CC BY
10Математика и математическое моделирование. 2020. MäTCMäTüKä МЯТСМЙТИЧССКОС
№ 01. С. 1 - 15.
DOI: 10.24108/mathm.0120.0000213 МОДСЛИрОВсИНИС
i^JÜ Сетевое научное издание
© В.Ш Ройтенберг, 2020 http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
УДК 517.925
Локальные бифуркации обратимых кусочно-
гладких динамических систем на плоскости
1 *
Ройтенберг В.Ш. '
1 Ярославский государственный технический университет, Ярославль, Россия 4ioitenb erg@mail ju
Существует довольно много работ, в которых рассматриваются локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Исследовались также локальные бифуркации гладких векторных полей на плоскости, обратимых относительно инволюции. В настоящей работе вводятся обратимые динамические системы, заданные кусочно-гладкими векторными полями на координатной плоскости (х, у) , для которых линия разрыва у = 0 совпадает с множеством неподвижных точек инволюции системы. Рассматриваются типичные однопараметрические возмущения такого векторного поля. Описаны бифуркации особой точки О векторного поля, лежащей на этой линии в двух случаях. В первом случае точка О - грубое седло гладких векторных полей, совпадающих с кусочно-гладким векторным полем в полуплоскостях у > 0 и у < 0. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку с четырьмя гиперболическими секторами. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, квазицентр и два седла, сепаратрисы которого образуют простой замкнутый контур, ограничивающий ячейку из замкнутых траекторий. Во втором случае О - грубый узел соответствующих векторных полей. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку, а все остальные траектории замкнуты. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, два узла и квазиседло, две сепаратрисы которого идут в узлы.
Ключевые слова: обратимая динамическая система, кусочно-гладкое векторное поле на плоскости, особая точка, бифуркация
Представлена в редакцию: 15.01.2020, исправлена 29.01.2020
Введение
Обратимые динамические системы используются в качестве математических моделей различных процессов, в которых наблюдается симметрия. Теории гладких обратимых систем посвящено много работ, например, [1-7].
Под гладкой обратимой (реверсивной) динамической системой, понимают динамическую систему, заданную гладким векторным полем X на фазовом пространстве М, та-
ким, что для некоторого С" -диффеоморфизма Я: М ^М, являющегося инволюцией: Я(Я(х)) = х , выполняется равенство dЯ(X(х)) = -X(Я(х)) [6]. Если х = g(г) - траектория поля X , то х = Я^(-г)) - также траектория.
Мы будем рассматривать динамические системы, заданные кусочно-гладким векторным полем на плоскости в окрестности неподвижной точки инволюции. Поскольку рассмотрение локальное, то можно считать, что С" -координаты (х1, х2) в окрестности точки
О выбраны так, чтобы О имела нулевые координаты, а инволюция Я в этих координатах была линейным отображением [6]. Будем также предполагать, что множество неподвижных точек Я задается уравнением х2 = 0. Тогда Я : (х1, х2) а (х1, -х2) .
Пусть М - окрестность точки О, заданная неравенством х2 + х2 < 1. Пусть Б = (М+,М-) - разбиение М на части М+ и М-, определяемые, соответственно, неравенствами, х2 > 0 и х2 < 0, а X+ и X- - векторные поля на М класса Сг (г > 2 ). Кусочно-гладким векторным полем X = (X+, X-) на М с разбиением Б назовем класс всех (вообще говоря, разрывных в точках линии М0 : х2 = 0 ) векторных полей X на М , таких, что X(х, х2) = X+ (х, х2) при х2 > 0 и X(х, х ) = X- (х, х2) при х2 < 0 . Траектории поля X еХГ (М, Б) будем определять согласно Филиппову [8], как траектории дифференциального включения х Е /(х), где %(хг,х2) = {Х(х,х2)}, если х2 Ф 0, и %(хх, х2) - выпуклая оболочка векторов X+ (х, х2) и X- (х, х2), если х2 = 0.
Локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости изучались в значительном числе работ, в частности, в [8-16].
Векторное поле X = (X+, X- ) е Хг (М, Б) назовем обратимым (относительно инволюции Я ), если
X—х, х) = -ЯX+(Я(х, х2)) при всех х2 < 0. (1)
Множество всех таких векторных полей обозначим Хгя (М, Б). Траектории векторного поля X = (X+, X-) еХГ (М, Б) либо совпадают с траекториями векторных полей X* |м+ и X" |м_ , либо «сшиваются» из дуг траекторий этих векторных полей. Будем говорить, что для поля X = (X+, X- ) еХгк (М, Б) точка = (х°,0) - особая точка, если вектор X+ (х°,0), а в силу (1) и вектор X- (х0,0), касается линии разрыва М 0, и обыкновенная точка, если вектор X+ (х10,0), а потому и вектор X- (х°,0), трансверсален М 0. В обыкновенных точках линии М0 траектория продолжается единственным образом, как при возрастании, так и при убывании времени, а в особых точках М0 траектория может продолжаться не единственным способом.
