CC BY
573
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Elliot D. L., "A Better Activation Function for Artificial Neural Networks", Institute for System Research: Maryland, 1993 (ftp://ftp.isr.umd.edu/pub/TechReports/1993/TR_93-8.pdf).
2. Demuth H., and M. Beale "Neural network toolbox for use with Matlab. User's guide", MathWorks, Inc., 1997 (http:// www.mathworks.com).
3. Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы по курсам "Системы искусственного интеллекта", "Методы распознавания образов"/ Сост. Вишняков Ю. М., Кодачигов В. И., Родзин С. И.- Таганрог: ТРТУ, 1999.-132 с.
4. Hagan M. T., H. B. Demuth, M. H. Beale Neural Networks Design. Boston, MA: PWS Publishing, 1996.
5. Widrow B., and M. E. Hoff, Adaptive switching circuits, 1960 IRE WESCON Convention Record, New York IRE, 1960, pp. 96104.
6. Fahlman S. E. and C. Lebiere The Cascade-Correlation Learning Architecture, Pittsburgh, PA: Carnegie Mellon University, 1991 (ftp: //ftp.cs.cmu.edu/afs/cs/project/connect/tr/cas-cor-tr.ps.z).
7. Rumelhart D. E., Hinton, G. E, and Williams, R. J. (1986) Learning Internal Representations by Error Propagation// Rumelhart D. E. and McClelland, J. L., Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition, MIT Press, 1986.
8. Вороновский Г. К., и др. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реаль-
ности. - Харьков: ОСНОВА, 1997. - 112 с.
9. Wasserman P. Neurocomputing. Theory and practice, Nostram Reinhold, 1990. (Рус. пер. Ф. Уоссермен. Нейрокомпьютер-ная техника. М. Мир, 1992).
10. Gibb, J. Back Propagation Family Album, NSW, Australia: Mac-quarie University, 1996, 72 p. (ftp://ftp.mpce.mq.edu.au/ pub/comp/techreports/96C005.gibb.ps).
11. Fahlman S. E. An Empirical Study of Learning Speed in Back-Propagation Networks, Pittsburgh, PA: Carnegie Mellon University, 1988 (ftp://ftp.cs.cmu.edu/afs/cs/project/connect/tr/ qp-tr.ps.z).
12. Barto A. G. and R. S. Sutton Goal seeking components for adaptive intelligence. Technical Report AFWAL-TR-81-1070, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1981.
13. Jacobs R. A. Increased rates of convergence through learning rate adaptation// Neural Networks , N1, 1988, pp. 295-307.
14. Riedmiller M., and H. Braun, A direct adaptive method for faster backpropagation learning: The RPROP algorithm// Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks, 1993 (ftp://i11s16.ira.uka.de/pub/neuro/papers/ riedml.icnn93.ps.z).
15. Tveter D. R., Backpropagator's Review, 2000 (http:// www.dontveter.com/bpr/bpr.html).
16. Krogh A., and J. A. Hertz. A simple weight decay can improve generalization. Technical report. Niels Bohr Institute / Nordita, Blegdamsvej 17, DK-2100 Copenhagen, Denmark, 1990.
17. Kohonen T., Self-Organization and Associative Memory, 2nd Edition, Berlin: Springer-Verlag, 1987.
УДК 519.873 + 519.7.24/25
ЛОГИКО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ
Л.И.Волгин
На базе логико-алгебраического аппарата аддитивно-мультипликативиой (AM) алгебры разработаны логические основы теории надежности изделий. На основе изоморфизма
логической AM-модели P = P am(P1'Р2> •••>Рп) и топологической модели (логической схемы надежности - ЛСН) ЛСН = PAM(Ei, E2, ..., En) построена единая совмещенная структурно-параметрическая модель надежности, где Pi G [0, 1 ] - вероятность безотказной работы элементов E¿
ЛСН со временем безотказной работы t¿.
The logical bases of production reliability were developed on the basis of the additive-multiplicative algebra.
ВВЕДЕНИЕ
Любой технический объект может быть представлен триадой (S,P,Q), где S = S(E 1, E^,..., En) - структура
объекта, содержащая множество {Ei, E^, En} взаимодействующих элементов E¡, каждому из которых ставится в соответствие параметр pt = p(E¡) , Q - критерий оптимизации [1]. Задача синтеза заключается в построении структуры объекта, задача анализа (при заданной структуре) заключается в определении результирующего параметра P = p[S(E1, E2, ..., En)] структуры объекта. Оптимизация сводится к обеспечению экстремального значения
функционала Q = Q(S, P, D) ^ ext (максимум или минимум), где D - условия оптимизации.
Если ввести символы топологических операций
параллельного " и последовательного " • " соединения элементов топологической модели (схемы) объекта, то для классов параллельно-последовательных схем (ПП-схемы) топологическая модель может быть представлена в аналитической форме записи S = S(E^, •••> En) . В
частности, на рис.1 представлены логические (структурные) схемы надежности (ЛСН) при последовательном и параллельном (горячее резервирование) соединении элементов в ЛСН, аналитическое представление которых имеет вид:
S = Ex • E2 ••• En , S = E .ф E2 ф„.Ф En . (1)
Математическая модель объекта записывается в базисе операций арифметической алгебры (А-алгебра).
