(x, t) не может удовлетворять оценке б) теоремы 1.

Литература

1. Di Benedetto E., Herrero M.A. Non-negative solutions of

the evolution p-Laplasian Equation. Initial traces and Cauchy problem when 1<p<2 // Arch. Rat. Mech. Anal. 1990. Vol. 111. P. 225-290.

2. Manfredi J.J., Vespri V. Large time behavior of solutions to a

class of doubly nonlinear parabolic equations // Electronic J. of Differential Equations. 1994. № 2. P. 1-17.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н.

Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1967. 736 с.

X

X

у

+

1

t

Поступила в редакцию

5 августа 2009 г.