Наша цель - описать некоторые типичные бифуркации особых точек, лежащих на линии М0 : х2 = 0. Заметим, что типичные бифуркации особой точки гладкой обратимой ди-
намической системы, расположенной на линии неподвижных точек инволюции Я, рассматривались в работах [4 - 6].
1. Особые точки на линии разрыва
Пусть Х± , х2 ) = (р (х, х2 ), Р2± (X, х2 )). Предположим, что
Р+ (х1°,0) = 0. (2)
Тогда точка х0 = (х°,0) - особая точка векторного поля X . При
р+ (х0, °) • эр; (х°, °) / ах > °. (3)
точку х0 будем называть квазиседлом. Из (1) - (3) следует, что фазовый портрет в некоторой окрестности квазиседла х0 имеет вид, изображенный на рис. 1а. Через точку х0 проходят траектории поля и Ь векторных полей Х+ |м+ и X" |м_ , касающиеся в этой точке линии М0 : х2 = 0 и являющимися дугами траекторий поля X . Положительные (отрицательные) полутраектории траекторий и Ь , начинающиеся в х0, будем называть выходящими (входящими) сепаратрисами квазиседла х0. При
Р+(х°,х2°)• ЭР2+(х°,х°)/дх, < 0 (4)
особую точку х0 назовем квазицентром. Из (1), (2) и (4) следует, что х0 является траекторией поля X, а все остальные траектории, проходящие через точки некоторой окрестности х0, являются замкнутыми (рис. 1б).
Нетрудно убедиться, что особая точка квазиседло (квазицентр) является грубой относительно возмущений поля X в пространстве Хгк (М, П): найдется такая ее окрестность и(х0) , что любое векторное поле X = (Х+, Х~) £ Х^(М, £), где векторные поля Х± достаточно близки к векторным полям X± в С1 -топологии, будет иметь в и(х0) единственную особую точку х0 также являющейся квазиседлом (квазицентром).
Ъ)
Рис. 1. Особые точки: а) квазиседло, Ь) квазицентр
Будем говорить, что особая точка О = (0,0) поля X, имеет тип С (к = 1,2 ), если Р+ (0,0) = Р2+ (0,0) = 0, ЭР+ (0,0) / дх ^ 0 и выполняется одно из следующих условий.
( С ) Матрица ( дPi + (0,0)/ дх;) имеет действительные собственные значения противоположных знаков.
( С ) Матрица ( дPi + (0,0)/ дх.) имеет различные действительные собственные значения \ и Л2 одного знака.
2. Бифуркации особых точек
Рассмотрим семейство векторных полей Xe = (X*, X- ) еХгк (М, Б) , где ее (-е0 ,е0) . Пусть XI(х,х2) = (Р*(х,х2,е), Р2(х, х2,е)), где Р^ (i = 1,2 ) - Сг -функции на М х (-е0 ,е0) , г > 2 . Предположим, что точка О = (0,0) является особой точкой поля X0 и имеет тип Ск, к = 1,2 . Тогда Р+ (0,0,0) = 0, Р2+ (0,0,0) = 0, А := дРг + (0,0,0)/ дх}) Ф 0. По теореме о неявной функции найдутся такие число ех е (0, е0 ] и окрестность V (О) = {(х, х2): |х| |х2| <£} ^ М точки О, что для любого ее (-е ,е ) в V существует единственное решение (х1, х2) = (£(е), /(е)) системы Р+(х, х2,е) = Р2+(х, х2,е) = 0; при
этом £(■), /(■) е Сг, £(0) = /(0) = 0, i = 1,2,
/'(0) = А-1[(дР2+ (0,0,0) / дх)дР+ (0,0,0) / де - дР/ (0,0,0) / дх)дР2+ (0,0,0) / де] . (5)
Теорема 1. Пусть особая точка О поля X0 имеет тип С , а /'(0) Ф 0. Тогда существуют окрестность V (О) точки О и число ее (0,е ] такие, что имеют место следующие утверждения:
1) Поле X0 имеет в V (О) единственную особую точку О. Существуют две траектории, со-предельные (а -предельные) к О, и выходящие из V(О) при убывании (возрастании) времени (рис.2б). Все остальные траектории поля X0, начинающиеся в точках
V (О), выходят из V (О) и при возрастании и при убывании времени.