В настоящее время для описания объекта проектирования повсеместно используется раздельное представление топологической и математической моделей. Топологическая модель дает наглядно-образное представление структуры объекта и служит в качестве исходных данных для построения математической модели, которая необходима для расчета результирующего (выходного) параметра объекта р = pÄ(ßi,Р2, •..,Pn) .
Рисунок 1
В силу межполушарной асимметрии мозга человека [2] наличие двух типов моделей с различными системами базовых операций для описания объекта кажется нам естественным и очевидным.
В [1] сформулирована общая постановка задачи построения совмещенной структурно-параметрической модели технических объектов. А именно. Необходимым и достаточным условием существования совмещенной структурной (топологической) и параметрической (математической) модели объекта является выполнение свойства изоморфизма [3]:
p[S(Ei, E2,..., En)] = S[p (E i), p (E 2),..., p (En)], (2)
при представлении (2) в инфиксной форме записи Р-операций, где pi = p(Ei) .
Поставленная задача в каждом конкретном случае связана с переходом от базиса Л-операций к подходящему базису Р-операций математических проблемно-ориентированных (предметных) логик или специальных алгебр. При этом Л-операции арифметической алгебры являются для предметных логик метаоперациями.
В общем виде поставленная задача не поддается формализации, но для отдельных классов задач (объектов) имеются решения общетеоретической значимости.
Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию математической теории надежности [4,5] на основе логико-алгебраического аппарата мультипликативно-аддитивной алгебры (ЛМ-алгебра) [6-9], которая на интервале [0,1] является логикой исчисления надежности [10-12].
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ И ИЗОМОРФИЗМЫ
Под надежностью понимается способность изделия (радиоэлектронных средств, устройств, систем и др.) сохранять декларируемое качество на заданном интервале времени в нормируемых условиях эксплуатации. Качество изделия - это совокупность его свойств, определяющих
пригодность использования изделия по назначению.
Расчет надежности заключается в определении заданного показателя (характеристики) надежности изделия по аналогичным показателям надежности элементов, входящих в состав изделия. Показателями надежности являются вероятность безотказной работы р, вероятность отказа р = 1 - р , время безотказной работы ti, интенсивность
отказов X и др., связанные между собой известными зависимостями [4,5].
При традиционном подходе путем надежностного анализа исходной электрической схемы (функциональной, структурной или блок-схемы) изделия строится ее логическая схема надежности (ЛСН) [13]. Далее в базисе операций Л-алгебры (Л-сложение, Л-умножение) по ЛСН строится математическая модель надежности Р = РА (р^
Р2, ...,рп), по которой вычисляются числовые значения
показателей надежности. В частности, при независимых отказах вероятность безотказной работы (ВБР) изделия без резервирования (рис.1а) и с горячим резервированием (рис.1б) определяются соответственно выражениями [4,5]:
Р = РАp2, pn) = p1 • p2 ••••• pn ,
(3.1)
Р = Ра (р\' р2—р)=1 - (1 - р\)(1 - р2).(1 - рп). (32)
При таком подходе, согласно (1) и (3), топологические (рис.1) и математические (3) модели не совпадают. При этом по представленной формуле для ВБР сложных ПП-схем невозможно восстановить ЛСН изделия, так как условие изоморфизма (2) не выполняется.
В [14] показано, что для получения совмещенной (структурно-параметрической) математической модели по ВБР ее необходимо строить в базисе операций ЛМ-логики, в которой элементарными операциями являются аддитивная инверсия = 1 -, ЛМ-конъюнкция (арифметическое умножение) и АМ-дизъюнкция (вероятностное сложение):
М(р 1;р2) = р1 -р2= 0,5[р1+р2-(р1 + р2-2р1р2)] , (4.1) ^(рРр2) =р1© р2 = 0, 5[р1+р2+ (р1 + р2- 2р1р2)],
(4.2)
где © есть символ операции вероятностного сложения
р1 © р2 = р1 + р2-Р 1Р2 .
Здесь и в дальнейшем изложения для наглядности используется инфиксная р1 © р2 и функциональная
Ж(р1, р2) форма записи операций и функций АМ-
алгебры. В классе ПП-схем надежности имеет место тождество:
Р = РА(Р1, р2, рп) = РАМ(р1, р2, рп) , (5)
в которой ЛМ-модель РдмО9!р2' "•>рп) является функциональной сверткой Л-модели Ра(р 1,р2, .••, рп) , представленной в базисе арифметической алгебры.
Расширение класса ЛМ-функций, представленных в базисе Л-операций и ЛМ-операций, осуществляется соответственно через операции суперпозиции и композиции. Тогда выражения (3), записанные в базисе ЛМ-операций, приводятся к виду:
М(р1,р^...,рп) = р1 • р2 Рп , Ж(р 1,р2, рп) = р1 © р2 © . © Рп . (6)
Например, при п=3 и п=4 из (3) соответственно получим:
р1 ©р2 ©р3= р1 +р2 + р3-р 1р2-рр2р3 + р^2р3 ,
р1 ©р2 ©р3 ©р4 = р1 +р2 + р3 + р4 -Р 1Р2-р^3-рр --р^,р3-Р2Р4 -р^4 + ррр3 + Р 1Р2Р4 + Р 1Р3Р4 + + р2р3р4 -Р 1Р2Р3Р4'
При произвольном п многоместная ЛМ-дизъюнкция определяется полилинейной функцией вида
р = ... ©= £ -£ p^ Xp^p^ - - (7)
i = 1 и - 1
Nn - 1
... + (-1) n - 2 £ Рн Ри _ 1 + (-1) n - 1PlP2-Pn,
где Nj есть количество сочетаний из n по j.