2) При е е (-е,е), /'(0)е < 0 поле Xs имеет в V(О) единственную особую точку -квазиседло (рис 2а). Все траектории поля X0, начинающиеся в точках V (О), выходят из
V (О) и при возрастании и при убывании времени.
3) При е е (-е,е), /'(0)е > 0 поле Xs имеет в V(О) особую точку - квазицентр и два грубых седла, четыре сепаратрисы которых лежат в V(О), а их замыкания образуют контур, ограничивающий вместе с квазицентром ячейку из замкнутых траекторий (рис. 2в). Все остальные траектории поля XíГ, начинающиеся в точках V(О), выходят из
V (О) и при возрастании и при убывании времени.
а) /Ще < 0
б) е = 0
в) /'(0)е> 0
Рис. 2. Бифуркации особой точки типа С1
Доказательство. В точках линии М0 Р2+ (х,0,е) = Р2 (х,0,е). Без ограничения общности можно считать, что координаты (х, х) выбраны так, что дР± (0)/ дх1 > 0. Так как Р± (0) = 0, то из теоремы о неявной функции следует, что число 8 можно считать выбранным так, что существуют число е2 е (0, ех ], Сг -функция <рх : (_е2, е2) ^ (_8,8), такие, что
У(х,е) е (_8,8) х (_е2,е2) Р± (х,0,е) = Б§д(х _щ(е)), (6)
^ (е) = _ (дР+ (0,0,0) / дх )_1(дР2+ (0,0,0) / де) е + о(е). (7)
Используя (7) получаем Р+ (и(е),0,е) =
= [(дР2+ (0,0,0) / дх )др+ (0,0,0) / де _ др+ (0,0,0) / дх )дР+ (0,0,0) / де] (дР2+ (0,0,0) / дх)_' е + о(е). Ввиду условия С А < 0. Поэтому из (5) и (8) следует, что найдется такое ее (0^],
что
Уее (_е2,е2) ввп Р? (^(е),0,е) = _ 88л[/'(0)е]. (9)
Будем также считать, что е выбрано так, что
Уе е (_е2,е2) sgn/(е) = sgn[/'(0)е] . (10)
Из (6) и (9) следует, что при /'(0)е < 0 (/'(0)е > 0) на дуге М0 пу(О) существует единственная особая точка £0 (е) = (^ (е), 0); она является квазиседлом (квазицентром). Ввиду (10) в у (О) при /'(0)е < 0 нет особых точек, отличных от квазиседла £0 (е), а при /'(0)е > 0 кроме квазицентра £0 (е), есть особая точка (е) = (^ (е), /(е)) и особая точка (е) = (£(е), _ / (е)).
Пусть е е (_е, е), /'(0)е > 0. Мы можем считать е выбранным столь малым, что £± (е) является грубым седлом векторного поля X±e , а его устойчивое (неустойчивое) инвариантное многообразие Ж" (£± (е)) (Ж" (£± (е)) ) Сг _ -гладко зависит от е [17, 18]. Так как дР2+ (0)/ дх > 0, £+ (0) = О, то Ж" (О) и Ж" (О) трансверсально пересекают М0 в точке О. Пусть У(О):= {(х, х2): |х| <8, |х2| <8}, где 80 е (0,8) . Можно считать, что число 80 выбрано столь малым, что Ж" (О) и Ж" (О) также трансверсально пересекают дуги Т±: х = ±80, _8 < х < 8 . Поэтому число е можно выбрать так, что при е е (_е, е) /'(0)е > 0 Ж" (£+ (е)) пересекает М0 и Т+ трансверсально соответственно в точках N(е) = (хГ(е),0)еУ(О), Ыг(0) = О, и т;(е) = (&(е),80), а Ж"(Б+ (е)) пересекает М0 и Т+ трансверсально соответственно в точках N (е) = (х[ (е),0) е У (О), N (0) = О и Т+ (е) = (е),80). Тогда Ж" (£_ (е)) трансверсально пересекает М0 и Т соответственно в точках N (е) и Т_ (е) = (е), _80), а Ж" (£_ (е)) трансверсально пересекает М0 и Т_ соответственно в точках N (е) и Т (е) = (£/ (е), _80).
Пусть f '(0)s > 0. Ввиду (6) x[(s) <((s) < x[{s), ^(s) <((s) <£[(s) . В области G+ в M+ с границей, составленной из дуг 5+ (е) Nr (е) и 5+ (е) Nt (е) инвариантных многообразий и дуги Nt(е)Nr(е) с М0, нет особых точек, а потому и замкнутых траекторий поля X+
. Поэтому положительная и отрицательная полутраектория поля X+ |м+ , начинающаяся в
любой точке G, пересекает дугу N i(X)Nr(X). Тем самым, через каждую точку области G с V (O), ограниченной сепаратрисным контуром, составленным из дуг 5+ (е) Nr (е),и S+ (е)Ni(е), 5_(е)Nr(е) и 5_(е)Ni(е), за исключением квазицентра S0(s), проходит замкнутая траектория поля X .
Множество V(O) \ G локально инвариантно для векторного поля Xs. Оно разбивается дугами сепаратрис S ±(е)Ti±(е)\S± (е) и S ±(е)T-±'-(е)\S± (е) седел S±(s) на четырех связные компоненты, являющимися односвязными множествами. Поскольку особых точек поля Xs, в V(O)\ G нет, то поле не имеет полутраекторий, целиком им принадлежащих. Поэтому все траектории Xe, начинающиеся в V (O)\ G, выходят из V (O), как при возрастании, так и при убывании времени.
Случай s = 0 рассматривается аналогично, если заменить G на точку O. Рассмотрим случай se (-s,s), f '(0)s < 0. Тогда квазиседло S0 (s) - единственная
особая точка поля Xs в V(O), а векторное поле X +|м+ (X"|м- ) не имеет в M +oV(O) (
V(O) оM- ) особых точек и замкнутых траекторий.
Если положительная полутраектория поля X+|м+ (X"|M_ ), начинающаяся в точке
S0 (s) не в^1ходит из V(O) в точках, принадлежащих intM + (intM- ), то она кончается в точке N(s) eM0 \S0(s), причем в точках дуги N(е)S0(е) с М0 поле направлено из M + ( M~ ). Тогда отрицательная полутраектория поля X+|M+ (X"|M- ), начинающаяся в точке
S0 (s), не в^гходит из M + oV (O) ( V (O) о M- ), что невозможно. Поэтому обе выходящие сепаратрисы квазиседла S0 (s) покидают V (O). Аналогично получаем, что и обе входящие сепаратрисы S0 (s) покидают V(O).
Пусть теперь L - траектория поля Xe, начинающаяся в точке V(O) \ S0 (s) . Тогда она либо а) не пересекает M 0, либо б) пересекает M 0 в единственной точке N (s), либо в) пересекает M0 в двух точках. В случае а) L выходит из V(O) как при убывании, так и при возрастании времени. В случае б) L содержит L+^ R(L+), где L+ - или положительная или отрицательная полутраектория поля X+ |м+ , начинающаяся в точке N(s) и выходящая из V(O). Но тогда R(L+) - соответственно отрицательная (положительная) полутра-
ектория поля X начинающаяся в точке N(s) и выходящая из V(O). Поэтому L выходит из V(O) и при убывании и при возрастании времени. В случае в) L является простой замкнутой кривой, ограничивающей область D с V(O), содержащую точку S0 (s) . Но тогда все сепаратрисы S0 (s) не выходят из D, и, тем более, из V(O), в противоречие с доказанным выше.
Таким образом, любая траектория, начинающаяся в V (O), выходит из V (O) как при возрастании, так и при убывании времени.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть особая точка O поля X0 eXrR(M,D) имеет тип C2 и \2< 0. Тогда существуют такие окрестность V(O) точки O и число s е (0,s ], что имеют место следующие утверждения.
1) Векторное поле X0 имеет в V (O) единственную особую точку O. Точка O имеет один гиперболический и один эллиптический секторы (рис. 3б)
2) При se (-s,s), f '(0)s < 0 векторное поле Xs имеет в V(O) единственную особую точку - квазицентр. Остальные траектории, начинающиеся в точках V(O), либо замкнутые, либо выходят из V(O), как при возрастании, так и при убывании времени (рис. 3а).
3) При s е (-s,s), f '(0)s < 0 векторное поле Xs имеет в V(O) устойчивый грубый узел S+ (s), лежащий в intM+, неустойчивый грубый узел S_ (s), лежащий в intM-, а также квазиседло, для которого одна выходящая сепаратриса т -предельна к S+ (s), одна входящая сепаратриса а -предельна к S_ (s), а две остальные сепаратрисы выходят из V(O) (рис. 3в). Все остальные траектории, начинающиеся в V(O), при возрастании и убывании времени либо идут в узлы, либо выходят из V(O).