Из (1) и (6) следует, что символы "■" и " © " являются обозначениями операций как последовательного и параллельного соединений элементов ПП-схем надежности, так и операций ЛМ-конъюнкций и ЛМ-дизъюнкций (4). Указанный изоморфизм позволяет из ЛМ-моделей Р = Рш(Р1> Ри) заменой в них переменных pt на
обозначения элементов E{ ЛСН получить аналитическую запись топологической модели и обратно:
PAM(PV.- Pn )~PAM( E1' E2' "'' En ) = * (E1' E2' "'' En ) ,(8)
Покажем изоморфизм математических моделей по вероятностным pt и временным tt параметрам относительно
отображения (pi, • , © ) О (tp л , v ) , где tt - время
безотказной работы, л = min и v = max - базовые операции непрерывной логики выделения (селекции) соответственно минимальной и максимальной континуальных переменных [15,16].
При замене в выражениях (6) переменных pt и символов "■", "© " на и символы операций непрерывной логики (НЛ) " л "," v " получим:
T = T(t 1,t2,...,tn) = t1 л t2 л. л tn= min (t1; t2, ..., tn), (9.1) T = T(tpt2,...,tn) = t1 vt2v...vtn= max(t1;t2, ...,tn), (9.2)
где T - результирующее время безотказной работы изделий без резервирования (рис.1а) и с горячим резервированием (рис.1б).
В (9) первое и второе равенства представлены соответственно в инфиксной и функциональной формах записи.
Если в соответствии с отображением (p, - , + , • ) О
О (Wp /, • , + ) в базовых операциях ЛМ-алгебры pi = 1 -p , p1 • p2 , p1 ©p2 = p1 + p2 -p1p2 , представленных в базисе Л-операций, операции вычитания "-", сложения "+" и умножения "■" заменить соответственно на дуальные Л-операции деления "/", умножения "■" и сложения "+", то приходим к базовым операциям логики
исчисления иммитансов (W-логика) [18-20]: Wi = 1/ (мультипликативная инверсия),
Л(W1,W2) = W1 || W2 = (w-1 + w-1)-1 = WW2/W1 + W2),
V (W1, W2) = W1+ W2 (10)
(обозначения pt, M и W заменен! соответственно на W{, Л и V).
Здесь переменные Wi являются иммитансами (сопротивлениями или проводимостями) элементов ПП-схем много-элементных электрических двухполюсных цепей, символом конкатенации "||" (от англ. сочленение) и сложения "+" обозначены соответственно параллельное и последовательное соединения электрической схемы. Одновременно символы "||" и "+" являются обозначениями базовых операций W-логики (10). Следовательно, ПП-схемы много-элементных электрических двухполюсников также описываются совмещенными структурно-параметрическими моделями.
Установленный здесь изоморфизм позволяет при совпадающих конфигурациях ЛСН и исходной для ее ПП-схемы электрической цепи от логической схемы надежности вернуться к порождающей ее схеме.
СВОЙСТВА И ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ИСЧИСЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Базовыми операциями в ЛМ-алгебре являются аддитивная инверсия, Л-умножение и вероятностное сложение (4), в которых в общем случае переменные pi являются действительными или комплексными числами. В логике исчисления надежности (Р-логика) переменные pt определены на единичном интервале [0,1].
Все законы и свойства ЛМ-алгебры выполняются и для Р-логики: ассоциативность
p1 ©(p2 © p3) = p ©p2)© p3,
1\
1\
2
3
n
Р\ • (Р2 • Рз) = Р • Р2) • Рз ; (11)
- коммутативность
Р1 ©Р2 = Р2 ©Р1 ' Р1 • Р2 = Р2 • Р1 ^ (12)
- инверсно-идемпотентная обратимость
М(р,Р) = Ш(Р, -Р); (13)
- преобразования (законы) де Моргана
Р1 © Р2 © —© Рп = Р1 • Р2 • — • Рп ,
Р1 • Р2 •■•• • рв = Р1 © Р2 © - © Рп; (14)
- ноль-доминантность для ЛМ-конъюнкций (свойство конъюктивности)
М(Р1, ...,Рр...,Рп) = 0 при Рг = 0, (15.1)
т.е. если хотя бы одна переменная равна нулю, то М(Р1, ...,Рп) = 0;
- единичная доминантность для АМ-дизъюнкций (свойство дизъюнктивности)
W(Рl,..., рРп) = 1 при р1 = 1, (15.2)
т. е. если хотя бы одна переменная равна единице, то w(р 1,., Рп) = 1 ;
- свойство согласованности ЛМ-операций с операцией Л-сложения
м (р 1, Р2) + w(р1, Р2) = Р1 + Р2 и др. (16)
ЛМ-функции совместимы с обычными операциями Л-алгебры. В частности, имеют место тождества:
М(Р1, Р2 ) + W(Рl, Р2 ) = 1 ,
Р2) = Р1 ©Р2 = Р1 + Р2Р1 = Р2 + Р1р2 ,
^1,..., Рп ) = W(Рl,■■■, Рг - 1,Р1 + 1, — , Рп) + + Р^^р Рг - 1Р I + 1' рп ) ,
W(Р1,-;Рп > Рп + 1) = ■■"Рп)+Рп + ^СР^—Р ) и др.