Случай \2> 0 сводится к случаю \2< 0 обращением направления времени на траекториях.
а) f(Q)s < О
б) £ = 0
в) /'(0)е>0
Рис. 3. Бифуркации особой точки типа C
2
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 1 будем считать дР2 (0)/сЦ > 0 и предполагать числа 8, е2 е (0, ех ] и Сг -функцию < : (-е2, е2) ^ (-8,8) выбранным так,
что выполняется (6) - (8) и (10). Поскольку в рассматриваемом случае А > 0, то вместо (9) будем иметь равенство
Уее(-е2,е2) sgnР+ (<(е),0,е) = sgn[Л0)е]. (11)
Из (6) и (11) следует, что при /'(0)е < 0 (/'(0)е > 0 ) в V (О) пм0 существует единственная особая точка (е) = (< (е), 0), являющаяся квазицентром (квазиседлом).
Из условий теоремы следует, что точка О - узел векторного поля X+ , матрица ( дPi + (0)/ дх.) имеет собственные векторы ук = (у^,1), ук > 0, соответствующие собственным значениям \ < 0, к = 1,2. Для определенности пусть \ < Л2. Постольку дР2 (0)/ ду > 0, то у1 < у2.
Как известно [19], существуют положительно определенная квадратичная форма Q(х, х2) = д1Л2 + ^х1х2 + д22х^ и число с0 > 0, такие, что производная Q по направлению векторного поля X+ отрицательна в точках, где 0 < Q(х, X) < с0. Множество V(О) := {(х,х2): Q(х,| X |) < С} - окрестность точки О. Выберем с0 столь малым, что V(О) ^ У8 (О). Пусть а- ( а+) - отрицательное (положительное) решение уравнения Q(х^0) = с0, Г+ - дуга эллипса {(х1,х2):Q(х1,х2) = с0} с концами в точках А"= (а-,0) и
А+ = (а+ ,0), лежащая в М+, Г" := Я(Г+) . Замкнутая кривая Г = Г+^Г- - граница окрестности V (О).
По направлению, задаваемому вектором у1, в узел О входит единственная траектория поля X(+ |м+ [20, с. 189]. Пусть N + - та единственная точка, в которой она пересекает Г+ ,
а Ь+ - положительная полутраектория, начинающаяся в ^. Обозначим также N := Я(^), 17 := Я(Ь+) Ь := Ь+^{О} ^ 17. Множество V(О)\ Ь состоит из двух связных компонент. Ту из них, которая содержит открытую дугу линии М , обозначим
V~(О) ( V+ (О) ). Положительная (отрицательная) полутраектория поля X+ |м+ ( X0|м- ),
начинающаяся в М + пУ(О) (в М- пУ(О) ) и предельная к О, входит в О по направлению вектора у2 = (у2,1) ( Яу2 = (у2, -1) ) . А поскольку у1 < у2, то она принадлежит V+ (О). Траектории поля X0 в точках открытой дуги А~Ы+ с Г+(А~с Г_ ) входят в V"(О) (выходят из V- (О) ), в точках открытой дуги О А ~ с М 0 выходят из М + пУ- (О) и входят в М~ пУ- (О); в М + пУ- (О) (в М + пУ- (О)) поле X0+ (X-) не имеет ни особых точек ни замкнутых траекторий. Поэтому любая траектория X,,, начинающаяся в V- (О), выхо-
дит из V~ (O), как при возрастании, так и при убывании времени. Тем самым [20, с. 324], V-(O) - гиперболический сектор.
Траектории поля X в точках открытой дуги входят в
V+ (O) (выходят из V+ (O) ), в точках открытой дуги О А+ с М0 выходят из M- oV+ (O) и входят в M + oV + (O); в M + oV + (O) (в M + oV + (O) ) поле X+ ( X0 ) не имеет ни особых точек, ни замкнутых траекторий. Поэтому любая траектория X , пересекающая открытую дугу О А + не выходит из V + (O) и а - и т -предельна к O. Остальные траектории, начинающиеся в точках M + oV + (O) (в M + oV + (O) т -предельны (а -предельны) к O и выходят из V (O) при убывании (возрастании) времени. Таким образом, V+ (O) - эллиптический сектор [20, с. 329].
Выбрав достаточно малое s е (0,s2], получим, что при s е (-s,s), f '(0)s < 0 в Vs(O)
имеется единственная особая точка S0 (s) = (^ (s), 0), являющаяся квазицентром, а при se (-s,s), f '(0)s > 0 в Vs(O) имеются три особых точки: квазиседло S0(s) = (^(s),0), устойчивый узел S+ (s) = (^ (s), f (s)) e intM+ и неустойчивый узел S_ (s) = (^ (s), -f (s)) e intM . Уменьшив при необходимости s , можно считать, что Vs е (-s,s) S0 (s) eV (O) ; при se (-s,s), f '(0)s > 0 S± (s) eV (O) ; в точках дуги Г+ \{A+, A~) (Г- \{A+, A~) ) траектории XE , s e (-s,s), входят в V(O) (выходят из V(O)).
Пусть s e (-s,s), f '(0)s < 0. Так как S0(s) - квазицентр, то через точки (x,0) , достаточно близкие к S0 (s), проходит замкнутая траектория поля Xs . Так как S0 (s) единственная особая точка в V(O), то любая замкнутая траектория L поля Xe , принадлежащая V(O), имеет вид L = iL ^R(iL), где L - траектория поля X^ |м+ , начинающаяся в точке (Х+, 0) и кончающаяся в точке (х-, 0) (x- < (px(s) < x+ ), в которых она трансверсальна M0. По теореме о трубке траекторий [17] траектория L* поля X+ |м+ , начинающаяся в точке на
M0, достаточно близкой к точке (х+, 0), также кончается в точке на M0 и потому является частью замкнутой траектории поля Xe . Следовательно, в V (O) нет траекторий Xe , предельных к замкнутой траектории. Поэтому любая траектория, начинающаяся в точке V (O), либо целиком принадлежит V (O) и замкнута, либо выходит из V (O) как при возрастании, так и при убывании времени.
Из [18] следует, что числа 5 и s можно считать выбранными так, что особая точка S+ (s) = (s), f (s)) векторного поля X+, s e (-s,s), имеет неведущее локальное инвариантное многообразие Wss(S+ (s)), задаваемое уравнением Xj = w(x2,s), где w - такая C1 -функция на (-5,5)х (-s,s), что ¿r1(s) = w(f (s),s), (w^ (0,0),1) = v2 . При s = 0 опреде-
ленная выше траектория L+ содержится в Wss (O) . Поэтому N + - точка трансверсального пересечения Wss (O) с дугой Г+ . По теореме о неявной функции s можно выбрать столь малым, что при s e (-s,s) Wss(S+ (s)) пересекает Г+ в точке N+ еГ+ . Пусть T+ - дуга Wss (S+ ( s )) с концами в точках N° = (w(0, s ),0) e M0 и N+ . Она принадлежит M + . Множество V(O)\(TE ^ R(T е )) состоит из двух связных компонент. Ту из них, которая содержит открытую дугу N° А~ линии M0, обозначим V-(O), а вторую - V+ (O) .
Пусть s e (-s, s ), f '(0) s > 0. Так как в этом случае точка S+ ( s) = (^ (s ), f ( s)) принадлежит intM +, то в точке №s поле X+ направлено внутрь M + . Отсюда и из (6) следует, что квазиседло S0( s) принадлежит V- (O) .
Рассмотрим выходящую сепаратрису L+ , идущую из точки S0 ( s ) внутрь M + . Так как в V- (O) оM+ нет кроме S0 ( s) особых точек и замкнутых траекторий, то L+ либо а) не выходит из V- (O) оM+ и идет в устойчивый узел S+ (s ), либо б) выходит из V- (O) оM+ в точке B s = (bs,0), bE <((s) . В случае б) отрицательная полутраектория поля X*|M+ , начинающаяся в точке B , не выходит из области, ограниченной замкнутой кривой, состоящей из дуги сепаратрисы L+ от точки S0(s ) до точки B s и дуги линии M0 между этими точками. Поскольку в этой области нет особых точек и замкнутых траекторий поля X+|m+ , то случай б) невозможен. Итак, реализуется только случай а).
Пусть G - область в V- (O) оM+, ограниченная замкнутой кривой, составленной из дуги M0 между точками S0( s) и Л~, дуги Г+ между точками Л~ и N +, дуги Wss (S+ ( s)) между точками N + и S+ (s ) и сепаратрисы L+ . Входящая сепаратриса L," точки S0( s), начинающаяся, как отрицательная полутраектория поля X^ |м+ , выходящая из точки S0( s), попадает в Gs . Поскольку особ^1х точек в Gs у поля нет, то эта сепаратриса выходит из G при убывании времени в точке Cs, лежащей на открытой дуге Г+ между Л~ и N + , а потому в^1ходит и из окрестности V (O).