Любая ЛМ-дизъюнкции может быть разложена по заданному аргументу
И^(р l'■' Рп )=piW(Рl'■■■' Рг - 1'1, Рг + 1'■••' Рп)+ (17) + О - Рг) W(Р1.....Рг - 1,0. Рг + 1'—' Рп ) •
С учетом свойства единичной доминантности (15.2) выражение (17) приводится к виду
W(Рl'■'Рn) =Рг+Рг(Р1©Р2©...©Рг-1©Рг + 1© ■■■©Рп) . (18) Начиная процедуру разложения с 1=1, получим
Р1 © -©Рп = Р1 + Р1Р2+ Р1Р2Р3 + — + (!9)
+ р1 + - + рп - 1Рп + р1р2 —рп■ В ЛМ-алгебре имеет место тождество
W( 1 + 51, —, 1 + 5п) = 1 + (-1 )п-1 М(51,—,5п). (20)
Если в (6) часть переменных р, р, (т<п) равны
г1 гт
соответственно единице и нулю, то размерность ЛМ-конъюнкций и ЛМ-дизъюнкций уменьшается на т единиц при сохранении их структуры (свойства замкнутости). При р1 е [ 0, 1 ] дополнительно имеют место следующие
свойства: вложенность
Ру © р2 ©-© рп е [ 0, 1 ], рр • р2 •-• рп е [ 0, 1 ] ; (21) субдистрибутивность и супрадистрибутивность [17]
РГ(Р2©Рз)~Р1 •Р2©РУРз ,
Р1©Р2^ Рз >(Р1©Р2>(Р1©Р3) (22)
концентрирования и реконцентрирования
М(р,р) = р • р <р , W(Р'р) = р(1 + р) >р и др. (2з)
При е {0, 1} ЛМ-алгебра как и непрерывная логика вырождается в алгебру логики Дж.Буля.
Все Р-функции (р1 е [0, 1 ]) имеют свою надежностную
интерпретацию. В частности, (21) отражает свойство недостижимости абсолютной надежности (Р=1) через резервирование при р1 ф 1 и конечном п. Свойство конъюктив-ности (16) указывает на тот факт, что при выходе из строя хотя бы одного элемента р{ = 0 в изделиях с последовательной ЛСН оно становится не работоспособным и пр.
Множество функций, порождаемых операциями композиции, совместно с операциями аддитивной инверсии, арифметического умножения и вероятностного сложения образуют ЛМ-алгебру, которая при р{ е [0, 1 ] является
логикой исчисления надежности.
Законы и свойства ЛМ-алгебры через отображение (р, - , + , • )о(/, • , + ) имеют аналоги в логике исчисления иммитансов: ассоциативность, коммутативность, преобразования де Моргана
w1 || й2 || — || wn = + й2 + — + йп , w1 + й2 + — + йп = || й2 || — || йп , (24)
субдистрибутивный и супрадистрибутивный законы
W || (W1 + W2) < (W || Wl) + (W || W2) ,
W + (W1 || W2)>(W + Wl) || (W + W2) , (25)
свойство недостижимости нуля (при конечных wi и п).
1> Wl || W2> Wl || W21| Wз >...> Wl ||...|| wn > 0 и др. (26)
w
Согласно (26), Wl || ... ||wn^ 0 при п ^ ^ , wi Ф 0 .
При wi е {0, логика исчисления иммитансов вырождается в алгебру логики Дж.Буля.
Р-ЛОГИКА В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА
НАДЕЖНОСТИ
В [6-10] рассмотрены применения ЛМ-алгебры в различных областях науки и техники. Здесь рассмотрим некоторые применения логики исчисления надежности.
В общем случае ti в выражениях (9) являются случайными величинами. В [15] показано, что при независимых отказах функции распределения вероятностей непрерывно-логических конъюнкции (9.1) и дизъюнкции (9.2) определяются соответственно выражениями:
пп
Р(Т) = 1 - П [ 1 -Р(<г)] = 1 - П Р() ,
г = 1 г = 1
п
р(Т) = П Р(Ч) , (27)
г = 1
где р(ti) есть функция распределения вероятностей ti.
Нетрудно показать, что выражения (27) являются функциями Р-алгебры:
Рисунок 2
г-@-©---
-Е
©----О"
Рисунок 3
I Е|
т
Р(Т) =П[1-Р(<г)]= ПР(<г)= ВД© Р^2© " ©Р(П ,
г = 1 г = 1 (28.1)
Р(Т)=р ()©...©Рп(^) = Ч<1>Ш •• • Р(п, (28 2)
где чертой сверху обозначены аддитивные инверсии.