Из симметрии получаем, что вторая входящая (выходящая) сепаратриса точки S0 ( s ) при убывании (возрастании) времени идет в узел S_ (s ) (выходит из V (O)).
Обозначим Ds область, ограниченную замкнутой кривой, составленной из дуги А~S0(е) с М0, дуги сепаратрисы L~ между точками S0(s ) и Cs , также дуги А~ СЕ с Г+. Траектория поля X+ |м+ , начинающаяся в точке дуги А~S0(е), выходит из DE в точке дуги А~ С£ с Г+. Поэтому не существует траектории поля X+ I + , начинающейся в точке ду-
ги A S0 (е) , не выходящей из V (O) и кончающейся в точке на М0. Следовательно, в области V_ (O) нет замкнутых траекторий поля XE, и любая положительная (отрицательная) полутраектория поля Xe, начинающаяся в V_ (O), либо предельна к узлу S+ (s) ( S_ (s) ) либо выходит из V(O).
Для положительных (отрицательных) полутраекторий поля XE, начинающихся в V+ (O), аналогично получаем, что они либо предельны к узлу S+ (s) ( S_ (s) ) либо выходят из V (O).
Заключение
Рассмотрены кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, обратимые относительно инволюции, в окрестности особой точки, лежащей на линии разрыва Х2 = 0 , состоящей из неподвижных точек инволюции. В случаях, когда для гладких векторных полей, задающих кусочно-гладкое векторное поле в полуплоскостях Х2 > 0 и Х2 < 0 , точка O = (0,0) является седлом или узлом, описана ее бифуркации при типичных однопараметрических возмущениях кусочно-гладкого векторного поля.
Список литературы
1. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218. Pp. 89-113. DOI: 10.2307/1997429
2. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. No. 1-2. Pp. 1-39. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00199-1
3. Lamb J.S.W., Capel H.W. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry // Chaos, Solitons, & Fractals. 1995. Vol. 5. No. 2. Pp. 271-293. DOI: 10.1016/0960-0779(93)E0022-4
4. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100. No. 1-2. Pp. 101-118. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00183-2
5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: I. Theory // J. of Differential Equations. 2000. Vol. 167. No. 1.
Pp. 16-35. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3779
6. Лерман Л.М., Тураев Д.В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах // Нелинейная динамика. 2012.T. 8. № 2. С. 323-343.
7. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Обратимые в широком смысле динамические системы // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2015. № 11(208). С. 89-96.
8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
9. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157-2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
10. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov-Hopf bifurcations in planar, piecewise- smooth, continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371.No. 3. Pp. 213-220.
DOI: 10.1016/j .physleta.2007.06.046
11. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399-2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
12. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967-2023. DOI: 10.1016/j jde.2010.11.016
13. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. 2016. № 4 (191). С. 53-59.
14. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физико-матем. науки. 2017. № 2 (42). С. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
15. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и техн. науки. 2017. № 4 (211). С. 22-29.
16. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «полуфокус» кусочно-гладкой динамической системы // Математика и математическое моделирование. 2018. № 5. С. 57-70. DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140
17. Палис Ж., Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. 301 с. [Palis J., Melo W.de. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. N.Y.: Springer, 1982. 198 p.].
18. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л.П. Шильников и др. Ч. 1. М.; Ижевск: ИКИ, 2004. 415 с. [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics / L P. Shilnikov a.o. Pt. 1. Singapore; L.: World Scientific, 1998. 392 p.].
19. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1984. 271 с.
20. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов и др. М.: Наука, 1966. 568 с.
Ma^sMather Mating, 2020. Mathematics Mathematical
DOI: 10.24108/mathm.0120.0000213
Modelling
Electronic journal
© V.Sh. Roitenberg, 2020 http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Local Bifurcations of Reversible Piecewise Smooth Planar Dynamical Systems
V.Sh. Roitenberg1*
1Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia *VToitenb erg@mail ju
Keywords: reversible dynamical system, piecewise smooth vector field on the plane, singular point, bifurcation Received: 15.01.2020, Revised: 29.01.2020
There are quite a few works, which consider local bifurcations of piecewise-smooth vector fields on the plane. A number of papers also studied the local bifurcations of smooth vector fields on the plane that are reversible with respect to involution. In the paper, we introduce reversible dynamical systems defined by piecewise-smooth vector fields on the coordinate plane (x, y) for which the discontinuity line y = 0 coincides with the set of fixed points of the system involution. We consider the generic one-parameter perturbations of such a vector field. The bifurcations of the singular point O lying on this line are described in two cases. In the first case, the point O is a rough saddle of the smooth vector fields that coincide with a piecewise smooth vector field in the half-planes y > 0 and y < 0. The parameter can be chosen so that for parameter values less than or equal to zero, the dynamical system has a unique singular point with four hyperbolic sectors in a vicinity of the point O. For positive values of the parameter in the vicinity of the point O, there are three singular points, a quasi-centre and two saddles, the separatrixes of which form a simple closed contour that bounds the cell from closed trajectories. In the second case, O is a rough node of the corresponding vector fields. The parameter can be chosen so that for values of the parameter less than or equal to zero, the dynamical system has a unique singular point in a vicinity of the point O, and all other trajectories are closed. For positive values of the parameter in the vicinity of the point O, there are three singular points, two nodes and a quasi-saddle, whose two separatrixes go to the nodes.