Рассмотрим некоторые примеры типовых структур с последовательно-параллельной ЛСН. На рис.2,3 приведены ЛСН с поэлементным (рис.2) и поканальным (рис.3) резервированием. ЛСН, изображенная на рис.2, содержит п последовательно соединенных фрагментов Е^ .••> Еп
с параллельной структурой (рис.1б), а ЛСН, представленная на рис.3, содержит т параллельно соединенных фрагментов с последовательной структурой (рис. 1а). Согласно (3), для рис.2,3 соответственно получим:
Р = (1-р11р21 ."рт 1)(1-р12р22 .рт2).(1-р1 пр2п.ршп),
(29.1)
Р=1-(1-рир^ ...р1п )(1-р21Р22.Р2п). (1-рш р 2.ртп) •
(29.2)
Выражения (29), записанные в базисе операций Р-логики, имеют вид:
Р = (р11© р21©.© рш 1) • (р 12© р22© .© рШ 2 )Х
X п© р2 п©.©ршп), (301)
Р = (р11 • р12 •.• р1П)©
©(р21 • р22 •-•• р2 П )©.©(рШ 1 •рш 2 •.• рШП) - (30.2)
Выражения (30) связаны между собой дуальным преобразованием Р-операций: (•, © ) ^ ( © , •) . Более высокую надежность обеспечивают структуры с поэлементным резервированием. Например, при равнонадежных элементах при п=ш=2 и = 0, 900 ВБР схем (рис.2,3) соответственно равны 0,980 и 0,964. Заменив в (30) вероятности рг ■ на обозначения соответствующих эле-
V
ментов Ег. приходим к аналитическим записям логических схем надежности:
п
п
ЛСН = (E11 8E21 © ... ©Em1)х X (Ei2© E22© Em 2) х... х( Ei „® E2 „©. .© Em„) , ЛСН = (E11 • E12 • ... •E1B)©
© (E21 E22 • E2n )©•••© (Em 1 • Em2 ' •• Em«)-
В соответствии с отображением (P,• , © ) ^ ^ (T, tp л , v ) от формул (30) для ВБР приходим к формулам для времени безотказной работы:
T = (t11v-v tm 1)л (t12 v-v tm 2)л—л (t1 „v-v tm„) = = min[max(. 1)' max(t12,.,tm2)' max(t1 „-U1.
(31.1)
T = (¿И л t12 л-л t1 n)v(t21 л t22 л-л t2n)v
v-v(tm 1л ¿m2 л-лtmn) = max[min(¿11-'tm1)' min(t12' •••'tm2)'."' min(¿1п>-> ¿mn)]. (312)
Согласно свойству идемпотентности непрерывнологиче-ских функций [16], при равных t,, = Т всех элементов
v
E:: из (31) следует, что T = Т . Это означает, что НЛ-
модель (31) надежности справедлива при работе резервирующих элементов в нагруженном режиме (горячее резервирование) при постоянном резервировании. При работе всех резервирующих элементов в ненагруженном режиме при резервировании замещением символы v = max в (31) необходимо заменить на символы А-сложения:
нения исходной ПП -схемы надежности по выбранному базовому элементу Е0 [1з], короткое замыкание (р0 = 1) и удаление (р0 = 0) которого превращает исходную не параллельно-последовательную ЛСН в две ПП-схемы с ВБР соответственно Ркз и Рхх. Тогда, согласно (17), ВБР исходной схемы будет определяться выражением:
P = Р0Ркз + P0Pxx , гДе Р0 + P0 = 1 •
(32.1)
Рассмотрим применения метода расчленения на примере мостовой структуры (рис.4а), которая наиболее часто
встречается в качестве фрагментов ПП -схем надежности.
Выбрав в качестве базового элемент Eq , при его коротком замыкании (Pq = 1) и удалении (Pq = 0) приходим соответственно к ПП-схемам короткого замыкания (рис.4б) и холостого хода (рис.4в), для которых:
Ркз = (1 -P1P2Х1 -P3P4) = (Pl®P2)'(Р3©P4) , Рхх = 1 "(I-P1P4)(1 -P2P3) = (Pl'P4)®(P2'P3) .
Т= ('ц+—+ т 1 )А(^12+ — + т)л—л(?1п+ —+ 'тп) = = тт('11+ —+ 'тl''12 + — + tm■2■■■' '1 п+ —+'тп) = = тт(Tl' T2'—' тп),
т = ( 'и А '12 А—А '1п) + ( '21 А '22 А—А '2п ) + + —+ ('т 1А 'т2 А — А'тп) = т1п('11 '12, — '1п) + + ШП('21, '22,—, '2п) + —+ т1П('т1, 'т2, —,'тп),
где Т{ = '1 г. + '2г + — + 'тг - время безотказной работы
г-го последовательно соединенного вертикального фрагмента ЛСН (рис.2).
При расчете надежности изделий с не параллельно-последовательной ЛСН (ПП-схемы) ее необходимо преобразовать в эквивалентную по надежности с параллельно-последовательной структурой. Вопросы эквивалентных и квазиэквивалентных топологических преобразований рассмотрены в [14]. При строгом подходе в Р-логике дистрибутивные законы не выполняются. Но при р{ близким к
нулю или к единице (например, в интервалах [0; 0,05] и [0,95; 1]) можно считать, что дистрибутивные законы, соответствующие знаку равенства в (22), практически имеют место (тем более, что в практике используются элементы с р{ > 0, 95). Это дает возможность использовать методы топологических преобразований, применяемых в релейно-контактных схемах [21].
Строгим способом таких эквивалентных по ВБР топологических преобразователей является метод расчле-
Рисунок 4
Согласно (17), результирующая ВБР исходной мостовой ПП-схемы определяется выражением:
P = Р 0 Ркз+Р0 Pxx= P0 [(P1® P2 )'(P3 © P 4 + + P0[(Pf P4)+ (P2'P3)] •
(32.2)
Выражения (з2) являются одной из базовых операций комплементарной алгебры [22,2з] с предметными переменными Ркз и Рхх , которые являются функциями Р-логики.
Обобщением метода расчленения является способ топологического преобразования в параллельно-последовательные ЛСН разложением исходной ПП-схемы по начальным или конечным элементам [24].
Другой областью применения логики исчисления имми-тансов является проверка эмпирических (эврестических) показателей надежности на корректность (при корректном подходе они должны также являться функциями Р-логики). В частности, в [25] надежность изделий, обеспечиваемая при их изготовлении, предлагается оценивать по показателю
Н = [ Нпр + (1 - Нпр) а ] Д,
где Нпр - надежность, достигнутая при проектировании;
а - коэффициент, выражающий эффективность мероприятий, направленных на обеспечение качества изделия в процессе производства; Д - коэффициент качества (дефектности) изготовления изделия. Предлагаемый показатель представим в базисе операций Р-логики: Н = (Нпр © а) • Д , т.е. показатель Н введен корректно.
Еще одна обширная область применения Р-логики - это синтез высоконадежных изделий (электронных средств) на грубой элементной базе. В качестве примера рассмотрим процедуру синтеза, базирующегося на тождестве (20). Процедура базируется на свойстве операции вероятностного сложения Р-логики:
Б=у/х = к1© к2 = к1+ к2-к1к2 = к0 (1+ у) ,
(33)
где у = -51§2, подавлять влияние вариации §1 и §2 коэффициентов передачи к{ = 1 + 5 г) грубых (по постепенным и внезапным отказам) преобразователей П1 и П2 при их отклонении от заданных (номинальных) значений ^ = к0 = 1 .
Размерность к к2 ] слагаемого ^ к2 в (33) отличается от размерности к ] = [ к2 ] слагаемых ^ и к2 . Поэтому
при топологическом (схемном) отображении (33) (при построении структуры) необходимо ввести обратный преобразователь (ОП) с передачей в , как это показано на рис.5 (схема Блэка), патент США № 1686792, 1928 г.), для которого
£ = к1+ к2-к1к2в = к0(1 + 5 г), (34)
где
у = (1 - к0в)( 1 + 51 + 52) - к0в§152 . (35)
При к0 в = 1 (условие настройки) мультипликативная относительная погрешность у = -51§2, т.е. точность и надежность по постепенным отказам при < 1 повышается по сравнению с вариантом использования одного преобразователя П1 в 1/52 раз. При этом если один из
преобразователей П1 или П2 выходит из строя (дефект
типа "отсутствие прохождения сигнала"), то устройство загрубляется, но продолжает оставаться работоспособным.
Усиление указанных свойств осуществляется через операцию композиции:
£=к1© к2©
)кп= к0(1+У),
постепенным отказам) при < 1 увеличивается в 1/|§2раз по сравнению с вариантом использования одного преобразователя П1 . При равенстве нулю части коэффициентов к (при наличии грубого отказа типа "отсутствие прохождения сигнала" при выходе из строя ш < п - 1 преобразователей Пг-) многоканальная
система загрубляется у = 5 , .5, , но остается рабо-
1 П - ш
тоспособной, что является следствием О-замкнутости АМ-дизъюнкций (6) и (7).
При топологическом отображении алгоритма (36) операциям композиции соответствует процедура итерирования, когда преобразователь П1 и П2 в исходной
схеме (рис.5) многократно замещается самой исходной схемой [26].
(36)
где у = (-1)П , т.е. точность (надежность по
Рисунок 5
В основе логических методов нахождения показателей надежности изделий положены следующие логико-алгебраические структуры:
- АМ-алгебра, которая при р^ е [0, 1 ] является логикой
исчисления надежности (применительно к задачам построения функций ВБР и ЛСН параллельно-последовательного типа);
- непрерывная (бесконечнозначная, нечеткая) логика (применительно к задачам построения функций времени безотказной работы)
- комплементарная алгебра (применительно к задачам построения функций ВБР для не параллельно-последовательных ЛСН).
При рг е {0, 1} АМ-модели и непрерывнологические
модели вырождаются в булевые модели надежности, теряя при этом свойство континуальности, а функции комплементарной алгебры вырождаются в функции предикатной алгебры выбора (применительно к задачам построения логических функций работоспособности и ЛСН по грубым отказам [27]).
Базовые операции АМ-алгебры являются частными реализациями комплементарной алгебры (КА) с базовыми операциями КА-конъюнкции и КА-дизъюнкции:
Л(а1,а2)(У1' У2 ) = У1 а2 + У2а1 , (371)
^(а1,а2 )(У1' У2) = У1 а1 + У 2 а2, (37.2)
где (а1, а2) = А есть вектор весовых коэффициентов, удовлетворяющих условию комплементарности а1+ а2 = = 1, (у 1,У2) = У - вектор предметных переменных.
Изменив обозначения переменных а1 = р1 , а2 = р1 , У2 = р2 и, положив в (37.1) У1 = 0 , в (37.2) У1 = 1 , приходим к базовым операциям АМ-алгебры:
Л(р1,р1)(0р2) = р1 • р2 , У{рх,р1)(1р2) = р1 ©р2 .
В свою очередь комплементарная алгебра [22,28] включает в себя предикатную алгебру выбора (ПАВ) [22,29,30], непрерывную логику (НЛ) [15,16,31] и двоичную булеву алгебру логики (БА) [32], образуя последовательность вложенных логико-алгебраических структур КА з ПАВ з НЛ з БА [33], являющихся математическим базисом для построения логической теории надежности, которая требует своего дальнейшего развития.