References
1. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows. Trans. of the Amer. Math. Soc., 1976, vol. 218, pp. 89-113. DOI: 10.2307/1997429
2. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey. Physica D, 1998, vol. 112, no. 1-2, pp. 1-39. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00199-1
3. Lamb J.S.W., Capel H.W. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry. Chaos, Solitons & Fractals, 1995, vol. 5, no. 2, pp. 271-293. DOI: 10.1016/0960-0779(93)E0022-4
4. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields. Physica D, 1997, vol. 100, no. 1-2, pp. 101-118. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00183-2
5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: I. Theory. J. of Differential Equations, 2000, vol. 167, no. 1 pp. 16-35. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3779
6. Lerman L.M., Turaev D.V. On symmetry breaking bifurcations in reversible systems. Nelinejnaia dinamika [Russian J. of Nonlinear Dynamics], 2012, vol. 8, no. 2, pp. 323-343 (in Russian).
7. Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. Reversible systems in wide sense. Nauchnye vedomosti BelGU. Matematika. Fizika [Belgorod State Univ. Scientific Bulletin. Mathematics. Physics], 2015, no. 11(208), pp. 89-96 (in Russian).
8. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniia s razryvnoj pravoj chast'ju [Differential equations with a discontinuous right-hand side]. Moscow: Nauka Publ., 1985. 224 p. (in Russian).
9. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems. Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 2003, vol. 13, no. 8, pp. 2157-2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
10. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov-Hopf bifurcations in planar, piecewise- smooth, continuous flows. Physics Letters A, 2007, vol. 371, no. 3, pp. 213-220.
DOI: 10.1016/j .physleta.2007.06.046
11. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems. J. of Differential Equations, 2010, vol. 248, no. 9, pp. 2399-2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
12. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems. J. of Differential Equations, 2011, vol. 250, no. 4, pp. 1967-2023. DOI: 10.1016/j jde.2010.11.016
13. Roytenberg V.Sh. On the generation of a strange attractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [The Bulletin of the Adyghe State Univ. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences], 2016, no. 4 (191), pp. 53-59 (in Russian).
14. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type. Izvestiia vysshykh uchebnykh zavedenij. Povolzhskij region. Fiziko-matematicheskie nauki [Univ. Proc. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences], 2017, no. 2 (42), pp. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2 (in Russian)
15. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a singular point of the "sewn beak" type. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [The Bulletin of the Adyghe State Univ. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences], 2017, no. 4 (211). pp. 22-29 (in Russian).
16. Roitenberg V.Sh. On singular ''semifocus'' type point bifurcations of piecewise smooth dynamical system. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2018, no. 5, pp. 57-70. DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140 (in Russian)
17. Palis J., Melo W.de. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. N.Y.: Springer, 1982. 198 p. Russ. ed.: Palis J., Melo W.de. Geometricheskaia teoriia dinamicheskikh sistem. Vvedenie. Moscow: Mir Publ., 1986. 301 p.
18. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics / L.P. Shilnikov a.o. Pt. 1. Singapore; L.: World Scientific, 1998. 392 p. Russ. ed.: Metody kachestvennoj teorii v nelinejnoj dinamike / L.P. Shilnikov a.o. Pt. 1.Moscow; Izhevsk: Inst. of Computer Research, 2004. 415 p.
19. Arnold V.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniia [Ordinary differential equations]: a textbook. 3rd ed. Moscow: Nauka Publ., 1984. 271 p. (in Russian).
20. Kachestvennaia teoriia dinamicheskikh sistem vtorogo poriadka [Qualitative theory of dynamical systems of second order] / A.A. Andronov a.o. Moscow: Nauka Publ., 1966. 568 p. (in Russian).