В [15] развита теория надежности сложных систем, в которой первичными показателями надежности сложных систем считаются последовательные моменты времени ti отказов (восстановлений) элементов и аналогические моменты Т для всей системы, а поставленная задача состоит
в нахождении зависимости Т■ от I, (/=1,2...,т) много-
7 г
канальной системы.
"При этом оказалось, что функции Т■ = /,(ti) всегда
7 7 г
выражаются суперпозицией операций непрерывной логики, а это позволяет говорить о логической теории надежности" [15]. Здесь мы пришли к этому выводу на основе выявленных изоморфизмов при выборе в качестве первичных показателей надежности вероятностей безотказной работы.
Может возникнуть вопрос: "А где же триадный подход [34,35], декларируемый автором в начале статьи?" Он присутствует на начальном этапе проектирования изделия при разработке его структуры (для электронных средств -это электрическая схема объекта проектирования). При этом ЛСН является одной из сопутствующих (производной от основной структуры изделия) вторичных структур заданной диадой (£р, Р) , которая совпадает с триадой
(Р, Q) при Р=Q (однокритеральная оптимизация по доминирующему показателю качества). Указанное подтверждает примат формы (структуры) над функцией [36].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенные в настоящей статье логические основы математической теории надежности являются "сверткой" традиционной математической теории надежности [4,5] на
основе раскрытых изоморфизмов и совмещения в единой структурно-параметрической модели топологической (структурной) и математической (параметрической) моделей надежности.
Достоинством логических представлений являются: компактность и наглядность формул, возможность непосредственного представления топологической модели (ЛСН) путем мысленного "сканирования" структурно-параметрических моделей по вероятностным р ^ (Р-логика) и временным ti (непрерывная логика) показателям одна в другую, возможность прямого восстановления исходной электрической схемы (Ш-логика) по заданной ЛСН (Р-логика) и обратно (при одинаковых конфигурациях электрической схемы и ЛСН) и пр.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Волгин Л.И. Совмещенные структурно-параметрические модели технических объектов // Модели физических и технических объектов и процессов: Труды Международной науч-но-техн.конф. "Нейронные, реляторные, непрерывнологиче-ские сети и модели".-Ульяновск: УлГТУ, 1998.-Том 3.- С.3-6.
2. Аршавский В. В. Различные модели мира в свете полиморфизма типов полушарного реагирования // Модели мира / Под ред. Д.А. Поспелова. -М.: Российская Ассоциация искусственного интеллекта, 1997. -С.125-136.
3. Волгин Л. И. Изоморфизмы логической теории надежности //Актуальные проблемы анализа и обеспечения надежности и качества приборов, устройств и систем: Сб.докл. Международной научно-техн.конф. Пенза: Изд-во ПГГУ,
1997. - С.9-10.
4. Гнеденко Б,В, Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965. - 524 с.
5. Нечипоренко В.И. Структурный анализ ж методы построения надежных систем. - М.: Советское радио, 1968. - 256 с.
6. Волгин Л.И. Свойства и законы двоичных булевых функций на множестве действительных и комплексных чисел //Автоматика и вычислительная техника. -1994. -№5. -С.5-21.
7. Волгин Л.И. Представление функций двоичной булевой алгебры на плоскости комплексных чисел // Электронное моделирование. - 1995. - 17. - № 4. -С.3-10.
8. Волгин Л.И. Свойства и законы двоичной булевой алгебры на плоскости комплексных чисел // Электронное моделирование. - 1994. - № 5. -С.3-10.
9. Волгин Л.И. АМ-алгебра и ее применения // Автоматика и вычислительная техника. - 1996. - № 1.- С.19-33.
10. Волгин Л.И. АМ-алгебра и ее применения // Ульяновск: УлГТУ, 1997. -52с.
11. Волгин Л.И. АМ-алгебра и надежность // Методы и средства оценки и повышения надежности приборов, устройств и систем: Тезисы докл. Международной научно-техн. конф.-Пенза: ПГТУ, 1995. - С.15-17.
12. Волгин Л.И. Логические основы математической теории надежности // Проблемы и решения современной технологии: Сб. научных трудов ПТИС. - Тольятти: Изд-во Поволжского технологического института сервиса, 1996. - Вып.2. -Часть 2. - С.18-23.
13. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. - М.: Радио и связь, 1981. -264с.
14. Волгин Л.И. Логические основы математической теории надежности. - Ульяновск: УлГТУ, 1997. - 44 с.
15. Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. -М.: Энергоатомиздат, 1985. - 128 с.
16. Волгин Л.И., Левин В.И. Непрерывная логика. Теория и применения. - Таллинн: АН Эстонии, 1990. - 210 с.
17. Волгин Л.И. Субдистрибутивный и супрадистрибутивный законы логики исчисления надежности //Надежность и качество: Книга докл. международного симпозиума. - Пенза: Изд-во ПГУ, 1999. С.34-36.
18. Шестаков В.И. Алгебра двухполюсных схем, построенных исключительно из двухполюсников (алгебра А-схем) // Автоматика и телемеханика. - 1941.- № 2. - С.15-24.
19. Волгин Л.И. Логика исчисления иммитансов многоэлементных электрических двухполюсников. - Ульяновск: УлГТУ,
1998. - 24с.
20. Волгин Л.И. Определение сопротивлений и проводимостей алгебро-логическим методом //Электричество. -1998. -№7.
-С.64-69.
21. Шеннон К. Символический анализ релейных и переключательных схем // Работы по теории информации и кибернетике. -М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. -С.9-43.
22. Волгин Л.И. Комплементарная алгебра и предикатная алгебра выбора. - Ульяновск: УлГТУ, 1996. -68с.
23. Волгин Л.И. Векторная комплементарная алгебра и ее применения. - Ульяновск: УлГТУ, 1996. - 52с.
24. Рогинский В.Н. Построение релейных схем управления. - М.-Л.: Энергия, 1964. - 423с.
25. Чекмарев А.Н. Разработка научно-технических основ управления качеством изготовления радиоэлектронных средств: Автореферат дисс. д-ра техн.наук. - Самара: СГГУ, 1997. -32 с.
26. Волгин Л.И. Аналоговые операционные преобразователи для измерительных приборов и систем. - М.: Энергоатом-издат, 1983. - 32с.
27. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. -М.: Высшая школа, 1977. - 160с.
28. Волгин Л.И. Свойства и законы комплементарной алгебры //Известия АН ЭССР. Физика, математика. - 1988. - №4. -С.417-427.
29. Волгин Л.И. Предикатная алгебра выбора и синтез функционально-логических преобразователей в элементном базисе
реляторов // Электронное моделирование. -1988. -10. -№2. -С .3-9.
30. Волгин Л.И. Представления функций порядковой логики в предикатной алгебре выбора // Электронное моделирование. - 1990. -12. - №2. -С.3-9.
31. Волгин Л.И. Непрерывная логика и ее схемотехнические применения. - Ульяновск: УлГТУ, 1996. -108с.
32. Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. -М.: Энергия, 1968. -228с.
33. Волгин Л.И. Континуальные логики и предметные алгебры, порождаемые функцией взвешенных степенных средних // Информационные технологии. - 1999, № 9.
34. Баранцев Р.Г. О тринитарной методологии // Философский век. -Вып.7: Между физикой и метафизикой: наука и философия. -СПб, 1998. -С.51-61.
35. Волгин Л.И. Вельмисов П.А. Триадная парадигма познания, //Любищевские чтения: Сб. докладов. -Ульяновск: УГПУ им. И.Н.Ульянова, 1998. - С.66-68.
36. Шрейдер Ю.А. Примат формы над функцией // Теория и общие вопросы обработки аналоговой информации: Труды международной конференции "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации" / Под ред. Л.И. Волгина, 8-10 июня. - Ульяновск: УлГТУ, 1999. -Том 1. -С.5-6.
УДК 621.396.664
ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ПОИСКА НЕИСПРАВНОСТЕЙ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Д.Д.Габриэльян, В.В.Шацкий, Н.В.Шацкий
Описано построение алгоритма поиска неисправностей в многоканальной системе, основанного на учете вкладов ее элементов в определяющий параметр системы. Приведен пример построения алгоритма контроля по разработанному принципу для цилиндрической антенной решетки с дискретными фазовращателями. Показан выигрыш при использовании предложенного алгоритма по сравнению с ранее используемым алгоритмом контроля антенных решеток.
Construction of fault search algorithm for the multichannel system based on taking into account its element contributions into the defining system parameter has been described. An example for constructing the control algorithm in terms of the principle developed for the cylindrical antenna array with the discrete phase shifters has been given. The advantage in using the algorithm suggested has been shown as compared to that for antenna array control used previously.
Объективной тенденцией развития техники на современном этапе является постоянный рост сложности устройств, что объясняется расширением круга решаемых ими задач при одновременном повышении требований к эффективности функционирования. Принципиальная особенность многоканальных систем, относящихся к системам с квазиизбыточностью, заключается в возможности полного или частичного сохранения эффективности функционирования даже при наличии отказов в одном или нескольких каналах. Последнее достигается изменением алгоритма функционирования системы с учетом информации о характере и местоположении отказавшего элемента.
При таком подходе контроль многоканальной системы в отличие от контроля работоспособности требует разбиения области отказовых состояний, ранее рассматриваемой как
единое целое, на множество подобластей, соответствующих подлежащим различению неисправностям. В результате имеющая место при контроле работоспособности двух-альтернативная задача превращается в многоальтернативную, конечной целью решения которой является отнесение контролируемой многоканальной системы -объекта контроля - к одной из заданных подобластей пространства отказовых состояний.
Важным вопросом при контроле многоканальной системы является минимизация снижения интегральной эффективности системы в целом за время поиска неисправности. Для этого алгоритм определения подобласти отказовых состояний должен учитывать не только вероятность нахождения системы в некотором отказовом состоянии, но и снижение эффективности функционирования системы при этом. Однако существующие в настоящее время подходы к построению алгоритмов поиска неисправностей опираются только на вероятности появления отказов [1].
Таким образом, построение алгоритма поиска неисправностей в многоканальной системе представляет собой не только теоретический интерес, но имеет и практическую значимость.
Целью данной статьи является построение алгоритма контроля многоканальной системы, при котором минимизируется интегральное снижение эффективности функционирования системы за время определения характера и местоположения отказавшего элемента.
Рассмотрим ^-канальную систему, которая может находиться в одном из Ь состояний, определяемых наличием г-кратной ошибки
